CO 66: Equações quadráticas nos livros didáticos de Matemática: ainda Fórmula de Bhaskara?

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1 CO 66: Equações quadráticas nos livros didáticos de : ainda Fórmula de Bhaskara? Edílson Jonatah Cardoso PUC Minas / GHEMAT ejotah.cardoso@hotmail.com Elenice de Souza Lodron Zuin PUC Minas / GHEMAT elenicezuin@gmail.com ejotah.cardoso@hotmail.com RESUMO Nas duas últimas décadas, vários educadores e pesquisadores tem se posicionado em defesa da utilização da história da matemática no Ensino Básico. O livro didático foi e continua sendo, em nosso país, um dos principais e, muitas vezes, o único material didático/pedagógico em muitas escolas. É notório que o modo como os autores tratam os diversos conteúdos influencia e/ou determina a condução das aulas pelo professor. A partir das nossas reflexões a respeito da importância da História da ser incluída nos livros didáticos de, desenvolvemos uma investigação procurando averiguar se e como as abordagens históricas estão presentes nesses impressos destinados aos quatro últimos anos do Ensino Fundamental. A seleção dos livros didáticos foi realizada tendo como ponto de partida as recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais de que destacam a importância das abordagens históricas, indicando a História da como um dos caminhos para se conduzir um trabalho efetivo em sala de aula. Deste modo, foram priorizados livros editados após 1998, ou seja, posteriores à publicação dos PCN de. Dentre os diversos conteúdos presentes nos impressos analisados, destacamos, para este artigo, as equações quadráticas, um dos tópicos presentes no final do Ensino Fundamental. Tivemos como objetivos verificar se os autores de livros didáticos de utilizam a terminologia Fórmula de Bhaskara para a fórmula resolutiva das equações do segundo grau, se trazem uma abordagem histórica para esse conteúdo e como ela é realizada. Apresentamos a nossa análise relativa a oito livros, pertencentes ao acervo da Coleção Especial da biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, em Belo Horizonte, campus Coração Eucarístico. Constatamos que, nos livros analisados, alguns autores já indicam que não se deve a Bhaskara o desenvolvimento de uma fórmula resolutiva para a equação quadrática. Porém, de um modo geral, ainda não são realizadas, nesse tópico, abordagens históricas que contribuam efetivamente para a construção do conhecimento matemático. Julgamos que os aspectos históricos abordados comparecem como meras informações, sem conter uma proposta metodológica que leve o professor a trabalhar a história de forma investigativa e problematizadora em sala de aula, a não ser, em alguns casos, para o método de completar quadrados. Palavras-chave: História da Equações quadráticas Livros didáticos

2 Introdução Com o advento da Moderna, a História da foi relegada a um segundo plano (MIGUEL & BRITO, 1996). No Brasil, apenas com a publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais de 1, no final da década de 90 do século XX, a História da compareceu em uma proposta do Ministério da Educação e Cultura MEC, nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de. O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) também contribuiu para a melhoria dos livros destinados ao Ensino Básico no país. Em relação aos livros de matemática, um dos itens avaliados é a presença da história. Antes da publicação dos PCN de, autores brasileiros como D Ambrósio (1996), Miguel (1996), Nobre (1996), Miguel & Brito (1996), Souto (1997) já evidenciavam a importância da História da, com sugestões para integrá-la nas aulas de modo efetivo. Miguel e Brito (1996) destacam que Pelo estudo da matemática do passado, podemos perceber como a matemática de hoje insere-se na produção cultural humana e alcançar uma compreensão mais significativa de seu papel, de seus conceitos e de suas teorias, uma vez que a matemática do passado e a atual engendram-se e fundamentam-se mutuamente (p.56) Abordagens históricas nas aulas de podem conduzir outras discussões e fomentar projetos interdisciplinares nas escolas. Mendes (2001) se posiciona defendendo que a (re)construção histórica do conhecimento matemático pode ter significativas implicações pedagógicas no ensino aprendizagem da matemática escolar desde que tais informações sejam usadas como instrumentos provocadores na construção da matemática escolar dos estudantes. Tais implicações poderão ser bem utilizadas em sala de aula se forem conduzidas de forma investigativa, problematizadora e portanto construtiva de modo a fazer com que os estudantes vivenciem a produção do conhecimento escolar a partir das informações históricas sobre o assunto estudado. (p.228) Nos PCN de valorizam-se as abordagens históricas para o ensino e a aprendizagem da disciplina, destacando que ao estabelecer comparações entre os conceitos e 1 Os PCN de foram publicados em 1997 e 1998, para o 1º e 2º ciclos e 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental, respectivamente. 2

