ÈÖÓ Ð Ø Ø Ø ÈÖÓ Ó ØÓ Ø Ó ÖÐÓ Ð ÖØÓ ÒÓ ÙØ ¾ ÙÐ Ó ¾¼¼

Transcrição

1 ÈÖÓ Ð Ø Ø Ø ÈÖÓ Ó ØÓ Ø Ó ÖÐÓ Ð ÖØÓ ÒÓ ÙØ ¾ ÙÐ Ó ¾¼¼

2 Ö Ñ ÒØÓ Ó ÈÖÓ º Öº Ý Ò ÓÒ Ð Ù Ñ Ö Ô Ð Ö Ø Ö Ó Ö Ú Ó Ó Ø ÜØÓº

3 ËÙÑ Ö Ó Ä Ø ÙÖ Ú ½ ÈÖÓ Ð ½ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙÓº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ì ÓÖ ÓÒ ÙÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾º½ Ä ÅÓÖ Òº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º¾ ÈÖ Ò Ô Ó Ù Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ò ÈÖÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½ Ö ÕÙ Ò Ê Ð Ø Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º¾ Ü ÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÐÙÐÓ ÔÖÓ Ð Ù Ò Ó Ñ ØÓ Ó ÓÒØ Ñº º º º º º º º º º ½º º½ ÑÓ ØÖ Ñ ÓÑ Ö ÔÓ Ó ÓÖ Ò Óº º º º º º º º º º º º º º º ½º º¾ ÑÓ ØÖ Ñ Ñ Ö ÔÓ Ó ÓÑ ÓÖ Ò Óº º º º º º º º º º º º ½º º È ÖÑÙØ Ó Ò Ó ØÓ Ø ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º ÑÓ ØÖ Ñ Ñ Ö ÔÓ Ó Ñ ÓÖ Ò Óº º º º º º º º º º º º ½¼ ½º º ÑÓ ØÖ Ñ ÓÑ Ö ÔÓ Ó Ñ ÓÖ Ò Óº º º º º º º º º º º º ½½ ½º ÈÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º º½ ÈÖÓ Ð Å Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º ÈÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ðº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º½ Ê Ö Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ú ÒØÓ Ò Ô Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÕÙ Ò Ö Ñ Ñ ÖÚÓÖ º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Î Ö Ú Ð Ø Ö ¾ ¾º½ Ò Óº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÙÒÓ ØÖ Ù Ó ÙÑÙÐ Ø Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ì ÔÓ Î Ö Ú Ð Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º½ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º¾ ÓÒØ ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º Å Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÙÒÓ Ò ÈÖÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ ÈÖÓÔÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Ó Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ð ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ø Ö Ö Ø ÑÔÓÖØ ÒØ º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÖÒÓÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

4 ËÍÅýÊÁÇ ¾º º¾ ÒÓÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÈÓ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ð ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ø Ö ÓÒØ ÒÙ ÑÔÓÖØ ÒØ º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÍÒ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ ÜÔÓÒ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º Ê ÝÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º Ù Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ѹ ÖÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ¹ÉÙ Ö Ó χ 2 µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Ù Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º Ä ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ò ÓÒ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Î Ö Ú Ð Ø Ö Å ÐØ ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½ ÙÒÓ ØÖ Ù Ó ÈÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØ º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾ Ò Ñ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º Ó ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÙÒÓ ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ð º º º º º º º º º ¾º º ÁÒ Ô Ò Ò Ø Ø Ø Î Ö Ú Ð Ø Ö º º º º º º º º º ¾º ÙÒ Î Ö Ú Ð Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ó ÍÒ Ñ Ò ÓÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ó ÅÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½¼ Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å Ø Ø Ø Î Ö Ú Ð Ø Ö ¾ º½ Å º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º½ Å ÙÑ Î Ö Ú Ð Ð Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º¾ Å ÙÑ ÙÒÓ ÙÑ Î Ö Ú Ð Ð Ø Ö º º º º º º º º º º½º Å Ô Ö Î Ö Ú Å ÐØ ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Å ËÓÑ ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Å Ó ÈÖÓ ÙØÓ Ù Î Ö Ú Ð Ø Ö ÁÒ Ô Ò ÒØ º º½º Å ÉÙ Ö Ø ËÓÑ Ù Î Ö Ú Ð Ø Ö º º º º º º½º Å ÓÒ ÓÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÅÓÑ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ N¹ ÑÓ ÑÓÑ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÅÓÑ ÒØÓ ÒØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Î Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ó ÅÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º Î Ö Ú Ð Ø Ö ÓÖÖ Ð ÓÒ ÇÖØÓ ÓÒ º º º º º º º ¾ º ÙÒ Ö Ø Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½ Ó ÑÙÐØ Ñ Ò ÓÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ØÓ Ó ÓÑÔÙØ ÓÒ Ô Ö Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ð Ø Ö Ó ¼ º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ Å ØÓ Ó Ó Ö ÙÓ ÔÓØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Å ØÓ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

