PROJETO OTIMIZADO DE REDES COM MÚLTIPLAS FONTES DE ABASTECIMENTO

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1 PROJETO OTIMIZADO DE REDES COM MÚLTIPLAS FONTES DE ABASTECIMENTO Dimitri Pinto de Melo e Heber Pimentel Gomes 2 Resumo Atualmente, várias pesquisas na área de projetos otimizados, em particular, em sistemas de abastecimento de água, têm sido desenvolvidas. Este trabalho é o resultado de mais uma destas pesquisas, em que se aplica uma metodologia desenvolvida, principalmente, para o dimensionamento de redes de distribuição de água abastecidas com uma ou várias fontes. Para realizar a otimização, aplicou-se o algoritmo GRG2, baseado na técnica dos Gradientes Reduzidos Generalizados. Os resultados encontrados alcançaram o objetivo de dimensionar a rede com a obtenção do custo mínimo sem se obter a transformação da rede malhada em ramificada. Abscract - Actually, several researches in the area of development optimization, in particular, of systems of provisioning of water, they have been developed. This work is the result of more one of these researches, in that a methodology is applied developed for the design of nets of distribution of water provisioned with an or multiple sources. To accomplish the optimization, the algorithm GRG2 was applied, based on the technique of the Widespread Reduced Gradients. The found results reached the objective of design the net with the obtaining of the minimum cost without obtaining the transformation of the net threshed in having ramified. Palavras-Chave: Otimização, Programação não linear, Redes Malhadas, Múltiplas fontes de Abastecimento? Professor Substituto do Departamento de Engenharia Civil, CCT/UFPB, Campus I, João Pessoa-Pb. dimitrip_melo@yahoo.com 2 Professor Adjunto do Departamento de Engenharia Civil, CT/UFPB, Campus I, João Pessoa-Pb. heberp@uol.com.br

2 2 INTRODUÇÃO Em um sistema de abastecimento de água, tem-se dois subsistemas em que o primeiro denominado de subsistema de produção, é o conjunto das unidades do sistema destinadas a produzir e transportar a água a ser distribuída como o manancial, captação, tratamento, elevação e adução; o segundo, denominado de subsistema de distribuição, é o conjunto das outras unidades do sistema, ou seja, os reservatórios, as redes de distribuição e as ligações prediais. Estes dois subsistemas têm uma estreita ligação e vinculam-se na unidade de reservação de tal forma que sua concepção conjunta e articulada otimiza os custos construtivos e operacionais do sistema. Dentre estes subsistemas, o de distribuição e em particular, as redes de distribuição de água, têm sido objetos de estudos na área de dimensionamento e operação com custos míniminos, através das mais diversas técnicas de otimização. Sabe-se que o dimensionamento de redes de distribuição de água consiste, basicamente, na determinação de diâmetros e vazões das tubulações que satisfaçam determinadas condições físicas do escoamento. Com o advento e maior acessibilidade do computador, torna-se possível a introdução de outros critérios no dimensionamento de redes de distribuição de água, como a introdução do custo mínimo de investimento e operação da rede. Devido ao aumento na urbanização das cidades, começou-se a pensar em dimensionamentos econômicos de redes de distribuição de água (HAMBERG e SHAMIR/988). Nos anos mais recentes, um grande número de pesquisas tem-se realizado na área de otimização de dimensionamento e operação de redes de distribuição de água, ou seja, realizando-se seleções de tubos, bombas e válvulas da rede, com o objetivo de, satisfazendo todas as restrições impostas ao problema, obter-se o menor custo possível da mesma. Segundo MORGAN(985) a pesquisa para metodologias para otimização de redes de distribuição de água, tem recebido considerável atenção há aproximadamente 30 anos, com os primeiros trabalhos realizados por KARMELLI et al.(968), SHAKE and LAI (969), WATENADA (973), SHAMIR (974), ALPEROVITS e SHAMIR (977), entre outros. Uma extensa descrição de trabalhos na área de otimização foi descrita pelo comitê de trabalho em risco e reabilitação de sistemas de distribuição de água da ASCE (MAYS/989). Os primeiros estudos foram, em particular, aqueles realizados com redes ramificadas, em que era assumido um dado layout para a rede e, então, projetavam-se os componentes da rede com base no layout assumido (MORGAN/985). Alperovits e Shamir (977) analisaram redes de distribuição de água dispostas em anéis, desenvolvendo um método que dimensionava os componentes da rede e impunha as decisões da operação para as bombas e válvulas sobre condições de carga. O método não podia detalhar a seqüência de operação do sistema diariamente. Morgan e Goulter (982) desenvolveram um modelo utilizando duas ligações de programas lineares para resolver o layout de menor custo e projetar o sistema de anéis. Segundo este modelo, um programa linear resolve o layout, enquanto o outro determina o menor custo do tamanho dos componentes. Gessler e Walski (985) desenvolveram um método de enumeração heurística o qual é unido com um modelo de simulação hidráulica.

