Análise e Complexidade de Algoritmos

Transcrição

1 Análise e Complexidade de Algoritmos Professor Ariel da Silva Dias Insertion Sort

2 Introdução Existem modos diferentes para realizar uma ordenação e, nas próximas aulas, continuaremos estudando cada uma delas O segundo algoritmo que estudaremos é o

3 Imagine o seguinte caso: você está jogando baralho e as cartas estão ordenadas

4 Imagine o seguinte caso: você está jogando baralho e as cartas estão ordenadas Você recebe uma nova carta e você deve coloca-la na posição correta, de forma que as cartas continuem ordenadas A nova carta pode ser menor que alguma das cartas que você está segurando

5 Sua ação para inseri-la ao meio de suas cartas: Você examina as cartas que já possui, comparando a nova carta com todas que estão em sua mão, até encontrar uma posição para coloca-la

6 Sua ação para inseri-la ao meio de suas cartas: Você examina as cartas que já possui, comparando a nova carta com todas que estão em sua mão, até encontrar uma posição para coloca-la

7 Sua ação para inseri-la ao meio de suas cartas: Você examina as cartas que já possui, comparando a nova carta com todas que estão em sua mão, até encontrar uma posição para coloca-la

8 Você insere a nova carta na posição correta e, novamente, sua mão é composta por cartas totalmente ordenadas E quando você receber outra carta você repetirá o mesmo procedimento...

9 Este é o funcionamento do algoritmo Percorre o array começando com índice 1 Cada nova posição é como a nova carta que você recebeu Você pode inseri-la no lugar correto no subarray, ordenando à esquerda daquela posição

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11 Inspeciona a carta do índice 1 e armazena em um local temporário

12 Move a carta para a direita para abrir espaço à carta armazenada

13 Coloca a carta armazenada no local final correto

14 Coloca a carta armazenada no local final correto

15 Inspeciona a carta no índice

16 Como esta carta é menor que as demais, armazena ela em um local temporário e desloca as cartas da esquerda para a direita

17 Coloca a carta armazenada no local final correto

18 Inspeciona a carta no índice

19 Como esta carta é menor que as demais, armazena ela em um local temporário e desloca as cartas da esquerda para a direita

20 Como esta carta é menor que as demais, armazena ela em um local temporário e desloca as cartas da esquerda para a direita

21 Coloca a carta armazenada no local final correto

22 Coloca a carta armazenada no local final correto

23 Inspeciona a carta no índice

24 Move as cartas a direita para abrir espaço correto para a carta armazenada

25 Move as cartas a direita para abrir espaço correto para a carta armazenada

26 Coloca a carta armazenada no local final correto

27 Coloca a carta armazenada no local final correto

28 Imagine que o array do índice 0 ao 5 já está ordenado, e queremos inserir um novo elemento neste array, de forma que ele fique ordenado Para isso, temos que comparar o elemento do índice 5 (número 52) com todos os elementos a esquerda, indo da direita para a esquerda

29 Vamos a partir de agora chamar o elemento na posição 5 de chave Sempre que descobrirmos que a chave é menor que um elemento à sua esquerda, descolamos esse elemento para a posição a direita, uma vez que a chave deve ficar a esquerda deste elemento Precisamos fazer 2 coisas: precisamos de uma operação de deslocamento que mova um elemento uma posição para a direita; precisamos salvar o valor da chave em uma posição separada, evitando que ela seja sobrescrita

30 No nosso exemplo, vamos armazenar o valor do índice 5 em uma variável chamada key KEY

31 Vamos agora comparar key com o elemento no índice 4 key é menor que o valor do elemento no índice 4 então vamos deslocar este elemento para a direita note que esta operação simplesmente copia o valor do índice 4 para o índice 5 (uma posição para a direita) KEY

32 Vamos agora comparar key com o elemento no índice 4 key é menor que o valor do elemento no índice 4 então vamos deslocar este elemento para a direita note que esta operação simplesmente copia o valor do índice 4 para o índice 5 (uma posição para a direita) KEY

33 Vamos agora comparar key com o elemento no índice 3 key é menor que o valor do elemento no índice 3 então vamos deslocar este elemento para a direita note que esta operação simplesmente copia o valor do índice 4 para o índice 5 (uma posição para a direita) KEY

34 Vamos agora comparar key com o elemento no índice 3 key é menor que o valor do elemento no índice 3 então vamos deslocar este elemento para a direita note que esta operação simplesmente copia o valor do índice 3 para o índice 4 (uma posição para a direita) KEY