3 processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento. (BRASIL, 1998, p. 42). Entendemos, como Miguel (1996), que uma História da pedagogicamente orientada poderia prestar grande auxílio para os professores intencionados em contrapor-se a uma tal tendência tecnicista do ensino ( p ). É necessário que o professor desenvolva uma metodologia que proporcione não só uma aula diferente, mas também instigue os alunos a pesquisarem, discutirem, problematizarem, experimentarem e construírem o próprio conhecimento. A criação da Sociedade Brasileira de História da SBHMat em 1999, veio consolidar as atividades de um grupo de pesquisadores que já vinha realizando seminários para apresentar novas pesquisas e discussões na área. Os seminários que se seguiram, com minicursos e a publicação de diversos livros pela SBHMat possibilitaram a divulgação e veiculação de determinados temas com abordagens históricas que auxiliariam os professores de. É positiva também a publicação de diversos paradidáticos que trazem abordagens históricas no campo da, que já vinha sendo realizada há várias décadas pela Editora Scipione e ocorreu uma ampliação dessas publicações. No Brasil, o livro didático ainda é a principal fonte de consulta de professores e alunos e é o instrumento de maior relevância dentro das instituições escolares, principalmente das escolas públicas. Deste modo, se os autores inserem abordagens históricas, há uma chance de os professores, baseados nos livros, as levarem para a sala de aula. No entanto, ainda hoje, os professores enfrentam dificuldades para fazer abordagens históricas na sala de aula, devido a vários fatores, entre eles, podemos citar: o fato de a História da não ser uma disciplina da sua grade curricular do curso de Licenciatura ou de ser trabalhada superficialmente; da falta de uma bibliografia específica em língua portuguesa e adequada à sua proposta didática. Dynnikov (1998) revelou que, na época da sua pesquisa, poucos cursos de no Brasil integravam a História da como disciplina obrigatória nos currículos. Este dado indicava que os professores em serviço e aqueles que estavam em formação não possuíam conhecimentos bem fundamentados sobre tópicos de História que podem ser utilizados na sua prática pedagógica. 3

4 Um estudo relativamente recente de Balestri & Cirino (2010) indica que, de 403 instituições que oferecem a Licenciatura de, de forma presencial, no Brasil, entre as que os pesquisadores tiveram acesso à matriz curricular, 231 possuem nas suas grades curriculares a História da, sendo que, em 7 delas a disciplina é optativa. Deste modo, a História da ainda não seria uma disciplina presente nas Licenciaturas em. Destacamos que, nas instituições em que a disciplina é ofertada, não se sabe como a mesma é tratada pelos professores e qual o grau de importância é atribuído à ela. Reforçam essa hipótese Baroni e Nobre (1999) ao apontarem que, nos cursos em que a História da faz parte da matriz curricular, em geral, ela é com raras e honrosas exceções, considerada de segunda classe, para indicarem o pouco prestígio que a mesma possui nos cursos. Duas pesquisas (SOUTO, 1997; ZUIN, 2002; 2003), apesar de se constituírem em estudos de caso, indicavam o despreparo dos docentes. Para Souto (1997), os professores que afirmam fazer uso da História da em suas aulas ainda o faziam de maneira inconsistente. Zuin (2002) avaliou que os professores que participaram da sua investigação, e afirmaram realizar abordagens históricas, demonstraram não recorrer a fontes confiáveis, baseando-se em sites da WEB ou apenas nas poucas informações apresentadas nos livros didáticos adotados. Esses docentes não haviam cursado a disciplina História da. Estes dados, bem como os apontados também por Balestri & Cirino (2010), como já nos referimos anteriormente, vem reforçar a nossa defesa de que os autores de textos didáticos de matemática acrescentem abordagens históricas em suas obras de forma mais consistente, com propostas metodológicas e não apenas como pequenas notas informativas. Nesse artigo, trazemos os resultados de parte de uma pesquisa que tem como um dos objetivos fazer um levantamento dos conteúdos históricos presentes em livros didáticos de do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental. Um dos tópicos presentes nesse segmento de ensino são as equações do segundo grau, ao qual dedicamos especial atenção. Não é nossa intenção apresentar a história da equação quadrática. Sabemos que, no Brasil, durante muitos anos e ainda hoje, adota-se, equivocadamente, a terminologia Fórmula de Bhaskara para a fórmula resolutiva das equações quadráticas. Em nossa investigação, verificamos se os autores de livros didáticos de ainda continuam utilizando essa nomenclatura, se existe uma abordagem histórica para esse conteúdo e como ela é realizada. 4