3 3 Afora os métodos de dimensionamento que utilizam técnicas de otimização, não se pode deixar de ser lembrado os métodos de dimensionamentos de redes de distribuição tradicionais, que levam em conta o balanceamento hidráulico da rede, de forma a atender às condições impostas pelas equações da conservação de massa nos nós e a conservação de energia nos anéis, os quais foram e são muito úteis no desenvolvimento de novas tecnologias para a obtenção de um melhor dimensionamento possível. Este trabalho consiste na otimização de projetos de redes malhadas de distribuição de água abastecida por múltiplos reservatórios, bombas e boosters simultaneamente, utilizando uma metodologia baseada em técnicas de programação não linear para a obtenção do dimensionamento com custo ótimo. Até o presente momento, a metodologia utilizada na realização deste trabalho, só foi testada em redes malhadas com um ou múltiplos reservatórios (FORMIGA/999), sem ser levado em conta a aplicação de energia de bombeamento dentro da rede e para o interior da mesma. Devido à grande complexibilidade das atuais redes de distribuição de água dos grandes e médios centros urbanos, faz-se necessário comprovar a eficiência da metodologia para situações mais diversas possíveis, além das já testadas. METODOLOGIA A maioria dos projetos de redes de distribuição de água são realizados considerando-se as demandas máximas horárias da rede. Porém, quando se deseja otimizar o dimensionamento de redes em que conste, nas mesmas, múltiplas fontes de abastecimento, faz-se necessário levar em conta no projeto de dimensionamento o período de mínima demanda, período no qual algumas dessas fontes, reservatórios serão supridos. Segundo Formiga e Gomes (998), no processo de otimização econômica de uma rede malhada, esta tende a ser transformada em uma rede ramificada, que possui um custo menor do que uma rede malhada de mesmo porte. Com isso, a rede atenderia as máximas demandas, entretanto, não haveria garantia de que a vazão necessária para o enchimento dos reservatórios de jusante seria atendida quando a exigência sobre o sistema diminuísse. Portanto, o problema do dimensionamento de redes de distribuição de água abastecidas por múltiplas fontes apresentará, duas condições de contorno, ou seja, uma situação de demanda máxima e uma de demanda mínima (FORMIGA/2000). A metodologia aplicada neste trabalho é semelhante à proposta por Formiga (999), divergindo em alguns pontos a serem mostrados a seguir. Para o dimensionamento da rede malhada de distribuição de água, divide-se o dimensionamento em duas etapas, quais sejam, um pré-dimensionamento em que se determinam os diâmetros dos trechos, as vazões e as alturas manométricas da bomba e do booster e, na segunda etapa, utilizam-se estes resultados e encontram-se os comprimentos dos subtrechos, as vazões, as alturas manométricas de bombeamento e do booster, finalizando-se assim o dimensionamento. Na primeira etapa, as variáveis de decisão são os diâmetros, as vazões dos trechos, a altura manométrica da bomba e do booster. Com essas variáveis de decisão monta-se a função objetivo e as respectivas equações de restrição que garantam o funcionamento da rede. Após a otimização da função objetivo, encontram-se diâmetros contínuos não necessariamente comerciais, vazões nos trechos, as alturas manométricas da bomba e do booster. Com estes resultados, realiza-se um ajuste nos diâmetros obtidos para cada trecho, em que estes diâmetros são desdobrados em dois, ou seja, o

