SÉRIE DE FOURIER E APLICAÇÃO

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1 SÉRIE DE FOURIER E APLICAÇÃO Junior J. Reginatto 1 Lucia Menoncini 2 Resumo: A Série de Fourier possui um vasto campo de aplicações em diferentes áreas do conhecimento, como nas Engenharias, na Física e na Matemática. Além dessa importância na área científica clássica, a Série de Fourier também auxiliou no desenvolvimento da música. Matematicamente podemos manipular uma nota musical através do desenvolvimento de uma Série de Fourier. Assim, este estudo abrange uma aplicação da Serie de Fourier envolvendo ondas sonoras e, aproveitando a similaridade com o tema, também aborda a relação Música e Matemática, uma vez que a música pode ser vista como uma série de fenômenos ondulatórios. Os conceitos que embasam o estudo estão compilados a partir do estudo teórico. Através destes propomos uma aplicação prática: captar uma onda sonora de um instrumento musical e realizar seu desenvolvimento em Série de Fourier, encontrando assim a análise e síntese do som emitido. A partir desta experiência e embasados pelo conhecimento teórico, pelas relações matemáticas que regem o comportamento da escala musical contemporânea e pelas características físicas das ondas sonoras, foi proposta uma alteração na construção da Viola Brasileira (Viola Caipira), instrumento acústico tipicamente brasileiro, visando melhorar o desempenho sonoro deste. O som capturado para o estudo e desenvolvimento da situação prática (Aplicação) da Série de Fourier também foi extraído a partir da excitação de uma corda da Viola Brasileira e os resultados confirmaram a aplicabilidade da Série de Fourier na análise e síntese do som. O trabalho propiciou ao autor desenvolver uma nova proposta na construção de instrumentos musicais com caixa acústica, baseado nos resultados obtidos matematicamente. Palavras-chave: Ondas sonoras. Matemática. Música. 1. Introdução Atualmente, diante da competitividade entre as empresas, está se tornando cada vez mais comum o uso da modelagem matemática para aperfeiçoar processos e resolver problemas. A empresa ou administrador que ignora essa realidade pode acabar não sendo competitivo ou ter dificuldades no mercado. A matemática tem este papel de aperfeiçoar processos desde os primeiros tempos. Apesar de muitas vezes o estudo matemático aparecer descaracterizado, a matemática surgiu e desenvolveu-se para solucionar problemas. É com este intuito que nos dedicamos aqui ao estudo da Série de Fourier. No entanto, o que é uma Série de Fourier? Qual é a sua importância? Basicamente, a Série de Fourier é uma expressão matemática para descrever fenômenos ondulatórios. Trata-se de um assunto fascinante que passou despercebido por grandes matemáticos, até que Jean Baptiste Joseph Fourier 1 Graduado em Matemática Licenciatura Plena pela Universidade Comunitária da Região de Chapecó UNOCHAPECÓ - [email protected] 2 Professora Mestre da ACEA/UNOCHAPECÓ [email protected]

2 ( ), com sua astúcia, conseguisse descrever uma função mais ou menos complicada em uma forma simples de visualizar e manipular. Também podemos destacar que a Série de Fourier vai além do que outras séries ou métodos são capazes. Figueredo (1977, p. 1) responde a pergunta do por que estudar Séries de Fourier da seguinte maneira: [...] Estudaremos o problema da condução do calor numa barra. Na tentativa de resolvê-lo, usaremos a matemática que aprendemos nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral e de Equações diferenciais, e chegaremos à conclusão que ela é insuficiente [...] a resolução desse problema requer algo a mais, e esse algo a mais é a série de Fourier. Segundo o site Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que essa propagação devesse se dar por ondas de calor. No entanto, a dimensão do resultado encontrado por Fourier em sua Série vai muito além disso. A demonstração da solução desse problema físico delimitou novas fronteiras na matemática e, como se isso já não fosse o bastante, ajudou a responder outras questões físicas envolvendo ondas. Entre outras curiosidades, de acordo com Abdounur (2006, p. 267), a Série de Fourier respondeu com firmeza uma dúvida levantada por Pitágoras no século VI a.c, a respeito do estudo feito por este famoso matemático que envolvia a relação entre música e matemática. Dessa forma, como podemos observar, a descoberta feita por Fourier é de grande relevância para o nosso dia-a-dia. Seja para aplicar o conhecimento para a resolução de um problema ou para aguçar ou despertar o interesse e a curiosidade neste ramo da matemática. O estudo da Série de Fourier, por si só já é envolvente. No entanto, buscamos aproximar a Matemática envolvida com um tema interessante e cativante para muitos, que é a Música, respondendo questões como: Como fazer uma aplicação da Série de Fourier envolvendo ondas sonoras? Quais as relações matemáticas que regem a frequência das notas musicais? Se olharmos a música matematicamente, veremos uma série de fenômenos ondulatórios e uma dança de logaritmos. Música é essencialmente Matemática! Assim, o objetivo que orientou nosso estudo foi aplicar a série de Fourier a uma onda sonora. Fazendo isso, buscamos sempre explicitar as relações existentes entre música e matemática.

