SISTEMAS DE VOTAÇÃO PELO MÉTODO DE BORDA

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1 RELATÓRIOS DE PESQUISA EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, v. 14, n. B 1, p SISTEMAS DE VOTAÇÃO PELO MÉTODO DE BORDA Helder Gomes Costa Universidade Federal Fluminense helder.uff@gmail.com Resumo O método de Borda foi proposto no período da Revolução Francesa para a realização de votações em sistemas multidecisor. Devido as suas características, o mesmo pode ser adaptado para problemas multicritério. No entanto, a despeito de suas simplicidade e robustez, há pouca literatura, principalmente no Brasil, sobre o mesmo, em especial quando se trata de problemas multicritério. O presente texto objetiva contribuir ao preenchimento desta lacuna, apresentando uma descrição detalhada dos passos efetuados durante a modelagem por este método. Para isso é efetuada a descrição do método sob uma ótica multidecisor, seguida pela adaptação do mesmo a uma ótica multicritério que contempla, inclusive, a possibilidade de ponderações entre critérios. Um exemplo hipotético é utilizado para destacar o aspecto democrático do método de Borda, quando comparado ao sistema tradicional de votação. Também é apresentado, a título de ilustração, um exemplo de aplicação do método Borda Multicritério Ponderado à ordenação de municípios do Brasil com base nos dados do Índice de Desenvolvimento Humano Municipal (IDH-M). Ressalta-se que ao buscar descrever as formas de utilização de um método de decisão, este texto busca justificar a sua inserção no âmbito da série de didática dos Relatórios de Pesquisa em Engenharia de Produção, o que é relevante devido a carência de textos que compilem de forma abrangente a descrição do método de Borda de apoio à decisão. Palavras-chave. Decisão, Método de borda, Apoio Multicritério à Decisão Artigo submetido em 4/11/2013.Versão final recebida em 17/12/2013.Publicado em 7/2/2014.

2 1. Introdução Conforme descrito em Saaty (1980), Changkonge e Haimes (1983), Roy e Boyssou (1985) e Zeleny (1982), a tomada de decisão em um ambiente complexo envolve a consideração de múltiplos critérios. A modelagem multicritério tem sido aplicada à solução de problemas em diversas áreas do conhecimento. Roy (1990) observa a consolidação de duas vertentes do conhecimento: a tomada de decisão multicritério, em inglês Multicriteria Decision Making (MCDM); e o auxílio multicritério à decisão (AMD), em inglês Multicriteria Decision Aid (MCDA). A MCDM lida com modelos associados à otimização e demandam que os mesmos sejam capazes de suportar validações axiomáticas. Por outro lado, ao abrir mão da obrigatoriedade de validações axiomáticas, a MCDA se aprofunda em outros tipos de validação, associados à análise de coerência, que possibilitam identificar e tratar ambiguidades e conflitos no processo decisório, configurando-se como uma alternativa à modelagem de problemas mais próximos da realidade, nos quais estejam presentes elementos complexos como: subjetividade, incertezas e ambiguidades. Costa (2006) afirma que há diferentes maneiras para se classificar um problema de decisão: quanto ao nível de conhecimento dos cenários futuros (certeza, incerteza e risco), quanto ao número de critérios (monocritério ou multicritério), quanto à presença ou não de flutuações estatísticas (determinísticas ou estocásticas) e quanto à situação de decisão. Roy e Boyssou (1985) agrupam as situações de decisão em quatro problemáticas: Ordenação (ranking), na qual se busca construir uma lista ordenada das alternativas, das melhores para as piores. Esta situação é denotada por Problemática P.γ (gama). Escolha (choice) na qual se busca identificar a melhor alternativa ou selecionar um conjunto limitado das melhores alternativas. Esta situação é denotada por Problemática P.α (alfa). Classificação (classification / sorting), na qual a intenção é classificar as alternativas em grupos homogêneos pré-definidos e que guardem algum tipo de ordem de preferência ou importância entre si, tal como acontece em classificações do tipo ABC de Pareto. Descrição (description), cujo propósito é identificar e descrever as principais características que distinguem as alternativas. Esta situação é denotada por Problemática P.δ (delta). Costa (2006) insere nesta classificação uma outra problemática, a de priorização ou distribuição. Na situação de Distribuição (sharing), enquadram-se os problemas nos quais recursos finitos devem ser compartilhados ou distribuídos por um grupo de elementos. Encaixam-se, por exemplo, nesta categoria as situações de decisão nas quais se objetiva distribuir recursos entre um conjunto de alternativas, identificando-se o percentual dos recursos que cabe a cada alternativa. Neste tipo de classificação também podem ser categorizados os problema da atribuição de pesos a critérios, nos quais o decisor deseja distribuir importância entre os critérios de um conjunto de critérios previamente definido. Um dos métodos multicritério de ordenação (problemática P.γ) é o método de Borda, proposto inicialmente com um método multidecisor. A despeito de sua simplicidade e eficácia e importância histórica há pouco material escrito sobre o mesmo. Assim, este texto tem o objetivo fazer uma descrição deste método e de algumas de suas variações, sem a pretensão de se apresentar com um texto de caráter científico, mas sim de um texto de apoio ao leitor que busca uma compreensão inicial sobre este método. 2. Método de Borda: problema multidecisor A Enciclopédia Britânica (Encyclopaedia Britannica, 2012) registra que o método de Borda foi apresentado por Jean-Charles Borda em 1781, na França para ser aplicado em comitês 2