4 4 imediatamente inferior ao encontrado e o imediatamente superior. Com isso, tem-se novos diâmetros nos trechos, porém fixos, ou seja, imutáveis. Assim, o que irá ser otimizado nesta segunda etapa são os comprimentos dos subtrechos, que agora assumem a condição de variável de decisão, em que se encontram os diâmetros desdobrados, as vazões dos trechos, as alturas manométricas da bomba e do booster. Com estas novas variáveis de decisão, formula-se outra função objetivo e equações de restrição, realizando-se assim, nova e definitiva otimização. Em ambas estas etapas, a otimização é realizada para duas situações de contorno, quais sejam, as de demanda máxima e mínima, conjuntamente. Para o dimensionamento da rede foi considerada como variável a cota de cabeceira da rede, qual seja, o nó se localiza a estação de bombeamento. Desta estação de bombeamento, é fornecida água para a rede de distribuição, simultaneamente com os dois reservatórios que fazem parte do sistema, no período de máxima demanda e, no período de mínima demanda, fornece água para os reservatórios e para a rede, conjuntamente. ª Etapa Nesta fase, a função objetivo a ser minimizada é: m C(D i,q i,q 2 i,h bomba,h booster )= L i ( P( Di )). a + Ch. bomba. H bomba + Ch. booster. H booster C hbomba2.h bomba2 + C hbooster2.h booster2 C(D i,q i,q i 2,H bomba,h booster ) é o custo da rede em função dos diâmetros, vazões e alturas manométricas da bomba e do booster para as duas situações de contorno; L i comprimento do trecho i; P(D i ) é a função que relaciona o preço da tubulação com o diâmetro; m é o número de trechos da rede; a é o coeficiente de amortização do custo das tubulações; C hbomba e C hbomba2 são os custos de operação da estação de bombeamento por unidade de impulsão para as situações de demanda máxima e mínima; H bomba e H bomba2 são as alturas manométricas da bomba para as situações de demanda máxima e demanda mínima; C hbooster e C hbooster2 são os custos de operação do booster por unidade de impulsão para as situações de demanda máxima e demanda mínima; H booster e H booster2 são as alturas manométricas do booster para as situações de demanda máxima e demanda mínima; + As equações de restrição variam de acordo com o tipo de rede a ser dimensionada e condições de dimensionamento. Nesta situação, em que tem-se uma rede malhada com dois anéis, nove trechos, dez nós e situação de demanda máxima, tem-se seis equações de restrição. Para a situação de demanda mínima, tem-se uma restrição a menos que a demanda máxima, como demonstrado no decorrer da equações. ª)Restrição de Pressões mínimas e máximas nos nós

5 5 Esta restrição é a mesma para as duas situações de contorno. Nesta restrição a pressão não pode ser maior nem menor que as pré-definidas pelas condições do projeto, sempre obedecendo a norma brasileira de redes de distribuição de água (NB-594/77 e NBR-22/94) Z máx k w H bomba + CT ± J c Z min k c= H bomba é a altura manométrica da bomba; CT é a cota do terreno na cabeceira da rede; Z min k e Z máx k são as cotas piezométricas mínima e máxima requeridas no nó k; k J c c= entre a cabeceira e o nó k. é o somatório das perdas de carga nos trechos pertencentes ao percurso compreendido 2ª)Restrição dos diâmetros máximos e mínimos Esta restrição visa garantir que os diâmetros a serem obtidos na otimzação se localizem em uma determinada faixa de diâmetros previamente estabelecida. Então, tem-se a seguinte restrição para cada trecho da rede: Dmin Di Dmáx Dmin e Dmáx são os diâmetros mínimos e máximos adotados; Di é o diâmetro do trecho i; 3ª)Restrição da Conservação de energia nos anéis Segundo esta restrição, em cada anel da rede o somatório das perdas de carga é nulo. Esta restrição é a mesma para cada situação de contorno. Então, tem-se para cada anel da rede a seguinte equação: Z k p k J i Ep j= j = 0 J i é a perda de carga no trecho i; Z k é o número de trechos no anel k em questão; Ep j é a energia de impulsão aplicada na malha ou anel: P k é o número de fontes de energia de impulsão dentro do anel k. 4ª)Restrição da continuidade nos nós Por esta restrição, tem-se que o somatório das vazões que influem ao nó é igual ao somatório das vazões que efluem do nó. Esta restrição é determinada para cada nó da rede, exceto os nós,8 e 9 devido a não existência de entradas de vazões nestes nós na situação de demanda máxima, pois, nesta situação as vazões destes nós só efluem. Portanto, a formulação desta equação é a mesma para a situação de demanda mínima, ou seja:

