ELETRICIDADE E MAGNETISMO

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros ELETRICIDADE E MAGNETISMO NOTA DE AULA IV Goiânia

2 MAGNETISMO As primeiras observações de fenômenos magnéticos são muito antigas. Acreditase que estas observações foram realizadas pelos gregos, em uma região denominada Magnésia. Eles verificaram que existia, nesta região, certo tipo de pedra (minério de ferro atualmente denominado imã natural) que era capaz de atrair pedaços de ferro. Portanto, os primeiros fenômenos magnéticos observados foram associados aos chamados imãs naturais, fragmentos das rochas encontradas perto da cidade de Magnésia. Esses imãs naturais têm a propriedade de atrair ferro desmagnetizado, o efeito sendo mais pronunciado em certas regiões do imã conhecidas como polos. A Terra tem um campo magnético próprio, como mostra a figura abaixo. Nesta figura podemos observar que os polos Norte e Sul geográficos terrestre estão invertidos com relação aos polos Norte e Sul magnéticos. Devemos observar que os polos magnéticos e geográficos não são coincidentes, ou seja, o polo sul do campo magnético da Terra está situado nas proximidades do polo norte geográfico. Observa-se que um pedaço de ferro, depois de colocada perto de um imã, adquire as mesmas propriedades deste imã. Assim, foi possível obter-se os imãs artificiais. Os imãs (naturais ou artificiais) apresentam determinados fenômenos magnéticos, entre os quais destacamos: Polos de um imã os pedaços de ferro são atraídos com maior intensidade por certas partes do imã, as quais são denominadas polos do imã. Polo norte de um imã é aquela extremidade que, quando o imã pode girar livremente, aponta para o norte geográfico (sul magnético) da Terra. A extremidade que aponta para o sul geográfico (norte magnético) da Terra é o polo sul do imã. Princípio da atração e repulsão Polos de mesmo nome se repelem e polos de nomes contrários se atraem.

3 Inseparabilidade dos polos Quando uma barra de um imã é cortada, ao invés de obter um polo norte isolado e um polo sul isolado, obtemos dois imãs, cada um dos quais tem polos norte e sul. Portanto, é impossível obter um polo magnético isolado. Durante muitos anos, o estudo dos fenômenos magnéticos esteve restrito aos imãs, não havia conexão entre os fenômenos elétricos e magnéticos. Em 1819 o cientista dinamarquês Hans Cristian Oersted ( ) observou que a agulha de uma bússola era defletida quando colocada próxima de um fio por onde passava uma corrente elétrica. Doze anos mais tarde, o físico inglês Michael Faraday ( ) verificou que aparecia uma corrente momentânea em um circuito, quando, em um circuito vizinho, se iniciava ou se interrompia uma corrente. Pouco depois, seguiu-se a descoberta de que o movimento de um imã que se aproximava ou se afastava de um circuito produzia o mesmo efeito. O trabalho de Oersted demonstrou que efeitos magnéticos podiam ser produzidos por cargas elétricas em movimento, enquanto os de Faraday mostraram que correntes podiam ser produzidas por imãs em movimento. Após as descobertas das relações entre os fenômenos elétricos e magnéticos temos os estudos de eletromagnetismo. Acredita-se, hoje em dia, que os chamados fenômenos magnéticos resultam de forças entre cargas elétricas em movimento. Isto é, cargas em movimento criam tanto um campo magnético quanto um campo elétrico e esse campo magnético exerce força sobre uma segunda carga que esteja em movimento. Como os elétrons nos átomos estão em movimento em torno dos núcleos atômicos e como cada elétron parece estar em rotação contínua em torno de um eixo passando por ele, espera-se que todos os átomos exibam efeitos magnéticos; de fato, verifica-se que este é o caso. A possibilidade de que as propriedades magnéticas da matéria resultassem de minúsculas correntes atômicas foi, primeiramente, sugerida por Ampère em Campo Magnético Já estudamos que um corpo carregado produz um campo vetorial (o campo elétrico E ) em todos os pontos do espaço ao seu redor. De forma análoga, um imã produz um campo vetorial (o campo magnético B ) em todos os pontos no espaço ao seu redor. Você pode ter uma noção desse campo magnético sempre que prende um bilhete a uma

4 porta de geladeira com um pequeno imã. O imã age sobre a porta por meio do seu campo magnético. Linhas de Indução de um Campo Magnético Podemos representar campos magnéticos com linhas de campo, como fizemos para os campos elétricos. Regras semelhantes se aplicam; ou seja, estas linhas devem ser traçadas de tal modo que o vetor B seja sempre tangente a elas em qualquer um de seus pontos. Além disso, o espaçamento entre as linhas representa a intensidade de B, o campo magnético é mais intenso onde as linhas estiverem mais próximas. As linhas de campo saem do polo norte e chega ao polo sul.

5 ELETROMAGNETISMO Podemos considerar como princípio básico do eletromagnetismo, o fato de que: quando duas cargas elétricas estão em movimento, manifesta-se entre elas, além da força eletrostática, outra força, denominada força magnética. Ou seja, uma carga em movimento cria, no espaço em torno dela, um campo magnético que atuará sobre outra carga, também em movimento, exercendo sobre ela uma força magnética. Antes de iniciarmos o estudo do nosso próximo assunto (a força magnética), iremos discutir o conceito de produto vetorial. PRODUTO VETORIAL O produto vetorial entre dois vetores, a e b, representados por a x b, é um vetor c cujo módulo c é dado pela expressão c ab sen, Onde é o menor dos ângulos entre as direções de a e b. A direção de c é perpendicular ao plano formado por a e b, o sentido ao longo desta direção pode ser dado pela regra da mão direita. Quando a e b forem paralelos ou antiparalelos ( 0 ou 180º), ab 0. EXERCÍCIO 1. Usando a regra do determinante, mostre que o produto vetorial entre dois vetores a e b pode ser escrito como: a x b ( a b b a ) iˆ ( a b b a ) ˆj ( a b b a ) kˆ y z y z z x z x x y x y Força magnética sobre cargas elétricas em movimento Alguns aspectos da Força magnética sobre uma carga em movimento são análogos a propriedades correspondentes da força do campo elétrico. Ambos têm intensidade proporcional à carga. Além disto, ambos são proporcionais à intensidade ou ao módulo do campo.

6 A dependência da força magnética com a velocidade da partícula é muito diferente do caso da força do campo elétrico. A força elétrica sobre uma carga não depende da velocidade; ela é a mesma quer a carga se mova ou não; já a força magnética tem um módulo que é proporcional à componente de velocidade perpendicular ao campo. A força magnética que atua em uma partícula com carga q, pode ser definida como o produto da carga q pelo produto vetorial da sua velocidade v pelo campo magnético B. onde: F = q v B F = q v B sen F é o módulo da força magnética que atua na carga q v é o módulo da velocidade de q B é o módulo do campo magnético Direção e sentido da força magnética A força magnética tem direção perpendicular a v e a B, isto é, ao plano definido por v e B. O sentido de F é o mesmo do produto vetorial v B, se a carga q for positiva e contrária a este sentido se q for negativa. A direção e sentido da força magnética podem ser encontrados por várias regras práticas, entre elas podemos citar a regra da mão direita ou da mão esquerda. Observando a equação anterior podemos verificar que a força será igual a zero se a carga for nula ou se a partícula estiver em repouso. A mesma equação também nos diz que a intensidade da força será nula se v e B forem paralelos ( 0 ) ou antiparalelos ( 180 ), e a força atingirá seu valor máximo quando v e B forem perpendiculares um ao outro. Como a força magnética não possui uma componente paralela à v, ela não consegue alterar o valor da velocidade da partícula (portanto não consegue alterar a energia cinética da partícula). A força pode modificar apenas a direção da velocidade da partícula, mudando, portanto, a direção de sua trajetória.

7 Regra da mão direita. dedão F B dedos v B Unidade de campo magnético A unidade do campo magnético no SI é o Newton. Segundo por Coulomb.Metro. Por conveniência, esta unidade e chamada de tesla ( ). Ns. 1 = 1 tesla = 1 Cm. No eletromagnetismo é comum a representação de vetores perpendiculares ao plano da folha, portanto alguns alunos relacionam, equivocadamente, a representação de vetores entrando ou saindo da folha, apenas com grandezas estudadas no eletromagnetismo. Devemos lembrar que esta representação pode ser usada para qualquer grandeza vetorial.

8 Como iremos trabalhar no plano, usamos a seguinte definição para as linhas de campo: entrando pelo plano saindo pelo plano E X E R C Í C I O 2. Suponha que você possua alguns imãs nos quais assinalou quatro polos com as letras A, B, C e D. Você verifica que: o polo A repele o polo B o polo A atrai o polo C o polo C repele o polo D e sabe-se que o polo D é um polo norte. Nestas condições determine se o polo B é um polo norte ou sul. 3. Represente a força magnética que age sobre a carga elétrica q, lançada no campo magnético B, nos seguintes casos: a) B q v b) B q v c) q B v d) v q B 4. Por que, simplesmente não definimos a direção e o sentido do campo magnético B como sendo idênticos aos da força magnética que atua sobre uma carga em movimento? Movimento de uma carga elétrica em um campo magnético uniforme 1 o Caso: A carga elétrica é lançada paralelamente às linhas de indução. Neste caso = 0 o ou = 180 o sen = 0 e a força magnética é nula. Então, a carga elétrica realiza um movimento retilíneo e uniforme.

9 2 o Caso: A carga elétrica é lançada perpendicularmente às linhas de indução. Neste caso, o ângulo entre a velocidade e o campo magnético é de noventa graus. Isso significa que o sen é igual a um, e a força magnética é constante e igual a: da curva, e, portanto, o movimento é circular e uniforme. FB qvb, essa força é apontada para o centro Cálculo do raio da trajetória F magnética = F centrípeta 2 v F m qvb r mv r qb Cálculo do período ( T ) Sabemos que o período T é o intervalo tempo que corresponde a uma volta completa.

