IMPLEMENTAÇÃO DE UM ALGORITMO GENÉTICO PARA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES

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1 IMPLEMENTAÇÃO DE UM ALGORITMO GENÉTICO PARA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES Jacqueline Magalhães Rangel Cortes Universidade Candido Mendes - Campos (UCAM-Campos) Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento em Informática (NPDI) Rua Anita Peçanha 00 Campos dos Goytacazes, RJ, Brasil CEP jacqueline@ucam-campos.br Geraldo Galdino de Paula Jr. Universidade Estadual do Norte Fluminense (UENF) CCT LEPROD Av. Alberto Lamego, 2000 Campos dos Goytacazes, RJ, Brasil CEP: galdino@uenf.br Resumo Este trabalho trata do problema de localização de atividades econômicas com restrições através de um modelo dinâmico multiobjetivo e considera um algoritmo genético para resolver tal modelo. As restrições limitam as associações entre as atividades instaladas e seus centros consumidores ao longo do horizonte de planejamento. Os objetivos considerados no horizonte de planejamento são: minimizar os custos de instalação/operação das atividades econômicas, minimizar o tempo de acesso/conexão das atividades instaladas aos seus centros de consumo e maximizar obtenção dos benefícios agregados à localização que recebe uma atividade e às associações. O algoritmo genético proposto trata deste problema restrito através da incorporação de específicos operadores de penalização e correção das soluções inviáveis. Este algoritmo foi executado considerando várias instâncias e os resultados computacionais são apresentados. Palavras-chave: Algoritmo genético, Localização com restrições, Soluções inviáveis. Abstract This paper deals with the economic activities location problem with restrictions through a multiobjective dynamic model and a genetic algorithm to solve such model. The restrictions limit the associations between the installed activities and its consuming centers during the planning horizon. The formulation presented aims to minimize costs of economic activities, minimize the access time of those activities to their customers and maximize the benefits joined to the activities and their connections, during the planning horizon. The considered genetic algorithm deals with this restricted problem through the incorporation of specific operators of penalization and correction of the infeasible solutions. This algorithm was executed considering some instances and the computational results are presented. Keyword: Genetic algorithm, Location with restrictions, Infeasible solutions.. Introdução Os problemas de decisão, em particular o de localização, envolvem muitos critérios, quantitativos e/ou qualitativos, que podem ser conflitantes por natureza, por exemplo, em alguns momentos, minimizar custos totais e maximizar qualidade. Para lidar com este dilema são necessárias ferramentas de auxílio à decisão que considerem os fatores relevantes que afetam a decisão a ser tomada, como também o tradeoff entre eles (Melachrinoudis & Min, 2000). O problema de localização reflete, em essência, a influência exercida desses fatores locacionais sobre a distribuição da atividade econômica. A importância destes fatores depende do tipo e do tamanho da atividade econômica, a abrangência considerada no estudo, o período de tempo considerado, entre outros. Os objetivos dos modelos de localização podem ser estabelecidos a partir de fatores locacionais (Min & Melacharinoudis, 999). Tais fatores podem ser definidos como variáveis que influenciam a decisão locacional do empresário (Malecki, 997), podendo afetar a habilidade de um local em atrair e reter