6 6 k n i) q Q entra ( Q = d n n j= sai( j) Q entra(i) e Q sai(j) são as vazões dos trechos i e j que influem e efluem no nó n; d n é a demanda requerida no nó n; k n e q n são os números de trechos com vazões influindo e efluindo no nó n; 5ª)Restrição de velocidade máxima admissível Para que se evite o aparecimento de desgastes prematuros do sistema, de vibrações, custos elevados de energia, golpes de aríete, entre outros, adotam-se limitações nas velocidades em cada trecho. Portanto, para as duas situações de contorno, tem-se: V i V máx V i é a velocidade média do trecho i, encontrada através da equação da continuidade; V máx é a velocidade máxima admitida para cada trecho. 6ª)Restrição da eqüidade de pressão nos nós De acordo com esta restrição, tem-se que a cota piezométrica em um nó deve ser igual, qualquer que seja o caminho percorrido a partir de qualquer das fontes do sistema. Esta restrição só aparece na condição de demanda máxima, pois na condição de demanda mínima a rede é abastecida unicamente pela bomba. Portanto, para um nó qualquer, tem-se: k H R - J s J m in in = H R2 - J y 2 in W = H bomba - J in =...= H bomba - J x m in =...= H R - H R e H bomba são, respectivamente, a cota do reservatório e altura manométrica da bomba; y w J J 2 in in é a perda de carga entre o reservatório 2 e o nó n; é a perda de carga entre a bomba e o nó n; m é o número de bombas ou de reservatórios; k,y,w são os números de trechos entre o nó n e os reservatórios,2 e m respectivamente e x e s são os números de trechos entre o nó n e as bombas e m respectivamente; 2ª Etapa Nesta etapa, para cada trecho, o diâmetro contínuo obtido na primeira etapa é desdobrado em dois diâmetros comercialmente disponíveis, sendo um o imediatamente inferior e outro o imediatamente superior ao encontrado. Dessa forma, tem-se:

7 7 C(l ij,q i,q 2 m 2 i,h bomba,h booster )= li ( P( D j ) ) j j= i. a +C hbomba.h bomba C hbomba 2.H bomba 2 + C hbooster 2.H booster 2 + C hbooster.h booster C(l ij,q i,q i 2,H bomba,h booster ) é o custo da rede em função dos comprimentos dos subtrechos, vazões e alturas manométricas da bomba e do booster para as duas situações de contorno; l ij comprimento ocupado pelo diâmetro D j no trecho i considerado; P(D j ) i é o preço unitário do tubo de diâmetro D j ; m é o número de trechos da rede; a é o coeficiente de amortização do custo de investimento das tubulações; C hbomba e C hbomba 2 são os custos de operação da estação de bombeamento por unidade de impulsão para as situações de demandas máxima e mínima; H bomba e H bomba 2 são as alturas manométricas da bomba para as situações de demandas máxima e mínima; C hbooster e C hbooster 2 são os custos de operação do booster por unidade de impulsão para as situações de demandas máxima e mínima; H booster e H booster 2 são as alturas manométricas do booster para as situações de demanda máxima e mínima; + Esta nova função objetivo, possui novas variáveis de decisão que são os comprimentos dos subtrechos, as vazões, as alturas manométricas da bomba e do booster. As restrições são as mesmas das formuladas para a primeira etapa do problema, com exceção da segunda restrição que, nesta etapa, não existe. Em compensação, aparecem duas novas restrições para as duas situações de contorno, que são: 7ª)Restrição do comprimento dos subtrechos n i l ij j= = L i l ij é o comprimento do subtrecho j no trecho i; L i é o comprimento do trecho i. 8ª)Restrição da não negatividade dos comprimentos dos subtrechos l ij 0 l ij é o comprimento do subtrecho j no trecho i. EXEMPLO DE APLICAÇÃO Foi aplicada a metodologia acima explicada em um exemplo fictício. A rede do exemplo é composta por dez trechos, nove nós, dois anéis e contém dois reservatórios uma bomba e um booster. As cotas dos reservatórios e as alturas manométricas da bomba e do booster são variáveis.

