4. Ondas Sonoras. 1 Introdução. 2 Ondas audíveis, infrasónicas e ultrasónicas

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1 4. Ondas Sonoras 1 Introdução Depois de termos visto propriedades gerais das ondas vamos passar a estudar as ondas de som. Lembremo-nos de que o som é uma onda de densidade das partículas do meio através do qual o som se propaga. Figura 1: O som é uma onda de densidade das partículas que constituem o meio através do qual o som se propaga. Na gura acima vemos um pistão que oscila, empurrando as moléculas do ar e provocando ondas de densidade das moléculas do ar. 2 Ondas audíveis, infrasónicas e ultrasónicas As ondas sonoras dividem-se em três categorias: As ondas audíveis são aquelas que conseguimos ouvir. A sua frequência está compreendida aproximadamente entre as frequências de 20 Hz e 20 khz. As ondas infrasónicas têm frequências abaixo de 20 Hz. As ondas dos tremores de terra são um exemplo de ondas infrasónicas. 1

2 As ondas ultrasónicas têm frequências acima de 20 khz. Os morcegos conseguem ouvir frequências até 120 khz, e portanto ouvem ondas ultrasónicas, que nós não conseguimos ouvir. A gura seguinte ilustra este ponto Figura 2: Ondas audíveis, infrasónicas e ultrasónicas. 3 Velocidade das ondas sonoras O mecanismo de propagação do som é o mesmo em todos os meios. A gura 1 pode aplicar-se a qualquer meio, só que em vez de um pistão podemos pensar num martelo a bater num sólido, por exemplo. Claro que num sólido os átomos/moléculas não têm a mesma liberdade de movimentos que num gás. No entanto é ainda é verdade que podem oscilar em torno da sua posição de equilíbrio. A velocidade de propagação do som depende, no entanto, das propriedades físicas do meio material através do qual se propaga o som. Pode mostrar-se que a velocidade do som é dada por k v = ρ, (1) 2

3 em que k é uma constante característica de cada material, que descreve as suas propriedades elásticas, e ρ é a densidade, ρ = massa volume, (2) que tem unidades de kg m 3 ou kg/m 3. No caso dos gases e dos líquidos, k é o módulo volumétrico de elasticidade, que se costuma representar por B (do inglês bulk modulus) k B = p V V = p ρ ρ, (3) (tem unidades de pressão: Pascal (Pa), ou seja, N/m 2 ou ainda kg m 1 s 2 ). Nesta expressão p é a pressão aplicada ao gás, V é o seu volume inicial e V é a variação de volume do gás originada pela aplicação dessa pressão. É fácil de ver que V/ V = ρ/ ρ, o que explica a segunda igualdade. O módulo volumétrico de elasticidade dá pois uma medida das propriedades elásticas das substâncias, sendo tanto maior quanto menos a substância variar o seu volume em resposta à pressão aplicada. Na verdade, e apedo nome, B mede directamente a resistência das substâncias à compressão. B é portanto tanto maior quanto maior for a resistência de uma substância à compressão. A gura 3 ilustra a denição de módulo volumétrico de elasticidade. Figura 3: O módulo volumétrico de elasticidade. Resta ainda explicar para quem não sabe/não se lembra que a pressão exercida por uma força F numa dada área A vale P = F A [Pa]. (4) 3

4 A unidade do SI para a pressão é o Pascal (Pa). 1 Pa é a pressão exercida por uma força de 1 N numa área de 1 m 2. Figura 4: p = F/A. Por exemplo, uma pessoa com 100 kg em cima de uma balança de casa de banho, com uma área de 0,1 m 2 exerce uma pressão de P = F/A = 100kg 9.8ms 1 /(0.1m 2 ) = 9800 Pa. Vejamos um exemplo simples para perceber o conceito de módulo volumétrico de elasticidade: Se taparmos uma seringa na ponta e pressionarmos o êmbolo conseguimos contrair o ar. Como a mesma massa de ar passa a ocupar menos volume, então a densidade do ar aumenta e ρ é grande. Por outro lado, se repetirmos a experiência com água (e a mesma pressão) não conseguimos variar o volume e a densidade não varia (só varia com pressões muito maiores) e ρ é zero ou, pelo menos, muito pequeno. Vemos portanto ρ é tanto maior quanto mais elástico for o material, neste caso é muito maior para o ar do que para a água. E quanto a B? Onde é maior? Na água, certamente, porque ρ água > ρ ar, ρ água < ρ ar e B ρ/ ρ, ou seja, no cálculo de B da água, e relativamente aos valores do ar, o numerador é maior e o denominador é menor. Os dois factores reforçam-se no sentido de tornar B água > B ar. (5) 4

