Uma Abordagem do Problema de Programação de Grade Horária Sujeito a Restrições Utilizando Coloração de Grafos

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1 Uma Abordagem do Problema de Programação de Grade Horária Sujeito a Restrições Utilizando Coloração de Grafos Geraldo Simonetti Bello Maria Cristina Rangel Maria Claudia Silva Boeres UFES Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Informática Av. Fernando Ferrari, 514 Goiabeiras Vitória ES Brasil geraldo.bello@terra.com.br,{crangel, boeres}@inf.ufes.br RESUMO Este trabalho propõe uma adaptação para uma formulação do problema de programação de grade horária utilizando coloração de grafos e um modelo que estende a correspondência entre os dois problemas, contemplando também restrições adicionais. O efeito desta abordagem é verificado por meio dos resultados obtidos pelo algoritmo busca tabu para o problema, comparando-os com os existentes na literatura que não empregam esta reformulação. PALAVRAS CHAVE. Programação de Grade Horária; Coloração de Grafos; Metaheurística; Busca Tabu: Área principal - OC - Otimização Combinatória ABSTRACT This work proposes an adaptation to a Class/Teacher Timetabling Problem formulation using Graph Coloring. The effect of this approach is verified by means of the comparison of results obtained by the Tabu Search Algorithm for the problem. KEYWORDS. Timetabling; Graph Coloring; Metaheuristics; Tabu Search: Main area - Combinatorial Optimization 1895

2 1. Introdução O problema de coloração de grafos é utilizado na modelagem de diversas aplicações. A forma geral destas aplicações envolve a construção de um grafo onde os vértices representam os itens de interesse e cada aresta conecta dois itens incompatíveis. O problema de otimização corresponde a buscar o conjunto mínimo de cores, de forma que cada item receba uma cor e itens incompatíveis possuam cores diferentes. Este problema é classificado como NP-Difícil (Garey & Johnson (1979)) para grafos de ordem genérica. Portanto, é improvável que seja encontrado um algoritmo que resolva estes problemas em tempo polinomial. Por isso, existem diversos algoritmos que usam heurísticas para coloração de grafos, sem entretanto, garantir uma solução ótima no caso geral. Uma das aplicações na qual a abordagem da coloração de grafos pode ser empregada é em problemas de Programação de Grade Horária Escolar (Class/Teacher Timetabling Problem). Esta classe de problemas consiste em alocar recursos em intervalos de tempo, procurando obter a configuração mais otimizada, porém satisfazendo determinadas restrições. Por exemplo, ao alocar professores de disciplinas às respectivas turmas em uma instituição de ensino, duas disciplinas ministradas por um mesmo professor não podem ser programadas para o mesmo período de tempo. Da mesma forma, duas disciplinas requeridas pela mesma turma de alunos também não podem se sobrepor na grade horária (timetable), entre outras restrições. O problema de otimização correspondente é classificado como NP-Difícil (Even et al. (1976)), na maior parte de suas versões e por isso é geralmente tratado por meio de métodos heurísticos. Neufeld & Tartar (1974) abordaram o problema de Programação de Grade Horária Escolar utilizando Coloração de Grafos, contemplando a versão básica desse problema, cujas únicas restrições são: a não-ocorrência de conflitos de horários (nenhum aluno ou professor pode ser alocado para duas aulas no mesmo horário), eventos em horários pré-fixados e indisponibilidade de determinados horários. Entretanto, instituições de ensino podem demandar outros tipos de restrições, como limites diários de aulas, alocação de duas aulas em períodos consecutivos, concentração das aulas no menor número possível de dias e evitando a ocorrência de lacunas (gaps), isto é, horários sem atividade entre dois horários de aula de um mesmo dia (Souza (2000)). Restrições adicionais deste tipo geralmente não são contempladas na abordagem tradicional do problema através da Coloração de