18 Bola sete na caçapa do fundo

Transcrição

1 A U A UL LA Boa sete na caçapa do fundo Cansado de uma semana de trabaho bastante puxada, Gaspar resoveu dar uma saidinha e ir até o Bar da Sinuca. Gaspar encontra seus compadres, bebem juntos uma cervejinha e jogam umas partidas de sinuca. Gaspar encontra Maristea, sua veha amiga, com quem sempre joga, mas de quem nunca ganhou. Como sempre, Maristea o convida para um joguinho. Começam então a peeja. Boa vermeha na caçapa do meio, anunciou Gaspar, que jurou vencer a amiga dessa vez. O nervosismo começou a crescer; uma a uma, as boas iam sendo encaçapadas. Os outros amigos de Gaspar e Maristea, percebendo que dessa vez Gaspar tinha chances de vitória, aproximaram-se para ver aquea disputada partida. As apostas começaram por todo o bar. Muitos já conheciam a fama de Maristea e, sem dúvida, apostaram na sua vitória. Outros, vendo Gaspar tão animado, não tiveram dúvida e apostaram nee. O jogo continuou, descontraído na patéia, mas nervoso, entre os jogadores. Maristea percebeu que Gaspar havia treinado muito, pois estava jogando muito mehor. Gaspar percebeu que, reamente, tinha chances de vencer o jogo e começou a se empenhar ao máximo. Depois de muitas boas encaçapadas, o jogo estava chegando ao fina. Nesse momento, até a torcida estava nervosa. Restava somente a boa sete, a preta. O jogo estava empatado e era a vez de Gaspar dar a tacada. Boa sete na caçapa o fundo, gritou Gaspar confiante na vitória, diante de uma Maristea assustada com a possibiidade de, pea primeira vez, perder um jogo para Gaspar. Gaspar se preparou para a tacada fina, pensando consigo: Basta dar uma tacada na direção da caçapa, com muito, muito cuidado, e eu ganho este jogo. Será verdade que basta mirar a caçapa e ter muito, muito cuidado na tacada para encaçapar? O que é necessário fazer para que a boa entre na caçapa? Choques Toda vez que vemos um acidente de trânsito, dizemos que houve uma batida, ou seja, houve um choque entre dois ou mais veícuos. Num jogo de tênis, os jogadores batem com suas raquetes na boa, para rebatê-a; num jogo de boiche, a boa se choca com os pinos, derrubando-os; num jogo de gofe, o jogador dá uma tacada na pequena boinha, arremessando-a para bem onge.

2 I = D q = m vfina - m ϖ v inicia Outro jogo que envove tacada é o beisebo, onde uma boa muito dura é arremessada peo ançador e o rebatedor tenta acertá-a com o taco, a fim de arremessá-a o mais onge possíve. A U L A Figura 1. Em todos esses exempos, existe uma coisa em comum: o choque entre peo menos dois objetos. Como já vimos, impuso é a grandeza que descreve o que ocorre quando uma força é apicada sobre um objeto num intervao de tempo Dt. Logo, essa é uma boa grandeza para compreendermos os exempos acima, incusive o exempo do jogo de sinuca. E qua é a reação entre impuso e choque? Quando duas boas se chocam, eas exercem uma força uma sobre a outra. Isso provoca uma variação do estado de movimento, nas duas boas. Ou seja, quando um impuso é dado a uma boa, uma força é exercida sobre ea, aterando sua veocidade, isto é, aterando sua quantidade de movimento. No caso do choque de duas boas, as duas têm seu estado de movimento aterado, pois, pea terceira ei de Newton, quando um objeto exerce força sobre outro, este também exerce uma força sobre o primeiro. Vamos embrar da reação entre impuso e quantidade de movimento, vista na aua passada: isto é, quando uma boa sofre a ação de uma força, se conhecemos sua massa e sua veocidade, antes e depois do choque, saberemos o vaor do impuso dado a essa boa. Qua será o impuso tota do sistema se, em vez de nos preocuparmos com o comportamento de uma só boa, considerarmos as duas boas? Princípio da conservação da quantidade de movimento Para comparar aguma coisa ao ongo do tempo, é preciso identificar o que mudou e o que não mudou, isto é, o que se transformou e o que se conservou. Quando nos ohamos no espeho e numa fotografia antiga, podemos observar que muita coisa se aterou, mas outras permaneceram constantes, como, por exempo: nossos cabeos começam a ficar brancos, mas nossos ohos continuam da mesma cor. Ao estudar a natureza, também buscamos identificar o que se transforma e o que se conserva, para podermos fazer comparações.