5 Avaliamos também livros anteriores à Lei nº , de 6 de fevereiro de 2006, que estabeleceu as diretrizes e bases da educação nacional, dispondo sobre a duração de nove anos para o Ensino Fundamental, com matrícula obrigatória a partir dos seis anos de idade. Nesses livros, consta a denominação de 8ª série, que equivale ao 9º ano do Ensino Fundamental, atualmente. A seleção dos livros se deu a partir do levantamento realizado no acervo das Coleções Especiais da biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, em Belo Horizonte, no Campus Coração Eucarístico. Os livros foram publicados entre 1998 e A equação quadrática nos livros didáticos de Para termos uma visão mais compacta dos dados levantados, optamos por apresentar a tabela a seguir: Livro Editora Autores Ano de publicação Conteúdo histórico apresentado sobre a equação do segundo grau Exercícios Propostos e outras observações Utiliza o termo Fórmula de Bhaskara Tudo é 9º ano Ática Luiz Roberto Dante 3ª edição 2009 Introduz o método de completar os quadrados, sem fazer referências históricas. Trata da proporção áurea. Na seção Ler trata dos textos cuneiformes e cita François Viète e a regra para se encontrar dois números cuja soma e o produto são dados. Traz uma foto do Papiro Rhind Exercícios propostos não remetem a fatos históricos Não Vontade de saber matemática 9º ano FTD Joanir Roberto de Souza 2009 (Livro do professor) Introduz notas históricas sobre álgebra e equação. Cita Diofanto e François Viète. Utiliza o método de completar quadrados. Nota histórica sobre Al-Khoarizmi. Como recurso didático, sugere ao professor a utilização da história; recomenda livros e sites que tratam da História da. Desenvolve um pouco mais sobre a contribuição de Viète e traz uma nota sobre a Summa Arithmetica Luca Pacioli. Há uma nota em que se menciona que, no Brasil, a fórmula resolutiva da equação quadrática também é chamada de Fórmula de Bhaskara. Utiliza o método de completar quadrados em exercícios Não A conquista da José Ruy Faz referência aos babilônios utilizarem a equações do segundo grau para resolverem alguns problemas. Indica que Sim, porém indica que se nomeia 5