8 8 A bomba abastece, em conjunto com os dois reservatórios, à rede no período de demanda máxima. No período de demanda mínima, a bomba abastece à rede e os dois reservatórios, conjuntamente. Foi considerado a pressão mínima nos nós de 5mca e a máxima de 50mca. A velocidade máxima fixada foi de 2m/s. A vida útil da obra foi estimada em 20anos e os juros em 2%aa. A vazão necessária para encher os reservatórios R e R2 é igual a /3 da vazão distribuída no dia e hora de maior consumo, dividido por.5, que representa a vazão máxima horária. As cotas de terreno nos nós da rede e as demandas dos mesmos estão representados na tabela XXXX. As tubulações têm coeficiente de Hazen-Willians igual a 30 e 45, de acordo com o tipo de material das tubulações a serem empregadas nos trechos. Os dados referentes aos custos dos tubos (umt/m)estão representados na tabela YY. A função que relaciona os preços da tubulação com os diâmetros dos mesmos foi encontrada com o auxílio da curva de ajuste do EXCEL, resultando na seguinte expressão: Custo (D) = 6E-05 x x x 3.20 Tabela dados referentes aos nós da rede Nó Demanda Máxima Demanda Mínima Cota do Terreno (m3/h) (m3/h) Tabela 2 custo unitário dos diâmetros Diâmetro (mm) Custo (UMT/m) ª Etapa Com a equação que relaciona o custo da tubulação com o diâmetro, formula-se a seguinte função objetivo: C(D i,q i,q i 2,H bomba,h booster ) = [000 (6 x 0-5 x D x D x D 3.20) (6 x 0-5 x D x D x D ) (6 x 0-5 x D x D x D ) (6 x0-5 x D x D x D ) + (6 x 0-5 x D x D x D ) (6 x 0-5 x D x D x D ) + 00 (6

9 9 x 0-5 x D x D x D )] Q 0 H bomba Q 0 2 H bomba Q 5 H booster Q 5 2 H booster2. Esta função objetivo está sujeita às seguintes equações de restrição: ª)Restrição das pressões mínimas e máximas Para cada nó tem-se duas equações de restrição, uma para a situação de demanda máxima e outra para situação de demanda mínima. Portanto, como tem-se seis nós com solicitações de demandas teremos doze equações de restrição. Para a situação de demanda mínima, além das restrições dos nós inseridos nos anéis, tem-se mais duas, referentes aos nós e 8, que contém os reservatórios R e R2. Portanto, para o nó 4 e para o nó da situação de demanda mínima, tem-se: Nó 4: H bomba j j Nó : H bomba j j j j H R +48 2ª)Restrição dos diâmetros máximos e mínimos Escolheram-se os limites de 50mm e 600mm para limitar os diâmetros a serem encontrados no processo de otimização. Portanto, tem-se para cada trecho uma equação de restrição, totalizando vinte restrições, dez para situação de demanda máxima e dez para situação de demanda mínima. Para o trecho, tem-se: 50mm D 600mm 3ª)Restrição de conservação de energia nos anéis Para cada anel, tem-se uma equação de restrição. Como tem-se dois anéis na rede, a mesma possui então, quatro equações de restrição, duas para situação de demanda máxima e duas para situação de demanda mínima. Portanto, para o anel 2, que contém o booster, tem-se: 4ª)Restrição da continuidade nos nós Anel : 000 j j j j 8 H booster = 0 Para cada nó, tem-se duas equações de restrição, uma para situação de demanda máxima e outra para situação de demanda mínima. Para situação de demanda mínima, além das equações dos nós inseridos nos anéis da rede, tem-se mais duas equações, que representam os nós e 8, que são os nós se localizam os reservatórios R e R2. Portanto, para o nó quatro e para o nó um na situação de demanda mínima, tem-se: Nó 4: Q 3 2 = Q Q D 4 Nó : Q 2 Q 2 R = 0 5ª)Restrição da velocidade máxima admissível