3 A U L A Já vimos um princípio de conservação na Física: o princípio de conserva- ção da energia mecânica, ao qua votaremos, ainda nesta aua. Outro princípio de conservação é o da quantidade de movimento: sob certas condições a quantidade de movimento de um sistema não se atera, ou seja, conserva-se. Podemos verificar isso de modo muito simpes e tavez intuitivo: basta embrarmos da terceira ei de Newton (a ei da ação e reação). Essa ei descreve como se dá a interação entre os corpos. E é justamente isso que se estuda num choque entre dois corpos: como acontece e o que podemos descrever deste choque. Quando duas boas se chocam, sabemos que cada uma exerce força sobre a outra, isto F BA é, ação e reação. Sabemos, também, que ba F AB ab cada uma dessas duas forças, que compõe o par de ação e reação, tem a mesma intensidade, sentidos opostos e que cada uma age em Figura 2 A B só uma das boas. Podemos dizer também que uma dá à outra um impuso, e que o tempo em que uma esteve em contato com a outra foi exatamente o mesmo. Vamos, então, escrever, de forma matemática, o que está mostrado na Figura 3, começando peas forças. Pea terceira ei de Newton, a força que a boa A exerce sobre a boa B ( F AB ) tem a mesma intensidade e o sentido oposto que a força que a boa B faz na boa A ( F BA ), ou seja: F AB = - F BA Essas forças foram apicadas durante o mesmo intervao de tempo, que é o tempo que as boas ficam em contato, assim podemos mutipicar cada uma deas por esse intervao Dt: F AB Dt= - F BA Dt Essa equação está nos dizendo que o impuso que a boa B recebe é igua e de sentido contrário ao impuso que a boa A recebe: ϖ I B =- I A Podemos escrever o impuso como a variação de q ( F Dt= I=D q), isto é, a diferença entre a quantidade de movimento do corpo, antes e depois do choque, isto é: ou seja, Dq B = -Dq B q B depois - q B antes = -( q A depois - q A antes ) q B depois - q B antes = -q A depois + q A antes Passando as quantidades de movimento antes do choque, para o ado esquerdo da equação e as quantidades de movimento depois do choque, para o ado direito da equação, teremos a seguinte equação: q A depois + q B depois = + q A antes + q B antes Isto é, a soma da quantidade de movimento da boa A e da boa B, antes do choque é igua à soma da quantidade de movimento da boa A e da boa B, depois do choque.

4 Antes Depois q pf A depois q pi A antes q bi B antes q bf B depois Figura 3. A soma das quantidades de movimento das duas boas é a mesma antes e depois do choque. A U L A Como q Adepois + q Bdepois = q Aantes + ou seja, q TOTAL f - q TOTAL i q Bantes então q TOTAL antes = q TOTALdepois D q TOTAL Esta útima expressão nos permite afirmar que a quantidade de movi- mento do sistema foi conservada. Passo-a-passo Um perito do Departamento de Trânsito está examinando um acidente entre um pequeno caminhão e um Fusca, que bateram de frente. O motorista do Fusca foi hospitaizado, mas o motorista do caminhão, que saiu sem nenhum arranhão, deu um depoimento. Ee disse que estava a uma veocidade de 36 km/h, quando coidiu com o Fusca. O perito soube por outras testemunhas que, imediatamente depois do choque, tanto o Fusca quanto o caminhão pararam. O perito sabe que a massa do Fusca é de aproximadamente kg e que a massa do caminhão é de kg. Como o perito descobrirá qua era a veocidade do Fusca antes do choque? Esse é um típico caso de investigação de poícia técnica. O perito em acidentes usa a conservação da quantidade de movimento para resover o seu probema. A veocidade do caminhão e do Fusca depois da coisão é zero e a veocidade do caminhão antes do choque era de 36 km/h (v F = 10 m/s). Como o choque se deu numa reta, podemos usar apenas o móduo das quantidades de movimento, ou seja: D q TOTAL q TOTAL depois - q TOTAL antes (q C depois + q F depois ) - (q C antes + q F depois ) q C depois + q F depois = q C antes + q F antes m C v C depois + m F v F depois = m C v C antes + m F v F antes = (-v F antes ) v F antes = v F antes = 30 m s A veocidade do fusca era de 30 m/s (108 km/h), três vezes a veocidade do caminhão. E por que a veocidade do fusca antes do choque é negativa? É preciso embrar que, como a veocidade é uma grandeza vetoria, ea tem móduo, direção e sentido. Como escohemos que a veocidade do caminhão fosse positiva, temos que escoher que a veocidade do Fusca seja negativa, pois os veícuos estavam se movendo em sentidos opostos.

