Algoritmos de Ordena??o e Busca

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1 Algoritmos de Ordena??o e Busca September 6, 2018 In [2]: from IPython.display import HTML from IPython.display import Image 1 Algoritmos de Ordenação e Busca Nessa aula termos uma introdução aos algoritmos de ordenação Bubble Sort e a analise de complexidade desse algortimo. No vídeo a seguir é apresentado a visão geral dos principais algoritmos de ordenação: In [3]: HTML('<iframe width="560" height="315" src=" f Out[3]: <IPython.core.display.HTML object> 1.1 Algoritmo de Ordenação Por Troca (Bubble Sort) 1. São efetuadas comparações entre os dados armazenados num vetor de tamanho n. 2. Cada elemento da posição i é comparado como o elemento da posição i+1 3. Quando a ordenação procurada é encontrada, uma troca de posição entreo os elementos é feita. In [3]: HTML('<iframe width="560" height="315" src=" f Out[3]: <IPython.core.display.HTML object> In [4]: Image(filename='./imagens/bubbleSort01.png') Out[4]: 1

2 In [5]: Image(filename='./imagens/bubbleSort02.png') Out[5]: 2

3 In [6]: Image(filename='./imagens/bubbleSort03.png') Out[6]: 3

4 In [7]: Image(filename='./imagens/bubbleSort04.png') Out[7]: 4

5 In [8]: Image(filename='./imagens/bubbleSort05.png') Out[8]: 5

6 1.2 Implementação do Bubble Sort em Python Primeira Versão: In [4]: n = int(input("entre com o número de elementos de X: ")) #Criando a lista de 5 elementos a partir da entrada do usuário X = [int(input("digite o {0}{1}: ".format(i+1, chr(176)))) for i in range(n)] print("o vetor de entrada é: ") print(x) #Ordenação de forma crescente, a partir do número de elementos em X #Laço com a quantidade de elementos do vetor for k in range(1, n+1): #Laço que percorre da primeiira à penultima posição do vetor for i in range(0, n-1): if(x[i] > X[i+1]): X[i], X[i+1] = X[i+1], X[i] 6

7 print("o vetor ordenado é: ") print(x) Entre com o número de elementos de X: 5 Digite o 1ř: 3 Digite o 2ř: 8 Digite o 3ř: 9 Digite o 4ř: 5 Digite o 5ř: 7 O vetor de entrada é: [3, 8, 9, 5, 7] O vetor ordenado é: [3, 5, 7, 8, 9] Análise de Complexidade do Algorítmo O trecho importante para a anállise de complexidade do algorítmo é o que relaiza a comparação for k in range(1, n+1): for i in range(0, n-1): if(x[i] > X[i+1]): X[i], X[i+1] = X[i+1], X[i] Quantas vezes o laço interno será executado, se a entrada for n=5? Veja que temos n (n 1) = n 2 n c 2, com c = 1, n 1, logo, a complexidade do algoritmo é O(n 2 ). 1.3 Versão Melhorada 1 do Bubble Sort 1. Cada elemento de posição i será comparada com o de posiçãoi i-1 2. Quando a ordenação procurada é encontrada, uma troca de posição de elementos é feita 3. Precisamos de um laço com a quantidade de elementos do vetor menos um 4. Dentro desse laço, um outro vetor percorre da última posição à posição j, fazendo com que as posições já ordenadas não sejam mais percorridas. In [20]: Image(filename='./imagens/bubbleSort_v01_01.png') Out[20]: 7