10 2r 2mv T v vqb 2 m T qb Observe que o período T não depende da velocidade. 3 o Caso: A carga elétrica é lançada obliquamente às linhas de indução. Neste caso a componente v (paralela ao campo magnético) ocasiona um MRU e a componente v (perpendicular ao campo magnético) ocasiona um MCU. A composição destes dois movimentos é um movimento helicoidal uniforme e a trajetória é chamada de hélice cilíndrica. Na figura abaixo temos a representação de trajetória para o caso de um campo magnético uniforme (b) e de um campo não uniforme (c). Ver estudo mais detalhado sobre garrafa magnética, cinturões de radiação de Van Allen e aurora, no livro texto. O passo da hélice (p) pode ser encontrado da seguinte maneira: 2 m p v T v cos qb 2 mv p cos 2 rcos qb Aceleradores de partículas

11 Aceleradores de partículas podem usar campos elétricos e magnéticos para obter partículas com alta energia. O cíclotron e o sincrotron são aceleradores de partículas que utilizam um campo magnético para fazer a partícula passar repetidas vezes por uma região onde existe um campo elétrico, o qual gera um aumento no valor da velocidade da partícula. O cíclotron é um instrumento que foi desenvolvido em 1931 pelos físicos Lawrence e Livingston da Universidade da Califórnia. A teoria envolvida na descrição do funcionamento do cíclotron é bastante simples. A parte principal do acelerador é formada por um par de câmaras metálicas em forma de um semicírculo, algumas vezes denominadas de "D", por causa da sua forma. No caso do cíclotron, as partículas descrevem uma trajetória espiral, ganhando energia cada vez que atravessa a região onde existe um campo elétrico (o espaço entre os dês). O funcionamento do cíclotron se baseia no fato de que a frequência com a qual a partícula circula, sob o efeito do campo magnético, não depende da velocidade. Portanto podemos ter um oscilador que inverte o sentido do campo elétrico na mesma frequência que a partícula circula. No sincrotron a frequência de revolução das partículas varia com o tempo, mas permanece em fase com a frequência do oscilador. Neste caso a trajetória das partículas é circular em vez de espiral. E X E R C Í C I O 5. Quais são as funções fundamentais (a) do campo elétrico e (b) do campo magnético no cíclotron?

12 6. Uma partícula eletrizada positivamente, colocada em um campo magnético uniforme, é lançada para a direita com uma velocidade v, como mostra a figura abaixo. Desenhe, na figura, a trajetória que a partícula descreverá. 7. Considerando o esquema do exercício anterior, desenhe a trajetória da partícula supondo que sua carga seja negativa. 8. Uma partícula eletrizada positivamente é lançada horizontalmente para a direita, com uma velocidade v. Deseja-se aplicar à partícula um campo magnético B, perpendicular a v, de tal modo que a força magnética equilibre o peso da partícula. a) Qual devem ser a direção e o sentido do vetor B para que isto aconteça? b) Supondo que a massa da partícula seja m = 4,0 miligramas, que sua carga seja q = 2, C e que sua velocidade seja v = 100 m / s, determine qual deve ser o valor de B. R: a) B b) 1,96 T 9. Em um laboratório de Física Moderna, um dispositivo emite íons positivos que se deslocam com uma velocidade v muito elevada. Desejando medir o valor desta velocidade, um cientista aplicou na região onde os íons se deslocam os campos uniformes, E e B, mostrados na figura deste problema. Fazendo variar os valores de E e B ele verificou que, quando E = 1,0x10 3 N /C e B = 2,0x10-2 T, os íons atravessavam os dois campos em linha reta, como está indicado na figura. Com estes dados, o cientista conseguiu determinar o valor de v. Qual foi o valor encontrado por ele? Despreze a massa do íons. R: 5x10 4 m/s

13 10. Uma partícula com carga q = 2,0 C, de massa m= 1,0x10-7 kg penetra, com uma velocidade v = 20 m/s, num campo magnético uniforme de indução B = 4,0 T através de um orifício existente no ponto O de um anteparo. R: 0,5 m a) Esquematize a trajetória descrita pela partícula no campo, até incidir pela primeira vez no anteparo. b) Determine a que distância do ponto O a partícula incide no anteparo. 11. Um elétron que tem velocidade v = (2,0x10 6 m/s ) i + ( 3,0x10 6 m/s ) j penetra num campo magnético B = ( 0,03 T ) i - ( 0,15 T ) j. Determine o módulo, a direção e o sentido da força magnética sobre o elétron. R: 6,24x10-14 N na direção positiva do eixo z 12. Um elétron num campo magnético uniforme tem uma velocidade v = (40 km/s) i + (35 km/s) j. Ele experimenta uma força F = - (4,2 fn) i + (4,8 fn) j. Sabendo-se que B x = 0, calcular as componentes B y e B z do campo magnético. (1fN = N). R: B y =0 e B z =0,75T 13. Um elétron num tubo de TV está se movendo a 7,20 x 10 6 m/s num campo magnético de intensidade 83,0 mt. (a) Sem conhecermos a direção do campo, quais são o maior e o menor módulo da força que o elétron pode sentir devido a este campo? (b) Num certo ponto a aceleração do elétron é 4,90 x m/s 2. Qual o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético? A massa do elétron é 9,11 x kg. R: a) 0 e 9,44x10-14 N b) 0,27º 14. Um próton que se move num ângulo de 23 0 em relação a um campo magnético de intensidade 2,6 mt experimenta uma força magnética de 6,50x10-17 N. Calcular (a) a

14 velocidade escalar e (b) a energia cinética em elétron - volts do próton. A massa do próton é 1,67x10-27 kg, 1eV = 1,6x10-19 J. R: a) 4x10 5 m/s b) 835 ev 15. Campos magnéticos são frequentemente usados para curvar um feixe de elétrons em experiências físicas. Que campo magnético uniforme, aplicado perpendicularmente a um feixe de elétrons que se move a 1,3x10 6 m/s, é necessário para fazer com que os elétrons percorram uma trajetória circular de raio 0,35 m? R: 2,11x10-5 T 16. (a) Num campo magnético com B = 0,5 T, qual é o raio da trajetória circular percorrida por um elétron a 10% da velocidade escalar da luz? (c = Km/s). (b) Qual é a sua energia cinética em elétron - volts? R: a) 3,41x10-4 m b) 2,56x10 3 ev 17. Um elétron com energia cinética de 1,20 kev está circulando num plano perpendicular a um campo magnético uniforme. O raio da órbita é 25,0 cm. Calcular (a) a velocidade escalar do elétron, (b) o campo magnético. R: a) 6,49x10 7 m/s b) 1,48x10-3 T 18. Um feixe de elétrons de energia cinética K emerge de uma janela de folha de alumínio na extgremidade de um acelerador. A uma distância d dessa janela existe uma placa de metal perpendicular à direção do feixe (figura abaixo). (a) Mostre que é possível evitar que o feixe atinge a placa aplicando um campo uniforme B tal que: 2mK B 2 2 ed Onde me e a massa e a carga do el[étron. (b) Qual deve ser a orientação do campo elétrico B? 19. O espectrômetro de massa de Bainbridgem, mostrado de forma esquemática na figura abaixo, separa íons de mesma velocidade e mede a razão q/m desses íons. Depois de entrar no aparelho através das fendas colimadoras S1 e S2, os íons passam por um seletor de velocidade composto por um campo elétrico produzido pelas placas

15 carregadas P e P sem serem desviados (ou seja, os que possuem uma velocidade E/B), entram em uma região onde existe um segundo campo magnético ' B que os faz descrever um semicírculo. Uma placa fotográfica (ou um detector moderno) registra a posição final dos íons. Mostre que a razão entre a carga e a massa dos íons é dada por ' q / m E / rbb, onde r é o raio do semicírculo. 20. Um elétron é acelerado a partir do repouso por uma ddp de 350 V. Ele penetra, a seguir, num campo magnético uniforme de módulo 200 mt com sua velocidade perpendicular ao campo. Calcular (a) a velocidade escalar do elétron e (b) o raio de sua trajetória no campo magnético. R: a) 1,11 x 10 7 m/s b) 3,16 x 10-4 m Força magnética sobre um condutor retilíneo percorrido por uma corrente elétrica Se há interação entre campo magnético e partículas portadoras de carga elétrica, há uma interação entre campo magnético e um condutor percorrido por corrente elétrica, pois a corrente elétrica é constituída pelo movimento de portadores de carga elétrica. Se um segmento de fio retilíneo, de comprimento L, percorrido por uma corrente i, for colocado numa região onde existe um campo magnético uniforme B (como está representado na figura abaixo), sobre este segmento de fio atuará uma força magnética dada por onde: F il B F B i L sen F é a força magnética que atua no fio L é o comprimento do segmento do fio, sendo que: L é um vetor de intensidade L e está dirigido na mesma direção do segmento do fio no sentido (convencional) da corrente elétrica.

16 ϕ é o ângulo entre o campo magnético B e a corrente i ou o vetor L. Direção da força magnética A direção (e sentido) da força magnética é a do produto vetorial L x B. Então, a força magnética é sempre perpendicular ao plano definido pelos vetores L x B, e o sentido de F pode ser dado pela regra da mão direita ou da mão esquerda. Observação: Se o fio não for retilíneo ou o campo magnético não for uniforme, podemos imaginar o fio repartido em pequenos segmentos retos e calcular a força em cada segmento. A força sobre o fio como um todo e, então, a soma vetorial de todas as forças que agem sobre os segmentos que compõem o fio. No limite diferencial, podemos escrever o elemento de força sobre dl como: df i dl B Podemos determinar a força resultante sobre qualquer arranjo fornecido de correntes por meio da integração de df sobre este arranjo. Torque em uma espira percorrida por corrente elétrica. O princípio de funcionamento dos motores elétricos é baseado no torque produzido por forças magnéticas. Na figura abaixo temos a representação de uma espira percorrida por uma corrente elétrica, imersa em um campo magnético. As forças magnéticas produzem um torque na espira que tende a fazê-la girar em torno de um eixo central.

17 Uma bobina na presença de um campo magnético uniforme experimente um torque dado por: B, onde é o momento magnético dado por: NiA, onde N é o número de espiras e A é a área da espira (Ver a demonstração desta expressão no livro texto). Usando a definição de produto vetorial, temos: Bsen NiABsen

18 E X E R C Í C I O 21. Represente a força magnética que atua sobre cada condutor retilíneo, percorrido por corrente elétrica e imerso no interior de um campo magnético uniforme, nos casos: a ) b ) B B i i c) d) 22. A figura abaixo mostra uma espira retangular CDEG, situada no plano da folha de papel, colocada entre os polos de um imã. Observando o sentido da corrente que está passando na espira responda: a) Qual é o sentido da força que atua em cada um dos lados GE, ED e DC da espira? b) Descreva o movimento que a espira tende a adquirir. 23. Um condutor, mesmo transportando uma corrente elétrica, tem carga líquida zero. Por que, então, um campo magnético exerce força sobre ele?