5 A U L A Tentando prever Gaspar estava rodando em vota da mesa, tentando recordar as conversas que ee e Maristea tiveram sobre como usar a conservação da quantidade de movimento e o conceito de impuso, para jogar sinuca. Pediu icença, para espanto de todos, e foi até o banheiro. Então, puxou um caderninho e uma caneta do boso e começou a cacuar. Pensou que, se a boa branca, que estava parada, tivesse uma massa de 200 gramas (0,2 kg) e, se ee desse uma tacada com uma força de 1 newton, num tempo de 0,01 segundo, ee daria um impuso de: I = F Dt = 1 0,01,01 N s o que daria à boa uma veocidade de: I = Dq = q depois - q antes I = m B v depois - m B v antes 0,01,2 v depois - 0,2 0 0,01,2 v depois v depois,5 m/s = 50 cm/s Gaspar concuiu que era uma boa veocidade para a boa branca se chocar com a boa preta. Pensou, ainda, que, depois do choque, essa também seria uma boa veocidade para que a boa preta chegasse até a caçapa, mas ficou preocupado com que veocidade a boa branca ficaria depois do choque. Votou aos cácuos: A boa branca vai bater na boa preta, que está parada e tem a mesma massa e vai adquirir a mesma veocidade da boa branca, isto é 0,5 m/s. Apicando o princípio de conservação da quantidade de movimento no choque das duas boas, teremos que: q Pdepois + q Bdepois = q Pantes + q Bdepois m P v Pdepois + m B v Bdepois = m P v Pantes + m B v Bantes 0,2 0,5 + 0,2 v Bdepois, ,2 0,5 0,1 + 0,2 v Bdepois,1 0,2 v Bdepois v Bdepois Gaspar ficou satisfeito: se a boa branca tiver uma veocidade de 0,05 m/s antes do choque, a boa preta, depois do choque, terá uma veocidade de 0,05 m/s e a boa branca vai ficar parada. Isso era suficiente para garantir que a boa branca não fosse para caçapa com a preta. Tudo cacuado. Gaspar vota à mesa de bihar. Com um ar confiante, pega o taco e novamente se prepara para pôr em prática seus estudos. Todos o ohavam com espanto, ta era sua confiança. Apenas Maristea, com um riso no canto da boca, ohava com tranqüiidade para a cena. Exposão Quando aguém se distrai na cozinha e esquece a panea de pressão no fogo, corre o risco de vê-a se tornar uma bomba. Todos nós sabemos que, quando uma bomba expode, pedaços voam para todos os ados, atingindo quem estiver por perto. De onde vem o movimento dos pedaços, se a panea estava parada?

6 Quando um casa de patinadores está reaizando manobras sobre os patins, treinam uma manobra cássica, onde os dois estão parados e a moça está de costas para o rapaz que, em determinado momento, empurra a moça, como podemos ver na figura 5. Mas só a moça se movimentou? Não. V R = V M V =0 V R V R V MVm Figura 4. Ao impusionar a moça, o rapaz também é impusionado por ea. Como se movimentaram? De acordo com a terceira ei de Newton, quando o rapaz empurra a moça é, ao mesmo tempo, empurrado por ea. Anaisando essa situação, em termos da quantidade de movimento, veremos que a quantidade de movimento tota do sistema (rapaz e moça) no início era zero. Apesar de o rapaz ter uma massa de 90 kg e a moça de apenas 45 kg, a veocidade de ambos era zero. Peo princípio de conservação da quantidade de movimento, a quantidade de movimento no início e no fim devem ser iguais; ou seja, a soma da quanti- dade de movimento dos dois patinadores deve ser sempre zero. q (Rapaz)depois + q (Moça)depois = q (Rapaz)antes + q (Moça)antes A U L A m R v Rdepois + m M v Mdepois = m R v Rantes + m M v Mantes Se o rapaz sair com uma veocidade de 1 m/s, qua deverá ser a veocidade da moça? Como o moça saiu num sentido oposto ao do rapaz, a veocidade dos dois tem sinais diferentes. (Nesse caso, é fundamenta que você use o mesmo critério para as veocidades antes e depois do choque, ou exposão, isto é, se você decidiu que a veocidade que aponta para a direita é positiva, então todos os objetos que vão para a direita têm veocidade positiva, e os que vão para a esquerda têm veocidade negativa; é só uma convenção.) m R v Rdepois - m M v Mdepois = m R 0 + m M 0 Substituindo o vaor das veocidades e das massas conhecidas: v Mdepois v depois = v depois = 2 m/s Ou seja, a força com que cada um empurrou o outro foi a mesma (terceira ei de Newton), porém, como o rapaz tem mais massa que a moça, ee saiu com uma veocidade menor. Condições para que a quantidades de movimento seja conservação Lembre-se de que usamos a terceira ei de Newton para obter o princípio da conservação da quantidade de movimento. Quando usamos a terceira ei, estamos interessados em descrever a interação entre dois corpos, ou seja, a força que cada um faz no outro. No exempo do choque entre as duas boas de bihar, sabemos que, se não houver nenhuma força externa ao movimento das boas, como, por exempo, a força de atrito, só haverá a ação das forças de ação e reação que uma boa faz na outra. Essa é a condição para que a quantidade de movimento de um sistema se conserve.