3 2. Materiais e Métodos Para desenvolver este estudo, utilizamos a seguinte metodologia: realizamos uma pesquisa de cunho bibliográfica acerca da teoria abarcada na Série de Fourier, bem como no aprendizado dos conceitos musicais. Partindo deste estudo bibliográfico propomos uma aplicação da Série de Fourier colhendo uma onda sonora de um instrumento musical tipicamente brasileiro, conhecido como Viola Caipira ou, também, Viola Brasileira. Por fim, aproveitando o conhecimento teórico adquirido e conhecendo a estrutura do instrumento em estudo propomos pequenas alterações neste, tendo como pilar de sustentação da proposta as relações entre Música e Matemática. 3. Resultados e discussão Podemos constatar inúmeros avanços que foram alcançados na matemática e, graças a eles, podemos continuar pesquisando e avançando em relação ao já descoberto. Assim, buscamos contribuir para esse avanço contínuo. Tanto no avanço pessoal como social, pois entendemos que um trabalho científico sempre deve propor algo novo Som, ondas e números Com objetivo de utilizar a Série de Fourier para modelar e resolver uma situação que envolva ondas sonoras, o estudo torna-se bastante amplo. O conhecimento matemático para o desenvolvimento de uma Série de Fourier exige uma bagagem que contemple diversos assuntos da própria matemática, como: sequências numéricas, séries numéricas, séries de potência, polinômio de Taylor e integrais trigonométricas. No entanto, quando falamos em ondas sonoras, necessitamos compreender também os fenômenos físicos que envolvem esse assunto. Vejamos a seguir algumas características desses fenômenos Características do som

4 As compressões e expansões produzidas por um elemento vibratório formam camadas de ar na atmosfera que são transmitidas através de ondas (tratamento físico dado ao som). É a esse fenômeno que denominamos onda sonora. Ariquitas de Tarento ( a.c) já definira o som como sendo o resultado de pulsações de ar (MENEZES, p. 45). Conforme Souza (2009) basicamente são três parâmetros que definem um som: a sua altura, ou seja, a frequência (número de vibrações produzidas por segundo), a sua intensidade e o timbre, característica esta que dá identidade a um instrumento, que permite sabermos qual instrumento está emitindo um som. O Timbre pode ser descrito como a impressão digital do instrumento. Outra característica importante de uma onda é que ela transporta energia sem transportar matéria e o som tem uma velocidade de cerca de 330 a 360 metros por segundo no ar (depende da temperatura e da umidade do ar). Em geral, o som se propaga obedecendo a seguinte equação: onde representa a temperatura em graus Celsius. O módulo da velocidade de propagação de uma onda é. Onde representa comprimento de onda e representa a frequência. Imprimindo um impulso inicial à corda, por exemplo, é desencadeado um movimento oscilatório que gera uma amplitude máxima e uma amplitude mínima, chegando a posição de repouso. Em outras palavras, podemos dizer que o movimento oscilatório da corda repete-se durante um determinado tempo, até ser totalmente amortecido devido ao atrito com o ar. No entanto, para efeitos de análise, admitimos que este efeito de amortecimento não se manifesta, ou seja, admitimos que o movimento oscilatório se repete indefinidamente mantendo as amplitudes máximas e mínimas ao longo do tempo. Quando uma corda é excitada, por exemplo, ocorre um movimento oscilatório principal ao longo de toda a corda, e movimentos secundários, chamados de harmônicos. A Figura 1 exemplifica o que estamos falando.

5 Figura 1: Soma de harmônicos. Fonte: Elaborado pelo autor. Podemos destacar que foi analisando as propriedades dos sons harmônicos que, intuitivamente, o homem começou a perceber as relações entre a Matemática e a Música, conforme veremos adiante. Existem ainda outros fenômenos ondulatórios importantes, são eles: reflexão - quando uma onda reflete após bater em material reflexivo volta a direção de onde veio, devido à batida em material reflexivo; refração - mudança da direção das ondas, devido a entrada em outro meio; difração - quando uma onda é distorcida ao atravessar uma fenda ou ultrapassar um obstáculo, por exemplo. Pode ser entendida, também, como a capacidade da onda de passar por obstáculos. A altura do som (se grave ou agudo) está relacionada com a frequência deste som. Sendo que quanto maior a frequência mais agudo é o som. Verifica-se, também, que quanto maior a frequência menor será o comprimento de onda, ou seja, freqüência e comprimento de onda são grandezas inversamente proporcionais. Conforme a fómula nos permite visualizar Série de Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier chegou até suas séries trigonométricas quando em por volta de 1807 estudava a propagação de calor em corpos sólidos. No entanto, somente em 1822 ele publicou sua Théorie analytique de la chaleur, que significa Teoria Analítica do Calor. Desenvolvendo seu estudo, Fourier obteve um resultado que passou despercebido por gênios de sua época como Bernoulli e Euler. Apesar de carente no rigor formal, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente.