19 24. Um condutor reto e horizontal de comprimento L = 0,5m, e massa m = 2, kg, percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i = 8,0 A, encontra-se em equilíbrio sob ação exclusiva do campo da gravidade e de um campo magnético uniforme B, conforme mostra a figura abaixo. Determine: R: a) 4,9x 10-2 T; b) para direita a) A intensidade do vetor B. B b) O sentido da corrente i. 25. Um fio de 50 cm de comprimento, situado ao longo do eixo x, é percorrido por uma corrente de 0,50 A, no sentido positivo dos x. O fio está imerso num campo magnético dado por B = (0,003 T) j + (0,01 T) k. Determine a força magnética sobre o fio. R: (- 2,5x10-3 N) j + (7,5x10-4 N) k 26. Um fio reto de 1,8 m de comprimento transporta uma corrente de 13 A e faz um ângulo de 35 o com um campo magnético uniforme B = 1,5 T. Calcular o valor da força magnética sobre o fio. R: 20,13 N 27. Um fio com 13,0 g de massa e L = 62,0 cm de comprimento está suspenso por um par de contatos flexíveis na presença de um campo magnético uniforme de módulo 0,440 T entrando pelo plano da folha (veja figura abaixo). Determine (a) o valor absoluto e (b) o sentindo (para direita ou para a esquerda) da corrente necessária para remover a tensão dos contatos. R:a) 0,47 A; b) a Corrente está para a direita. 28. Considere a possibilidade de um novo projeto para um trem elétrico. O motor é acionado pela força devido ao componente vertical do campo magnético da Terra

20 sobre um eixo de condução. Uma corrente passa debaixo de um dos trilhos, através de uma roda condutora, do eixo, da outra roda condutora e, então, volta à fonte pelo outro trilho. (a) Que corrente é necessário para fornecer uma força modesta de 10 kn? Suponha que o componente vertical do campo magnético da Terra seja igual a 10 μt e que o comprimento do eixo seja 3 m. (b) Quanta potência será dissipada para cada ohm de resistência nos trilhos? (c) Um trem como este é real. R: a)3,33x10 8 A; b) 1,11x10 17 W; c) não. Campo magnético gerado por corrente elétrica Já comentamos que a experiência de Oersterd levou à conclusão de que as cargas elétricas em movimento (corrente elétrica) criam campo magnético no espaço em torno delas. Em 1820, Hans Christian Oersted ( ) mostrou que uma bússola sofria deflexão quando era colocada perto de um fio percorrido por corrente elétrica. Por outro lado era conhecido que campos magnéticos produzem deflexão em bússola, o que levou Oersted a concluir que correntes elétricas induzem campos magnéticos. Com isto ele havia encontrado, então, uma conexão entre eletricidade e o magnetismo. Iremos, agora, analisar a relação entre o campo magnético e as correntes elétricas que originaram este campo. Estudaremos os campos magnéticos que são estabelecidos por alguns tipos particulares de condutores percorridos por uma corrente elétrica. Devemos lembrar que o campo magnético é uma grandeza vetorial e que este campo pode ser representado por linhas de campo. Para facilitar a representação do campo magnético gerado por corrente elétrica podemos usar uma regra da mão direita que relaciona a corrente elétrica com o campo magnético gerado por esta corrente elétrica. Esta regra prática, muito usada, nos permite facilmente obter o sentido do campo magnético em torno de um fio. Dispondo o polegar da mão direita ao longo do fio condutor, no sentido da corrente elétrica, e os demais dedos envolvendo o condutor, estes dedos nos indicarão o sentido das linhas de campo magnético. O sentido das linhas de campo em cada pondo nos indica a direção e sentido do campo magnético neste ponto. Na figura abaixo temos a representação desta regra da mão direita e das linhas de campo magnético gerado por um fio reto percorrido por uma corrente elétrica i.

21 No estudo do campo elétrico usamos duas leis para determinar este campo, a lei de Coulomb e a lei de Gauss. De modo semelhante vamos usar duas leis para estudar o campo magnético gerado por corrente elétrica, a lei de Biot - Savart e a lei de Ampère. Lei de Biot Savart O campo magnético criado por um condutor transportando uma corrente elétrica pode ser encontrado pela lei de Biot Savart. Para determinarmos o campo magnético gerado por um fio de forma arbitrária podemos dividir mentalmente o fio em elementos infinitesimais ds e definir para cada elemento um vetor comprimento ds de módulo ds e sentido da corrente em ds. Se definirmos um elemento de corrente i ds, a lei de Biot Savart assegura que a contribuição db do campo magnético, devido ao elemento de corrente i ds, num ponto P, a uma distância r do elemento de corrente, é dado por: 0i dsr db 3 4 r Podemos calcular o campo resultante B no ponto P somando, por meio de integração, as contribuições db de todos os elementos de corrente.

22 Na expressão acima, o é uma constante chamada de permeabilidade do vácuo, cujo valor é: o =4 x10-7 T.m/A. Campo Magnético no centro de uma espira circular O campo magnético no centro de uma espira circular, percorrida por uma corrente elétrica i, é diretamente proporcional à corrente elétrica e inversamente proporcional ao raio da espira. i B 2r onde: r é o raio da espira Direção e sentido de B A direção do campo magnético é normal ao plano da espira. O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita. Podemos usar a lei de Biot - Savart para demonstrar a expressão usada para o cálculo do campo magnético no centro de uma espira circular de raio r, percorrida por uma corrente i. Partindo da Lei de Biot-Savart, temos: o o ids r o idsrsen90 o ids db db r 4 r 4 r int egrando : db o ids 2 4 r i i B ds 2 r 4 4 i B o 2r 2 r o o 2 2 r r 0

23 LEI DE AMPÈRE Podemos determinar o campo magnético resultante devido a qualquer distribuição de correntes com a lei de Biot-Savart, mas se a distribuição for complicada, podemos ter que usar um computador para o cálculo. Entretanto se a distribuição apresentar determinada simetria é possível que possamos aplicar a lei de Ampère para determinar o campo magnético com um esforço consideravelmente menor (de modo semelhante ao uso da lei de Gauss para calcular o campo elétrico). A lei de Ampére pode ser enunciada da seguinte maneira: A integral de linha do campo magnético B em torno de qualquer trajetória fechada é igual a 0 vezes a corrente líquida que atravessa a área limitada pela trajetória. Ou seja, para uma curva amperiana (curva fechada), temos que: B.d s 0i A integral de linha nesta equação é calculada ao redor da curva amperiana, e i é a corrente líquida englobada pela curva amperiana. Não precisamos saber o sentido de B antes de fazer estão integração. Supomos arbitrariamente B como estando geralmente no mesmo sentido da integração e usamos a seguinte regra da mão direita para atribuir o sinal de cada uma das correntes envolvida pela curva amperiana: curve a sua mão direita ao redor da curva amperiana, com os seus dedos apontados no sentido de integração. A uma corrente que atravessa a curva, no sentido do seu dedo polegar estendido se atribui um sinal positivo e a uma corrente no sentido contrário se atribui um sinal negativo. Campo magnético devido a uma corrente em um fio reto e longo A intensidade do campo magnético a uma distância d de um fio reto e longo transportando uma corrente i é diretamente proporcional à corrente elétrica i e inversamente proporcional à distância d. Esta relação é dada por i B 2 d onde: B é a intensidade do campo magnético

24 é a permeabilidade magnética do meio d é a distância do ponto até o condutor As linhas de campo de B formam círculos concêntricos ao redor do fio, como está representado na figura abaixo. Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar a expressão usada para o cálculo do campo magnético gerado por uma corrente i, a uma distância r de um fio reto e longo. Usando a lei de Ampère B. ds i o Bds cos0 o B ds i B2 r i o i o o

25 Com isso temos que o módulo do campo magnético em um fio retilíneo longo é dado por: i o B 2 r Vamos usar a lei de Ampère para estudar o campo magnético no interior de um fio longo retilíneo percorrido por corrente elétrica distribuída uniformemente na seção reta do fio. B. ds B2r i int erior oo i B 2 r. o oo i o Como a corrente está uniformemente distribuída na seção reta do fio, a densidade de corrente tem o mesmo valor para a área no interior da curva amperiana e em toda a área do fio: J i o Jo o o ir R 2 2 i i i i A A R r o 2 2 Substituindo, temos: oi o ir B. 2r 2r R oir B 2 2 R 2 2 Observe que no interior do fio o campo magnético é proporcional a r; o campo é nulo centro do fio e máximo na superfície, onde r = R.

26 Campo magnético de um solenóide Denomina-se por solenoide um fio condutor enrolado em uma helicoidal com voltas de espaçamento muito próximo, ou seja, uma bobina helicoidal formada por espiras circulares muito próximas. Ele é considerado um solenoide ideal quando for infinitamente grande, com isto queremos dizer que ele é formado por um número muito grande de espiras. Se uma corrente percorre o solenoide ela induz campos magnéticos em seu entorno. Se o solenoide é considerado infinito (solenoide ideal) não teremos efeitos de bordas, portanto só existirão campos magnéticos no seu interior. Então, quanto mais longo for o solenoide mais uniforme é o campo magnético no seu interior e mais fraco é o campo magnético no seu exterior. Deste modo, o vetor campo magnético (ou indução magnética) B em qualquer ponto no interior de um solenoide ideal é o mesmo, ou seja, ele é uniforme. Este campo magnético tem as seguintes características: - O vetor B, no interior do solenoide é paralelo ao seu eixo central. - O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita. - O campo magnético no solenoide é equivalente ao campo criado por imãs, com polos Norte e Sul. - O campo magnético no interior do solenoide é uniforme e diretamente proporcional à intensidade da corrente nas espiras e ao número de espiras por unidade de comprimento do solenoide. B in onde: n é o número de espiras por unidade de comprimento. 0

27 Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar e expressão do campo magnético no interior de um solenoide. B. ds i B. ds B. ds B. ds B. ds i B. ds i 0Bds 0B0 0Bds o env b c d a a b c d b a Bh i o o env Bh inh o B in o env o env A importâcia de estudarmos modêlos ideais, se justifica na aproximação destes modêlos ideais com modêlos reais. Em pontos bem afastados das extremidades de um solenóide real (quando o comprimento deste solenóide for muito maior do que o seu diâmetro) podemos aplicar as mesmas propriedades de um solenóide ideal. Um solenóide fornece uma forma prática de se criar um campo magnético uniforme conhecido, da mesma forma que um capacitor de placas paralelas fornece uma forma prática de criar um campo elétrico uniforme conhecido. Estes campos têm importantes aplicações para experimentos.