5 Portanto, como já se tinha dito, B é maior para a substância mais resistente à pressão, neste caso a água. Figura 5: O módulo de elasticidade do ar é maior do que o da água. Quanto aos sólidos, o módulo de elasticidade que se deve usar é o módulo de elasticidade de Young. O módulo de Young acaba por ser uma versão unidimensional do módulo volumétrico de elasticidade, já que num sólido a variação de volume dá-se essencialmente na direcção da compressão (ou elongação). Assim, a denição do módulo de Young é semelhante à anterior, só que em vez de V, volume, passamos a ter L, comprimento. Temos então a seguinte denição, relativa à gura 6, k Y = F L A L, (6) em que L é o comprimento da barra em repouso e L é a sua variação após a aplicação da força F. Deve notar-se que para um sólido também se dene o módulo volumétrico de elasticidade, simplesmente que não é este módulo que deve entrar no cálculo da velocidade do som e sim o módulo de Young. No âmbito de uma descrição geral para gases, líquidos e sólidos podemos simplesmente pensar no módulo de elasticidade k. Embora isto não seja rigorosa- 5

6 Figura 6: p = F/A. mente verdade, podemos pensar numa primeira abordagem que um material mais rijo tem um valor maior de E (lembrar o exemplo do ar e da água). Por exemplo, intuitivamente compreendemos que o aço é menos elástico que o plástico (o que quer dizer que oferece maior oposição a alterações elásticas), que é menos elástico que a barro, que é menos elástico que o ar. Assim, podemos antever que k(aço) > k(plástico) > k(barro) > k(ar), (7) como podemos ver também na gura 7. Agora que já entendemos bem os conceitos relativos ao módulo de elasticidade, podemos passar à pergunta mais importante: onde é que o som se propaga mais rapidamente, nos gases, nos líquidos ou nos sólidos? Entre sólidos e líquidos é fácil de perceber. Se introduzirmos (3) em (1) obtemos p v = ρ, (8) o que indica claramente que nos líquidos a velocidade do som é maior, pois têm valores de ρ menores do que os dos gases. Já no caso dos sólidos não conseguimos obter uma expressão tão simples porque a expressão (6) do módulo de Young não permite a mesma simplicação. A comparação da expressão (1), v = k/ρ, para gases e líquidos por um lado e sólidos por outro, mostra que k e ρ são simultaneamnet maiores para os sólidos que para gases e líquidos. O efeito de um maior valor de k para os sólidos, no numerador, pode eventualmente ser compensado por um valor maior de ρ. 6

7 Figura 7: O módulo de elasticidade. Portanto, com base na abordagem simples deste curso não podemos deduzir mais nada. Na verdade verica-se de uma forma geral que o aumento de k dos líquidos para os sólidos é proporcionalmente maior do que o aumento de ρ. Por isso a velocidade de propagação nos sólidos é maior do que nos gases e nos líquidos. Segue-se uma tabela com as velocidades de propagação em vários meios materiais Meio v (m/s) Meio v (m/s) Ar (0 o C) 331 Água do mar 1533 Ar (20 o C) 343 Alumínio 5100 Hidrogénio (0 o C) 1286 Cobre 3560 Oxigénio (0 o C) 317 Ferro 5130 Hélio (0 o C) 972 Chumbo 1322 Água 1493 Borracha vulcanizada 54 álcool metílico 1143 Comente os valores para o ar, o chumbo e a borracha 7

8 4 O som como onda periódica Já vimos no apítulo anterior que o som é uma onda. Vamos ver agora um pouco mais em detalhe como é que é a descrição do som como uma onda periódica. Podemos descrever as ondas sonoras de três formas equivalentes: como o movimento oscilatório das partículas do ar; como a oscilação da densidade do ar; como a oscilação da pressão do ar. 4.1 O som como movimento oscilatório das partículas do ar Vejamos o primeiro caso. Como já vimos numa animação, o movimento global do ar para sustentar a propagação do som é constituído por movimentos oscilatórios individuais das partículas. Figura 8: A oscilação das partículas faz-se em torno da posição de equilíbrio. 8

