Aula 10 Árvores Adelson-Velskii e Landis
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1 MC3305 Algoritmos e Estruturas de Dados II Aula 10 Árvores Adelson-Velskii e Landis Prof. Jesús P. Mena-Chalco jesus.mena@ufabc.edu.br 2Q
2 Árvores balanceadas 2
3 Árvores balanceadas As ABB permitem buscar de forma eficiente um elemento dada uma chave. Deseja-se que o custo de acesso tenha a ordem de grandeza de uma árvore ótima O(lg(n)) Este custo deve-se manter ao longo da utilização da estrutura (inclusive após inserções/remoções). O custo de ter a estrutura balanceada deve estar na, idealmente, mesma ordem de grandeza. Uma árvore binária é balanceada (ou equilibrada) se, em cada um de seus nós, as subárvores esquerda e direita tiverem aproximadamente a mesma altura. 3
4 Árvores balanceadas Exemplo ruim para o restabablecimento de árvores completas Para obter esta árvore é necessário percorrer toda a árvore, O(n) Fonte: SZWARCFITER, J. L.; MARKEZON, L. Estruturas de Dados e seus Algoritmos, 3a edição, LTC,
5 Árvores balanceadas: completas e AVLs 5
6 AVL Georgy M. Adelson-Velsky Russia Evgenii Mikhailovich Landis Ucrania ( /abril/26) ( ) 6
7 AVL G.M. Adelson-Velskii y E.M. Landis An algorithm for the organization of information. Proceedings of the USSR Academy of Sciences, vol. 146, pp , 1962 AVL foi a primeira estrutura (conhecida) de árvore de altura balanceada/equilibrada. 7
8 Árvores AVL Devido ao balanceamento da altura da árvore, as operações de: Busca Inserção Remoção em uma árvore com n elementos podem ser efetuadas em mesmo no pior caso. 8
9 Árvores AVL Devido ao balanceamento da altura da árvore, as operações de: Busca Inserção Remoção em uma árvore com n elementos podem ser efetuadas em mesmo no pior caso. Um teorema provado por Adelson-Velskii e Landis garante que a árvore balanceada nunca será 45% mais alta que a correspondente árvore perfeitamente balanceada, independentemente do número de nós existentes. 9
10 Árvores AVL Uma árvore AVL é definida como: Uma árvore vazia é uma árvore AVL. 10
11 Árvores AVL Uma árvore AVL é definida como: Uma árvore vazia é uma árvore AVL. Sendo T uma ABB, com subárvores esquerda (L) e direita (R), T será uma árvore AVL contanto que: L e R são árvores AVL A definição de uma ABB de altura equilibrada (AVL) requer que cada subárvore seja também de altura equilibrada. 11
12 Árvores AVL 12
13 Fator de balanceamento 13
14 Fator de balanceamento O fator de balanceamento/equilibrio de um nó T em uma ABB é definido como: 14
15 Fator de balanceamento O fator de balanceamento/equilibrio de um nó T em uma ABB é definido como: Para qualquer nó T em uma árvore AVL, o fator de balanceamento assume o valor: +1, 0, -1. O fator de balanceamento de uma folha? 15
16 Fator de balanceamento 16
17 Fator de balanceamento Fator=0 Alturas das subárvores esquerda e direita são iguais 17
18 Fator de balanceamento Fator=+1 Alturas da subárvore esquerda é maior 18
19 Fator de balanceamento Fator=-1 Alturas da subárvore esquerda é menor 19
20 Exemplo: Inserção de 'Maio' 20
21 Exemplo: Inserção de 'Março' 21
22 Exemplo: Inserção de 'Março' 22
23 Exemplo: Inserção de 'Novembro' 23
24 Exemplo: Inserção de 'Novembro' 24
25 Exemplo: Inserção de 'Novembro' 25
26 Exemplo: Inserção de 'Agosto' 26
27 Exemplo: Inserção de 'Agosto' 27
28 Exemplo: Inserção de 'Abril' 28
29 Exemplo: Inserção de 'Abril' 29
30 Exemplo: Inserção de 'Abril' 30
31 Exemplo: Inserção de 'Janeiro' 31
32 Exemplo: Inserção de 'Janeiro' 32
33 Exemplo: Inserção de 'Janeiro' 33
34 Exemplo: Inserção de 'Dezembro' 34
35 Exemplo: Inserção de 'Dezembro' 35
36 Exemplo: Inserção de 'Julho' 36