28 Campo Magnético de um Toróide O toróide pode ser considerado como um solenóide que foi encurvado em forma de um círculo, assumindo a forma da câmara de ar de um pneu. O módulo do campo magnético B criado em seus pontos interiores (dentro do tubo 0iN em forma de pneu) é dado por B. 2 r Onde: i é a corrente nos enrolamentos do toróide N é o número total de voltas r é a distância do ponto até o centro do toróide O campo magnético no interior de um toróide ou de um solenóide pode ser dado por outra regra da mão direita: envolva o toróide (ou solenóide) com os quatro dedos da mão direita, curvados no sentido da corrente nos enrolamentos; o seu dedo polegar estendido aponta no sentido do campo magnético. O campo magnético é nulo em pontos no exterior de um toróide ideal (como se o toróide fosse feito de um solenóide ideal). Força magnética entre dois fios retos e paralelos percorridos por correntes elétricas Dois fios longos e paralelos, percorridos por correntes elétricas, exercem forças um sobre o outro. Considere dois fios percorridos pelas correntes i a e i b, separados por uma distância d.

29 A força que o fio percorrido por i a exerce sobre o comprimento L do outro é dado por F i LB b b a O campo magnético criado por este fio, a uma distância d (posição do outro fio), é igual a: B a oa i 2 d Substituindo esta equação na equação da força temos que, oa i Fb ib LBa ibl 2 d oliaib F 2 d Representando as forças que atuam em cada fio, quando as correntes forem de sentidos opostos ou de mesmo sentido, podemos verificar que: Quando as correntes forem no mesmo sentindo os fios irão se atrair. Caso as correntes tenham sentidos opostos os fios irão se repelir. E X E R C Í C I O 29. Topógrafo está usando uma bússola a 6m abaixo de uma linha de transmissão na qual existe uma corrente constante de 100 A. (a) Qual é o valor do campo magnético no local da bússola em virtude da linha de transmissão? (b) Isso irá interferir seriamente

30 na leitura da bússola? O componente horizontal do campo magnético da Terra no local é de 20 μt. R:a) 3,33x10-6 T; b)sim. 30. Um fio retilíneo longo transporta uma corrente de 50 A horizontalmente para a direita. Um elétron está se movendo a uma velocidade de 1, m/s ao passar a 5 cm deste fio. Que força atuará sobre o elétron se a sua velocidade estiver orientada (a) verticalmente para cima e (b) horizontalmente para a direita? 31. Na figura abaixo estão representados dois fios retos e longos, percorridos pelas correntes elétricas i 1 e i 2. Considerando o meio, o vácuo, determine o módulo, a direção e o sentido do campo magnético resultante no ponto P. R: 1,0x10-5 T i 1 = 3A i 2 = 4A P 2 cm 4 cm 32. Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios R 1 = 6 cm e R 2 = 24 cm são percorridas por correntes elétricas i 1 e i 2 respectivamente. R: a) i 2 = 4 i ; b) antihorário a) Determine a relação entre i 1 e i 2, sabendo-se que o campo magnético resultante no centro das espiras é nulo. b) Se i 1 tem sentido horário, qual o sentido de i Duas bobinas (solenoides 1 e 2), cada uma com 100 espiras e cujos comprimentos são L 1 = 20cm e L 2 = 40cm, são ligadas em série aos polos de uma bateria. R: a) igual ; b) maior c) B 2 = 3x10-3 T a) A corrente que passa na bobina (1) é maior, menor ou igual àquela que passa na bobina (2)? b) O campo magnético B 1 no interior da bobina (1), é maior, menor ou igual ao campo magnético B 2 no interior da bobina (2)? c) Sabendo-se que B 1 = 6, T, qual é o valor de B 2?

31 34. Módulo do campo magnético a 88,0 cm do eixo de um fio retilíneo longo é 7,3 T. Calcule o valor da corrente que passa no fio. R: 32,12 A 35. Um fio retilíneo longo transportando uma corrente de 100 A é colocado num campo magnético externo uniforme de 5,0 mt como está representado na figura abaixo. Localize os pontos onde o campo magnético resultante é zero. R: nos pontos sobre uma reta a m abaixo do fio. 36. Dois fios longos e paralelos estão separados uma distância de 8,0 cm. Que correntes de mesma intensidade devem passar pelos fios para que o campo magnético a meia distância entre eles tenha módulo igual a 300 μt? R: 30A em sentidos opostos 37. Dois fios, retilíneos e longos, separados por 0,75 cm estão perpendiculares ao plano da página, como mostra a figura abaixo. O fio 1 transporta uma corrente de 6,5 A para dentro da página. Qual deve ser a corrente (intensidade e sentido) no fio 2 para que o campo magnético resultante no ponto P seja zero? R: 4,33 A p/ fora da página. 38. Dois fios longos e paralelos, separados por uma distância d, transportam correntes i e 3i no mesmo sentido. Localize o ponto ou os pontos em que seus campos magnéticos se cancelam.

32 R: nos pontos sobre uma reta, entre os fios, a uma distância d/4 do fio que transporta a corrente i. 39. Na figura abaixo dois arcos de circunferência têm raios R 2 = 7,80 cm e R 1 = 3,15 cm, submetem um ãngulo θ = 180 o, conduzem uma corrente i = 0,281 A e têm o mesmo centro de curvatura C. determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magnético no ponto C 40. Na figura abaixo, um fio é formado por uma semicircunferência de raio R = 9,26 cm e dois segmentos retilíneos (radiais) de comprimento L = 13,12 cm cada um. A corrente no fio é i = 34,8 ma. Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magnético no centro de curvatura C da semicircunferência. 41. Na figura abaixo um fio retilíneo longo conduz uma corrente i 1 = 30,0 A e uma espira retangular conduz uma corrente i 2 = 20,0 A. Suponha que a = 1,00 cm e b = 8,00 cm e L = 30,0 cm. Em ermos dos vetores unitários, qual é a força a que está submetida a espira? : 3,2 10 R x N j 3 ˆ 42. Os oito fio da figura abaixo conduzem correntes iguais de 2,0 A para dentro ou para fora do papel. Duas curvas estão indicadas para a integral de linha o valor da integral (a) para a curva 1; (b) para a curva 2. R : a)2 o b)0 B d s. Determine

33 43. A figura abaixo mostra um seção reta de um fio cilíndrico longo de raio a = 2,00 cm que conduz uma corrente uniforme de 170 A. determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente a uma distância do eixo do fio igual a (a) 0; (b) 1,00 cm; (c) 2,00 cm (superfície do fio); (d) 4,00 cm. 44. A figura abaixo mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico oco de raios a e b que conduz uma corrente i uniformemente distribuída. (a) mostre que, no intervalo b < r < a, o módulo B(r) do campo elétrico a uma distância r do eixo central do condutor é dado por B 2 i o r b 2 2 a b r 2 2. (b) mostre que, para r = a, a equação do item (a) fornece o módulo B do campo magnético na superfície do condutor; para r = b, o campo magnético é zero; para b= 0, a equação fornece o módulo do campo magnético no interior de um condutor cilíndrico maciço de rio a. FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA Desde que Oersted, em 1820, descobriu que uma corrente elétrica gera um campo magnético, a simetria das relações entre o magnetismo e a eletricidade levou os físicos a acreditar na proposição inversa: se a corrente elétrica num condutor gera um campo

34 magnético então um campo magnético deve gerar uma corrente elétrica. A questão era saber como isso poderia ser feito, o que acabou sendo descoberto por Faraday, em A produção de corrente elétrica por campo magnético é chamada de indução eletromagnética e a corrente elétrica de corrente induzida. No exercício abaixo, temos uma maneira bem simples de gerar uma força eletromotriz e uma corrente induzida. E X E R C Í C I O 45. Considere uma barra metálica C D deslocando-se com velocidade v, dentro de um campo magnético B, como mostra a figura abaixo: a. Qual é o sentido da força magnética que atua nos elétrons livres da barra? b. Então, diga qual das extremidades da barra ficará eletrizada positivamente e qual ficará eletrizada negativamente? c. Ligando-se C e D por um fio condutor, como mostra a figura abaixo, represente o sentido da corrente induzida neste fio. D B F v C R: a) C para D b) C positiva e D negativa c) CFD 46. No exercício anterior, suponha que fosse interrompido o movimento da barra CD. A separação das cargas na barra permaneceria? Explique. R: não, a força magnética seria nula

35 Fluxo do campo magnético Para entender o Fenômeno da Indução eletromagnética é necessário introduzir o conceito de fluxo de campo magnético. Semelhante ao conceito de fluxo do campo elétrico (estudado na lei de Gauss), o fluxo do campo magnético está relacionado ao número de linhas de campo magnético que atravessam determinada superfície. Na Figura abaixo está representada uma espira retangular envolvendo uma área A, colocada em uma região onde existe um campo magnético B. O fluxo magnético através desta espira é B. d A B Como no estudo do fluxo do campo elétrico, o vetor da é perpendicular a uma área diferencial da. da B A unidade de fluxo magnético, no SI é o tesla-metro quadrado, que é chamado e weber (abreviado por Wb) 1 weber = 1wb = 1T.m 2 Para o caso particular onde o campo B tem o mesmo módulo por toda uma superfície de área A e que o ângulo seja constante, temos que: B BAcos onde: B - é o fluxo magnético através da superfície de área A - é o ângulo entre da (normal à superfície) e B (campo magnético uniforme)

36 Lei de Faraday da Indução Eletromagnética Quando ocorrer uma variação do fluxo magnético através de uma espira condutora, aparece nesta espira uma força eletromotriz induzida. A intensidade desta fem é igual à taxa de variação do fluxo magnético através dessa espira. d dt B B Para uma taxa de variação constante no fluxo ( constante), temos que: t Se variarmos o fluxo magnético através de uma bobina de N voltas, enroladas de forma compacta de modo que o mesmo fluxo magnético B atravesse todas as voltas, a fem total induzida na bobina é: NdB dt Apresentamos a seguir algumas maneiras, por meio das quais podemos variar o fluxo magnético que atravessa uma bobina. 1. Variando a intensidade B do campo magnético no interior da bobina. 2. Variando a área da bobina, ou a porção dessa área que esteja dentro de uma região onde existe campo magnético (por exemplo, deslocando a bobina para dentro ou para fora do campo). 3. Variando o ângulo entre B e da (por exemplo, girando a bobina de modo que o campo B esteja primeiramente perpendicular ao plano da bobina e depois esteja paralelo a esse plano). No esquema representado na figura abaixo, quando o imã em forma de barra se aproximar ou se afastar da espira, o fluxo magnético através da espira sofre uma variação e, portanto aparece uma corrente induzida na espira. No entanto, se o imã permanecer em repouso em relação à espira, não haverá variação no fluxo magnético e, portanto não teremos corrente induzida na espira.