Grafos. Este trabalho aborda os problemas de programação de grade horária escolar (PPGHE) e de coloração de grafos. Para o PPGHE foi escolhida a especificação com restrições rígidas (devem ser satisfeitas) e flexíveis (se satisfeitas, melhoram a solução) proposta por Santos et al. (2007), Souza et al. (2003) e Souza (2000). O objetivo é reformular o PPGHE como um problema de Coloração de Grafos e comparar os resultados apresentados nas soluções de um mesmo conjunto de instâncias, primeiro utilizando a meta-heurística Busca Tabu sem formular o PPGHE como coloração de grafos (Santos et al. (2007), Souza et al. (2003)) e depois considerando esta formulação e utilizando uma versão da busca tabu para coloração de grafos (Hertz & de Werra (1987)), através de uma implementação existente em linguagem C (Culberson (2004)), a partir das adaptações apresentadas por Bello (2007). Na próxima seção é apresentada a descrição do PPGHE. A seção 3 mostra a abordagem proposta neste trabalho, a seção 4 é dedicada aos resultados computacionais e a seção 5 às conclusões. 1896

3 2. Descrição do Problema de Programação de Grade Horária Escolar (PPGHE) O PPGHE estabelece a programação semanal de horários das aulas para professores e turmas de uma escola. Procurou-se um PPGHE cuja formulação e instâncias associadas fossem baseadas em escolas brasileiras. Foi escolhido o PPGHE (e respectivas instâncias) utilizado por Santos et al. (2007), Souza et al. (2003) e Souza (2000). Esta formulação é descrita a seguir, adaptada ao formato e à nomenclatura definidos por Neufeld & Tartar (1974). Sejam dados: Um conjunto de professores T = {t i }, i = 1,..., α; Um conjunto de turmas C = {c j }, j = 1,..., β; Um conjunto de horários semanais H = {h k }, k = 1,..., σ, constituído a partir de λ dias da semana com µ períodos diários, definindo σ = λ µ horários distintos; Uma matriz de requerimentos R α β = [r ij ], onde r ij 0 e r ij é igual à carga horária semanal de aulas do professor t i para a turma c j ; Uma matriz de indisponibilidades de professores D α σ = [d ik ], com d ik = 1, se o professor t i está indisponível no horário h k e d ik = 0, caso contrário; Uma matriz de limites de horas de aulas diárias U α β = [u ij ], onde 0 u ij 2 e u ij é igual à quantidade máxima diária de horas de aulas do professor t i para a turma c j ; Uma matriz de aulas duplas S α β = [s ij ], onde s ij 0 e s ij é igual à quantidade mínima de aulas duplas (duas aulas alocadas em períodos consecutivos de um mesmo dia) requeridas pelo professor t i para a turma c j ; A ρ-ésima aula do professor t i com a turma c j é denotada por m ρ ij, onde 1 ρ r ij. As r ij aulas do professor t i com a turma c j são representadas pelo conjunto M ij = {m 1 ij,..., mr ij ij }. O somatório β j=1 r ij, que representa as aulas do professor t i com as turmas c j C, são representadas pelo conjunto M i = β j=1 M ij. Analogamente, o conjunto M j = α i=1 M ij contém as α i=1 r ij aulas da turma c j com os professores t i T. O conjunto de todas as α β i=1 j=1 r ij aulas é denotado por M = α β i=1 j=1 M ij. (6 a 8): Uma solução do PPGHE deve satisfazer as seguintes restrições rígidas (1 a 5) e flexíveis 1. Nenhum professor pode ser alocado para mais de uma aula em um mesmo horário; 2. Nenhuma turma pode ser alocada para mais de uma aula em um mesmo horário; 3. Professores não podem ser alocados a horários que estejam indisponíveis; 4. Cada professor precisa cumprir sua carga horária semanal de aulas com cada turma; 5. Nenhuma turma pode ter mais de dois horários de aula por dia com o mesmo professor; 6. As aulas programadas para cada professor devem estar concentradas no menor número possível de dias; 7. As aulas duplas requeridas pelos professores devem ser satisfeitas sempre que possível; 1897