2 atividades econômicas (Blair, 995). Uma lista destes fatores pode ser encontrada em Kowalska & Funck (2000), Rees & Stafford (986) e Lee et al. (98). De acordo com Hoover & Giarratani (999), a forma mais comum de se medir a importância relativa dos fatores locacionais é o método mais direto, ou seja, através de consulta ao decisor. Podem ser utilizados questionários contendo uma lista de fatores que devem receber uma avaliação com relação à importância relativa através de adjetivos ( extremamente importante, não muito importante, e assim por diante) ou por algum tipo de sistema de pontuação simples através de uma escala de preferências. Segundo Owen & Daskin (998), os altos custos associados à aquisição de propriedades e construção de facilidades estratégicas fazem dos projetos de localização e relocalização um investimento de longo prazo. Desta forma, a natureza dos problemas de localização requer também que características dinâmicas sejam consideradas. As formulações dinâmicas focam a questão do tempo que está envolvido na localização ao longo de um horizonte. Este trabalho trata do planejamento da localização de atividades econômicas sujeito a um conjunto de restrições através da consideração de um modelo dinâmico multiobjetivo (PDM-0). Contudo, a principal dificuldade para a resolução do PDM-0 é que este é da classe NP-árduo (Garey & Johnson, 979). Assim, há baixa possibilidade de existir algum algoritmo exato que o resolva em tempo polinomial. Nesse caso, um método heurístico pode ser mais apropriado para resolver tal modelo. O método chamado Algoritmo Genético (AG) tem obtido sucesso na resolução de problemas combinatórios complexos, o que o torna um forte candidato a resolver o problema de localização considerado. AG é um algoritmo heurístico de busca estocástica baseado no processo de evolução biológica, que favorece o alcance do ótimo global. Sua utilização é adequada para resolver problemas complexos tais como, otimização combinatória, aprendizado de máquina, processamento de imagem, robótica, etc fornecendo soluções de boa qualidade em tempos computacionais aceitáveis a partir de fácil implementação em computadores (Goldberg, 989). Além da simplicidade, uma outra característica marcante dos AGs é que eles trabalham com um conjunto de soluções ao invés de uma única solução, assim, em cada rodada do algoritmo um conjunto de soluções pode ser oferecido ao decisor. Essa última, em especial, é a característica principal que distingue e torna os AGs apropriados a resolução de problemas multiobjetivo, pois supre a necessidade que tais problemas têm de obtenção de um conjunto de soluções que sejam melhores em pelo menos um objetivo. Os AGs trabalham muito bem para problemas de otimização irrestrito. No entanto, quando o problema é restrito, caso do problema de localização considerado neste trabalho, os operadores originais de busca do AG não garantem o fornecimento de soluções viáveis. Estudos sobre o desenvolvimento e uso de AGs para a resolução de problemas desta classe são recentes. De acordo com Lenive (997), a resolução de problemas com restrições limita o uso dos AGs em sua forma original, principalmente pelo fato de não existir a garantia de que a viabilidade será mantida após o cruzamento ou mutação, como também quando a população inicial é gerada. O problema principal é tratar as soluções inviáveis. O tratamento das restrições é recente e proporciona uma ampla área de pesquisa a ser desenvolvida. Alguns procedimentos podem ser adotados para tratar dos problemas com restrições. Segundo Reeves (997), podem ser utilizados as seguintes abordagens: técnicas de penalização, reparação de soluções inviáveis, tratamento por múltiplos objetivos, operadores modificados e modificação da formulação do problema. Este trabalho considera um algoritmo genético que incorpora os operadores de penalização e reparação das soluções inviáveis para resolver um modelo dinâmico multiobjetivo de localização de atividades econômicas. 2. Formulação do problema O modelo de planejamento de localização desenvolvido neste trabalho considera que a análise da localização da atividade econômica é realizada em nível macrogeográfico e que, uma vez instalada, a atividade não poderá mudar de local durante o horizonte de tempo em estudo, ou seja, não é aceita uma relocalização. Assume-se, também, que as condições futuras são as mais prováveis de ocorrer e 362

3 que as funções objetivo podem ser estabelecidas a partir de determinados fatores locacionais. Considera-se que o problema pode instalar até n atividades econômicas dentre os possíveis locais de um conjunto I = {, 2,..., n} ao longo de um horizonte de planejamento T = {, 2,..., t f }. Cada local deve receber apenas uma atividade econômica. Considera-se que m centros consumidores devem ser associados às atividades instaladas, então, seja J = {, 2,..., m} o conjunto dos centros consumidores. Os conjuntos de potenciais locais e de clientes são fixos e conhecidos previamente. Os objetivos do modelo são fundamentados nos fatores que mais influenciam a decisão locacional de atividades econômicas, a saber, dois fatores quantitativos (k = para custo e k = 2 para proximidade dos mercados consumidores) e um fator qualitativo (k = 3 para benefícios agregados). Sendo este último o resultado da agregação de cinco subfatores do conjunto P = {, 2, 3, 4, 5}, onde p = se refere ao subfator economia de aglomeração, p = 2 ao subfator disponibilidade de mão-de-obra qualificada, p = 3 ao subfator infra-estrutura local, p = 4 ao subfator tributação e incentivos fiscais e p = 5 ao subfator qualidade de vida. Desta forma, três funções objetivo foram estabelecidas. A escolha locacional deverá proporcionar vantagem competitiva para a empresa e satisfação para os funcionários. Para tanto, o benefício agregado ao local e o benefício agregado ao atendimento dos mercados pelas atividades instaladas devem refletir o julgamento subjetivo das localizações e das possíveis conexões à luz dos 5 subfatores considerados. As variáveis de decisão do modelo são booleanas e definidas da seguinte forma: y it =, se a atividade for instalada no local no período t T, ou 0, caso contrário. x =, se o centro consumidor j J for associado a atividade instalada no local no período t T, ou 0, caso contrário; Os seguintes parâmetros definem o modelo multiobjetivo: c it é o custo de instalação de uma atividade no local no período t T; d é o tempo médio de conexão entre a atividade instalada no local e o centro consumidor j J no período t T; q it é avaliação total do benefício agregado ao local no período t T; q é avaliação total do benefício agregado a conexão entre a atividade instalada no local e o centro consumidor j J no período t T; F pit é o julgamento do benefício agregado ao local no período t T, segundo o subfator p P; F p é o julgamento do benefício agregado a conexão entre a atividade instalada no local e centro consumidor j J no período t T, segundo o subfator p P; b é a capacidade de conexão da atividade instalada; R é o orçamento disponível. O considerado problema multiobjetivo de localização de atividades econômicas é formulado como o seguinte problema dinâmico multiobjetivo 0- (PDM-0): Min s.a. [ Z (y), Z 2 (x), - Z 3 (x,y)] c R () t T j J j J it y it x = j J, t T (2) x it x it b y i I, t T (3) y i I, t T (4) y it y i t +, t T \{t f } (5) 363