37 LEI DE LENZ O sinal negativo na lei de Faraday indica que a força eletromotriz se opõe à variação do fluxo magnético. Este sinal é frequentemente omitido, pois geralmente esta lei é usada para se obter o módulo da força eletromotriz induzida. Para determinar o sentido da corrente induzida podemos usar uma regra proposta por Heinrich Friedrich Lenz, a qual é conhecida como lei de Lenz. A lei de Lenz pode ser enunciada da seguinte maneira: A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético produzido por esta corrente se opõe à variação do fluxo magnético através da espira. Exemplo: Vamos usar o caso em que uma espira retangular passa por uma região onde existe um campo magnético uniforme para aplicar a lei de Lenz. Considerando que na região limitada pelo retângulo tracejado tenha um campo uniforme B, e que fora desta região não tenha campo magnético, represente o sentido da corrente induzida, na espira, em cada caso, ou seja, quando a espira penetra no campo magnético, quando ela está completamente imersa neste campo e quando ela está saindo da região onde existe o campo magnético: R B B B v E X E R C Í C I O 47. Qual é o sentido da corrente induzida no amperímetro da bobina Y representada na figura abaixo (a) quando a bobina Y é movida na direção da bobina X e (b) quando a

38 corrente na bobina X é diminuída, sem qualquer alteração na posição relativa das bobinas? R: a) esquerda b) direita AMPERÍMETRO 48. Um ímã, polo norte voltado para um anel de cobre, é afastado do anel como mostra a figura abaixo. Na parte do anel mais afastada do leitor, em que sentido aponta a corrente? R: Direita 49. Uma espira circular é deslocada com velocidade constante através de regiões onde campos magnéticos uniformes de módulos iguais estão orientados para fora ou para dentro da página, como mostra a figura abaixo. Para quais das sete posições mostradas a corrente induzida será (a) horária, (b) anti-horária e (c) zero? R: a) 2 e 6 b) 4 c) 1,3,5 e 7

39 50. A resistência R no lado esquerdo do circuito da figura abaixo está sendo aumentada numa taxa constante. Qual é o sentido da corrente induzida na espira do lado direito do circuito? R: Horário 51. Considere uma barra metálica CD deslocando-se com velocidade constante v, numa região onde existe um campo magnético uniforme B. A barra desloca-se apoiando em dois trilhos, também metálicos, separados de uma distância L, como mostra a figura abaixo. Usando a lei de Faraday, mostre que o valor da fem induzida na barra é dado por: = L B v. C L B v D 52. Na figura abaixo o segmento retilíneo de fio está se movendo para a direita com velocidade constante v. Uma corrente induzida aparece no sentido mostrado. Qual deve ser o sentido do campo magnético uniforme (suposto constante e perpendicular à página) na região A? R: entrando na página 53. Uma antena circular de televisão para UHF (frequência ultra-elevada) tem um diâmetro de 11 cm. O campo magnético de um sinal de TV é normal ao plano da

40 antena e, num dado instante, seu módulo está variando na taxa de 0,16 T/s. O campo é uniforme. Qual é a fem na antena? R: 1,5x10-3 V 54. O fluxo magnético através da espira mostrada na figura abaixo cresce com o tempo de acordo com a relação onde B t t 2 6,0 7,0, B é dado em miliwebers e t em segundos. (a) Qual é o módulo da fem induzida na espira quando t = 2,0s? (b) Qual é o sentido da corrente em R? R: a) 31mV ; b) esquerda 55. A figura abaixo mostra uma barra condutora de comprimento L sendo puxada ao longo de trilhos condutores horizontais, sem atrito, com um velocidade constante v. Um campo magnético vertical e uniforme B, preenche a região onde a barra se move. Suponha que L = 10 cm, v = 5,0 m/s e B = 1,2 T (a) Qual é a fem induzida na barra? (b) Qual é a corrente na espira condutora? Considere que a resistência da barra seja 0,40 e que a resistência dos trilhos seja desprezível. (c) Com que taxa a energia térmica está sendo gerada na barra? (d) Que força um agente externo deve exercer sobre a barra para manter seu movimento? (e) Com que taxa este agente externo realiza trabalho sobre a barra? Compare esta resposta com a do item (c). R: a) 0,6V; b) 1,5ª; c) 0,9W; d) 0,18N; e) 0,9W

41 56. Uma barra metálica está se movendo com velocidade constante ao longo de dois trilhos metálicos paralelos, ligados por tira metálica numa das extremidades, como mostra a figura do exercício 55. Um campo magnético B = 0,350T aponta para fora da página. (a) Sabendo-se que os trilhos estão separados em 25,0 cm e a velocidade escalar da barra é 55,0 cm/s, que fem é gerada? (b) sabendo-se que a resistência elétrica da barra vale 18,0 e que a resistência dos trilhos é desprezível, qual é a corrente na barra? R: a) 4,8x10-2 V b) 2,67 x 10-3 A

42 INDUTORES Assim como os capacitores podem ser usados para produzir um campo elétrico numa determinada região os indutores podem ser usados para produzir um campo magnético. O tipo mais simples de indutor é um solenoide longo. Um indutor pode ser representado pelo símbolo da figura abaixo. Indutância Quando uma corrente i percorre as N espiras de um indutor (por exemplo, um solenóide), um fluxo magnético é produzido, pela corrente elétrica, no interior do indutor. A indutância L do indutor é dada por: N L i Unidade de indutância no SI. 1 T m 2 / A = 1 henry (H) Indutância de solenóide A indutância L por unidade de comprimento l, na região central, de um solenóide longo, de seção transversal de área A e com n espiras por unidade de comprimento, é dada por (ver demonstração no livro texto): L 1 2 0nA Observações: Para um solenóide de comprimento muito maior do que o seu raio, a equação acima fornece a sua indutância com uma boa aproximação. Assim como a capacitância de um capacitor a indutância de um indutor depende apenas das características (forma geométrica) deste dispositivo.

43 EXERCÍCIOS 57. Mostre que a indutância por unidade de comprimento próximo a região central de um solenóide longo é dada por: Auto indução L l 2 0nA Quando houver uma variação do fluxo magnético em um circuito, mesmo uma variação do fluxo magnético produzido pela corrente fluindo no próprio circuito, será induzido uma força eletromotriz no circuito. As forças eletromotrizes geradas por correntes do próprio circuito são chamadas de força eletromotriz auto-induzidas. Então uma fem auto-induzida L aparece numa bobina quando a corrente nesta bobina estiver variando. Aplicando a lei da indução de Faraday podemos encontrar a relação entre está fem auto-induzida e a taxa de variação da corrente elétrica. N L N il i L dn ( ) dt ( di) L L dt onde: ( di) dt é a taxa de variação da corrente elétrica com o tempo. Observação: O sentido da fem auto-induzida pode ser encontrado usando a lei de Lenz. Esta fem atua num sentido tal que ela se opõe à variação do fluxo magnético que a produz. O sentido de um campo elétrico auto-induzido (não eletrostático) pode ser encontrado pela lei de Lenz. Considerando-se a fonte deste campo e, portanto, a fem a ele associado, como a corrente variável no condutor. Se a corrente estiver aumentando, o sentido do campo induzido será oposto ao desta corrente. Se a corrente diminui, o campo induzido terá o mesmo sentido da corrente. Então, o campo induzido se opõe à variação da corrente e não a corrente em si.

44 EXERCÍCIOS 58. A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras vale 8,0 mh. Calcule o fluxo magnético através da bobina quando a corrente é de 5,0 ma. R : 1x10 7 Wb 59. Um solenóide é enrolado com uma única camada de fio de cobre isolado (diâmetro = 2,5 mm). O solenóide tem 4,0 cm de diâmetro, um comprimento de 2,0 m e 800 espiras. Qual é a indutância por metro de comprimento, na região central do solenóide? Suponha que as espiras adjacentes se toquem e que a espessura do isolamento seja desprezível.r : 2,52x10 4 H / m. 60. Num dado instante, a corrente e a fem induzida num indutor têm os sentidos indicados na Fig.01. (a) A corrente está crescendo ou decrescendo? (b) A fem vale 17 V e a taxa de variação da corrente é 25 ka/s; qual é o valor da indutância? R: a) decrescente ; b) 6,8x10 4 H E i 61. Indutores em Série. Dois indutores L 1 e L 2 estão ligados em série e separados por uma distância grande. (a) Mostre que a indutância equivalente é dada por L eq = L 1 + L 2 (b) porque a separação entre os indutores tem de ser grande para que a relação acima seja válida? (c) Qual é a generalização do item (a) para N indutores em série? R: b) para que um não induza corrente no outro. 62. Indutores em paralelo. Dois indutores L 1 e L 2 estão ligados em paralelo e separados por uma distância grande. (a) Mostre que a indutância equivalente é dada por

45 1 1 1 L L L eq 1 2 (b) Por que a separação entre os indutores tem de ser grande para que a relação acima seja válida? (c) Qual é a generalização do item (a) para N indutores em paralelo? 63. Um solenóide cilíndrico longo com 100 espiras/cm tem um raio de 1,6 cm. Suponha que o campo magnético que ele produz seja paralelo ao eixo do solenóide e uniforme em seu interior. (a) Qual é a sua indutância por metro de comprimento? (b) Se a corrente variar a um taxa de 13 A/s, qual será a fem induzida por metro? R: a) 0,1 H/m ; b) 1,3 V/m. Circuitos RL (Resistor indutor) No estudo do circuito RC (resistor capacitor), vimos que se introduzirmos subitamente uma fem em um circuito contendo um resistor R e um capacitor C, a carga sobre o capacitor não aumenta imediatamente até o seu valor final de equilíbrio C, mas dele se aproxima de forma exponencial. E quando removermos a fem deste mesmo circuito, a carga não cai imediatamente para zero, mas se aproxima de zero de forma exponencial. Um atraso semelhante ocorre no crescimento (ou na queda) da corrente se introduzirmos (ou removermos) uma fem em um circuito de malha simples contendo um resistor R e um indutor L (circuito RL). Todo indutor tem necessariamente uma resistência. Para distinguir entre os efeitos da resistência e da indutância, é comum representar um indutor como um indutor ideal sem resistência, em série com um resistor não-indutivo. O mesmo diagrama também pode representar um resistor em série com um indutor, sendo R, agora, a resistência total da combinação, como está representado na figura a seguir.