3 compostos por mais de um indivíduo (problema multidecisor). Conforme descrito em McLean (1990) e em Barba-romero (1997), a ideia central deste método consiste em estabelecer uma combinação das ordenações ou ranking individuais estabelecidos por cada um dos decisores em um ranking global. As seguintes etapas são efetuadas na aplicação do método de borda. a) Definir os avaliadores ou decisores ou juízes ou elementos do júri. b) Definir os elementos ou alternativas a serem ranqueadas ou ordenadas. c) Obter as avaliações ou julgamentos estabelecidos por cada decisor para cada uma das alternativas. d) Associar uma pontuação, número de ordem ou score de ranking a cada alternativa, considerando os julgamentos individuais de cada juiz. e) Para cada alternativa, somar os números de ordem obtendo um número de ordem global. f) Obter a ordenação final das alternativas, com base nos números de ordem globais Exemplo genérico Considere, a título de exemplo, que, em determinada situação, os passos (a), (b) e (c) levaram a um contexto no qual quatro avaliadores analisaram e opinaram sobre o desempenho de cinco alternativas, os quais estão representados na Tabela 1. Observe que os avaliadores tiveram liberdade para, cada um, utilizar a sua própria escala de avaliações, para avaliar as alternativas. Caso fosse aplicado um mecanismo de agregação do tipo média ponderada, isto demandaria a execução de uma passo adicional, como a normalização das avaliações, o que seria mais difícil no caso da escala qualitativa utilizada pelo avaliador 4. Caso fosse adotado o método de Borda, esta dificuldade não ocorreria, como pode ser depreendido da execução dos passos (d), (e) e (f), apresentada a seguir. Tabela 1. Desempenho das alternativas segundo a percepção de cada avaliador Avaliador 1 Avaliador 2 Avaliador 3 Avaliador 4 Alternativa A Bom Alternativa B Ruim Alternativa C Péssimo Alternativa D Excelente Alternativa E Mediano Ao executar o passo (d), transformam-se as notas atribuídas pelos avaliadores em número de ordem (ver colunas 2, 3 e 4 da Tabela 2). Observa-se que na proposta original do método de Borda, quanto maior o desempenho da alternativa, menor o número de ordem atribuído à alternativa. A 6ª coluna (número de ordem global) resulta da execução do passo (e). Com base nos resultados desta coluna, executa-se o passo (f), obtendo-se a posição ou ordenação (ranking) final de cada alternativa, como pode ser visto na última coluna da Tabela 3. Observase que, na proposta original do método de Borda, atribui-se as primeiras posições às alternativas com menor soma de scores de ranking. 3