4 x {0,}, j J, t T y it {0,} c onde: Z (y) = Z 2 (x) = t T it y it d x j Jt T Z 3 (x,y) = q x j J t T q = p p P +, t T qit yit t T F, j J, t T e it q = F pit, t T p P A solução deste modelo informará os locais mais apropriados para a instalação das atividades econômicas e as conexões entre centros consumidores e atividades instaladas ao longo do horizonte de planejamento. As restrições informam que: os gastos em todos os períodos não devem ultrapassar o orçamento disponível (); cada centro consumidor, em cada período, deve ser associado, e a apenas uma atividade econômica (2); em cada período, se nenhuma atividade for instalada no local i, então nenhum centro consumidor pode ser associado a este local, e, no caso de uma atividade ser instalada, o número de centros consumidores associados não deve ser superior à sua capacidade (3); em cada período, se uma atividade for instalada no local i, então esta atividade deverá atender a pelo menos um centro consumidor (4); e, a atividade que for instalada no local i não poderá ser removida durante o horizonte de tempo considerado (5). Os objetivos no horizonte de planejamento são: minimizar os custos de instalação/operação de atividades econômicas [Z (y)], minimizar o tempo de acesso/conexão da atividade ao seu centro de consumo [Z 2 (x)] e maximizar obtenção dos benefícios agregados ao local e com suas conexões [- Z 3 (x,y)]. Esta última função objetivo é o resultado do julgamento realizado de cada potencial localização e suas potenciais conexões. O decisor deverá fazer o julgamento dos benefícios de cada local e de cada conexão considerando uma escala de notas que varia de a 5, sendo a nota para o caso do local possuir um conjunto de vantagens e benefício extremamente baixo de acordo com o julgamento de decisores e a nota 5 para o caso de possuir vantagem e beneficio extremamente alto para os mesmos decisores. 3. O algoritmo genético proposto O algoritmo genético proposto para resolver o modelo multiobjetivo tratado (PDM-0) considera os elementos descritos a seguir: 3.. Parâmetros do algoritmo Os parâmetros genéticos considerados são o tamanho da população, o número máximo de gerações, a taxa de cruzamento e a taxa de mutação Codificação do cromossomo Devido ao problema considerado possuir variáveis do tipo 0-, optou-se pela codificação binária para os cromossomos. Cada componente do cromossomo corresponde a uma variável da solução 0- e respeita a seguinte seqüência do cromossomo r: X r = ( x y it ), j J, t T A quantidade de genes que cada cromossomo possui, ou seja, a quantidade de variáveis de cada solução, é chamada de lchrom e é definido por n m t f + n t f Inicialização A geração da população inicial de npop indivíduos é feita de forma parcialmente aleatória dentro do espaço de soluções viáveis para agilizar a geração, o que representa um processo geração orientada para o caso particular do modelo considerado. Os parâmetros do problema multiobjetivo dinâmico 0-, 364