9 Cada partícula oscila em torno da sua posição de repouso, e é o conjunto de todos estes movimentos individuais que cria o movimento colectivo a que chamamos som. Essa oscilação individual tem as seguintes características: é feita sempre em torno do mesmo ponto, o que quer dizer que em média a partícula não sai do lugar; faz-se na direcção de propagação do som (onda longitudinal). Podemos então pensar em descrever este movimento matematicamente. Podemos caracterizar o deslocamento da partícula 1 em relação à sua posição de equilíbrio. Assim, este deslocamento é s(x, t) = s max cos(kx ωt), (9) em que s max é o deslocamento máximo. Esta expressão quer dizer que a partícula afasta-se da sua posição de equilíbrio por valores que oscilam entre -s max e +s max. Por exemplo, se s max = 50 µm, então as partículas afastam-se da sua posição de equilíbrio até 50 mícron, quer para a esquerda, quer para a direita, oscilando entre estes dois extremos (-50 µm, desvio máximo para a esquerda, e 50 µm, desvio máximo para a direita 2 ) à frequência ω/2π. 4.2 O som como oscilação da densidade do ar Também vimos na animação que a sobreposição dos movimentos individuais das partículas cria zonas mais densas (condensações) e zonas mais rarefeitas (rarefacções). 1 Em rigor a descrição não se faz para uma partícula, mas para o que se chama um elemento de volume, o que quer dizer um volume muito pequeno de ar, que contém portanto várias partículas em cada instante. Na verdade, nesta descrição, com elementos de volume, o que se está a fazer implicitamente é considerar o ar como um meio contínuo, sem levar em conta a sua estrutura microscópica. Para nós, no entanto, que não estamos demasiadamente preocupados com o rigor físico, é mais intutivo pensar em termos de partículas. 2 esquerda e direita tomadas na direcção de propagação da onda que, precisamente, se assume a ir da esquerda para a direita 9

10 Figura 9: O som também pode ser visto como uma onda de densidade. Assim, num dado ponto do espaço a densidade de partículas varia entre mais denso que a média e menos denso que a média (para calcular esta densidade usamos um pequeno volume em torno deste ponto e contamos o número de partículas dentro do volume). Assim, se for n a variação da densidade de partículas em relação ao valor médio (variação do número de partículas por m 3 em relação ao número médio de partículas por m 3 ), temos que n(x, t) = n max sin(kx ωt), (10) em que n max é a variação máxima de densidade. Por exemplo, se a densidade média é m 3 e n = m 3, então a densidade vai variar periodicamente entre os valores m 3 e m Desfazamanto entre a onda de deslocamento e a onda de densidade Deve notar-se a diferença entre as expressões (9) e (10): a primeira é em co-seno e a segunda em seno. Isto quer dizer que estão desfazadas de 90 o, como ilustra a gura seguinte: 10

11 Figura 10: As funções s(x, t) e n(x, t) estão desfazadas de 90 o. Tentemos compreender a gura. É mais fácil começar pelo gráco de baixo. Aí ilustra-se o comportamento da variação da pressão, que é igual ao comportamento da variação da densidade. As zonas mais escuras dentro do êmbolo representam zonas de maior densidade de partículas e as mais claras zonas de menor densidade. Assim, o gráco de P (e portanto tabém o da densidade) é uma representação directa da imagem: nas zonas mas escuras P é máximo e nas zonas mais claras P é mínimo. O gráco de cima ilustra o comportamento do deslocamento das partículas do ar relativamente às suas posições de equilíbrio. Vericamos que nas zonas de maior e menor compressão o deslocamento é nulo. As partículas vão de encontro umas às outras nas zonas de maior compressão, mas no ponto onde se dá essa compressão as partículas que lá estão não se deslocam. Por outro lado o deslocamento é máximo quando a variação de densidade é nula. Em resumo, o importante a reter desta secção é que o som pode ser visto como um deslocamento sinusoidal da posição das partículas ou como uma variação de densidade e pressão. Ambasa as variações são sinusoidais, mas estão desfazadas: os máximos e mínimos de uma e outra não são coincidentes. 11