7 A U L A Outro exempo é o do bate-estaca. Quando o bate-estaca cai de certa atura, tem uma grande quantidade de movimento, sua massa é muito grande, mas a estaca, que se pretende enterrar no soo, também tem uma massa muito grande. Quando o bate-estaca se choca com a estaca, ambos se impusionam, transmitindo quantidade de movimento. Entretanto, a estaca penetra no soo apenas aguns centímetros. Por que a quantidade de movimento que o bate-estaca transferiu para a estaca não se conserva depois do choque? Porque existe uma força externa, e, nesse caso, é o soo que impede que a estaca continue seu trajeto após o choque. Então, a quantidade de movimento só se conserva quando os corpos que estão se chocando não sofrem a ação de forças externas. A tacada fina Gaspar suava de nervoso, estava em tota concentração! Esfregava taco nas mãos suadas para que o taco desizasse sem probemas entre seus dedos. Imaginou o momento de gória quando encaçapasse a boa. Seria carregado peos seus companheiros para comemorar a grande vitória sobre Maristea. Maristea, a essa atura do jogo, já havia se recuperado do susto inicia e esperava o momento decisivo: apenas um erro de Gaspar seria suficiente para que ea virasse a situação. Gaspar, convicto, preparou a tacada. Com medo de bater muito forte na boa, reduziu a força e tocou bem de eve na boa branca, que roou entamente em direção à boa preta. Ao se chocar com a boa preta, a boa branca parou, transferindo-he toda sua quantidade de movimento, como Gaspar havia previsto. A boa preta, com o choque, adquiriu uma quantidade de movimento e seguiu rumo à caçapa. Mas, para espanto gera, parou exatamente na boca da caçapa. Gaspar gritava com raiva. Não acreditava que seus cácuos estivessem errados, estava tudo certinho, pensava ee. Maristea dava puos de aegria, dizendo: Eu sabia que você tinha esquecido de aguma coisa! O que será que Gaspar esqueceu? Rapidamente, Maristea se preparou para jogar e, não teve dúvida, coocou a boa preta no fundo da caçapa ganhando novamente o jogo. Foi aquea gritaria! Quando os ânimos se acamaram, Gaspar perguntou a Maristea do que ee havia se esquecido. A moça, num tom professora, disse: Você se esqueceu de que a mesa de bihar é coberta com fetro (um tipo de tecido), o que gera um pequeno, mas significante, atrito sobre as boas, enquanto eas estão em movimento. Isso significa que haviam forças externas agindo sobre o sistema formado peas duas boas. E continuou: Aposto que você usou o princípio de conservação da quan- tidade de movimento, ou seja, cacuou a veocidade da boa preta, sabendo que a quantidade de movimento da boa branca deveria ser totamente transmitida para a boa preta, o que de fato é verdade. Mas você se esqueceu de evar em consideração que o atrito foi tirando uma parte da quantidade de movimento da boa branca antes do choque e, também da boa preta, depois do choque. Maristea concuiu dizendo: É Gaspar, quem sabe você ganha na próxima! Conservação da energia e da quantidade de movimento Num choque, existem sempre forças envovidas. Essas forças podem ser suficientes para amassar, deformar ou mesmo quebrar os corpos que se chocam. É difíci observar a deformação que uma boa de futebo sofre com o chute do jogador, pois o tempo de contato entre o pé do jogador e a boa é muito pequeno.