46 Suponha que a chave ch no circuito, representado na figura acima, seja subitamente fechada na posição a. Por causa da fem auto-induzida E Ldi / dt, a corrente não cresce imediatamente até seu valor final, no instante em que o circuito é fechado, mas cresce numa taxa que depende da indutância e da resistência do circuito. Aplicando a lei das malhas, de kirchhoff, podemos escrever para este circuito: L E di ir L 0 dt Esta é uma equação diferencial que pode determinar a corrente i no circuito como uma função do tempo. A solução para esta equação diferencial é: E i R t/ L (1 e ) Onde: L = L / R (é a constante de tempo indutiva) Substituindo t = 0 na equação acima temos i 0 = 0, o que indica que a corrente é inicialmente nula. Para um longo tempo após a chave ter sido fechada ( t ) podemos verificar que a corrente tende ao seu valor de equilíbrio i E. R Agora, suponha que após a corrente ter atingido o seu valor final ( i chave ch seja ligada na posição b. E ) a R

47 Aplicando a lei das malhas e este novo circuito teremos outra equação diferencial: di L ir 0 dt Cuja solução é: i e R t / L De acordo com a equação anterior a corrente decai de um valor inicial E i0 ( em t 0), para um valor final nulo ( t ). R Devemos observar que inicialmente, um indutor atua se opondo a variações na corrente que passa por ele. Muito tempo depois, ele atua como um fio de ligação comum. EXERCÍCIOS 64. Esboce o gráfico i t, para os dois casos do circuito RL citados anteriormente, corrente aumentando e diminuindo com o tempo. 65. Um solenóide de indutância igual a 6,30 H está ligado em série a um resistor de 1,20 K. (a) Ligando-se uma bateria de 14 V a esse par, quanto tempo levará para que a corrente através do resistor atinja 80,0% de seu valor final? (b) Qual é a corrente através do resistor no instante t =1,0 L? R: a) 8,85x10 9 s ; b) 7,37 x 10 3 A. 66. Quanto tempo, após a remoção da bateria, a diferença de potencial através do resistor num circuito RL (com L = 2,00 H, R = 3,00 ) decai a 10,0% de seu valor inicial? R : 1,53 s 67. Um solenóide tem uma indutância de 53 mh e uma resistência de 0,37. Sendo ligado a uma bateria, em quanto tempo a corrente atingirá metade do seu valor final de equilíbrio? R : 9,93x10-2 s.

48 Indução Mútua Quando duas bobinas estão próximas uma da outra, uma corrente variando numa das bobinas pode induzir uma fem na outra. A fem induzida neste fenômeno, de indução mútua é dada por: di M dt di M dt 2 1 E 1 e E 2 Onde: M é o coeficiente de indutância mútua do conjunto das duas bobinas. A unidade de M, é a mesma de L. Assim, vemos que a fem induzida em qualquer uma das bobinas é proporcional à taxa de variação da corrente na outra bobina. Energia Armazenada num Campo magnético Os indutores podem armazenar energia, em seus campos magnéticos, assim como os capacitores armazenam energia em seus campos elétricos. A energia total armazenada por um indutor de indutância L transportando uma corrente elétrica i, é dada por (ver demonstração no livro texto): U B Li 2 2 EXERCÍCIOS 68. Duas bobinas estão em posições fixas. Quando na bobina 1 não há corrente e na bobina 2 existe uma corrente que cresce numa taxa constante de 15 A/s, a fem da bobina vale 25 mv. Determinar a indutância mútua destas bobinas. R: 1,67x10-3 H. 69. A energia armazenada num certo indutor é de 25 mj quando a corrente é 60 ma. (a) Calcular a indutância deste indutor. (b) Que corrente é necessária para a energia magnética armazenada ser quatro vezes maior? R: a) 13,89 H ; b)120 ma 70. Uma bobina tem uma indutância de 53 mh e uma resistência de 0,35.

49 a) Aplicando-se uma fem de 12 V através da bobina, qual é a energia armazenada no campo magnético após a corrente atingir o seu valor de equilíbrio? b) Depois de quantas constantes de tempo, metade desta energia de equilíbrio estará armazenada no campo magnético? R: a) 31 J ; b) 1,2 L. Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada Circuito LC (Indutor-Capacitor) Neste momento, estudaremos como a carga q varia com o tempo num circuito constituído de um indutor L, um capacitor C e um resistor R. Discutiremos como a energia é transferida do campo elétrico do capacitor para o campo magnético do indutor e vice-versa, sendo dissipada gradualmente no decorrer das oscilações sob a forma de energia térmica no resistor. Para começar vamos tratar de um caso mais simples, um circuito contendo apenas um indutor e um capacitor, onde desprezaremos a resistência do condutor. Portanto, não há dissipação de energia. Estudamos os circuitos RC e RL, onde verificamos que a carga e a corrente elétrica crescem e decaem exponencialmente. Quando ligamos um capacitor carregado, a um indutor sem resistência (circuito LC) a carga e a corrente elétrica, não variam exponencialmente, mas variam sonoidalmente com o tempo. No instante em que é feita a ligação, o capacitor começa a se descarregar através do indutor, a energia armazenada no campo elétrico do capacitor é transferida para o campo magnético no indutor. Num instante posterior, o capacitor estará completamente descarregado e toda energia estará armazenada no campo magnético do indutor. O campo magnético está então com a sua intensidade máxima, e a corrente através do indutor terá seu valor máximo. Esse campo magnético agora decresce transferindo energia do indutor para o capacitor, sendo que a corrente diminui gradualmente durante está transferência de energia. Quando, finalmente, a energia se transferiu totalmente de volta para o capacitor, a corrente se reduz a zero (momentaneamente) e o capacitor estará carregado com polaridade invertida. O processo agora se repete no sentido oposto e na ausência de perdas de energia, as cargas no capacitor movimentar-se-ão num sentido e noutro indefinidamente. Este processo é chamado de oscilações eletromagnéticas.

50 Do ponto de vista de energia, oscilações de um circuito LC, consiste numa transferência de energia do campo elétrico para o magnético e vise-versa, de modo que a energia total permaneça constante. Isto é análogo à transferência de energia num sistema mecânico oscilante (massa-mola), transferindo energia cinética em potencial e vice-versa. U E C L U B Num circuito LC oscilante (sem resistência), como está representado na figura acima as energias armazenadas no campo elétrico do capacitor U E e no campo magnético do indutor U B, são dadas por : U E 2 q e U B 2C Li 2 2 Onde: U = U E + U B é a energia total. Usando a condição de que a energia total permanece constante, podemos encontrar a equação diferencial que descreve as oscilações de um circuito LC sem resistências. Cuja solução geral é: 2 dq dt 2 1 q 0 LC equação como onde: q m é a amplitude da carga é a constante de fase q q cos m t

51 é a frequência angular das oscilações A constante de fase é determinada pelas condições existentes em um determinado instante, e a frequência angular é dada por: 1 2 f LC Oscilações da energia elétrica e magnética num circuito LC. A energia elétrica armazenada no circuito LC é: U E 1 q q 2 C 2C 2 2 m 2 cos t E a energia magnética é qm 2 U B Li sen t 2 2C Somando a energia elétrica e a energia magnética, obtemos a energia total do circuito LC: q 2C 2 U m 2 cos t 2 en t s 2 qm U 2C OSCILAÇÕES AMORTECIDAS NUM CIRCUITO RLC Num circuito LC real, as oscilações não continuam indefinidamente porque sempre existe alguma resistência presente, dissipando energia dos campos elétrico e magnético. É possível sustentar as oscilações eletromagnéticas providenciando um meio de fornecer, periodicamente, de uma fonte externa, energia capaz de compensar a dissipada como energia térmica. Ver estudo mais aprofundado no livro texto. 1

52 OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA Considere um circuito LC amortecido contendo uma resistência R. Se o amortecimento é pequeno, o circuito oscila com uma frequência ω = (LC) 1/2, que é chamada de frequência natural do sistema. Suponha agora que uma fem ( ) variável no tempo é aplicada ao circuito dada por '' m cos t através da utilização de um gerador externo. Nesta equação, ω é a frequência da fonte externa. Dizemos neste caso que o sistema executa oscilações forçadas. Qualquer que seja a frequência natural do circuito, as oscilações da carga, corrente ou da diferença de potencial no circuito ocorrerão com a frequência da fonte externa. A corrente no circuito será dada pela expressão '' i i s m en t Onde i m é a amplitude da corrente. O valor de i m será máximo quando a frequência da fonte externa ω for igual à frequência natural do circuito, isto é, quando: '' 1 LC Que chamamos de condição de ressonância. Uma aplicação prática da ressonância ocorre quando sintonizamos uma estação de rádio. Quando giramos o botão de sintonia, estamos ajustando a frequência natural ω de um circuito LC interno, de modo que ela se torne igual à frequência ω do sinal transmitido pela antena da estação que queremos sintonizar; estamos procurando por uma ressonância. EXERCÍCIOS 71. Qual é a capacitância de um circuito LC, sabendo-se a carga máxima do capacitor é 1,6 C e a energia total é 140 J? R : 9,14x10 9 F 72. Um capacitor de 1,5 F é carregado a 57 V. A bateria que o carrega é, então, retirada, e uma bobina de 12 mh é ligada aos terminais do capacitor, de modo que ocorram 1

53 oscilações LC. Qual é a corrente máxima na bobina? Suponha que o circuito não contenha nenhuma resistência. R : 640 ma 73. Num circuito LC, um indutor de 1,5 mh armazena uma energia máxima de 17 J. Qual é o pico (valor máximo) da corrente elétrica? R :150 ma 74. Em um circuito LC oscilatório com L 50mH e C 4F, a corrente é inicialmente máxima. Quanto tempo se passará antes que o capacitor esteja completamente carregado pela primeira vez? R: 7,02x10-4 s 75. Em um circuito LC oscilatório no qual C 4,00 F, a diferença de potencial máxima entre os terminais do capacitor durante as oscilações é de 1,50 V e a corrente máxima que atravessa o indutor é igual a 50,0 ma. (a) Qual a indutância L? (b) Qual a freqüência das oscilações? (c) Quanto tempo é necessário para que a carga no capacitor cresça de zero até o seu valor máximo? R: a) 3,6x10-3 H; b) 1326,97 Hz; c) 1,88x10-4 s 76. Em um circuito LC oscilatório, 75% da energia total estão armazenados no campo magnético do indutor em um determinado instante. (a) Em termos da carga máxima no capacitor, qual a carga no capacitor nesse instante? (b) Em termos da corrente máxima no indutor, qual a corrente que passa por ele nesse instante? R: a) 50%; b) 87% Correntes alternadas A maioria das casas são providas de fiação elétrica que conduz corrente alternada (ca), isto é, corrente cujo valor varia senoidalmente com o tempo. Uma bobina de fio, rodando com velocidade angular constante, em um campo magnético, pode dar origem a uma fem alternada senoidalmente. Este dispositivo simples é o protótipo do gerador de corrente alternada comercial, ou alternador. A corrente elétrica distribuída para utilização industrial e residencial é corrente alternada (AC, do inglês Alternating Current ), tipicamente de frequência f = 60 Hz. A principal vantagem da corrente alternada é que sua voltagem pode ser facilmente aumentada ou reduzida usando transformadores. Isso permite transmitir a energia elétrica em linhas de alta 2