12 5 A intensidade do som 5.1 Denição Como se dene a intensidade do som? A intensidade do som é denida como a energia que a onda sonora transporta por unidade de tempo por unidade de área, tal como se ilustra na gura 11. Figura 11: Denição de intensidade. Assim, uma onda mais intensa transporta mais energia. A denição de intensidade é portanto Energia I = Area tempo = Potencia Área. (11) Pode mostrar-se que a intensidade de uma onda sonora vale I = 1 2 ρ(ωs max) 2 v, (12) em que ρ é a densidade do meio, ω = 2πf é a frequência angular da onda, s max é a amplitude do deslocamento das partículas [ver (9)] e v a velocidade de propagação das ondas no meio. Também se pode escrever numa forma equivalente em termos da variação máxima de pressão: I = P max 2ρv, (13) em que desta vez ρmax é a amplitude de variação da pressão [equivalente a n max em (10)]. 12

13 Da análise de (12) concluímos que a se todos os outros factores se mantiverem constantes, a intensidade aumenta com a densidade do meio, pois é preciso mais energia para fazer oscilar um meio mais denso; com a frequência da onda, pois é preciso mais energia para fazer vibrar o meio a uma frequência mais elevada; como deslocamento máximo, pois é preciso mais energia para fazer as partículas afastarem-se mais da sua posição de equlíbrio; com a velocidade de propagação, pois uma onda que vai mais rápido deve ter mais energia. 5.2 Limiar de audibilidade O limiar de audubilidade é uma intensidade de referência que nos vai servir para denir a escala dos decibéis É também a intensidade mínima que o ouvido humano consegue detectar. Considera-se que a 1000 Hz esse valor é I 0 = W/m 2. (14) Como veremos mais à frente, o limiar de audibilidade depende da frequência. As frequências mais baixas ( Hz) têm um limiar bastante mais alto do que as frequências médias (100-5 khz) e altas (5-50 khz). Isto quer dizer que um som de baixa frequência precisa de ter muito maior intensidade do que um som médio ou alto para se começar a ouvir. Na origem desta diferença de sensibilidades aos sons está a anatomia e a siologia do ouvido, como também veremos mais tarde. Notamos ainda que o valor do limiar de audibilidade é muito baixo. Veremos a seguir que a sensibilidade do ouvido permite detectar intensidades com ordens de grandeza muito maiores. 5.3 Nível de intensidade sonora O nível de intensidade sonora de um dado som é uma medida da intensidade desse som relativamente ao nível de referência do limiar de audibilidade. Assim, o nível de intensidade sonora é uma medida relativa. Consideremos então um dado som, de intensidade I. O seu nível de intensidade sonora mede-se em decibéis (db) e vale I(dB) = 10 log I I 0. (15) 13

14 Tentemos perceber o que quer dizer esta escala. Em primeiro lugar consideremos um som que tem uma intensidade igual ao limiar de audibilidade. Então I = I 0 e I(= I 0, db) = 10 log I 0 = 10 log 1 = 0 db. (16) I 0 Assim, a escala começa em 0 db, o valor para o limiar de audibilidade, isto é, para uma intensidade de W/m 2. Consideremos agora uma intensidade 10 vezes maior, I = 10I 0. Temos então I(= 10I 0, db) = 10 log 10I 0 I 0 = 10 log 10 = 10 db. (17) Consideremos ainda uma intensidade 100=10 2 vezes maior, I = 100I 0. Temos então I(= 100I 0, db) = 10 log 100I 0 I 0 = 10 log 100 = 20 db. (18) Concluímos portanto que se I for 10 n vezes maior do que I 0 o nível de intensidade em dbs vale 10n. Mais dois exemplos: I mil vezes (10 3 ) vezes maior que I 0 corresponde a 3 10 db=30 db; I um milhão de vezes (10 6 ) vezes maior que I 0 corresponde a 6 10 db=60 db. Assim o valor da intensidade em dbs cresce muito mais lentamente do que em W/m 2 (último exemplo I variou de 1000 vezes em W/m 2 mas apenas de 30 db), o que é uma característica das escalas logarítmicas. O limiar da dor é o valor da intensidade máxima de um som que se consegue suportar. O seu valor é de 1 W/m 2. Isto quer dizer que vale, em db, 1 I dor (db) = 10 log 10 = 10 log = 120 db. (19) Assim, a gama de intensidades em que o ouvido trabalha vai de 0 a 120 db, correspondendo à variação entre ] W/m 2 e 1 W/m 2. Porquê uma escala logarítmica? Porquê esta escala? Alguns factos contribuem para que a escala dos db seja a escala natural para usar. Em primeiro lugar uma escala logarítmica aponta para o uso de potências de 10. A percepção das intensidades pelo ouvido humano também se baseia numa escala de potências de dez. Assim, uma regra de polegar é que um som parece 2 vezes mais forte se na realidade for 10 vezes mais intenso. Ou seja, é preciso a intensidade variar de 10 para que a nossa escala interior de intensidade varie para o dobro. 14