37 Exemplo: Inserção de 'Julho' 37
38 Exemplo: Inserção de 'Fevereiro' 38
39 Exemplo: Inserção de 'Fevereiro' 39
40 Exemplo: Inserção de 'Fevereiro' 40
41 Exemplo: Inserção de 'Junho' 41
42 Exemplo: Inserção de 'Junho' 42
43 Exemplo: Inserção de 'Outubro' 43
44 Exemplo: Inserção de 'Outubro' 44
45 Exemplo: Inserção de 'Outubro' 45
46 Exemplo: Inserção de 'Setembro' 46
47 Exemplo: Inserção de 'Setembro' 47
48 Rotações 48
49 Rotações O processo de rebalanceamento é conduzido utilizando 4 tipos de rotações LL RR LR RL Suponha que o novo nó inserido é Y: As rotações são caracterizadas pelo ancestral A (com fator de balanceamento +2 ou -2) mais próximo do nó Y. 49
50 Rotações LL: Y inserido na subárvore esquerda da subárvore esquerda de A LR: Y inserido na subárvore direita da subárvore esquerda de A RR: Y inserido na subárvore direita da subárvore direita de A RL: Y inserido na subárvore esquerda da subárvore direita de A Seja B o filho de A no qual ocorreu a inserção de Y LL (A = +2; B = +1) LR (A = +2; B = -1) RR (A = -2; B = -1) RL (A = -2; B = +1) A B Y 50
51 Rotação LL 51
52 Rotação LL 52
53 Rotação LL 53
54 Rotação LL 54
55 Rotação LL 55
56 Rotação LL 56
57 Rotação LL 57
58 Rotação LL 58
59 Rotação RR 59
60 Rotação RR 60
61 Rotação RR 61
62 Rotação RR 62
63 Rotação RR 63
64 Rotação RR 64
65 Rotação RR 65
66 Rotação RR 66
67 Rotação LR (a) 67
68 Rotação LR (b) 68
69 Rotação LR (b) 69
70 Rotação LR (b) 70
71 Rotação LR (c) 71
72 Rotação LR (c) 72
73 Rotação LR (c) 73
74 Rotação LR 74
75 Rotação LR 75
76 Rotação LR 76
77 Rotação LR 77
78 Rotação LR 78
79 Rotação LR 79
80 Rotação LR 80
81 Rotação LR 81
82 Rotação RL (a) 82
83 Rotação RL (b) 83
84 Rotação RL (b) 84
85 Rotação RL (b) 85
86 Rotação RL (c) 86
87 Ferramenta de visualização: AVL -1*( ) 87
88 Atividade em aula Suponha que serão realizadas as seguintes inserções de chaves na árvore AVL ao lado: (a) Apresente a árvore AVL resultante (1 árvore) (b) Indique o tipo de rotações consideradas em cada inserção 88
89 Atividade em aula Operações 7 : RR 2 : -1 : LL 3 : LR 6 : RL 89
90 AVL é uma árvores balanceada? 90
91 Balanceamento de árvores AVL Uma árvore AVL de altura h é balanceada se h = O(log(n)) Outra forma de pensar: Dada uma árvore AVL de altura h, qual seria o valor mínimo possivel para n? 91
92 Balanceamento de árvores AVL Uma árvore AVL de altura h é balanceada se h = O(log(n)) Outra forma de pensar: Dada uma árvore AVL de altura h, qual seria o valor mínimo possivel para n? h-2 h-1 92
93 Balanceamento de árvores AVL Seja Th uma árvore AVL com altura h e número mínimo de nós. Nesta definição h=4 T1 T2 T3 T4 93
94 Balanceamento de árvores AVL Basta calcular um limite inferior do número de nós de Th. Seja Th o número de nós de Th. 94
95 Analogia com a sequência de Fibonacci 95
96 AVL Como AVL é uma árvore balanceada! Temos 96
97 AVL Um teorema provado por Adelson-Velskii e Landis garante que a árvore balanceada nunca será 45% mais alta que a correspondente árvore perfeitamente balanceada, independentemente do número de nós existentes. 97
98 AVL 98
99 Para finalizar Árvores balanceadas são muito utilizadas em problemas reais: JAVA: TreeMap, TreeSet. C++: Map, Set do STL. Custo de busca, inserção, remoção da árvore AVL: O(log n) 99
100 Sobre os slides Slides baseados em: Szwarcfiter, J.L. & Markezon, L. Estruturas de Dados e seus Algoritmos, 3a edição, LTC, Horowitz, E. & Sahni, S.; Fundamentos de Estruturas de Dados, Editora Campus, Wirth, N.; Algoritmos e Estruturas de Dados, Prentice/Hall do Brasil, Material de aula do Prof. José Augusto Baranauskas (USP/Riberão Preto) 100
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