4 Tabela 2. Ordenação das alternativas segundo a percepção de cada avaliador e agregação final pelo método de Borda Número de ordem por avaliador Avaliador 1 Avaliador 2 Avaliador 3 Avaliador 4 Número de ordem global Ordenação final Alternativa A ª Alternativa B ª Alternativa C ª Alternativa D ª Alternativa E ª 2.2 Variação no intervalo de escala A escala tradicional para a atribuição dos números de ordem no método de Borda é uma escala intervalar que funciona como uma progressão aritmética com intervalo igual a 1. Ou seja: atribui-se o número de ordem igual 1 a alternativa de melhor desempenho, o número de ordem 2 a alternativa com o segundo melhor desempenho, o número de ordem 3 a alternativa com o terceiro melhor desempenho, e daí por diante. Há situações em que se deseja dar maior importância às alternativas que estão em primeiro lugar. Nestes casos, é usual a adoção de uma escala que siga uma progressão geométrica com razão superior a 1. Por exemplo: atribui-se o número de ordem igual 1 a alternativa de melhor desempenho, o número de ordem 2 a alternativa com o segundo melhor desempenho, o número de ordem 4 a alternativa com o terceiro melhor desempenho, e daí por diante. Neste caso utilizouse uma progressão geométrica com razão igual a 2. A tabela 3 ilustra como seria a aplicação do método de Borda aos dados da Tabela 1, ao se adotar uma escala que seguisse uma progressão geométrica com razão igual a 2. Observa-se que houve uma inversão da ordenação entre as Alternativas A e B. Isto ocorre porque há uma penalização crescente em ordem geométrica quando, para algum avaliador uma alternativa se afasta das primeiras posições no caso a alternativa B foi considerada a quarta opção para o avaliador 4 e esse fato fez com que ela fosse severamente penalizada no número de ordem global. Tabela 3. Ordenação das alternativas adotando-se uma escala geométrica com razão igual a 2. Número de ordem por avaliador Avaliador 1 Avaliador 2 Avaliador 3 Avaliador 4 Número de ordem global Ordenação final Alternativa A ª Alternativa B ª Alternativa C ª Alternativa D ª Alternativa E ª 2.3 Variação na direção da escala A escala tradicional para a atribuição dos números de ordem no método de Borda é invertida; isto é: quanto maior o desempenho menor o número de ordem. Alternativamente, podem ser usadas escalas diretas, de tal forma que quanto melhor o desempenho, maior o número de ordem atribuído à alternativa. Este tipo de orientação pode ser usado tanto para escalas que sigam uma progressão aritmética, quanto para escalas que sigam uma progressão 4

5 geométrica. Por exemplo, pode-se adotar uma escala crescente em progressão aritmética com razão igual a 1, de tal forma que: atribua-se o número de ordem igual 3 a alternativa de melhor desempenho, o número de ordem 2 a alternativa com o segundo melhor desempenho, o número de ordem 1 a alternativa com o terceiro melhor desempenho, e o número de ordem igual 0 para as demais alternativas. Quanto maior a soma dos números de ordem de uma alternativa, melhor o posicionamento dela na ordenação final. A tabela 4 apresenta os resultados da aplicação deste procedimento aos dados constantes da Tabela 1. Observa-se que este tipo de situação é muito indicado quando há conjunto muito grande de alternativas e a ordenação só é necessária para um grupo pequeno de alternativa. Por exemplo: identificar os melhores cinco funcionários de um grupo composto por cem funcionários. Tabela 4. Ordenação das alternativas pela adição de uma escala decrescente Número de ordem por avaliador Avaliador 1 Avaliador 2 Avaliador 3 Avaliador 4 Número de ordem global Ordenação final Alternativa A ª Alternativa B ª Alternativa C ª Alternativa D ª Alternativa E ª No exemplo em pauta, cada avaliador escolheu três alternativas como as melhores, atribuindo os valores 3, 2 e 1 para as alternativas com o melhor, o segundo melhor e o terceiro melhor desempenho, respectivamente. Isto pode ser generalizado, adotando-se o seguinte procedimento: a) Define-se um número máximo (n) de alternativas a serem avaliadas. b) Para cada avaliador: atribui-se o valor n ao número de ordem da alternativa que o considera como a melhor opção; o valor n- 1 àquela que é considerada a sua segunda melhor opção; atribui-se a nota n-2 à que ele considera como a terceira melhor opção; e assim por diante, até a sua n-ésima opção, a qual receberá um número de ordem igual a 0, assim como todas as demais alternativas. 2.4 Método de Borda: exemplo de um caso de eleição Considere um processo de eleição com cinco candidatos (CD1, CD2, CD3, CD4, CD5) e com seis eleitores (E1, E2, E3, E4, E5 e E6). Neste processo, os eleitores devem votar, individualmente, em apenas três dos cinco candidatos. Desta forma os eleitores atribuíram, atribuindo nota 3 ao candidato que considere como melhor opção, a nota 2 ao candidato que considere como segunda melhor opção e a nota 1 ao candidato que considere como terceira melhor opção. As notas atribuídas pelos eleitores a estes candidatos estão ilustradas na Tabela 5, a qual também indica nas suas duas ultimas colunas, respectivamente, a soma dos números de ordem das alternativas e a ordenação das mesmas. Tabela 5. Distribuição dos votos pelo método de Borda, com n = 3. E1 E2 E3 E4 E5 E6 Soma Ordenação CD º CD º CD º CD º 5