4 8. Na programação das aulas dos professores deve ser evitada a ocorrência de lacunas (gaps), isto é, horários sem atividade entre dois horários de aula de um mesmo dia. Uma solução do PPGHE é avaliada pela seguinte função objetivo (Santos et al. (2007) e Souza et al. (2003)): min f(q) = ω f 1 (Q) + δ f 2 (Q) + π f 3 (Q) (1) com f 3 (Q) = α θ g i + ϕ v i + ψ l i (2) i=1 onde (1) é constituída por f 1 (Q), f 2 (Q), f 3 (Q) e seus respectivos pesos ω, δ e π. A matriz Q α σ = [q ik ] corresponde à solução do PPGHE. O valor q ik { 1, 0, 1,..., β} e q ik = j, se o professor t i leciona para a turma c j no horário h k, q ik = 0, se o professor t i está disponível para alocação no horário h k e q ik = 1, se o professor t i está indisponível no horário h k (corresponde a d ik = 1 na matriz D = [d ik ]). O valor f 1 (Q) representa o número de ocorrências de uma turma c j ser alocada a mais de uma aula em um horário h k, f 2 (Q) representa o número de alocações que ultrapassam a quantidade máxima diária de aulas u ij do professor t i para a turma c j e f 3 (Q) mede a não satisfação dos requerimentos dos professores. Além disso, em (2) o valor f 3 (Q) é composto por g i, v i e l i e seus respectivos pesos θ, ϕ e ψ. O termo g i representa o número de lacunas (gaps) na programação das aulas de cada professor t i, v i é o número de dias da semana que cada professor t i precisa comparecer à escola para lecionar e l i é a diferença não-negativa entre o número mínimo de aulas duplas, dado por β j=1 s ij, requerido por cada professor t i e o número efetivo de aulas duplas programadas para o professor t i. A restrição rígida 1 é sempre satisfeita, em decorrência da própria definição da matriz Q = [q ik ], uma vez que cada elemento q ik não pode assumir dois valores j diferentes simultaneamente. A satisfação da restrição rígida 2 é avaliada pela componente f 1 (Q) da função objetivo. A restrição rígida 3 é sempre satisfeita, em decorrência da consideração da matriz de indisponibilidades D = [d ik ] na solução Q = [q ik ] do PPGHE. A restrição rígida 4 é sempre satisfeita, desde que o algoritmo de solução parta de uma solução completa, ou seja, com todas as α β i=1 j=1 r ij aulas programadas, ainda que a solução possa não ser viável em função da violação de outras restrições. A satisfação da restrição rígida 5 é avaliada pela componente f 2 (Q) da função objetivo. A satisfação das restrições flexíveis 6, 7 e 8 é avaliada pelas componentes v i, l i e g i da função objetivo, respectivamente. Assim, as componentes f 1 (Q) e f 2 (Q) da função objetivo avaliam a violação de restrições rígidas e a componente f 3 (Q) avalia a não-satisfação de restrições flexíveis, através das componentes g i, v i e l i. Por este motivo os pesos ω, δ e π são escolhidos de forma que ω δ π. Analogamente, os pesos θ, ϕ e ψ são escolhidos de forma a refletir a importância relativa das componentes g i, v i e l i, respectivamente. 3. A Abordagem Proposta Antes de iniciar esta seção, segue uma definição do Problema de Coloração de Grafos (Berge (1983)). Este problema é definido como: uma coloração própria de vértices de um grafo G = (V, E) é um mapeamento c: V {1,..., k} tal que se (v, w) E então c(v) c(w). Os elementos do conjunto {1,..., k} associados aos vértices do grafo G serão denominados cores. 1898

5 Conforme Neufeld & Tartar (1974), a versão básica de um PPGHE pode ser transformada em um problema de coloração de grafos, através das seguintes correspondências: Cada vértice do grafo representa uma aula; Uma aresta interligando dois vértices indica que as respectivas aulas associadas não podem ser programadas para ocorrerem em um mesmo horário; Cada cor representa um horário da grade horária correspondente. O grafo G = (V, E) associado ao problema de PPGHE é denominado grafo adjunto. O vértice ν V correspondente à aula m ρ ij M ij é denotado por ν ρ ij (i = 1,..., α; j = 1,..., β; ρ = 1,..., r ij ). Os subconjuntos de V que correspondem a M ij, M i e M j são denotados por V ij, V i e V j, respectivamente (i = 1,..., α; j = 1,..., β). O conjunto de arestas é definido por E = ( α i=1 E ijj ) ( β j=1 E j), onde: E ijj = {{ν, ν } ν V ij, ν V ij, j j, r ij, r ij > 0}, correspondendo no PPGHE às restrições que os