54 voltagem, convertendo-a no valor caseiro ( V) ao chegar a seu destino. A vantagem da transmissão de potência em alta voltagem é que a corrente i associada é baixa, reduzindo a perda por efeito Joule nos fios de transmissão (i 2 R). Consideraremos agora alguns circuitos ligados a uma fonte de corrente alternada que mantém entre seus terminais uma ddp alternada senoidal, dada por: onde: v é a ddp instantânea v Vsent V é a ddp máxima ou amplitude de voltagem é a freqüência angular. Observação: As letras minúsculas, como a letra v, representam valores instantâneos de grandezas variáveis no tempo e as letras maiúsculas, como V, representam as amplitudes correspondentes. O símbolo de uma fonte de corrente alternada é: Diagrama de fasores Como as curvas senoidais não são fáceis de desenhar, faz-se uso frequente dos diagramas vetoriais, nos quais o valor instantâneo de uma grandeza é representado pela projeção, em um eixo vertical, de um vetor cujo comprimento corresponde á amplitude da grandeza, girando com velocidade angular no sentido anti-horário. Para os circuitos de corrente alternada, estes vetores são chamados fasores e os diagramas que os contêm, diagramas de fasores. Vamos estudar um sistema formado por uma fonte externa de força eletromotriz alternada e um circuito RLC série. Mas inicialmente vamos estudar três circuitos mais simples, constituídos por uma fonte externa e um dos elementos R, L e C. 3

55 CIRCUITO RESISTIVO ( R ) Na figura abaixo está representado um circuito contendo um resistor R e um gerador de CA com a fem alternada dada por: v R V sent R R A corrente instantânea no resistor é dada por: R R i v V R sen ( t ) R R A corrente máxima (amplitude da corrente) é: I R VR R i I sent R R Observação: A relação entre as amplitudes de voltagem e corrente (V R = I R R) se aplica a um resistor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando quão complexo seja. Tanto a voltagem como a corrente varia com sen t, de modo que a corrente está em fase com a voltagem, o que significa que os seus máximos (e mínimos) correspondentes ocorrem ao mesmo instante e os fasores de corrente e de voltagem giram juntos, como está representado nas figuras abaixo. fasores. Na figura abaixo estão representados o gráfico (i R e v R ) com v R. i R t e o diagrama de i R v R 2 0 wt i R v R t V R I R 4

56 CIRCUITO CAPACITIVO (C) Suponha, agora, que um capacitor de capacitância C esteja ligado entre os terminais da fonte de fem alternada, como está representado na figura abaixo: A carga instantânea no capacitor é dada por: qc CvC CVC sent Como, i c dqc ic CVCcos t dt Temos que: cos t sen( t 90º) Definindo uma quantidade X C, chamada reatância capacitiva do capacitor, como: X C 1 1 C C X C Podemos escrever a equação da corrente i ( V / X ) sen( t 90º) i I sen( t 90º) C C C C C Onde, a relação entre as amplitudes de voltagem e corrente VC IC XC se aplica a um capacitor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando quão complexo seja. Observação: A unidade de reatância capacitiva XC, no SI, é o ohm, mesma unidade de resistência elétrica. Para este circuito a corrente e a voltagem não estão em fase, elas estão defasadas em 90º. Como a corrente está adiantada em relação à voltagem, os picos de corrente ocorrem um quarto de ciclo antes dos picos de voltagem. No diagrama de fasores o vetor corrente está 5

57 adiantado do vetor voltagem por um quarto de ciclo ou 90º, como está representado nas figuras seguintes: Na figura abaixo estão representados o gráfico (i C e v C ) com fasores. t e o diagrama de CIRCUITO INDUTIVO ( L ) No circuito indutivo, vamos supor que um indutor de resistência nula e indutância L, seja ligado a uma fonte de fem alternada, como está representado na figura abaixo: Da definição de indutância, temos que: di di di vl L vl sent L ( vl / L) sent dt dt dt i ( v / L)cost L L Usando, cos t sen ( t 90º) e definindo que L XL, onde X L é a reatância indutiva do indutor temos que: i ( v / X ) sen( t 90º) i I sen( t 90º) L L L L L 6

58 Onde, a relação entre as amplitudes de voltagem e corrente VL ILX L se aplica a um indutor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando quão complexo seja. Observação: A unidade de reatância indutiva X L, no SI, é o ohm, mesma unidade de resistência. Para este circuito a corrente e a voltagem não estão em fase, elas estão defasadas em 90 o. A corrente está atrasada em relação à voltagem. Esta relação pode ser verificada nas figuras a seguir: fasores. Na figura abaixo estão representados o gráfico (i L e v L ) com t e o diagrama de EXERCÍCIOS 77. Num circuito capacitivo, onde C = 15 F, f = 60 Hz e V C = 36 V, determine: a ) A frequência angular. b ) A reatância capacitiva. c ) A amplitude de corrente I C, neste circuito. R : a ) 376,8 rad/s ; b ) 176,93 ; c ) 203 ma 7

59 78. Num circuito Indutivo, onde L = 230 mh, f = 60 Hz e V L = 36 V, determine: a ) A frequência angular. b ) A reatância indutiva. c ) A amplitude de corrente I L, neste circuito. R : a ) 376,8 rad /s ; b ) 86,7 ; c ) 415 ma 79. Num circuito E C, um capacitor de 1,5 F está ligado a um gerador de corrente alternada com E m = 30 V. Qual será a amplitude da corrente alternada resultante se a frequência da fem for ( a ) 1 khz e ( b ) 8 khz. R: a) 283 ma ; b) 2,261 A 80. Num circuito E L, um indutor de 50 mh está ligado a um gerador de corrente alternada com E m = 30 V. Qual será a amplitude da corrente alternada resultante se a frequência da fem for (a) 1 khz e ( b ) 8 khz. R: a) 95 ma ; b) 12 ma. 81. Num circuito E R, um resistor de 50 está ligado a um gerador de corrente alternada com E m = 30 V. Qual será a amplitude da corrente alternada resultante se a frequência da fem for (a) 1 khz e (b) 8 khz. R : a ) 0,6 A ; b ) 0,6 A 82. Um indutor de 45 mh tem uma reatância de 1,3 k. (a) Qual é a sua frequência de operação. (b) Qual é a capacitância de um capacitor com a mesma reatância nesta frequência? (c) Dobrando-se o valor desta frequência quais serão os novos valores das reatâncias do indutor e do capacitor? R : a ) 4,6 kh z ; b ) 2,66x10 8 F ; c ) X L = 2,6 k e X C = 0,65 k 83. Um gerador de CA tem uma fem E = E m sen( d t / 4), onde E m =30,0 V e d =350 rad/s. A corrente produzida i( t) Isen( d t 3 / 4) em um circuito ligado a este gerador é, I = 620mA. (a) Em que instante t após t = 0 a fem do gerador alcança pela primeira vez um máximo? (b) Em que instante t após t = 0 a corrente alcança pela primeira vez um máximo? (c) O circuito contém um único elemento além do gerador. Este elemento é um capacitor, um indutor ou uma resistência? Justifique a sua resposta. (d) Qual o valor da capacitância, da indutância ou da resistência, conforme for o caso? R: a)6,73x10-3 s; b) 11mA; c) indutor; d) 0,138H 8

60 84. Um gerador de CA tem uma fem E = E m sen t, com 25,0 V e d E m d =377 rad/s. Ele está ligado a um indutor de 12,7 H. (a) Qual o valor máximo da corrente? (b) Qual a fem do gerador quando a corrente é máxima? (c) Qual a corrente quando a fem do gerador é de -12,5 V e está aumentando em módulo? R: a) 5,22x10-3 A; b)0; c) -4,52 ma 85. O gerador de CA do problema 28 está ligado a um capacitor de 4,15 μf. (a) Qual o valor máximo da corrente? (b) Qual a fem do gerador quando a corrente é máxima? (c) Qual a corrente quando a fem do gerador é igual a -12,5V e está aumentando em módulo? R: a) 39 ma; b)0; c) 34mA O circuito RLC Em muitas situações, os circuitos de corrente alternada incluem resistência, reatância indutiva e reatância capacitiva. Na figura abaixo está representado um circuito LCR em série com um gerador de fem alternada. Quando aplicamos uma fem alternada ( sen t ) no circuito RLC acima, uma corrente alternada dada por i Isen ( t ) é estabelecida no circuito. Nossa tarefa é determinar a amplitude de corrente I e a constante de fase. A análise desse circuito é facilitada pelo uso do diagrama de fasores, que inclui os vetores voltagem e corrente para os vários componentes. Como a corrente tem um mesmo valor em todos os pontos do circuito, um único fasor I, é suficiente para representar a corrente no circuito. Aplicando a lei das malha no circuito acima, temos que: E v R v C v L (soma algébrica) 9

61 Os diagramas de fasores para I, V R, V C, V L e E m, está representado nas figuras abaixo O fasor E é igual à soma (vetorial) dos fasores V R, V C e V L, dada por: m E V ( V V ) E ( IR) ( IX IX ) m R L C m L C E I [ R ( X X ) ] M 2 2 1/ 2 L C onde: 2 2 1/ 2 R ( X L XC) Z, é chamado de impedância do circuito. m I Z Devemos observar que a unidade de impedância é a mesma de resistência (ohm). Para determinar a constante de fase, temos que: VL Vc tan V R tan X L Xc R Dependendo da relação entre as reatâncias indutiva X L e capacitiva X C, o circuito será mais indutivo (o fasor I gira atrás do fasor E fasor E ). m m ) ou mais capacitivo (o fasor I gira à frente do Observação 10

62 Nos circuitos estudados, foi considerado o estado estacionário, isto é, a condição que prevalece depois que o circuito foi ligado à fonte por algum tempo, logo que a fonte é ligada, podem existir breves correntes e voltagens adicionais chamadas transientes. Ressonância As reatâncias indutivas X L e capacitiva X C dependem da frequência da fem aplicada ao circuito RLC, consequentemente a impedância Z e a amplitude de corrente I também dependem desta frequência. Teremos uma impedância mínima e uma amplitude de corrente 1 1 máxima quando X L XC 0 X L X C L. C LC Esta frequência angular é a frequência natural ou de ressonância do circuito. Portanto a impedância tem o menor valor possível, e a amplitude de corrente o maior valor possível, quando a frequência da fem do gerador for igual à frequência natural do circuito. Nesta frequência, se diz que o circuito está em ressonância com o gerador. EXERCÍCIOS 86. Num circuito RLC, considere R = 160, C = 15 F, L = 230 mh, f = 60 Hz e m = 36V. R: a) 183,7. b) 196 ma c) 29,4º a) Determine a impedância do circuito. b) Determine a amplitude de corrente I. c) Determine a constante de fase. 87. Determine Z, e I para a situação do exercício 30 com o capacitor removido do circuito e todos os demais parâmetros permanecendo inalterados. R: 182Ω; 28,4º; 198mA 88. Determine Z, e I para a situação do exercício 30 com o indutor removido do circuito e todos os demais parâmetros permanecendo inalterados. R: 238Ω; -48º; 151mA 11