6 Com base na ordenação apresentada na ultima coluna da Tabela 5, o candidato eleito seria o CD Método de Borda: comparação com o sistema usual Nesta seção apresenta-se um exemplo de aplicação do método de Borda a um caso de votação. Este exemplo permitirá discutir aspectos como imposição da maioria, democracia e consenso em sistema de eleição. No sistema usual de eleição, cada eleitor vota em apenas um candidato, atribuindo-se a este o número de ordem igual a 1, ao passo que aos demais candidatos recebem o número de ordem igual a 0. A tabela 6 é resultante da aplicação deste sistema à situação anteriormente expressa na tabela 5 observe que os candidatos que receberam número de ordem igual a 3 na tabela 5, receberam o número de ordem 1 na tabela 6, ao passo que os demais candidatos receberam o valor 0. Tabela 6. Distribuição dos votos do exemplo 1, no sistema tradicional de votação. E1 E2 E3 E4 E5 E7 Soma Ordenação CD º CD º CD º CD º Neste caso observa-se que o candidato eleito seria o CD1. Este resultado é diferente do apresentado na seção anterior, principalmente pelo fato do CD2 ficar em 4º Lugar na ordenação, apesar de ser o candidato indicado pelo método de Borda, com n=3. Esta situação demanda um olhar mais apurado para a distribuição dos votos apresentada na tabela 5, a qual Lea as seguintes observações: a) O candidato CD1, que seria indicado pelo sistema usual de eleição, é o candidato mais desejado pela metade do colégio eleitoral (Eleitores: E1, E3 e E6). Por outro lado, CD1 é a pior opção para a outra metade do colégio eleitoral (Eleitores E2, E4 e E6). Ou seja: é provável que caso este seja o candidato eleito, ele encontre uma alta rejeição por parte dos eleitores E2, E4 e E6. b) O candidato CD2, que seria indicado pelo método de Borda, não é o melhor candidato para nenhum dos eleitores. Em compensação, este candidato é a segunda opção para todos os eleitores, o que pode indicar que ele tenha uma baixa rejeição do colégio eleitoral. Entendendo que uma solução de consenso seja aquela com menor índice de rejeição, é possível afirmar que o método de Borda aponta, através de um sistema de votação, para solução mais próxima do consenso do que o sistema tradicional de eleição. Que pode ser confundido, em alguns casos, como imposição da vontade da maioria. 2.2 Método de Borda com ponderação de critérios É possível, de forma bastante simples, adotar uma variação do método de Borda com a ponderação de critérios. Para isso, basta-se, uma vez de posse do peso de cada um dos critérios, multiplicá-los pelo desempenho das alternativas. Por exemplo, considere que nos dados da tabela 4, haja a seguinte distribuição de pesos entre os avaliadores: Avaliador 1 = 2; Avaliador 2 = 4; Avaliador 3 = 1; Avaliador 4 = 3. A tabela 7 sintetiza os dados desta nova situação. 6

7 Tabela 7. Ordenação das alternativas considerando a ponderação de critérios. Número de ordem por avaliador Avaliador 1 Avaliador 2 Avaliador 3 Avaliador 4 Número de ordem global Peso = 2 Peso = 4 Peso = 1 Peso = 3 Alternativa A x1 + 4x2 + 1x2 3x2 =18 Alternativa B x3 + 4x3 + 1x3 3x3 =30 Alternativa C x0 + 4x0 + 1x0 3x0 = 0 Alternativa D x0 + 4x1 + 1x1 3x3 =14 Alternativa E x4 + 4x0 + 1xo 3x1 =11 Ordenação final 2ª 1ª 5ª 3ª 4ª 3. Método de Borda: modelagem multicritério Barba-Romero e Pomerol (1997) destacam que o método de Borda também pode ser aplicado a situações que envolvam múltiplos critérios de avaliação. Neste caso basta substituir os eleitores por critérios de decisão no método Borda. Apresentam-se a seguir dois exemplos de aplicação do método de Borda em um contexto multicritério. 3.1 Método de Borda em um contexto multicritério: exemplo genérico Considere a decisão de processo de escolha de um automóvel, onde o decisor tem três alternativas para escolha (A1, A2 e A3), e considera seis critérios (C1, C2, C3, C4, C5 e C6) de escolha. Neste processo, o decisor avalia todas as três alternativas, à luz de cada um dos critérios, atribuindo nota 3 ao carro que considere como melhor opção; a nota 2 ao carro que considere como segunda melhor opção; e, a nota 1 ao automóvel que considere como terceira melhor opção. As notas atribuídas pelo decisor a estes carros estão ilustradas na tabela 8. Tabela 8. Números de ordem dos carros por critério. C1 C2 C3 C4 C5 C7 Soma Ordenação CD º CD º CD º 3.2 Método de Borda multicritério: exemplo no âmbito do IDH O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) foi proposto por Haq (1990) como instrumento para avaliar o desenvolvimento de países, com base em políticas com foco em pessoas, sendo uma alternativa aos mecanismos puramente contábeis ou econômicos, como o Produto Interno Bruto (PIB), então utilizados para a avaliação do desenvolvimento dos países. O cálculo do IDH é resultante da agregação de três outros indicadores: Índice de Longevidade (IDH ); Índice de Renda (IDH ); e, Índice de Educação ( ). Uma vez propostos e adotados para a elaboração de ordenações entre países, estes indicadores começaram a ser calculados para outros segmentos geopolíticos, dando origem ao IDHM que avalia o desenvolvimento humano de municípios. O é resultante da aplicação da metodologia de agregação do IDH, que se baseia na média geométrica entre os valores do,idhm e IDHM (PNUD, 2013). Ou seja: = x IDHM IDHM 7