15 Por outro lado, outra regra de polegar é que 1 db é aproximadamente a diferença de intensidades entre dois sons que o ouvido consegue detectar. Por outras palavras, se dois sons da mesma frequência tiverem uma diferença de intensidades de menos de 1 db o ouvido não os consegue distiguir; se tiverem uma diferença de intensidades de mais de 1 db o ouvido já os consegue distiguir. Portanto a escala dos decibéis ajusta-se muito bem à escala da sensibilidade do ouvido. Dá-se de seguida exemplos de níveis de intensidade para sons bem conhecidos Som db Limiar de audibilidade 0 Rumorejar das folhas 10 Sussurrar 30 Barulho de um mosquito 40 Conversa normal 50 Aspirador 70 Trânsito intenso 80 Metropolitano 100 Concerto Rock 120 Martelo pneumático 130 Avião a jacto próximo 150 Ruptura do tímpano 160 Como é sabido, a exposição prolongada a níveis muito altos de intensidade sonora podem causar lesões auditivas. É recomendado o uso de protectores auditivos (tampões) para intensidades superiores a 90 db. 5.4 Intensidade relativa de dois sons A escala db dá uma medida relativa ao limiar de audibilidade. Mas também podemos calcular facilmente a diferença da intensidade de dois sons em db. Consideremos dois sons de intensidades I A e I B. Sabemos que I A é n vezes superior a I B, I A = ni B. (20) Qual é a diferença entre os doís níveis de intensidade em db? Podemos fazer I A (db) I B (db) = 10 log I A I 0 10 log I B I 0 = 10(log I A I 0 log I B I 0 ) = 10 log I A/I 0 I B /I 0 = 10 log I A I B = 10 log n. 15

16 Portanto podemos concluir que se I A = ni B, então I A (db) I B (db) = 10 log n, (21) mesmo sem saber quais são os valores numéricos de I A e I B. Por exemplo, se I A é o dobro de I B, então I A tem mais 10 log 2 = db. Daqui vem também esta regra de polegar: se a intensidade aumenta para o dobro o nível de intensidade aumenta 3 db. se I A é o triplo de I B, então I A tem mais 10 log 3 = db. Daqui vem também esta regra de polegar: se a intensidade triplica o nível de intensidade aumenta aproximadamente 5 db. Como o quádruplo é o dobro vezes o dobro, então a quadriplicação da intensidade quer dizer uma variação de 3 db (dobro) + 3 db (dobro) = 6 db (quádruplo). Como o sextuplo é o dobro vezes o triplo, então a sextuplicação da intensidade quer dizer uma variação de 3 db (dobro) + 5 db (dobro) = 8 db (sextuplo). Como o óctuplo é o dobro vezes o dobro vezes o dobro, então a octoplicação da intensidade quer dizer uma variação de 3 db (dobro) + 3 db (dobro) + 3 db (dobro)= 9 db (óctuplo). etc... Basta xar as duas regras de polegar dobro=3 db e triplo=5 db para deduzir os outros exemplos. Consegue calcular a variação em db para a quintuplicação sem recorrer ao cálculo de log5? 5.5 Variações na diferença mínima de intensidade detectável Dissémos atrás que a diferença mínima de intensidade detectável (DMID) é de cerca de 1 db. Na verdade este valor é indicativo; é verdade em ordem de grandeza. Mas medições da DMID mostram que o seu valor varia com a frequência e intensidade do som. Veja-se a gura 12. Podemos ver desta gura que 16

17 Figura 12: A diferença mínima de intensidade detectável varia com a frequência e com o nível de intensidade do som. a DMID é maior para sons menos intensos. Por exemplo, numa conversa em tom baixinho, 40 db, é necessário haver uma variação de 1 db para que haja percepção de variação de intensidade. A que variação da intensidade corresponde 1 db? 1dB = 10 log I I 0 log I I 0 = 0.1 (22) I I 0 = I = 1.25I 0. (23) Isto quer dizer uma variação de apenas 1.25 I 0 (1.25 vezes o limiar de audição) na intensidade do som emitido pela outra pessoa que está a falar. Mas no meio da rotunda do Marquês de Pombal em hora de ponta o nível de intensidade do ruído é de 90 db e a DMID é da ordem de 0.4 db. A que variação da intensidade corresponde 0.4 db? 0.4dB = 10 log I I 0 log I I 0 = 0.04 (24) I I 0 = I 0. (25) Isto quer dizer uma variação de apenas 1.1 I 0 (1.1 vezes o limiar de audição) na intensidade do ruído do trânsito é realmente apercebida como variação. 17