63 89. Determine Z, e I para a situação do exercício 30 com C = 70 F e os demais parâmetros permanecendo inalterados. R: 167,3Ω; 16,9º ; 215mA 90. Em um circuito RLC, a amplitude da tensão entre os terminais de um indutor pode ser maior do que a amplitude do gerador de fem? Considere um circuito RLC com E m 10, R = 10Ω, L = 1,0H e C = 1,0μF. Determine a amplitude da tensão entre os terminais do indutor na ressonância. R: 1000 V 91. Uma bobina com um resistência desconhecida e uma indutância de 88mH está ligada em série a um capacitor de 0,94 F e a uma fem alternada com freqüência de 930 Hz. Se a constante de fase entre a tensão aplicada e a corrente for de 75º, qual a resistência da bobina? R: 89 Potência em circuitos de corrente alternada Em um circuito RLC em série, a potência média (P med ) do gerador é igual à taxa de produção de energia térmica no resistor, e é dada por: P I R E I cos 2 med rms rms rms Na equação acima as grandezas com o índice rms, se refere ao valor médio quadrático ou valor eficaz destas grandezas. Os valores eficazes e os valores máximos de cada grandeza estão relacionados por: 1 V, m Irms Vrms ee rms E O termo cos é chamado de fator de potência do circuito, para maximizar a taxa com que se fornece a uma carga resistiva em um circuito RLC, devemos manter a constante de fase o mais próximo possível de zero. Para uma resistência pura, 0, cos 1 e P E I. Para um capacitor ou indutor, 90º, cos 0 e P 0. med rms rms med Observação: 12

64 Os instrumentos de medição de corrente alternada, como por exemplo, o amperímetro e voltímetro, normalmente são calibrados para mostrarem os valores eficazes I rms, V rms, E e não os seus valores máximos. rms EXERCÍCIOS 92. Que corrente contínua produzirá a mesma quantidade de energia térmica, em um resistor particular, que é produzida por uma corrente alternada que possui um valor máximo de 2,60 A? R: 1,84 A 93. Qual o valor máximo de uma tensão de CA cujo valor eficaz é igual a 100V? R: 141V 94. Um aparelho de ar condicionado ligado a uma linha de CA de 120V, valor eficaz, equivale a uma resistência de 12,0Ω e a uma reatância indutiva de 1,30Ω em série. (a) Calcule a impedância do ar condicionado.(b) Determine a taxa média com que se fornece energia ao aparelho. R: a) 12,1Ω; b) 1186W TRANSFORMADORES Por razões de eficiência, é desejável transmitir potência elétrica a altas voltagens e baixas correntes, para diminuir as perdas por aquecimento na linha de transmissão. Uma das características mais úteis dos circuitos de correntes alternadas é a facilidade e a eficiência com a qual voltagens (e correntes) podem ser mudadas de um valor para outro, por meio de transformadores. Em princípio, o transformador consiste em duas bobinas isoladas eletricamente uma da outra e enroladas no mesmo núcleo de ferro. Uma corrente alternada em um enrolamento cria um fluxo alternado no núcleo e o campo elétrico induzido devido a esta variação do fluxo induz uma fem no outro enrolamento. O enrolamento para o qual se fornece a potência é chamado de primário e aquele do qual se retira a potência é chamado de secundário, sendo que, a potência de saída de um transformador é sempre menor que a potência de entrada, devido às perdas inevitáveis. 13

65 Para um transformador suposto ideal (são desprezadas as perdas de energia) a relação entre a voltagem no primário V P e no secundário V S é dada por: V V P S N N P S Onde, N P e N S, são, respectivamente, o número de voltas na bobina primária e secundária. Se N S > N P, dizemos que o transformador é um transformador elevador porque ele eleva a tensão do primário V P para uma tensão mais alta V S. Analogamente, se N S < N P, o dispositivo é um transformador abaixador. Para obtermos a relação entre as correntes na bobina primária e secundária de um transformador ideal, podemos aplicar o princípio da conservação de energia. A taxa com que o gerador transfere energia para o primário é igual à taxa com que o primário transfere então energia para o secundário, ou seja: I S V S =I P V P. EXERCÍCIOS 95. Um gerador fornece 100V à bobina primária de um transformador de 50 voltas. Se a bobina secundária tiver 500 voltas, qual será a tensão no secundário? R:1000V 96. Um transformador possui 500 voltas no primário e 10 voltas no secundário. (a) Se V P for igual a 120V(eficaz), qual será V s, com um circuito aberto? (b) Se o secundário tiver agora uma carga resistiva de 15Ω, quais serão as correntes no primário e no secundário? R:a) 2,4V; b) 3,2mA; c) 0,16A 14

66 Propriedades magnéticas da matéria Discutimos os campos magnéticos criados por corrente em condutores, quando os condutores estão no ar (ou vácuo). Quando mergulharmos o condutor em um meio material, o valor do campo magnético em torno do condutor é diferente daquele que existiria se o condutor estivesse situado no ar. Para estudar as modificações no campo magnético, provocadas pela presença de um meio material, vamos usar o conceito de imã elementar. No interior de qualquer substância, existem correntes elétricas elementares, constituídas pelos movimentos dos elétrons nos átomos destas substâncias. Estas correntes elementares criam pequenos campos magnéticos, de modo que cada átomo pode ser considerado como um pequeno imã, isto é, um imã elementar. No interior de um material não magnetizado, estes imãs elementares encontram-se orientados inteiramente ao acaso, de modo que os campos magnéticos criados pelos átomos da substância tendem a se anular. Entretanto, se este material for colocado numa região onde existe um campo magnético, este campo atuará sobre os imãs elementares, tendendo a orientálos. Dependendo da orientação dos imãs elementares, na presença de um campo magnético externo, as substâncias podem ser classificadas em paramagnéticas, diamagnéticas e ferromagnéticas. Substâncias Paramagnéticas São aquelas que, na presença de um campo magnético, se imantam muito fracamente, fazendo com que o valor do campo magnético seja ligeiramente aumentado. Nestas substâncias, os imãs elementares tendem a se orientar no mesmo sentido do campo aplicado. Exemplos: alumínio, a platina. Substâncias Diamagnéticas Na presença de um campo magnético se imantam também fracamente, fazendo, porém, com que o valor do campo magnético se torne ligeiramente menor. Nestas substâncias, os imãs elementares tendem a se orientar em sentido contrario ao do campo aplicado. Exemplos: o cobre, a prata, o ouro, a água. 15

67 Substâncias Ferromagnéticas Grande parte das substâncias existentes na natureza. São paramagnéticas ou diamagnéticas. Somente uma pequena parte apresentam propriedades ferromagnéticas. Sob a ação de um campo magnético externo, as substâncias ferromagnéticas se imantam fortemente, fazendo com que o campo magnético resultante seja muitas vezes maior que o campo aplicado. Nas substâncias ferromagnéticas os imãs elementares se orientam no mesmo sentido do campo aplicado. O ferro, cobalto, níquel e as ligas que contêm esses elementos são exemplos de substâncias ferromagnéticas. Histerese magnética É a propriedade que algumas substâncias possuem de guardar imantação, isto é, de permanecerem magnetizadas mesmo após cessar a ação do campo magnetizador. Exemplos: aço temperado histerese magnética muito acentuada. ferro doce histerese magnética muito reduzida. E X E R C Í C I O 97. Um imã permanente pode perder totalmente sua imantação se for muito aquecido. Por quê? R: porque a elevação da temperatura provoca um aumento da agitação térmica dos átomos, desfazendo a orientação dos imãs elementares. 98. Explique, por que um imã atrai um pedaço de ferro. R: o pedaço de ferro fica imantado Equações de Maxwell As equações de Maxwell são um grupo de equações diferenciais parciais que, juntamente com a lei da força de Lorentz, compõe a base do eletromagnetismo clássico no qual está embebido toda a óptica clássica. O desenvolvimento das equações de Maxwell, e o entendimento do eletromagnetismo, contribuíram significativamente para toda uma revolução tecnológica iniciada no final do século XIX e continuada durante as décadas seguintes. 16

68 As equações de Maxwell podem ser divididas em duas grandes variações. O grupo "microscópico" das equações de Maxwell utiliza os conceitos de carga total e corrente total, que inclui as cargas e correntes a níveis atômicos, que comumente são difícieis de se calcular. O grupo "macroscópico" das equações de Maxwell definem os dois novos campos auxiliares que podem evitar a necessidade de ter que se conhecer tais cargas e correntes em dimensões atômicas. As equações de Maxwell variam conforme o sistema de unidades usado. Embora a forma geral permaneça, várias definições são alteradas e diferentes constantes aparecem em diferentes lugares. As equações nesta seção são dadas no Sistema Internacional de Unidades (SI). Outras unidades comumente usadas são as unidades gaussianas, baseado nosistema CGS de unidades, as unidades de Lorentz-Heaviside, usado principalmente em física de partículas e as unidades naturais, conhecidas também como unidades de Planck, usada em física teórica. Nas equações abaixo, símbolos em negrito representam grandezas vetoriais, e símbolos em itálico representam grandezas escalares. As definições dos termos usados abaixo são dadas logo abaixo em tabelas a parte. 17

69 Tabela das equações "microscópicas" Formulação em termos de carga e corrente total Nome Forma diferencial Forma integral Lei Gauss de Lei de Gauss para o magnetismo Lei de Faraday da indução Lei de Ampère (com a correção de Maxwell) 18

70 Tabela das equações "macroscópicas" Formulação em termos de carga e corrente "livres" Nome Forma diferencial Forma integral Lei de Gauss Lei de Gauss para o magnetismo Lei de Faraday da indução Lei de Ampère (com a correção de Maxwell) BIBLIOGRAFIA 1. D. Halliday, R. Resnick e J. Walker. Fundamentos de Física. Vol. 3, LTC Livros Técnicos e Científicos Editora S. A. Rio De janeiro, F. Sears, M. W. Zemansky e H. D. Young. Física.Vol. 3, LTC Livros Técnicos e Científicos Editora S. A. Rio De janeiro,