8 A tabela 9 apresenta os valores dos,idhm e IDHM do Distrito Federal e dos Estados e Territórios que compõe a República Federativa do Brasil. Esta tabela também apresenta em sua última coluna, o IDHM. Todos esses valores são referentes ao no ano base de Tabela 9. Dados do IDH por unidade da federação. Lugar IDHM Longevidade IDHM Renda IDHM Educação IDHM (2010) (2010) (2010) (2010) Distrito Federal São Paulo Santa Catarina Rio de Janeiro Paraná Rio Grande do Sul Espírito Santo Goiás Minas Gerais Mato Grosso do Sul Brasil Mato Grosso Amapá Roraima Tocantins Rondônia Rio Grande do Norte Ceará Amazonas Pernambuco Sergipe Acre Bahia Paraíba Piauí Pará Maranhão Alagoas O método de Borda multicritério, foi aplicado aos dados da tabela 9, como forma alternativa de se estimar a posição dos elementos no ranking do IDH. Nesta aplicação, adotouse n = 26, uma vez que havia 27 elementos a serem ordenados. Os resultados desta ação estão apresentados na Tabela 10. 8

9 Tabela 10. Ordenação multicritério das unidades da federação. IDHM (2010) Longevidade IDHM Renda IDHM Educação Valor Número de Ordem Valor Número Valor Número Soma dos de ordem de ordem números de ordem Ordenação Acre º Alagoas º Amapá º Amazonas º Bahia º Ceará º Distrito Federal º Espírito Santo º Goiás º Maranhão º Mato Grosso º Mato Grosso do Sul º Minas Gerais º Pará º Paraíba º Paraná º Pernambuco º Piauí º Rio de Janeiro º Rio Grande do Norte º Rio Grande do Sul º Rondônia º Roraima º Santa Catarina º São Paulo º Sergipe º Tocantins º 4. Comentários Finais Este texto cumpre o seu objetivo central: descrever de forma didática o algoritmo de ordenação multicritério Método de Borda, o qual se baseia no método de ordenação para problemas envolvendo múltiplos decisores, desenvolvido por Jean-Charles de Borda na segunda metade do século XVIII. 9

10 Referências Barba-Romero, S.; Pomerol, J.-C. Decisiones multicritério: Fundamentos teóricos y utilizacion prática. Colección Economía. Universidad de Alcalá, Madrid, Changkong, Y., Haimes, Y. Multiobjective Decision Making: heory and Methodology. North Holland, Amsterdam, Costa, H.G. Auxílio Multicritério à Decisão: Método AHP. ABEPRO, Rio de Janeiro, Encyclopaedia Britannica. acessado em 10 de dezembro de 2012>>>>. McLean, I. (1990) The Borda and Condorcet principles: three medieval applications, Soc. Choice Welf, v. 7, n. 2, PNUD. Atlas do Desenvolvimento Humano no Brasil: Atlas Brasil 2013 (2013). Rio de Janeiro: Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento/Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada/Fundação João Pinheiro. Roy, B. (1990). Decision-aid and decision-making. European Journal of Operational Research, v. 4, n.2, Roy, B. e Boyssou, D. Mèthodologie Multicritère d Àide à la Dècision. Economica, Paris, Saaty, T.L. (1977). A scaling method for priorities in hierarchical structures. Journal of Mathematical Psychology, 15(3), Zeleny, M. Multiple Criteria Decision Making. McGraw-Hill, New Jersey,