18 Mas a gura também mostra que os sons de maior frequência conduzem a menores valores para a DMID. Isto quer dizer que é mais fácil perceber variações de intensidade em sons agudos do que em sons graves. Em resumo, 1. é mais fácil perceber variações de intensidade em sons muito intensos do que em sons pouco intensos. 2. É mais fácil perceber variações de intensidade em sons agudos do que em sons graves. 5.6 A curva do limiar de audibilidade Já referimos que o limiar de audibilidade se convenciona ser W/m 2 à frequência de 1000 Hz. Este é o valor de referência que se usa para calcular o nível de intensidade em decibéis. No entanto, pode medir-se o limiar de audibilidade para todas as frequências audíveis. A curva média obtida está patente na gura 14. Figura 13: O limiar de audibilidade varia com a frequência. Aqui pode ver-se que o limiar de audibilidade é muito maior para as frequências baixas ( Hz) do que para as frequências médias e altas. Com efeito, a 30 Hz o nível mínimo de intensidade audível é de 60 db. Abaixo de 60 db, a 30 Hz, não se ouve nada! Por outro lado, a 1000 Hz o limiar de audibilidade é de 4 db. Isto quer dizer que a razão das intensidades limiar a 30 Hz e a 1000 Hz é dada por 56 = 10 log I 30 I 0 10 log I 1000 I 0 = 10 log I 30 I

19 I 30 I 1000 = (26) Portanto, relativamente ao limiar a 1 khz, é necessária uma intensidade quatrocentas mil vezes maior a 30 Hz para se começar a ouvir. Uma questão se levanta: o limiar a 1000 Hz não é 0 db? Não podemos confundir duas coisas distintas: a) I 0 =0 db é um nível que se conmvencionou para calcular os db; b) o valor que efectivamente se mede a 1000 khz não é 0 db, mas sim 4 db. Qual é a zona onde o ouvido é mais sensível? Entre os 3500 Hz e os 4000 Hz. Note-se que nesta zona o limiar de audibildade é aproximadamente -3 db! O que quer dizer um valor negativo em decibéis? Simplesmente que o valor do limiar a Hz é inferior ao valor de referência I 0 = W/m 2. Quanto? De acordo com o que já vimos, 3 db querem dizer uma razão de 2. Portanto o limiar de audibilidade a Hz é cerca de metade do limiar de referência I 0. Voltamos a encontrar aqui um padrão já observado a propósito da DMID: o ouvido é menos sensível às baixas frequências e é necessário que estas tenham uma intensidade muito superior às das frequências médias e altas para produzirem a mesma sensação auditiva de intensidade. 5.7 Uma nota: escala logarítmica No gráco anterior as frequências estão marcadas numa escala logarítmica. Com efeito, um olhar mais atento à escala revela que esta não pode ser uma escala normal. O espaço que vai de 100 Hz a 1000 Hz é o mesmo que vai de 1000 Hz a Hz. Como é que isso pode ser, se a diferença que vai de 100 Hz a 1000 Hz é 900 Hz e a diferença que vai de 1000 Hz a Hz é 9000 Hz, dez vezes superior? A resposta para a pergunta é que no gráco as distâncias medidas no eixo dos xx não são proporcionais f mas a log f. Assim, log 1000 log 100 = 3 2 = 1 e log log 1000 = 4 3 = 1. Em logaritmo as diferenças são iguais. Comecemos por ver o gráco da função x em escala normal, na gura 14 Vamos agora representar a mesma função em escala logarítmica. A escala começa em 0. Isto quer dizer que log f = 0 f = 1 Hz. Então a distância a que outra frequência ν é marcada é dada por log ν log f = log ν 0 = log ν. Assim, por exemplo, 1. a f=1 Hz corresponde a distância log 1 = 0 cm; 2. a f=2 Hz corresponde a distância log 2 = cm; 19