5 também são gerados aleatoriamente. A princípio, cada atividade instalada possui capacidade para atender a todos os centros consumidores Avaliação Um problema auxiliar de objetivo único é construído baseado no problema original (PDM-0) normalizado. A função escalar Ze(x,y), montada pela soma ponderada dos três objetivos, é considerada para medir o desempenho (aptidão) das soluções. Assim: Ze(x,y) = λ Z (y) + λ 2 Z 2 (x) λ 3 Z 3 (x,y), λ i = e λ i 0, i K i K Onde λ i é o peso ou importância da função objetivo i K = {, 2, 3}. O melhor desempenho é o da solução que possuir o menor valor desta função Elitismo O operador elitismo é incorporado ao algoritmo de forma que uma elite seja montada para receber uma quantidade de indivíduos igual a npop. Inicialmente, a elite apresenta os mesmos elementos que a geração inicial. A cada geração, esta elite será atualizada com novos indivíduos presentes na população da geração em questão. Novos indivíduos são escolhidos para integrar a elite da próxima geração, caso os indivíduos presentes na população possuam aptidões melhores que as aptidões da elite atual Seleção É adotada a seleção por torneio de dois para escolher os cromossomos que devem participar do processo reprodutivo e assim gerar descendentes. Neste critério de seleção, sorteiam-se dois indivíduos da população e então é realizado um torneio entre eles. Vence aquele indivíduo que possuir maior aptidão, o que é representado pelo menor valor da função Ze(x,y); em caso de empate, a escolha é feita aleatoriamente entre os dois. Esse procedimento é realizado lchrom vezes em cada geração Cruzamento Após a seleção, os cromossomos selecionados são agrupados aleatoriamente em pares e a uma probabilidade p c ocorre o cruzamento entre tais pares. O operador de cruzamento considerado utiliza apenas um ponto. Este ponto, escolhido aleatoriamente entre e lchrom, indica a posição onde é feito um corte no cromossomo. Em seguida, as informações genéticas que estiverem à direita deste ponto são trocadas entre os pares de cromossomos pais, resultando nos cromossomos filhos. Caso não haja cruzamento, os filhos serão cópias idênticas dos pais. Uma característica desse procedimento é que, ao final do cruzamento, não se garante que os descendentes apresentem viabilidade Mutação Cada elemento do cromossomo é considerado e poderá sofrer uma mutação a uma determinada probabilidade p m. Em caso de mutação, o gene do cromossomo terá seu valor trocado, de 0 para ou de para Correção e penalização Uma vez que os cromossomos filhos tenham sido gerados, é feita uma verificação de sua viabilidade em relação às restrições 2, 3 e 4. Em caso de violação destas restrições, realiza-se uma modificação na estrutura do cromossomo a fim de que tais restrições sejam respeitadas. De certa forma, este operador representa um tipo de mutação nos cromossomos filhos. A correção é realizada primeiro nas variáveis x e, em seguida, nas variáveis y it. Inicialmente, a viabilidade pela restrição 2 é verificada. O não atendimento dessa restrição significa que se tem, em algum período, algum cliente que está associado a mais de uma atividade instalada ou a um local que não recebeu a instalação de alguma atividade. Finalizada a correção das variáveis do tipo x, inicia-se a correção das variáveis y it, tal procedimento diz respeito a satisfação das restrições 3 e 4. Os valores de y it são ajustados de acordo com os valores 365

6 das variáveis x. Para a inviabilidade pelas restrições ou 5, penaliza-se a função de avaliação Ze(x,y) com um alto valor para cada restrição violada, desta forma a aptidão do indivíduo inviável será reduzida Não-dominância Após a finalização do processo evolutivo, os indivíduos não-repetidos presentes na elite passam por uma avaliação de não-dominância. A definição considerada para não-dominância é a seguinte: O vetor objetivo Ž = (ž, ž 2,..., ž k ) R k é chamado de não-dominado, se, e somente, se, não existir outro Z = (z, z 2,..., z k ) R k tal que Z Ž e z i < ž i para pelo menos algum i {, 2,... k}. 3.. Critério de término O algoritmo é finalizado depois de se alcançar o número máximo de gerações Passos do algoritmo Os seguintes passos descrevem o Algoritmo Genético de Correção e Penalização (): 0) Leitura dos parâmetros. ) Inicialização da população viável inicial, Geração := 0. 2) Inicialização da elite. 3) Cálculo da aptidão da população gerada e da elite. 4) Ordenação da população gerada e da elite. 5) Geração := Geração +. 6) Seleção. 7) Cruzamento e Mutação. 8) Correção, em caso de inviabilidade das restrições 2, 3 e 4. 9) Cálculo da aptidão da população gerada. 0) Penalização, em caso de inviabilidade das restrições e 5. ) Ordena nova população gerada. 2) Atualiza elite. 3) Ordena elite. 4) Se geração > (número máximo de gerações), então vá para o passo 5. Caso contrário, retorne ao passo 5. 5) Avalia não-dominância da elite. 6) Se elite não-dominada for satisfatória, então pare. Caso contrário, faça leitura dos novos λ s e retorne ao passo Resultados computacionais A implementação do algoritmo proposto foi realizada em Delphi 5.0 e os testes computacionais foram executados em microprocessador Pentium 933 MHz, com 52 MB de RAM. Para efeito de testes computacionais, os parâmetros do modelo multiobjetivo dinâmico 0- foram gerados aleatoriamente, sendo distribuídos dentro dos limites dados abaixo. Considerou-se um orçamento disponível R de 75% do somatório de todos os coeficientes de custo gerados a fim de que não haja recurso para instalar atividades em todos os locais ao longo do horizonte de planejamento. c it = [0,..., 0]; d = [0,..., 0]; q it = [,..., 0]; R = 0,75 t T c it q = [,..., 0] Três problemas teste de dimensões diferentes,, e, foram gerados aleatoriamente respeitando os limites apresentados acima. As dimensões de tais problemas são apresentadas no quadro. 366