6 Vejamos um exemplo de função que pode ser descrita como uma Série de Fourier: (esta função também é conhecida como onda quadrada). Figura 2: Onda Quadrada. Fonte: Elaborado pelo autor A Série de Fourier encontrada a partir desta função é: A Figura 3, criada usando o software Maple, representa a expansão da Série de Fourier da expressão (1) para os primeiros 5 termos: Figura 3: Série para os primeiros 5 termos. Fonte: Elaborado pelo autor Percebe-se da Figura 3 que a aproximação aumenta conforme aumenta número de termos da Série. Assim, através do que a Série de Fourier nos permite, podemos decompor uma onda sonora complexa isolando seus harmônicos ou sons fundamentais Análise e síntese do som A onda escolhida para análise foi extraída a partir da execução da nota Mi na Viola Caipira. Fizemos a análise de somente uma corda. Porém, essa corda foi

7 cuidadosamente escolhida, pois essa frequência é a mesma para 3 cordas do instrumento, ou seja, 30% do som emitido pela viola. Através de um programa de computador, Sony Sound Forge 9.0, sintetizamos a onda sonora de forma linear para podermos visualizá-la. A Figura 4 mostra o espectro obtido com a captação do som. Figura 4: Onda Mi Note que a onda tem uma forma bastante complexa. Assim a dedução da função que gera essa onda torna-se muito difícil. Dessa maneira, sendo nosso trabalho apenas propositivo, isolamos o primeiro, segundo e terceiro harmônicos da onda através da técnica dos harmônicos, obtendo a onda explícita na Figura 5. Figura 5: Onda Mi - 3 harmônico. Assim, utilizando o software Maple, conseguimos aproximar a onda através do Polinômio:. A Série de Fourier encontrada a partir do polinômio é: A Figura 6 representa a Série de Fourier do polinômio. (linha mais espessa) e o gráfico

8 Figura 6: Interpolação. Analisando a Figura 6, que representa a Série de Fourier, inferimos que ela descreve com precisão satisfatória, a onda captada do instrumento Matemática e música Vamos iniciar esta subseção com uma citação que busca retratar o poder mágico que a música pode exercer sobre a vida: O poder conquistador suprahumano da música já se expressa na mitologia grega em Orfeu, cujo canto acompanhado de lira sustava rios, amansava feras e movia pedras (ABDOUNUR, 2006, p. 3). O poder da música esconde um emaranhado de conhecimentos matemáticos. Neste sentido, a matemática surge no campo da música para solucionar e desvendar alguns destes emaranhados, como o problema da consonância - uma harmonia de sons - e dissonâncias - oposto de consonância. Porém, em diversos povos a organização das escalas musicais e a relação da música com a matemática se deram de maneira diferente, embora contivessem aspectos comuns. A civilização grega foi a mais bem sucedida nesse processo. Através dos Pitagóricos e um instrumento chamado monocórdio, também desenvolvido por eles, os gregos conseguiram uma simbiose entre sons e aritmética. Descobriram que do comprimento de uma corda resultava no mesmo som uma oitava acima. Também descobriram que os intervalos de e geravam consonâncias. Dividiram, então, a escala através de intervalos de, que após 12 divisões resultava novamente a nota fundamental quase uma oitava acima. Construindo a escala pelo percurso descrito temos: e, finalmente, novamente. Matematicamente, N. O que impede a divisão natural, através de intervalos de quinta, de formar um ciclo perfeito. Mesmo assim, a escala

9 com intervalos acusticamente perfeitos definida por Pitágoras foi usada durante séculos, até pouco depois da Idade Média, quando Andreas Werkmeister, usando logaritmos, distribui o valor da diferença (aproximadamente 1,013643) ao longo das 12 notas. Matematicamente, Werkmeister sabia que a relação matemática entre uma oitava e outra era de 1 para 2. Dessa forma, ele tomou o comprimento inteiro e dividiu-o exponencialmente em doze partes, baseado na raiz duodécima de 2 (ou seja ). A escala, então, deixou de ser expressa de maneira aritmética e passou a ser logarítmica. Graças a isso podemos deduzir qualquer freqüência a partir de uma freqüência inicial. Se = freqüência final; = freqüência inicial; e = número de semitons, então temos a fórmula:. A partir dessa fórmula o fim de uma oitava passava a coincidir com o início da outra e assim os compositores estavam livres para passear de uma escala outra sem perder afinação Caixa de ressonância Basicamente a função da caixa de ressonância é amplificar o som emitido. A partir da vibração das cordas, o tampo da caixa de ressonância gera vibrações maiores. Essas vibrações são refletidas no interior da caixa até que elas passem pela abertura (também chamada de boca) da caixa de ressonância. No entanto, conforme comentamos, as ondas sonoras possuem algumas características. Uma delas é sofrer difração ao passarem por uma fenda. Vale destacar que a onda só sofre difração se o comprimento de onda for da mesma grandeza da fenda. A partir dessas constatações, nos propomos a encontrar uma abertura para a caixa de ressonância que consiga difratar todas as ondas emitidas pela viola caipira, a fim de produzir um som mais encorpado e abrangente.