20 Figura 14: O gráco de x numa escala normal. 3. a f=3 Hz corresponde a distância log 3 = cm; 4. a f=4 Hz corresponde a distância log 4 = cm; 5. a f=5 Hz corresponde a distância log 5 = cm; 6. a f=6 Hz corresponde a distância log 2 = cm; 7. a f=7 Hz corresponde a distância log 2 = cm; 8. a f=8 Hz corresponde a distância log 2 = cm; 9. a f=9 Hz corresponde a distância log 2 = cm; 10. a f=10 Hz corresponde a distância log 10 = 1 cm; A escala ca portanto distorcida: deixa de ser linear. Ao valor 2 corresponde 30% do espaço entre 1 e 10; e a 5 corresponde 70%; a 8 corresponde 90% mas a 9 corresponde apenas 95%. Esse aspecto da não-linearidade da escala é bem visível nas linhas verticais que atravessam o gráco (ver a gura 15) A escala logarítmica tanto se pode usar nas abcissas como nas ordenadas ou simultaneamente nas duas, como está ilustrado na gura

21 Figura 15: O gráco de x numa escala logarítmica. 6 Intensidade relativa ou nível de audibilidade Os termos intensidade relativa ou nível de audibilidade são traduções possíveis do termo inglês loudness e têm a ver com a percepção da intensidade do som pelo ouvido. Como já vimos, a resposta do ouvido à intensidade não é linear. Assim, a escala dos decibéis é mais parecida com a escala interna do ouvido do que uma escala linear. No entanto a escala dos decibéis não depende da frequência do som, mas a percepção do som pelo ouvido sim. Vejamos então o gráco da gura 17. Ele ilustra curvas de igual intensidade relativa. O que se mostra neste gráco? Mostram-se as curvas formadas pelos pontos de igual intensidade relativa, isto é, sons de intensidade sonora absoluta diferente mas que são apercebidos pelo ouvido com intensidade relativa igual. Assim, por exemplo, a curva identicada com 20 (já vamos ver a seguir o que quer dizer este 20) passa pelos 20 db a 1000 Hz e pelos 40 db a 90 Hz. Isto quer dizer que um som de 40 db a 90 Hz nos parece tão intenso como um de 20 db a 1000 Hz (intensidade absoluta 100 vezes menor). outro exemplo: a 200 Hz, 1000 Hz e 7000 Hz os sons de 60 db são apercedido com igual intensidade. 21

22 Figura 16: O gráco de x numa escala normal. a curva a tracejado representa a curva do limiar de audibilidade, que já tínhamos visto em separado anteriormente. De uma forma geral as características da curva do limiar de audibilidade mantêm-se nas restantes curvas de igual intensidade relativa: a sensibilidade máxima dá-se para as frequências de 3-4 khz, onde se observam os pontos mais baixos de todas as curvas. O ouvido é menos sensível a frequências muito baixas. 7 Unidade do nível de audibilidade As curvas de igual intensidade permitem-nos denir uma unidade que caracteriza a intensidade relativa apercebida pelo ouvido. Essa unidade é o fon. As curvas de igual intensidade relativa estão identicadas pelo seu número de fones. Mas qual é exactamente a denição de fone? n fones quer dizer com uma intensidade relativa igual à de um som de n db a 1000 Hz. Portanto, a diferença entre db e fon é que 22

23 Figura 17: Curvas de igual intensidade relativa. dois sons de 60 db (p. ex.) a frequências diferentes são em geral apercebidos com intensidades relativas diferentes (número de fons diferente); dois sons de 60 fons (p. ex.) a frequências diferentes são apercebidos com a mesma intensidade relativa mas em geral têm valores diferentes de nível de intensidade em db. 8 Unidade de audibilidade Já dissemos atrás que uma regra aproximada para a percepção do som pelo ouvido é que é necessário decuplicar a intensidade absoluta de um som para provocar a sensação auditiva do dobro da intensidade. A escala dos fons não é indicada para ilustrar esta regra pois, baseando-se na escala dos decibéis, não é linear. Exemplo: se decuplicar a intensidade absoluta de um som de 60 fon a 1000 Hz (tem 60 db, isto é, é 10 6 vezes maior do que I 0 ), então o nível de intensidade passa a ser I(dB) = 10 log( /I 0 ) = 70 db. Para outras frequências que não 1 khz teremos uma relação da mesma ordem de grandeza. 23