6 9º ano Giovanni Júnior 2009 Bhaskara desenvolveu a fórmula resolutiva para a equação quadrática. Cita contribuições de Viète, Al-Khoarizmi. Utiliza o método de completar quadrados. Sem referências históricas nos exercícios propostos também como fórmula resolutiva FTD Para saber 8ª série Saraiva Luiz Cavalcante et al. 2ª edição 2006 Há uma introdução histórica, na qual nomeiam Al-Khoarizmi e atribuem a Bhaskara o mérito de desenvolver um método algébrico para se determinar as raízes de uma equação quadrática. Porém, citam as contribuições de Viète e afirmam que a fórmula derivada do método de Bhaskara só aparece no século XVI. Ao trabalharem com a técnica de completar quadrados, mencionam Al-Khoarizmi e, para o professor, há sugestões de atividades. Sim Tudo é 8º ano Ática Luiz Roberto Dante 1ª edição 2002 (Livro do professor) Abordagem realizada é encontrada no livro do 9º ano da edição de Na seção Para ler, pensar e divertir-se cita François Viète, mesmo texto que é retomado na edição de Entre outras leituras, indica, no final do livro alguns livros, entre eles, História da equação do 2º grau de Oscar Guelli como leitura complementar. Traz Galileu Galilei e o Enigma do som no poço. Menciona Al-Khoarizmi. Aplicação da proporção e retângulo áureos. Há indicação bibliográfica, para o professor, de livros sobre História da Não 8ª série Scipione Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis 1ª edição 5ª reimpressão 1999 Não existe qualquer referência histórica. Os autores apresentam a fórmula resolutiva da equação quadrática e dizem é chamada fórmula de Bhaskara, complementando que essa era uma homenagem que fizeram a ele e sugerem que o aluno pesquise no dicionário quem foi Bhaskara. No apêndice, denominado Dicionário, os autores esclarecem que Bhaskara não descobriu a fórmula que leva o seu nome e que essa solução já era conhecida anteriormente. Sim conceitos e histórias 8ª série Scipione Di Pierro Neto Scipione Apesar do seu título, o livro não traz nenhuma abordagem histórica referente à equação do 2º grau Menciona que a fórmula geral para a resolução das equações quadráticas, também é conhecida como Fórmula de Bhaskara Sim

7 Outro livro analisado foi, 8ª série, de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antônio Machado, publicado em 1982 pela editora Atual. Ele não consta do quadro anterior por não poder ser incluído no rol dos didáticos editados após a publicação dos PCN de. Porém, como foi um livro com grande circulação no Brasil, resolvemos analisá-lo e constatamos que os autores seguem a antiga tradição brasileira de nomear a fórmula resolutiva da equação quadrática como Fórmula de Bhaskara. Como pudemos verificar, mesmo com as recomendações dos PCN de para a utilização da história, os autores, até o ano de 2009, ainda o faziam de maneira pontual e superficial. Apenas para o método de completar os quadrados para se resolver uma equação do segundo grau, alguns autores sugerem atividades para os alunos, ainda que sejam em forma de exercício escrito e não uma proposta de discussão e manipulação de materiais pelos alunos. A terminologia Fórmula de Bhaskara ainda continua circulando nos textos didáticos de. Um ponto positivo é que, com o passar dos anos, os autores vem inserindo mais notas históricas em suas obras e, se os professores souberem aproveitar essas informações, podem realizar trabalhos interessantes e mesmo interdisciplinares com seus alunos. Considerações finais Deixamos aqui sinalizada a importância de autores e editores tenham um olhar mais atento e estejam mais preocupados com os conteúdos históricos presentes nos textos didáticos de se apoiando em bibliografias de autores reconhecidos e acompanhando as novas pesquisas na área. É necessário que essas abordagens não sejam meras curiosidades, mas uma forma de se apresentar o conhecimento e se fazer refletir sobre o mesmo, com propostas que permitam ao professor criar situações problematizadoras que contribuam para aprendizagem dos discentes. Chamamos também a atenção para diversos sites na WEB que não contem informações fidedignas. Na Wikipedia, que é consultada por muitos docentes e discentes, verificamos que, para os verbetes Equação quadrática e Resolução de equações encontramos a terminologia Fórmula de Bhaskara durante o desenvolvimento do texto. Para o primeiro verbete (para o qual o termo fórmula de Bhaskara aparece sete vezes); é citado que, no Brasil, tal fórmula é 7