professores não podem estar com mais de uma turma em um mesmo horário e precisam estar com cada turma o número requerido de horários; E j = {{ν, ν } ν, ν V j, ν ν }, correspondendo no PPGHE às restrições que as turmas não podem estar com mais de um professor em um mesmo horário e precisam estar com cada professor o número requerido de horários. A cor correspondente ao horário h k é denotada por z k. Conforme Neufeld & Tartar (1974), o PPGHE com restrições de indisponibilidade descritas pelos elementos d ik = 1 da matriz D está associado ao grafo adjunto G, cuja coloração está sujeita à condição que, para cada d ik = 1, nenhum vértice nos conjuntos V ij, j = 1,..., β, seja colorido com a cor z k. Conforme Neufeld & Tartar (1975), um grafo adjunto G sujeito à restrição de que determinados vértices não sejam coloridos com determinadas cores pode ser convertido em um grafo adjunto G não sujeito a esta restrição, tal que cada vértice em G é um vértice em G e G é σ- colorível se e somente se G é σ-colorível. O grafo adjunto G pode ser colorido utilizando uma versão da meta-heurística Busca Tabu voltada para a coloração de vértices de grafos denominada Tabucol proposta por Hertz & de Werra (1987). Joseph Culberson, da Universidade de Alberta, Edmonton, disponibilizou em sua página na Internet (Culberson (2004)) o código-fonte de um programa de computador escrito em linguagem C, contendo a implementação de uma versão do algoritmo Tabucol. A descrição desse algoritmo, apresentada a seguir, é baseada em Galinier & Hertz (2006) e Culberson (2004). O Tabucol parte de uma σ-coloração inicial, normalmente contendo arestas conflitantes, gerada por outros algoritmos de coloração de grafos. A cada iteração, o algoritmo modifica a cor de um único vértice terminal de uma aresta conflitante, com o objetivo de diminuir progressivamente o número de arestas conflitantes, até que uma σ-coloração viável seja obtida. Uma lista denominada lista tabu é utilizada para evitar a retenção em ótimos locais e a ocorrência de ciclos. Os critérios de parada são a obtenção de uma σ-coloração viável ou a não ocorrência de melhoria da solução durante um número estipulado de iterações nmax. 1899

6 Outros critérios podem ser utilizados como segundo critério de parada, tais como um valor limite para o número total de iterações ou ainda um valor limite para o tempo de processamento. O Tabucol não utiliza estratégias de memória de longo prazo, tais como intensificação ou diversificação. O espaço de busca S explorado pelo algoritmo é o conjunto de σ-colorações de um grafo G = (V, E). Uma solução c S, correspondendo a uma coloração dos vértices de G em σ cores, é uma partição do conjunto de vértices V em σ subconjuntos independentes C 1,..., C σ, denominados classes de cores. Seja E(C k ) o conjunto das arestas com ambos vértices terminais na classe de cores C k, k = 1,..., σ. Para uma solução c = (C 1,..., C σ ), a função objetivo a ser minimizada utilizada no algoritmo Tabucol é f(c) = σ k=1 E(C k), a qual totaliza o número de arestas conflitantes. O movimento elementar de um único vértice ν para uma classe de cores C k (alteração da cor de um único vértice ν) e que pode ser aplicado a uma solução c S para obter uma nova solução c é denotado por m ν,k e a operação é representada por c = c m ν,k. Os vértices terminais de arestas conflitantes são denominados vértices críticos. Em uma solução c S, o conjunto de todos os vértices críticos será denotado por V c. Um movimento m ν,k que envolve um vértice ν crítico é denominado movimento crítico. Por questões de eficiência, todo movimento realizado no algoritmo Tabucol é aplicado em um vértice crítico, ou seja, o algoritmo somente realiza movimentos críticos. O conjunto de todos os movimentos críticos será denotado por M c. O melhor movimento é selecionado, a cada iteração, dentro de um subconjunto Mc (Mc M c ) de movimentos críticos m ν,k escolhidos aleatoriamente sobre uma amostra V c ν V c e V c V c. de vértices críticos ν, escolhidos