24 Como se pode ver na gura das curvas de igual intensidade relativa, para passar de 40 fon para 80 fon a 1000 Hz temos um factor de e não de 10! Então há que denir outra unidade para medir linearmente a resposta do ouvido. Essa unidade é o sone. Se considerarmos que 40 fon é o nível de base para a escala dos sones, então 40 fon = 1 sone. Quando a intensidade absoluta decuplica passamos a ter 50 fon. Então, para seguir a resposta do ouvido, fazemos corresponder a 50 fon o valor de 2 sone 50 fon = 2 sone. A decuplicação deste som dá 60 fon, o que há-de corresponder ao dobro do valor em sone, que é 4 sone. Portanto 60 fon = 4 sone. A escala de sones é portanto dada pela seguinte tabela: Fon Sone Fon Sone / / / / ou pela expressão I(sone) = 2 I(fon) 40. (27) 9 A lei do inverso quadrado Consideremos a gura 18. Nesta gura representa-se uma fonte sonora que está a emitir com uma potência P (lembremos que potência é energia por umidade de tempo, 1 W = 1 J/s). Se essa potência sonora for emitida uniformemente em todas as direcções (isto é, isotropicamente), então podemos calcular intensidade a uma dada distância r da fonte através de I = P 4πr. (28) 2 24

25 Figura 18: A lei do inverso quadrado (retirado de Para chegar a esta expressão basta pensar que a potência é distribuída pela superfície de uma esfera de raio r centrada na fonte, e que a área dessa esfera é 4πr 2. Esta expressão quer dizer que a intensidade diminui com o inverso do quadrado da distância à fonte. Por exemplo, se à distância de 1 m tivermos 10 W/m 2, então à distância de 2 m (dobro, 2 ) termos uma intensidade de 10/2 2 = 2.5 W/m 2 (a quarta parte = inverso do dobro ao quadrado). À distância de 10 m teremos uma potência de 10/10 2 = 0.1 W/m 2 (a uma distância 10 vezes maior corresponde uma intensidade 100 menor). Consideremos então a intensidade medida a duas distâncias diferentes, r 1 e r 2. Teremos I 1 = P e. I 4πr1 2 2 = P, (29) 4πr2 2 pelo que ( ) I 2 r1 2 =. (30) I 1 r 2 Se relacionarmos isto com a intensidade em dbs vem Em suma, I 2 (db) = 10 log I 2 I 0 = 10 log I 2 I 1 I 1 I 0 = = 10 log I 2 I log I 1 I 0 = 10 log ( r1 r 2 ) 2 + I1 (db) = 20 log r 1 r 2 + I 1 (db). (31) I 2 (db) I 1 (db) = 20 log r 1 r 2. (32) 25

26 Assim, se a distância passar para o dobro de quantos dbs varia o nível de intensidade? I 2 (db) I 1 (db) = 20 log 1 = 6. (33) 2 Portanto o nível de intensidade diminui de 6 db cada vez que se duplica a distância a que se recebe o som. Note-se que neste raciocínio não é preciso saber o nível de intensidade inicial. 10 Caracterização dos sons Os sons caracterizam-se através de 3 parâmetros: Intensidade Altura Timbre 10.1 Intensidade A intensidade do som é o parâmetro de que temos vindo a falar nas últimas secções. A expressão da intensidade está dada em (12). Se considerarmos apenas o ar, então a velocidade de propagação e a densidade são valores constante. Se considerarmos sons da mesma frequência, então vemos que a intensidade de um som está relacionada com a amplitude de vibração da onda sonora. Quanto maior a amplitude, mais intenso é o som. Terminologia: Em acústica os sons são classicados quanto à intensidade como sons fortes ou sons fracos; Em linguagem corrente os sons são classicados quanto à intensidade como sons altos ou sons baixos; 10.2 Altura A altura é o nome que em acústica se dá à frequência. É simplesmente a frequência da onda x = x sin(kx 2πft). Terminologia: Em acústica os sons são classicados quanto à altura como sons altos (grande frequência, por exemplo 5 khz) ou sons baixos (baixa frequência, por exemplo 200 Hz); 26

27 Figura 19: Intensidade. Em linguagem corrente os sons são classicados quanto à intensidade como sons agudos (alta frequência) ou sons graves (baixa frequência); Atenção à possível confusão: em linguagem corrente alto (Está muito alto! Baixa a televisão!) ou baixo (Está muito baixo, não ouço nada!) não tem nada a ver com a altura do som em acústica, que só tem a ver com a frequência Timbre O timbre só será discutido no próximo capítulo, já que está ligado às características dos sons complexos, constituídos por vários harmónicos. 27

28 Figura 20: Altura. 28