10 A fórmula que relaciona comprimento de onda com frequência é, conforme vimos. Isolando alfa e substituindo pela fórmula que rege as frequências das notas musicais chegamos em:, Sabendo que a maior e a menor frequência obtida na viola afinada em Mi é 387,8 e 123,5 Hz, respectivamente, obtemos os comprimentos adequados ao instrumento. No entanto, ainda é necessário dividir o número encontrado por um múltiplo, contemplando as ondas harmônicas, e deixando as medidas em números praticáveis para construção do instrumento. Através do estudo feito obtemos a seguinte função:. Essa função transcrita em coordenadas polares gera um gráfico em espiral que se aproxima do centro. A figura abaixo foi elaborada com auxílio do software Winplot a partir da função obtida. Figura 7: Boca espiral. Fonte: Elaborado pelo autor Entendemos que o gráfico proposto abrange todos os comprimentos de onda do espectro sonoro da viola caipira brasileira.

11 4. Considerações O desenvolvimento deste estudo possibilitou, além de conhecimentos teóricos no campo da matemática e da música, a junção entre teoria e prática. Também mostrou que a matemática possui aplicações em diferentes áreas do conhecimento, inclusive em áreas que muitas vezes não se imagina estar presente, como é o caso da música. A música contempla um vasto e rico poderio matemático escondido em suas entranhas. Com isto, percebemos que o caminho científico até chegar à musica necessita um suporte matemático amplo, especialmente no que diz respeito a Série de Fourier. Através da relação música e matemática e observando as características físicas das ondas sonoras, identificamos uma maneira de melhorar o desempenho sonoro da caixa de ressonância da viola caipira. Dessa forma propomos um novo desenho para a abertura da caixa de ressonância de instrumentos acústicos. Ou seja, mais uma vez a matemática mostrou-se uma aliada no desenvolvimento da música. Então, toda vez que escutarmos ou cantarmos uma música, saberemos que, além do fascinante poder envolvente que ela proporciona, estamos, mesmo que indiretamente, estudando e contemplando a Matemática. 5. Referências ABDOUNUR, Oscar João. Matemática e Música: o pensamento analógico na construção de significados. 4. ed. São Paulo: Escrituras, ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, ARAÚJO, Alceu Maynard de. História da Viola Caipira [200-]. Transcrito da Revista Sertaneja Disponível em: Acesso em: 25 jun

12 As séries de Fourier: Como representar qualquer função matemática Universidade Federal do Ceára - Disponível em: Acesso em: 22 jan AVILA, Geraldo. As Séries Infinias. REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA - 3O. SBM. São Paulo EDWARDS JÚNIOR, C. H; PENNEY, David E. Equações Diferenciais e lementares: com Problemas de Contorno. 3. ed. Rio de Janeiro: PHB,1995. ESCOLA SECUNDÁRIA GARCIA DE ORTA. Matemática e a Música- [200-]. Disponível em: tica musica/index. htm. Acesso em: 05 jun FIGUEREDO, Djairo Guedes de. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, MATOS, Marivaldo P. Séries e Equações Diferenciais. São Paulo: Makron, MENEZES, Flo. Música Maximalista: ensaios sobre a música especulativa e radical. 1.ed. São Paulo: Unesp, NETTO, Luiz. Características do Som. Disponível em: /fourier.htm. Acesso em: mai PERIÓDICO In: Wikipédia, Série de Fourier. Disponível em: /wiki/ SC3A9riedeFourier. Acesso em: 09 nov RATTON, Miguel. Música e Matemática: A relação harmoniosa entre sons e números Disponível em: cos/matematic a/musi cama tematica.htm. Acesso em: 03 abr Série de Fourier. Disponível em: fourier5.htm. Acesso em: 10 nov SOUZA, Carlos Alexandre Wuensche de. Instrumentos musicais e suas características físicas. INPE Disponível em: alex/ FisicadaMusica/fismusinstrumentos.htm. Acesso em: 22 abr