8 conhecida como "Fórmula de Bhaskara, em referência ao matemático indiano Bhaskara Akaria, que publicou no século XII diversos resultados algébricos, dentre os quais as fórmulas para os diversos casos da equação quadrática. Porém, nada mais é acrescentado a essa informação. Dentre os diversos sites onde se afirma que a fórmula resolutiva para as equações quadráticas é a Fórmula de Bhaskara, mencionamos dois: Brasil Escola, Mundo Educação neste último, ainda há a informação de um Teorema de Bhaskara para se encontrar as raízes de uma equação polinomial de grau dois! Esperamos, com esse artigo, despertar os professores para que avaliem com mais cuidado os livros didáticos, consultem bibliografias de História de e outras fontes confiáveis, não se pautando apenas no livro adotado. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BALESTRI, Rodrigo Dias. A participação da história da matemática na formação inicial de professores de matemática na ótica de professores e pesquisadores f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação ) Universidade Estadual de Londrina, Londrina, BALESTRI, Rodrigo Dias; CYRINO, Márcia Cristina C. Trindade. A História da na Formação Inicial de Professores de. Alexandria - Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.3, n.1, p , maio BARONI, Rosa L. S.; NOBRE, Sergio. A pesquisa em história da matemática e suas relações com a Educação. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.) Pesquisa em Educação : concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática 5 a a 8 a séires. Brasília: MEC/SEF, Disponível em: < Acesso em: 10 jan BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais matemática 1 o e 2 o ciclos. Brasília: MEC/SEF, v.1 D'AMBROSIO, Ubiratan. A História da : questões historiográficas e políticas e reflexos na Educação. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org). Pesquisa em Educação : Concepções & Perspectivas. São Paulo: UNESP, p A interface entre História e : uma visão históricopedagógica Disponível em: < >. Acesso em: 08 dez

9 D'AMBROSIO, Ubiratan. História da e Educação. Cadernos CEDES História e Educação, São Paulo: Papirus, v. 40. p DINNIKOV, Circe Mary S. S. A disciplina história da matemática nos Cursos de formação de professores de no Brasil. ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 6, São Leopoldo, Anais... Sociedade Brasileira de Educação, p LOPES, Jairo de Araújo. Livro didático de : concepção, seleção e possibilidades frente a descritores de análise e tendências em Educação. SEMINÁRIO DE INVESTIGAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9, 2000, Funchal, Portugal. Anais... Funchal, Disponível em < Acesso em 8 maio MENDES, Iran Abreu. Construtivismo e História no ensino de : uma aliança possível. SEMINÁRIO NACIONAL DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, 4, 2001, Natal. Anais... (Editor John Andrew Fossa). Natal, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2001a, p O uso da História no ensino matemática. Belém, PR: EDUEPA, 2001b. MIGUEL, Antonio. Estudos Histórico-pedagógicos temáticos e História-problema. HISTÓRIA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1996, Braga, Portugal. Anais... Braga, v. 2. p MIGUEL, Antonio. BRITO, Arlete J. A história da matemática na formação do professor de matemática. Cadernos CEDES História e Educação, São Paulo: Papirus, v. 40. p NOBRE, Sérgio. Alguns porquês na história da matemática e suas contribuições para a educação matemática. Cadernos CEDES História e Educação, São Paulo: Papirus, v. 40. p História e Educação : tendências para o início do século XXI. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 6, São Leopoldo, Anais... Sociedade Brasileira de Educação, p Introdução à História da História da : das origens ao século XVIII. Revista da Sociedade Brasileira de História da, v.2, n.3, p.3-43, abril/2002. SOUTO, Romélia Mara Alves. O valor didático da História da : um estudo sobre o seu significado entre professores do ensino fundamental. In: ENCONTRO LUSO- BRASILEIRO DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, 2, e SEMINÁRIO NACIONAL DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, 2, Águas de São Pedro, Anais... (Editor: Sérgio Nobre). Rio Claro: Cruzeiro, p

10 ZUIN, Elenice de Souza Lodron. A História da na concepção de alunosprofessores: considerações sobre um estudo inicial. SEMINÁRIO NACIONAL DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, 5, 2003, Rio Claro, SP. Caderno de Resumos... Rio Claro: UNESP/SBHMAT, A História da na concepção de alunos-professores: considerações sobre um estudo inicial. Relatório de Pesquisa, PUC Minas,