Universidade Federal de Mato Grosso

Transcrição

1 Universidade Federal de Mato Grosso Estrutura de Dados II Curso de Ciência da Computação Prof. Thiago P. da Silva Material basedado em [Kurose&Ross 2009] e [Gonçalves, 2007]

2 Agenda Árvore Binária Definição Inserção recursiva Inserção iterativa Percursos Exemplo de percurso em árvore Removendo um nó

3 Árvore Binária - Definição Grafo acíclico, conexo, dirigido e que cada nó não tem grau maior que dois Não existe mais do que um caminho entre dois nós distintos Uma árvore binária é uma estrutura de dados caracterizada por: Ou não tem elemento algum (árvore vazia) Ou tem um elemento distinto, denominado raiz, com dois ponteiros para duas estruturas diferentes, denominadas subárvore esquerda (sae) e subárvore direita (sad)

4 Árvore Binária - Definição Definições: PROFUNDIDADE - distância de um nó até a raiz NÍVEL conjunto de nós com a mesma profundidade ALTURA maior profundidade da árvore NÓS - são todos os itens guardados na árvore RAIZ - é o nó do topo da árvore FILHOS - são os nós que vem depois dos outros nós PAIS - são os nós que vem antes dos nós filhos FOLHAS - são os nós que não têm filhos; são os últimos nós da árvore

5 Árvore Binária inserção recursivo

6 Árvore Binária inserção iterativo

7 Árvore Binária inserção A localização do ponto de inserção é semelhante à busca por um valor na árvore Após a inserção do novo elemento, a árvore deve manter as propriedades de árvore binária de busca O nó inserido é sempre uma folha

8 Árvore Binária inserção

9 Árvore Binária inserção

10 Árvore Binária - Percurso Definem como caminhar em uma árvore Existem três tipos de percursos: Percurso em ordem simétrica(em-ordem) SAE; RAIZ; SAD Percurso em pré-ordem RAIZ; DAE; SAD Percurso em pós-ordem SAE; SAD; RAIZ

11 Árvore Binária - Percurso Definem como caminhar em uma árvore Existem três tipos de percursos: Percurso em ordem simétrica(em-ordem) SAE; RAIZ; SAD Percurso em pré-ordem RAIZ; DAE; SAD Percurso em pós-ordem SAE; SAD; RAIZ

12 Árvore Binária Percurso em ordem emordem(2 esq) emordem(7 esq) emordem(2 esq) visita(2) emordem(2 dir) visita(7) emordem(7 dir) emordem(6 esq) emordem(5 esq) visita(5) emordem(5 dir) visita(6) emordem(6 dir) emordem(11 esq) visita(11) emordem(11 dir) visita(2) emordem(2 dir) emordem(5 esq) visita(5) emordem(5 dir) emordem(9 esq) emordem(4 esq) visita(4) emordem(4 dir) visita(9) emordem(9 dir) 2, 7, 5, 6, 11, 2, 5, 4 e 9

13 Árvore Binária Percurso pré-ordem visita(2) preordem(2 esq) visita(7) preordem(7 esq) visita(2) preordem(2 esq) preordem(2 dir) preordem(7 dir) visita(6) preordem(6 esq) visita(5) preordem(5 esq) preordem(5 dir) preordem(6 dir) visita(11) preordem(11 esq) preordem(11 dir) preordem(2 dir) visita(5) preordem(5 esq) preordem(5 dir) visita(9) preordem(9 esq) visita(4) preordem(4 esq) preordem(4 dir) preordem(9 dir) 2, 7, 2, 6, 5, 11, 5, 9 e 4

14 Árvore Binária Percurso pós-ordem posordem(2 esq) posordem(7 esq) posordem(2 esq) posordem(2 dir) visita(2) posordem(7 dir) posordem(6 esq) posordem(5 esq) posordem(5 dir) visita(5) posordem(6 dir) posordem(11 esq) posordem(11 dir) visita(11) visita(6) visita(7) posordem(2 dir) posordem(5 esq) posordem(5 dir) posordem(9 esq) posordem(4 esq) posordem(4 dir) visita(4) posordem(9 dir) visita(9) visita(5) visita(2) 2, 5, 11, 6, 7, 4, 9, 5 e 2

15 Árvore Binária Exemplo de Percurso Avalie a seguinte expressão contina na árvore. Utilize o pecurso em ordem simétrica. Qual é o resultado? + *

16 Árvore Binária Remoção Existem três casos particulares para remoção Caso 1 O nó a ser removido é uma folha (não tem filhos) Caso 2 O nó possui apenas um filho Caso 3 O nó possui dois filhos

17 Árvore Binária Remoção Caso 1 O nó a ser removido é uma folha Simples e direto O elemento não possui filhos. Logo sua remoção é direta, restando apenas atualizar o pai, que agora apontará para NULL

18 Árvore Binária Remoção Caso 2 - O nó possui apenas um filho Deve-se acertar o ponteiro do pai, pulando o nó O único neto passa a ser filho direto Exemplo: removendo 5 O ponteiro a direita de (4) apontará para NULL

19 Árvore Binária Remoção Caso 2 - O nó possui apenas um filho Deve-se acertar o ponteiro do pai, pulando o nó O único neto passa a ser filho direto Exemplo: removendo 3 Substituir o nó (3) pelo nó (2)

20 Árvore Binária Remoção Caso 3 O nó possui dois filhos Deve-se proceder da seguinte forma: a) encontrar o elemento que precede o elemento a ser retirado. Isto é, encontrar o elemento mais a direita da subárvore à esquerda; b) trocar a informação do nó a ser retirado com a informação do nó encontrado; c) retirar o nó encontrado O nó mais a direita da subarvore à esquerda sempre será folha ou terá um único filho. Logo é trivial! Mas pode não existir subárvore à equerda. Como proceder?

21 Árvore Binária Remoção Caso 3 O nó possui dois filhos Procuramos o nó mais à direita da subarvore esquerda (D) Trocamos os valores de (E) e (D) Agora removemos (recursivamente) o nó mais à direita da subarvore esquerda (D) Neste caso ele é folha. Trivial!

22 Árvore Binária Remoção Caso 3 O nó possui dois filhos Procuramos o nó mais à direita da subarvore esquerda (C) Trocamos os valores de (E) e (C) Agora removemos (recursivamente) o nó mais à direita da subarvore esquerda (C)

23 Árvore Binária Remoção Caso 3 O nó possui um filho Procuramos o nó mais à direita da subarvore esquerda (C) Trocamos os valores de (E) e (C) Agora removemos (recursivamente) o nó mais à direita da subarvore esquerda (C)

24 Árvore Binária Remoção Caso 3 O nó possui um filho Procuramos o nó mais à direita da subarvore esquerda (C) Trocamos os valores de (E) e (C) Agora removemos (recursivamente) o nó mais à direita da subarvore esquerda (C)