7 Problema n m t N o de N o de f restrições variáveis Quadro - Dimensões dos problemas teste Os seguintes valores foram considerados como constantes em todas as instâncias: importância dos fatores locacionais λ = 06,, λ2 = 0,, λ3 = 03, ; probabilidade de mutação de valor pequeno p m = 0, 00, pois a necessidade de introdução ou manutenção da diversidade genética da população já é parcialmente suprida pelo operador de correção. Cada uma das combinações dos parâmetros genéticos (tamanho da população, número máximo de gerações e probabilidade de cruzamento) apresentadas no quadro 2 foi rodada cinco vezes para o mesmo tipo de problema teste, em cada uma dessas vezes foi gerada uma população inicial diferente. Problemas Tamanho da N o máximo de Probabilidade de população gerações cruzamento Quadro 2 - Combinações de parâmetros genéticos utilizados Os resultados apresentados a seguir são referentes às médias obtidas nas cinco rodadas de cada combinação, exceto os valores Ze e Ze que se referem, respectivamente, ao maior valor e ao menor valor de Ze( x, y ) obtido nas cinco rodadas. O termo ND significa a média de soluções não- 367

8 dominadas na elite (considerou-se o valor aproximado por truncamento), t(s) é o tempo médio, em segundos, gasto nas gerações, Ze é a média dos Ze( x, y ) obtidos nas cinco rodadas, Ze é a média dos Ze obtidos ,7 5,0-0,2-0, ,6 5,46-0,2-0, ,8 4,92-0,2-0, ,2 5,3-0,2-0, ,5 4,7-0,2-0, ,5 5,8-0,2-0,6 Tabela - Resultados de para p c = ,2 5,02-0,2-0, ,4 5,65-0,2 0, ,4 4,67-0,2-0, ,9 5,8-0,2-0, , 5,33-0,2-0, ,5 5,64-0,2-0,2 Tabela 2 - Resultados de para p c = ,6 5,7-0,2-0, ,4 5,79-0,2-0, ,3 5,2-0,2-0, ,4 5,66-0,2-0, ,8 5, ,8 6,5-0,2-0,6 Tabela 3 - Resultados de para p c = ,4-5,8-3, , 2,58-8,9-5, ,2 5,2-5, -4, ,26-6,2-4, ,6,57-5,6-4, ,5 2,2-6,2-5,02 Tabela 4 - Resultados de para p c = 368

9 ,06-8,9-5, ,00-8,3-5, ,3 3,08-8,9-6, ,64-8,3-6, ,6 2,79-8,3-4, ,9 4,64-8,9-6,26 Tabela 5 - Resultados de para p c = ,8 5,09-6,8-5, ,4 4,9-8,9-6, ,3 4,76-8,9-5, ,3 6,00-8,9-6, , 9,92-5,8-3, ,0 5,35-8,9-5,86 Tabela 6 - Resultados de para p c = ,2 34,74-0,9, ,8 28,98-3,50 0, ,3 9,86-5,0 -, , 7,94-7,9-2, ,4 0,4-2,3, ,5 9,55-27,7-8, ,3 6,92-2,6-6, ,0 6,36-6,3-3, ,2 33,23-8,9 3, ,7 22,26 5,8, ,8 2,06-8,2-3, ,5 4,04-2,2-5, ,8 67,9 34,0 29,95 28,22 4,6 4,9 Tabela 7 - Resultados de para p c = 0,09-8,6 -,5-27,9 3,30 -,28-6,84-7, ,4 38,44 5,2 2, ,9 20,69-8,8-2, ,7 34,28-3,0 5, ,4 30,04-9,9 3, ,3 28,4-2,0 3, ,4 66,73-7,0,34 Tabela 8 - Resultados de para p c = 369