10 0 Para cada trecho, tem-se uma equação de restrição. Portanto, tem-se vinte equações de restrição, ou seja, dez para a situação de demanda mínima e dez para a situação de demanda máxima. De acordo com a equação de continuidade, a velocidade é encontrada pela seguinte 2 i Qi D Q expressão: Vi = e Ai = π, portanto, i Vi =,273 2 Ai 4 Di Esta velocidade tem que ser menor ou igual a 2m/s para cada trecho. 6ª)Restrição da eqüidade de pressão nos nós Obedecendo-se a equação da restrição da conservação de energia, tem-se que, para a satisfação da eqüidade das pressões nos nós, faz-se necessário, apenas de uma equação que relacione a cota dos dois reservatórios e a altura manométrica da bomba para um nó da rede, de modo que, para este nó, independente de provenha a água a pressão no mesmo seja a mesma. No exemplo em questão, escolheu-se o nó quatro. Portanto, tem-se para a situação de demanda máxima a seguinte equação de restrição: H R 000 j 000 j 3 = H R2 00 j j j 4 = H bomba 00 j j 4 Com a função objetivo e as equações de restrição formuladas, montam-se as tabelas nas planilhas eletrônicas do Excel e realiza-se a otimização, utilizando o algoritmo GRG2, disponível na ferramenta Solver da Planilha Excel. A seguir têm-se as tabelas com os resultados da otimização da primeira etapa do problema: Tabela 3 - Resultados da otimização para situação de máxima demanda Trecho Comprimento Vazão (l/s) Diâmetro (mm) Perdas Velocidade (m/s) 000-7, ,04 0, , ,57 0, , ,2 0, , ,25 0, , ,36 0, , ,93, , ,89 0, , ,57, , ,06 0, , ,9,22

11 Nó Alt. Piez. Cota Terreno Pres. Dispon. 94, ,39 R - 94, , ,43 R -2 95, , ,00 Bomba 98, , ,64 Booster 6,6 5 97, , , , , , , , , ,08 Tabela 4 - Resultados da otimização para situação de mínima demanda Trecho Comprimento Vazão (l/s) Diâmetro (mm) Perdas Velocidade (m/s) , ,68 0, ,92 324,04 0, , ,32 0, , ,58 0, , ,2 0, , ,49 0, ,92 300,86 0, , ,50, , ,0 0, , ,0 0,85 Nó Alt. Piez. Cota Terreno Pressão Disp. 94, ,39 R - 94, , ,07 R -2 95, ,2 80 6,2 Bomba 98, , ,40 Booster 6,6 5 97, , , , , , , , , ,08

12 2 Tabela 5 - Custo da rede na ª etapa Trecho Diâmetro (mm) Custo Total (UMT/m) , , , , ,9 Total ª Etapa Nesta etapa, tem-se uma nova função objetivo, obedecendo às mesmas equações de restrição da primeira etapa, com exceção da restrição dos diâmetros, que não se faz mais presente, devido ao fato dos mesmos não serem mais variáveis e o aparecimento de duas novas restrições, que são aquelas da não negatividade dos comprimentos dos subtrechos e do comprimento dos trechos. A nova função objetivo é a seguinte: C( l ij, Q i, Q i 2 H bomba, H booster ) = {[l,300 P(300) + l,350 P(350)] + [l 2,250 P(250) + l 2,300 P(300)] + [l 3,250 P(250) + l 3,300 P(300)] + [l 4,300 P(300) + l P(350)] + [l 5,50 P(50) + l 5,200 P(200)] + [l 6,450 P(450) + l 6,500 + P(500)] + [l 7,200 P(200) + l 7,250 P(250)] + [l 8,450 P(450) + l 8,500 P(500)] + [l 9,300 P(300) + l 9,350 P(350)] + [l 0,500 P(500) + l 0,600 + P(600)]} Q 0 H bomba Q 0 2 H bomba Q 5 H booster Q 5 2 H booster2. Esta função objetivo está sujeita às mesmas equações de restrição da primeira etapa, com a observação de que no local constar perda de carga em algum trecho, nesta etapa ela é o resultado da soma das perdas dos subtrechos do trecho respectivo. Acrescidas às restrições anteriores, encontram-se duas novas restrições relativas ao comprimento dos subtrechos da rede, visto que, os mesmos são variáveis de decisão nesta fase do problema. Portanto, têm-se as seguintes restrições dos subtrechos: 7ª)Restrição da não negatividade dos subtrechos Para o trecho da rede, tem-se: Trecho : l, 0 e l,2 0; 8ª)Restrição do comprimento dos trechos Esta restrição garante que a soma dos subtrechos de um trecho da rede, é igual ao comprimento deste trecho. Portanto, tem-se a seguinte restrição para o trecho :