8 Quando dois carros se chocam, podemos ver caramente a deformação sofrida por ees. Existem então dois tipos de choque: num dees, os corpos não ficam deformados depois do choque (boas de bihar) e, no outro, ficam deformados depois do choque (coisão dos carros). A deformação dos corpos está associada à transformação de energia cinética em energia potencia eástica. Se, depois do choque, os corpos recuperam sua forma, dizemos que a energia mecânica é conservada, isto é, a energia cinética se transforma, durante o choque, em energia potencia eástica; e, após o choque, toda energia cinética é restituída. Mas se ees se deformam de forma irreversíve, dizemos que a Figura 5. No momento da batida, a boa sofre uma grande deformação. energia mecânica não se conserva, pois parte dea foi usada para deformar o corpo! Separamos então os choques em dois tipos, os eásticos e os ineásticos. Os choques eásticos conservam a quantidade de movimento e a energia mecânica. Os choques ineásticos: conservam a quantidade de movimento e não conservam a energia mecânica. Observe que a quantidade de movimento sempre se conserva, a não ser que exista aguma força externa ao sistema. A U L A Passo-a-passo Duas boas de bihar, uma branca e uma preta estão sobre uma superfície isa, sem atrito. As duas têm massas iguais a 0,2 kg (ou 200 gramas). A boa preta está iniciamente parada e a branca tem veocidade de 1,0 m/s. Eas se chocam, e não se deformam. Como podemos cacuar a veocidade das duas boas após o choque? Como não há atrito, não existem forças externas, de modo que a quantidade de movimento se conserva. Portanto, q pf q bi temos: Figura 6 m P v Pdepois + m B v Bdepois = m P v Pantes + m B v Bantes Como as boas não sofrem deformações irreversíveis, ou seja, trata-se de um choque do tipo eástico, podemos afirmar que a energia mecânica também se conserva: 1 2 m P v Pdepois m B v Bdepois 2 = 1 2 m P v Pantes m B v Bantes 2 Podemos ver na expressão da conservação da energia, que só aparecem as energias cinéticas de cada boa antes do choque e depois do choque, pois, como todas estão em cima da mesa de bihar, a atura das boas, antes e depois do choque, é a mesma, ou seja, podemos considerar a atura da mesa como zero, desaparecendo assim a energia potencia gravitaciona.

9 A U L A Nesta aua você viu: o conceito de choque entre dois corpos e sua reação com o conceito de impuso; que introduzimos a conservação da quantidade de movimento, usando o conceito de impuso e a terceira ei de Newton; que podemos usar a conservação da quantidade de movimento para anaisar exposões, ou separações de corpos; quais são os imites para o uso da a conservação da quantidade de movimento; que definimos dois tipos de choque, os eásticos e os ineásticos; e discutimos sobre a conservação da quantidade de movimento e a conservação da energia mecânica, em cada um dees. Exercício 1 Quando um atirador dá um tiro, ee é ançado para trás, devido ao coice da espingarda. Sabendo que a baa da espingarda sai com uma veocidade aproximada de 200 m/s, que sua massa é de 10 g e que a massa da espingarda é de 2 kg, determine a veocidade com que a espingarda é ançada para trás. Exercício 2 Um homem pescava num ago muito tranqüio, dentro de uma canoa. Ee estava na extremidade direita da canoa, preparando seu anzo e, quando foi pegar a isca, percebeu que esta tinha ficado na extremidade esquerda da canoa. Ee se evantou e começou a caminhar até á. Seu fiho, que estava na margem do ago, viu o pai com uma veocidade de 0,5 m/s. Supondo que a massa do pescador seja de 60 kg e que a massa da canoa é de 90 kg, cacue a veocidade da canoa enquanto o pescador está se desocando de um ado para o outro (considere o atrito desprezíve). Exercício 3 Quando um foguete está no espaço, não há nenhuma superfície na qua ee possa se apoiar para dar impuso. A forma de se resover esse probema é usar o motor do foguete, para queimar combustíve e expeir a chama a ata veocidade, de modo que, pea conservação da quantidade de movimento, o foguete adquira uma veocidade e possa se ocomover. Supondo que o foguete tem uma massa de 5 toneadas e que ee arremesse 500 kg de combustíve a uma veocidade de 360 km/h (100 m/s), cacue a veocidade que o foguete vai adquirir depois dessa exposão.