10 ,3 33,79-5,89, ,3 32,6-4, ,7 34,67-4, -3, ,7 3,54 -,4 4, ,2 28,86-6,9 -, , 35,94-2,4 4,6 Tabela 9 - Resultados de para p c = 5. Conclusão Este trabalho aborda o problema de localização de atividades econômicas através da consideração de um modelo dinâmico multiobjetivo (PDM-0) e de um algoritmo genético (). A abordagem dinâmica multiobjetivo proposta relaciona fatores locacionais quantitativos e qualitativos aos objetivos do problema, a saber, minimizar os custos de instalação da atividade, minimizar o tempo de conexão da atividade ao seu centro de consumo e maximizar obtenção dos benefícios agregados a localização e às associações, ao longo de um horizonte de planejamento. Foi proposto um algoritmo genético que considera uma função escalar relacionada a um problema auxiliar com um único objetivo que é formada pela soma ponderada dos três objetivos para ser uma medida de desempenho das soluções. Considerou-se, também, a correção e penalização das soluções que não respeitam as restrições do problema. O operador de correção modifica as variáveis da solução para que algumas restrições sejam respeitadas, enquanto que o operador de penalização impõe uma pena caso as restrições de orçamento e de não-relocalização não sejam satisfeitas. O algoritmo proposto foi implementado para algumas instâncias. Através dos resultados obtidos, constata-se a necessidade de se explorar mais o tratamento de problemas restritos. Com o intuito de aprimorar a resolução de tais problemas, algumas modificações estão sendo incorporadas à abordagem proposta por este trabalho, a saber: Instalação de atividades econômicas com capacidade de associação diferentes, de forma que o máximo permitido seja especificado por b i relacionado a cada potencial local. Assim, a restrição 3 do PDM-0 é alterada para: x b i yit i I, t T j J Substituição da penalização por procedimentos de orientação dos cruzamentos e mutações a fim de que indivíduos viáveis sejam gerados. O resultado dessas alterações será apresentado em momento oportuno. Referências BLAIR, J.P. (995) Local economic development: analysis and practice, Sage Publications, New Delhi, pp GAREY, M.R. & JOHNSON, D.S. (979) Computer and intractability: a guide to the theory of NP competences. Addison-Wesley, Reading, MA. GOLBDBERG, D.E. (989) Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning. Addison-Wesley, Reading, MA. HOOVER, E.M. & GIARRATANI, F. (999) An introduction to regional economics. Disponível em: < Acesso em: 27/ABR/0. KOWALSKA, J.D. & FUNCK, R.H. (2000) Cultural activities as a location factor in european competition between regions: concepts and some evidence, Regional Science, vol.34, no, pp.-2 LEE. S.M.; GREEN, G.I. & KIM, C.S. (98) A multiple criteria model for the location-allocation problem, Computers and Operations Research, vol. 8, pp. -8. LENIVE, D. (997) Genetic algorithms: a practitioner s view. Journal on Computing, vol. 9, no. 3, pp

11 MALECKI, E.J. (997) Technology & economic development: the dynamics of local, regional and national competitiveness, Longman, England, Second Edition, pp MELACHRINOUDIS, E. & MIN, H. (2000) The dynamic relocation and phase-out of a hybrid, twoechelon plant/warehousing facility: a multiple objective approach. European Journal of Operational Research, vol. 23, no., pp. -5. MIN, H. & MELACHRINOUDIS, E. (999) The relocation of a hybrid manufacturing/ distribution facility from supply perspectives: a case study, Omega, vol. 27, no., pp OWEN, S.H. & DASKIN, M.S. (998) Strategic facility location: a review. European Journal of Operation Research, vol., no. 3, pp REES, J. & STAFFORD, H.A. (986) Technology, regions and policy. Rowan & Littlefield Publishers, New Jersey, 322 p. REEVES, C. R. (997) Genetic algorithms for the operations researcher. Journal on Computing, vol. 9, no. 3, pp