35 Vamos agora comparar key com o elemento no índice 2 key é menor que o valor do elemento no índice 2 então vamos deslocar este elemento para a direita note que esta operação simplesmente copia o valor do índice 2 para o índice 3 (uma posição para a direita) KEY

36 Vamos agora comparar key com o elemento no índice 2 key é menor que o valor do elemento no índice 2 então vamos deslocar este elemento para a direita note que esta operação simplesmente copia o valor do índice 2 para o índice 3 (uma posição para a direita) KEY

37 Vamos agora comparar key com o elemento no índice 1 key é menor que o valor do elemento no índice 1 então vamos deslocar este elemento para a direita note que esta operação simplesmente copia o valor do índice 1 para o índice 2 (uma posição para a direita) KEY

38 Vamos agora comparar key com o elemento no índice 1 key é menor que o valor do elemento no índice 1 então vamos deslocar este elemento para a direita note que esta operação simplesmente copia o valor do índice 1 para o índice 2 (uma posição para a direita) KEY

39 Vamos agora comparar key com o elemento no índice 0 key é maior que o valor do elemento no índice 0 agora não teremos deslocamento agora vamos colocar o valor de key imediatamente na posição a direita deste elemento KEY

40 Vamos agora comparar key com o elemento no índice 0 key é maior que o valor do elemento no índice 0 agora não teremos deslocamento agora vamos colocar o valor de key imediatamente na posição a direita deste elemento KEY

41 O resultado agora é um array ordenado

42 Quando a chave sendo inserida for menor que todos os elementos à sua esquerda todos os elementos no array à esquerda da chave se deslocam uma posição para a direita devemos parar quando chegarmos à extremidade esquerda do array

43 Quando a chave é maior ou igual a todos os elementos à sua esquerda na primeira comparação já descobrimos que a chave está na sua posição correta em relação a todos os elementos à sua esquerda nenhum elemento é deslocado e a chave retorna à posição que começou

44 - pseudocódigo para i até 4 faça inicio chave vetor[i] j i 1 enquanto(j >= 0 E vetor[j] > chave) inicio vetor[j+1] x[j] j j-1 fim vetor[j+1] chave fim

45 L Código Custo Vezes 1 para i até 4 faça C1 n 2 inicio chave vetor[i] C2 n-1 4 j i 1 C3 n-1 5 enquanto(j >= 0 E vetor[j] > chave) C4 n tj j=2 6 inicio 0 7 vetor[j+1] x[j] C5 8 j j-1 C6 n tj 1 j=2 n tj 1 9 fim vetor[j+1] chave C7 n-1 11 fim j=2

46 Análise da Complexidade Como vimos com no Bubble Sort, o tempo de execução do algoritmo é a soma dos tempos de execução para cada instrução executada; Uma instrução que demanda ci passos para ser executada e é executada n vezes, contribuirá com ci.n para o tempo de execução total; No teremos o melhor e pior caso, calcularemos primeiro o melhor caso, ou seja, quando o vetor estiver 100% ordenado

47 Análise da Complexidade (Melhor Caso) T n = c1 n + c2 n 1 + c3 n 1 + c7 (n 1) T n = c1 n + c2 n c2 + c3 n c3 + c7 n c3 T n = c1 + c2 + c3 + c7 n c2 + c3 + c7 T n = an b Podemos dizer que, no melhor caso, a função custo de complexidade do algoritmo é f(n)=an-b, ou O(n)

48 Análise da Complexidade Se o vetor estiver ordenado de forma decrescente, teremos o pior caso Devemos comparar cada elemento do vetor, com cada elemento do subvetor ordenado inteiro A seguir é apresentado o cálculo da complexidade

49 Análise da Complexidade (Pior Caso) T n = c1 n + c2 n 1 + c3 n 1 + c7 n 1 + c4 n n c7 n 1 = T n = c1 n + c2 n c2 + c3 n c3 + c7 n c3 + c4 n2 n T n = c4+c5+c6 2 n 2 + c1+c2+c3+c7+c4+c5+c6 2 n n 1 n (c2 + c3 + c4 + c5 + c6)= c5 1 + c5 n2 n 2 n n c6 + c6 n2 n 2 = T n = an 2 + bn + c Podemos dizer que, no pior caso, a função custo de complexidade do algoritmo é f(n)=an²+bn-c, ou O(n²)