também aleatoriamente em V c, ou seja, O programa armazena os vértices críticos em uma lista (conflictlist) e seleciona aleatoriamente os elementos do conjunto Vc a partir desta lista. O número de elementos do conjunto V c varia entre os limites n minv e n maxv, da seguinte forma: se durante a geração de V c c c e M c for selecionado um vértice ν e um movimento m ν,k que produzam um resultado melhor que a melhor solução c encontrada até o momento ( f(c m ν,k ) < f(c )), o algoritmo conclui a seleção, desde que Vc contenha no mínimo n minv c vértices. Caso isto não ocorra, o processo continua até que Vc complete n maxv c vértices. O tamanho da lista tabu é constante durante todo o processo e definido no programa como um parâmetro de entrada (tabusize). O desempenho de um movimento m ν,k em uma solução c S é avaliado através do valor de f(c m ν,k ). No Algoritmo 1 é apresentado o algoritmo Tabucol correspondente à implementação de Culberson descrita acima. Uma solução c = (C 1,..., C σ ) S tal que f(c) = 0 (uma σ-coloração viável de vértices de G ) corresponde à minimização da componente f 1 (Q) da função objetivo f(q) do PPGHE. Este trabalho utiliza as adaptações apresentadas por Bello (2007) e descritas a seguir para o algoritmo Tabucol e sua implementação existente em linguagem C, a fim de permitir a solução do PPGHE considerando todas as restrições 1 a 8 descritas anteriormente. O novo algoritmo será denominado de Tabucol Modificado (TM). As σ classes de cores C k, k = 1,..., σ, são agrupadas em um conjunto de λ µ-uplas ordenadas L r = (C kr(1),..., C kr(µ) ), r = 1,..., λ e σ = λ µ denominadas grupos de cores. Um vértice ν ρ ij está no grupo de cores L r, se este vértice está associado a uma classe de cores C k L r. 1900

7 Algoritmo 1: Versão do algoritmo Tabucol implementada por Culberson (2004). 1 c c 0 // solução inicial em S gerada por outro algoritmo ou solução trivial 2 nbiter 0 // iteração atual 3 c c // melhor solução 4 bestiter 0 // iteração na qual a melhor solução foi obtida 5 T φ // inicialmente nenhum movimento é tabu 6 T tabusize // tamanho da lista tabu 7 enquanto ( f(c ) > 0 ) e (nbiter bestiter < nmax) faça 8 nbiter nbiter enquanto ( Vc < n maxv c ) e (( f(c m ν,k ) f(c )) ou (( Vc < n minv c )) faça 10 gere aleatoriamente um subconjunto Vc V c de vértices críticos e um subconjunto Mc M c de movimentos críticos tal que m ν,k / T para ν Vc escolha o movimento crítico m ν,k Mc com mínimo valor de f(c m ν,k ) T T {m ν,c(ν) } // atualiza a lista tabu T c c m ν,k se f(c ) < f(c ) então c c bestiter nbiter // atualiza a melhor solução e a função de aspiração c c É definida a matriz de limites de vértices por grupo Ūα β = [ū ij ], correspondendo à matriz de limites de aulas diárias U α β = [u ij ] onde ū ij = u ij, 0 ū ij 2 e ū ij é igual à quantidade máxima de vértices ν ρ ij em um mesmo grupo de cores. É definida a matriz de vértices duplos S α β = [ s ij ], correspondendo à matriz de aulas duplas S α β = [s ij ], onde s ij = s ij, s ij 0 e s ij é igual à quantidade mínima requerida de vértices ν ρ ij duplos, definidos como dois vértices associados a classes de cores consecutivas C kr, C kr+1 de um mesmo grupo de cores. É definida a função objetivo f(c) = ω f 1 (c) + δ f 2 (c) + π f 3 (c), com as componentes f 1 (c), f 2 (c) e f 3 (c) correspondendo às funções f 1 (Q), f 2 (Q) e f 3 (Q) componentes de f(q), respectivamente, definidas da seguinte forma: f 1 (c) = σ k=1 E(C k), onde E(C k ) é o conjunto das arestas com ambos vértices terminais na classe de cores C k, k = 1,..., σ; f 2 (c) = λ r=1 V (L r), onde V (L r ) é o número de vértices ν ρ ij no grupo de cores L r que ultrapassa o limite de vértices por grupo ū ij ; f 3 (c) = α i=1 (θ ḡ i + ϕ ν i + ψ l i ), onde: ḡ i = λ r=1 Ci L r, com C i L r igual ao número de classes de cores de um grupo de cores L r que não estão associadas a nenhum vértice ν V i e estão situadas na µ-upla ordenada entre classes de cores que estão associadas cada uma a pelo menos um vértice ν V i ; 1901