8 In [21]: Image(filename='./imagens/bubbleSort_v01_02.png') Out[21]: 8

9 In [22]: Image(filename='./imagens/bubbleSort_v01_03.png') Out[22]: 9

10 In [23]: Image(filename='./imagens/bubbleSort_v01_04.png') Out[23]: Implementação da nova versão em Python In [46]: n = int(input("entre com o número de elementos de X: ")) #Criando a lista de 5 elementos a partir da entrada do usuário X = [int(input("digite o {0}{1}: ".format(i+1, chr(176)))) for i in range(n)] print("o vetor de entrada é: ") print(x) for j in range(1, n): for i in range(n-1, j-1, -1): if X[i] < X[i-1]: X[i], X[i-1] = X[i-1], X[i] print("o vetor ordenado é: ") print(x) Entre com o número de elementos de X: 9 Digite o 1ř: 5 Digite o 2ř: 9 Digite o 3ř: 3 Digite o 4ř: 0 Digite o 5ř: 7 Digite o 6ř: 2 Digite o 7ř: 4 Digite o 8ř: 1 Digite o 9ř: 6 O vetor de entrada é: [5, 9, 3, 0, 7, 2, 4, 1, 6] O vetor ordenado é: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9] 10

11 Análise da Complexidade for j in range(1, n): O techo de código que importa nesse caso é for i in range(n-1, j-1, -1): if X[i] < X[i-1]: X[i], X[i-1] = X[i-1], X[i] Quantas vezes cada laço será executado? 1. A laço superior será executado (n-1) vezes. 2. Já o número de vezes que o laço interno irá executar depende do valor de j. 3. Para j=1, o laço interno executa 4 vezes, para j=2 o laço executa será executado 3 vezes, para j= 3, duas vezes e uma para j=4. Assim, o número de comparações, para um vetor de tamanho n será: ((n 1) Com isso chegamos ao seguinte somatório: T(n) = n 1 i=1 = (1+n 1)(n 1) 2 = n2 n 2 Ou seja, o algoritmo é de ordem O(n 2 ) 1.4 Versão Melhorada 2 do Bubble Sort 1. Comparação entre elementos de um vetor de tamanho n 2. Cada elemento de posição i será comparado com o de posição i+1 3. Quando a ordenação que se busca é encontrada, uma troca de posição é feita entre os dados 4. Laço com a quantidade de elemento será executada enquanto houver troca 5. Um laço interno será executado, percorrendo da primeira à penúltima posição do vetor. In [47]: Image(filename='./imagens/bubbleSort_v02_01.png') Out[47]: 11

12 In [48]: Image(filename='./imagens/bubbleSort_v02_02.png') Out[48]: 12

13 1.4.1 Implementação em Python In [53]: n = int(input("entre com o número de elementos de X: ")) #Criando a lista de 5 elementos a partir da entrada do usuário X = [int(input("digite o {0}{1}: ".format(i+1, chr(176)))) for i in range(n)] 13

14 print("o vetor de entrada é: ") print(x) troca = True #Ordenação de forma decrescente #Laço com a quantidade de elementos do vetor e enquanto houver troca for k in range(1, n+1): troca = False for i in range(0, n-1): if X[i] < X[i+1]: troca = True X[i], X[i+1] = X[i+1], X[i] if troca is False: break print("o vetor ordenado é: ") print(x) Entre com o número de elementos de X: 5 Digite o 1ř: 1 Digite o 2ř: 3 Digite o 3ř: 9 Digite o 4ř: 8 Digite o 5ř: 8 O vetor de entrada é: [1, 3, 9, 8, 8] O vetor ordenado é: [9, 8, 8, 3, 1] Exercícios 1. Qual a complexidade do algoritmo melhorado versão 2 do Bubble sort? 2. Execute as três versões do código Bubble sort e faça uma comparação de tempo de execução para cada caso, para um vetor de tamanho Para isso, use também como base o seguinte código em Python: In [58]: import time import random t0 = time.time() time.sleep(2) t1 = time.time() deltat = t1 - t0 print(deltat) 14

15 meusnumeros = random.sample(range(100), 10) print(meusnumeros) [0, 18, 36, 58, 77, 86, 32, 45, 59, 46] 3. Rode o Bubble Sort melhorado versão 2, vezes, em que cada rodada deve ser gerado um vetor aleatório, de tamanho Para cada rodada, armazene o tempo de execução em uma tabela. Compare os tempos de execução. São sempre iguais? Se existe diferença, qual o motivo para essa variação? 15