UNIDADE III Estruturas de Dados Moderna Introdução à Árvores. Fonte: Cláudio Esperança e Eduardo Piveta

Transcrição

1 UNIDADE III Estruturas de Dados Moderna Introdução à Árvores Fonte: Cláudio Esperança e Eduardo Piveta

2 Árvores As árvores são estruturas das mais usadas em computação para representar hierarquias Uma árvore podeser entendidacomoum grafoacíclico íli conexo onde um dos vértices chamado raiz da árvore é diferenciado dos demais raiz 2

3 Árvores Uma maneira mais útil de se dfiiá definir árvores é a seguinte: Uma árvore T é um conjunto finito de nós (ou vértices) tal que T =, isto é, uma árvore vazia Um nó raiz e um conjunto de árvores não vazias, chamadas de subárvores do nó raiz É comum associar se se rótulos aos nós das árvores para que possamos nos referir a eles Na prática, os nós são usados para guardar informações diversas 3

4 Árvores B A C E D A B C E F G D F G Representação Gráfica Representação Indentada (A(B)(C(E(F)(G)))(D)) Representação ese com Parênteses aê 4

5 Árvores Nomenclatura A é o pai de B, C e D A B, C e D são filhos de A B, C e D são irmãos B C D A é um ancestral de G G é um descendente de A E B, D, F e G são nós folhas A, C e E são nós internos F G O grau do nó A é 3 O comprimento do caminho entre C e G é 2 O nível de A é 1 e o de G é 4 A altura da árvore é 4 5

6 Árvores Binárias Em uma árvore binária, cada nó tem zero, um ou dois filhos. Uma avb pode ser definida como: uma árvore vazia ou um nó raiz tendo duas sub árvores, identificadas como sub árvore da esquerda (sae) e sub árvore da direita (sad)

7 Árvores Binárias Representação Esquemática raiz Vazia sae sad

8 Número de Subárvores Vazias Se uma árvore tem n > 0 nós, então ela possui n+1 subárvores vazias Para ver isso, observe que Uma árvore com um só nó tem 2 subárvores vazias Sempre que penduramos um novo nó numa árvore, o número de nós cresce de 1 e o de subárvores vazias também cresce de 1 8

9 Tipos de Árvores Binárias Uma árvore binária é estritamente binária se todos os seus nós têm 0 ou 2 filhos Uma árvore binária completa é aquela em que todas as subárvores vazias são filhas de nós do último ou penúltimo nível Uma árvore binária cheia é aquela em que todas as subárvores vazias são filhas de nós do último nível Árvore estritamente binária completa Árvore estritamente binária cheia 9

10 Aplicação: Expressões Uma aplicação bastante corriqueira de árvores binárias é na representação e processamento de expressões algébricas, booleanas, etc. A árvore binária deve ser construída do maior nível para o menor, e a expressão deverá ser avaliada da direita pra esquerda (raíz) Ex1: + (3+6)*(4 1)+5 *

11 Aplicação: Expressões Exemplo 2: + (((b/c) * a)+((d e)/(f+g))) )(( )/( a + b c d e f g 11

12 Implementando Árvores Binárias com Arrays Assim como listas, árvores binárias podem ser implementadas utilizando se o armazenamento contíguo proporcionado por arrays A idéia é armazenar níveis sucessivos da árvore seqüencialmente no array b a c a b c d e f g h i j k níveis d e f g h i j k 12

13 Implementando Árvores Binárias com Arrays Dado um nó armazenado no índice i, é possível computar o índice do nó filho esquerdo de i :2 i do nó filho direito de i : 2 i + 1 do nó pai de i : i div 2 Para armazenar uma árvore de altura h precisamos de um array de 2 h 1 (número de nós de uma árvore cheia de altura h) Nós correspondentes a subárvores vazias precisam ser marcados com um valor especial diferente de qualquer valor armazenado na árvore A cada índice computado é preciso se certificar que está dentro do intervalo permitido Ex.: O nó raiz é armazenado no índice 1 e o índice computado para o seu pai é 0 13

14 Implementando Árvores Binárias com Ponteiros A implementação com arrays é simples porém tende a desperdiçar memória, e é pouco flexível quando se quer alterar a árvore (inserção e deleção de nós) Via de regra, árvoressãoimplementadascom são ponteiros: Cada nó X contém 3 campos: X.Val : valor armazenado no nó X.Esq:Ponteiro p/ árvore esquerda X.Dir:Ponteiro p/ árvore direita Uma árvore é representada por um ponteiro para seu nó raiz Esq Val Dir 14

15 Implementando Árvores Binárias com Ponteiros T a b c d e f 15

16 Arvore_ binaria.cpp exemplo de utilização Considere a seguinte árvore: a b c d e f Para implementa la la, através do programa arvore_binaria.cpp, utiliza se uma função criar(), associado a uma estrutura duplamente encaeada e mantendo a ordem de criação dos nós já descrita anteriormente (à seguir) :

17 Arvore_ binaria.cpp exemplo de utilização OBS: Arv = estrutura duplamente encadeada Arv* d = criar('d', criarvazia(), criarvazia()); //nivel 3 Arv* e = criar('e', criarvazia(), criarvazia()); //nivel 3 Arv* f = criar('f', criarvazia(), criarvazia()); //nivel 3 Arv* b = criar('b', criarvazia(), d); //nivel 2 Arv* c = criar('c', e, f); //nivel 2 Arv* a = criar('a', b, c); //nivel 2 Vide programa completo na nossa página.

18 UNIDADE III Estruturas de Dados Moderna FIM