8 ν i é igual ao número de grupos de cores com pelo menos um vértice ν V i ; l i é igual à diferença não-negativa entre o valor requerido β j=1 s ij e o número de pares de vértices ν, w V i, tal que ν e w sejam vértices duplos. A função objetivo f(c) = f 1 (c) é substituída pela função objetivo f(c) = ω f 1 (c) + δ f 2 (c) + π f 3 (c), a qual é definida como a função objetivo do problema de coloração de grafos associado ao PPGHE. A lista que armazena os vértices críticos (conflictlist) é transformada em uma lista pentadimensional, passando a armazenar os vértices críticos correspondentes a 5 (cinco) componentes: f1 (c), f 2 (c) e as componentes ḡ i, ν i e l i de f 3 (c). O programa continua selecionando aleatoriamente os elementos do conjunto Vc a partir desta lista. Porém, agora, primeiro é selecionado aleatoriamente uma das listas e só então é selecionado aleatoriamente um elemento do conjunto Vc na lista selecionada. Portanto, após a incorporação dos conceitos descritos acima ao algoritmo Tabucol e à respectiva implementação existente em linguagem C, uma σ-coloração do grafo adjunto G, obtida através do algoritmo, corresponde a uma solução viável do PPGHE, considerando todas as suas restrições rígidas e flexíveis (Bello (2007)). Para a geração das soluções iniciais foram utilizados algoritmos gulosos. Esta heurística construtiva efetua uma coloração de vértices c: V {C 1,..., C σ } a partir de uma determinada ordenação O v = {v p(1),..., v p(n) } dos elementos do conjunto de vértices V = {v 1,..., v n } do grafo G = (V, E) onde p é uma permutação de {1... n} e a partir de uma determinada ordenação O C = {C q(1),..., C q(σ) } das classes de cores, onde q é uma permutação de {1... σ}. O algoritmo guloso seleciona um vértice de cada vez em alguma ordem pré-definida e tenta colorir o vértice selecionado com uma das cores já utilizadas, ou seja, tenta adicioná-lo a uma das classes de cores existentes, em uma determinada ordem. Se isto não é possível, então uma nova classe de cores é criada e o vértice recebe a cor desta classe. Variantes do algoritmo guloso podem ser obtidas estabelecendo diferentes ordenações das classes de cores disponíveis para a pesquisa da cor a ser atribuída ao vértice que está sendo colorido, selecionando a primeira classe de cores encontrada na ordem de pesquisa indicada. A seguir são apresentadas três possibilidades de ordenação de classes de cores: Algoritmo Guloso Simples: percorre as classes de cores na ordem 1,..., σ; Algoritmo Guloso Maior Classe Primeiro: ordena as classes de cores pela quantidade de vértices associados a cada uma delas no momento da ordenação e então efetua a pesquisa por ordem decrescente de tamanho; Algoritmo Guloso de Ordem Reversa: percorre as classes de cores na ordem σ,..., 1. O algoritmo pode utilizar diferentes ordenações iniciais para os vértices do grafo. A seguir são apresentadas três possibilidades de ordenações que podem ser utilizadas para os vértices: Ordem Direta: apresenta os vértices na ordem 1,..., n; Ordem Decrescente de Grau, também denominada Maior Grau Primeiro: ordena os vértices por ordem decrescente de grau; 1902

9 Ordem Lexicográfica Decrescente de Grau: utiliza Busca em Largura Lexicográfica, com os vértices classificados previamente em ordem decrescente de grau. Na Ordenação Lexicográfica, cada vértice do grafo recebe um rótulo de n dígitos, todos inicialmente iguais a zero, onde n é o número de vértices do grafo. Após o vértice i da ordenação ser escolhido, o i- ésimo dígito dos rótulos de todos os vértices adjacentes a i é alterado para 1. Então o próximo vértice (i + 1) é selecionado, escolhendo o vértice de maior rótulo entre os vértices ainda não ordenados, considerando o primeiro dígito do rótulo como o mais significativo. Os vértices são classificados previamente por ordem decrescente de grau, com o propósito de assegurar um critério de desempate quando mais de um vértice for elegível de ser incluído na ordenação lexicográfica (Culberson (2004) e Hsu & MA (1999)). Foram consideradas as seguintes variantes de algoritmos gulosos, obtidas a partir da combinação de ordenações de classes de cores e de vértices do grafo descritas acima (Bello (2007)): Algoritmo Guloso Simples - Ordem Direta; Algoritmo Guloso Simples - Ordem Decrescente de Grau; Algoritmo Guloso Maior Classe Primeiro - Ordem Lexicográfica Decrescente de Grau; Algoritmo Guloso de Ordem Reversa - Ordem Lexicográfica Decrescente de Grau. 4. Resultados Computacionais Os resultados computacionais foram obtidos para 5 (cinco) instâncias relativas ao problema extraídas de dados reais de escolas de ensino médio brasileiras e duas instâncias obtidas a partir de dados fictícios, com diferente número de professores, turmas, períodos de indisponibilidade, aulas diárias por turma com o mesmo professor e aulas alocadas em dois períodos consecutivos de um mesmo dia (Santos et al. (2007) e Souza et al. (2003)). O algoritmo TM foi testado em um microcomputador Pentium II 450 MHz com 128 MB RAM sistema operacional Linux CentOS 4.3 e compilador GCC Foram utilizados os seguintes pesos na função objetivo: ω = 100, δ = 30, π = 1, θ = 3, ϕ = 9 and ψ = 1 (Santos et al. (2007) e Souza et al. (2003)). Os resultados computacionais com o algoritmo TM para as sete instâncias foram obtidas através das combinações de algoritmos gulosos utilizados para a geração da solução inicial (Bello (2007)) e os seguintes parâmetros: número máximo de vizinhos representativos n maxv c {500, 800, 900, 1000}, número mínimo de vizinhos representativos n minv c {2, 3, 13, 19, 20} a serem gerados e tamanho da lista tabu {7, 10}, os quais produziram os melhores resultados em testes iniciais. As execuções foram efetuadas com um número fixo de iterações (30.000) para cada instância. A inicialização foi feita com um único valor de semente de números pseudo-aleatórios (semente = 1) para todas as instâncias, uma vez que este valor proporcionou os melhores resultados gerais nos testes iniciais. O efeito desta abordagem é verificado através da comparação dos resultados para o problema de coloração de grafos (utilizando o algoritmo TM) com aqueles disponíveis na literatura para o PPGHE (Grasp Tabu Search (GTS) de Souza et al. (2003) e Tabu Search (TS) de Santos et al. (2007)), mas sem as estratégias de melhoramento e diversificação correspondentes, uma vez que não foram implementadas originalmente na Busca Tabu do algoritmo Tabucol. 1903

10 Os resultados relativos ao TS foram recalculados utilizando o respectivo código-fonte original com o mesmo número de iterações e o mesmo valor de semente para números pseudoaleatórios utilizados no TM. Também foi utilizado o mesmo microcomputador. Para o TS, neste experimento a busca é efetuada em toda a vizinhança e o tamanho da lista tabu foi configurado conforme proposto por Santos et al. (2007). Para o GTS foram transcritos os resultados apresentados por Souza et al. (2003), nos quais a instância 1 não está incluída. O propósito foi fornecer uma fonte adicional para comparação dos resultados, ainda que sem a mesma padronização utilizada na comparação do TM com o TS. Para atenuar este aspecto, foi utilizado um microcomputador com configuração próxima da utilizada por Souza et al. (2003). A Tabela 1 mostra as médias das melhores soluções (segunda coluna) obtidas pelo algoritmo GTS e as melhores soluções obtidas pelos algoritmos TS e TM (terceira e quarta colunas) quando aplicados às sete instâncias (primeira coluna) com os parâmetros descritos acima e os tempos médios de execução em milisegundos dos algoritmos TS e TM para estas melhores soluções (quinta e sexta colunas). A última coluna apresenta as variações percentuais verificadas nos tempos de execução gastos pelos dois algoritmos (TS e TM). De forma geral, o algoritmo TM encontrou boas soluções para o PPGHE escolhido em um tempo computacional bastante curto, quando comparado com o TS. Tabela 1: Resultados para os algoritmos GTS, TS e TM instâncias GTS TS TM TS (ms) TM (ms) tempo(%) ,96 5,17 150, ,46 6,82 434, ,31 7,65 413, ,64 8,63 625, ,45 8, , ,69 8, , ,53 12, ,8 5. Conclusões A correspondência entre o PPGHE e o problema de coloração de grafos é conhecido na literatura, mas normalmente o PPGHE considerado contém somente restrições básicas. Este trabalho descreveu uma versão estendida desta correlação e adaptações em um algoritmo de Busca Tabu para coloração de grafos descrito na literatura, o Tabucol, e em uma implementação existente em linguagem C, de forma a contemplar um PPGHE com restrições adicionais. Este novo algoritmo, denominado de Tabucol Modificado (TM), foi comparado ao Tabu Search (TS) e se mostrou competitivo no que diz respeito à qualidade de solução, uma vez que o valor ótimo para a instância 1 foi alcançado (Santos (2007)) e a média dos resultados ficaram 3,57% acima daqueles obtidos por TS. Quando a atenção se volta para o tempo computacional, o algoritmo proposto TM obteve um desempenho bem melhor. Os tempos computacionais gastos, em média, foram 853,11% menores. Além disso, o TM mostrou não ser muito sensível ao tamanho da instância. O desvio padrão dos tempos computacionais exigidos pelo TM nas diversas instâncias é 2,31, bem abaixo do desvio padrão dos tempos do TS que é 59,8. Como fonte adicional de comparação, foram utilizados os valores de custos de solução do algoritmo GTS, encontrados na literatura, para as instâncias deste problema. Podemos concluir que a abordagem proposta neste trabalho, isto é, tratar o Problema 1904

11 de Programação de Grade Horária sujeito a restrições utilizando Coloração de Grafos apresentou contribuições interessantes para o PPGHE, além de abrir espaço para pesquisas futuras tais como, utilizar em TM estratégias de memórias de longo prazo (diversificação e intensificação), aplicar o processo descrito a outros tipos de PPGHE (cursos e provas) e modificar outros algoritmos que utilizam coloração de grafos, de forma a considerar as restrições adicionais do PPGHE. Referências Bello, G. S. (2007), Abordagem do problema de programação de grade horária sujeito a restrições utilizando coloração de grafos, Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Espírito Santo, Brasil. Berge, C. (1983), Graphs, Prentice-Hall. Culberson, J. (2004), Graph coloring programs. Joseph Culberson s Graph Coloring Page, joe/coloring/index.html. Even, S., Itai, A. & Shamir, A. (1976), On the complexity of timetabling and multicommodity flow problems, SIAM Journal of Computation 5, Galinier, P. & Hertz, A. (2006), A survey of local search methods for graph coloring, Computers & Operations Research 33, Garey, M. R. & Johnson, D. S. (1979), Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W. H. Freeman and Co., New York. Hertz, A. & de Werra, D. (1987), Using tabu search techniques for graph coloring, Computing 39, Hsu, W.-L. & MA, T.-H. (1999), Fast and simple algorithms for recognizing chordal comparability graphs and interval graphs, SIAM Journal of Computation 28(3), Neufeld, G. & Tartar, J. (1974), Graph coloring conditions for the existence of solutions to the timetable problem, Communications of the ACM 17(8), Neufeld, G. & Tartar, J. (1975), Generalized graph colorations, SIAM Journal of Applied Mathematics 29(1), Santos, H. G. (2007), Formulações e algoritmos para o problema de programação de horários em escolas, Tese de Doutorado, Universidade Federal Fluminense, Brasil. Santos, H. G., Ochi, L. S. & Souza, M. (2007), A tabu search heuristic with efficient diversification strategies for the class/teacher timetabling problem, ACM Journal of Experimental Algorithmics. to appear. Souza, M. (2000), Programação de horários em escolas: uma aproximação por meta-heurísticas, Tese de Doutorado, Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ), Brasil. Souza, M., Ochi, L. & Maculan, N. (2003), A grasp-tabu search algorithm for solving school timetabling problems, in M. Resende & J. Souza, eds, Metaheuristics: Computer Decision-Making, Kluwer Academic Publishers, Boston, pp