13 3 Trecho : l, + l,2 = L ; Com a função objetivo e as equações de restrição formuladas, resolve-se a otimização desta nova etapa do problema, apresentando os resultados abaixo: Tabela XX - Resultado da otimização da 2ªetapa para vazão máxima Techo Vazão (l/s) Diâmetro (mm) Comprimento Velocidade (m/s) Perdas no trecho -27, ,22-0, ,7 2-57, ,82-2, ,60 3 2, ,09 0, ,06 4-2, ,73-4, ,4 5-7, ,99-7, , , ,06 -, , , ,2 -, , , ,50,24 -, ,50 0, , ,72 0, , , ,68 0, ,6 Nó Alt. Piez. Cota Terreno Pres. Dispon. 92, , , , , , ,6 75 7,6 5 96, , , , , , , , , ,25 R- 92,56 R-2 95,07 Bomba 97,25 Booster 6,92

14 4 Tabela XX - Resultado da otimização na 2ª etapa para vazão mínima Trecho Vazão (m3/h) Diâmetro (mm) Comprimento Velocidade (m/s) Perdas no Trecho 296, ,00 0,66 0,90 296, ,00 0, , ,00 0,87 2,60 22, ,00 0, , ,00 0,67 2,57 75, ,00 0,43 4 2, ,00 0,34,02 2, ,00 0,9 5-54, ,00 0,85-5,62-54, ,00 0, , ,00 0,47 0,43 270, ,00 0, , ,00 0,87,00 22, ,00 0, , ,50,25,90 567, ,50 0, , ,00 0,86 0,09 296, ,00 0, , ,00,5 0,20 809, ,00 0,80 Nó Alt. Piez. Cota Terreno Pres. Dispon. 92, , R- 92, , , R-2 95, , , Bomba 97, , , Booster 6, , , , , , , , , , , Tabela XX - Custo da rede na 2ª etapa Trecho Diâmetro (mm) Custo Unitário (UMT/m) Custo Total (UMT) , ,

15 Total ,7 Conclusão O método apresentado mostrou que também é aplicável para situações complexas de redes de distribuição de água, ou seja, com diversas fontes de abastecimento, quer sejam com reservatórios atuando conjuntamente, quer sejam com bombas e reservatórios. Também foi comprovada a metodologia para situações em que fontes de energia aplicadas internamente à rede são utilizadas. Outra importante observação a ser feita, deve-se ao fato de que o problema da transformação de redes malhadas em redes ramificadas quando do uso da otimização, foi superado, devido ao fato de se levar em consideração no dimensionamento duas situações de contorno, ou seja, de demanda máxima e mínima, simultaneamente. O uso da programação não linear para o dimensionamento de redes malhadas apresenta uma significante vantagem prática, como a possibilidade da implantação da mesma em planilhas eletrônicas, como o Excel, facilitando assim, o acesso a esta técnica, pois, através da implantação da função objetivo e equações de restrição em planilhas, torna-se mais fácil introduzir modificações nestas expressões. Referências Bibliográficas ALPEROVITS, E.; SHAMIR, U. Design of Optimal Water Distribution Systems. Water Resources Research. AGO. Vol 3, Nº6, p New York, NY, USA, 977. FORMIGA, Klebber Teodomiro.. Metodologia de Otimização de Redes Malhadas Através da Programação Não Linear, Dissertação de Mestrado. Universidade Federal da Paraíba. Campina Grande, PB, 999. GESSLER, J.; WALSKY, T., M.. Technical Report EL 85 : Water Distribution System Optimization. U.S. Army Corps Engineers, Washington, DC, USA, 985. HAMBERG, Dan; SHAMIR, Uri.. Schematic Models for Distribution Systems Design I: Combination Concept. Journal of Water Resources Planning and Management, ASCE, Vol. 4. N. 2. p New York, NY, USA, 988. MAYS, L., W..Reability Analysis of Water Distribution Systems. ASCE, New York, NY, USA, 989. MORGAN, D.; GOULTER, I.. Optimal Urban Water Distribution Design. Water Resources Research. Vol. 2, Nº 5. p MORGAN, D.; GOULTER, I.. Least Cost Layout and Design of Looped Water Distribution Systems. Ninth International Symposium on Urban Hydrology, Hydraulics and Sediment Control, University of Ky., Lexington, July, p , 982.

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