5 Ú ËÍÅýÊÁÇ º Ç Ñ ØÓ Ó Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ó ÙÒ ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ó Ñ ØÙÖ Ú Ö Ú Ð Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÑ Î Ö Ú Ð Ø Ö Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Ä Ñ Ø ÒØÖ Ð ½¼¼ º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º¾ Å ÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º Ô ÓÑ Ù Úº º³ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÙÒÓ Ö ØÖ Þ ÑÓÑ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º Å ÓÑ Úº º³ Ò Ô Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ËÓÑ Úº º³ Ù Ò Ò Ô Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º ËÓÑ Ð Ø Ö Úº º³ Ò Ô Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º Ì ÓÖ Ñ Ó Ð Ñ Ø ÒØÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÔÐ Ó Ì ÓÖ Ñ Ó Ä Ñ Ø ÒØÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º½¼ Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ Ä Ñ Ø ÒØ ËÙÔ Ö ÓÖ Ô Ö ÈÖÓ Ð Ù ½¾ º½ Ù Ð Å Ö ÓÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ Ù Ð Ý Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ä Ñ Ø ÒØ ÖÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ñ ÑÓ ØÖ Ð ½ ¾ º½ ÁÒØÖÓ ÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º¾ Î ÐÓÖ Ô Ö Ó Ú Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º Å ÑÓ ØÖ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ä Æ Ñ ÖÓ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ä Ö Æ Ñ ÖÓ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ä ÓÖØ Æ Ñ ÖÓ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÈÖÓ Ó ØÓ Ø Ó ½ ¼ º½ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º¾ Ì ÔÓ ÔÖÓ Ó ØÓ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º Î Ö Ú Ð Ø Ö Ô ÖØ Ö ÔÖÓ Ó ØÓ Ø Ó º º º º º º º º º º º ½ º Ë ÕÙ Ò Ð Ø Ö Ò Ô Ò ÒØ ÒØ Ñ ÒØ ØÖ Ù º º º º ½ º ÈÖÓ Ó ÓÒØ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÖÓ Ó ÈÓ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÖÓ Ó Ò Ð Ø Ð Ö Ó Ð Ø Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º ÈÖÓ Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÖÓÛÒ ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Å Ø Ø Ø ÔÖÓ Ó Ð Ø Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ÅÓÑ ÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÙÒÓ ÙØÓÓÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½¼ Ð Ó Ó ÔÖÓ Ó ØÓ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º½¼º½ ÈÖÓ Ó ØÓ Ø Ó Ø ÓÒ Ö Ó ÒÓ Ø ÓÒ Ö Ó º º º º º º ½ ¼ º½¼º¾ ÈÖÓ Ó Ø ÓÒ Ö Ó ÒÓ ÒØ Ó ÑÔÐÓ º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º½¼º ÈÖÓ Ó Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½½ Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

6 ËÍÅýÊÁÇ Ú ÈÖÓ Ñ ÒØÓ Ë Ò Ð Ø Ö Ó ½ º½ Ë Ø Ñ Ð Ò Ö ÒÚ Ö ÒØ ÒÓ Ø ÑÔÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÐØÖ Ñ Ð Ò Ö ÙÑ ÔÖÓ Ó ØÓ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ô ØÖÓ Ò ÔÓØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÓÖÖ Ð ÖÙÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º½ ÙÒÓ ÓÖÖ Ð Ó ÖÙÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º¾ Ò Ô ØÖ Ð ÖÙÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÐØÖ Ñ ÔÖÓ Ó ØÓ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÖÓ Ó Ù ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÖÓ Ó ÖÙ Ó Ö ÒÓ Ù ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼ Å Ö ÓÚ ½ ½¼º½ ÈÖÓ Ó Å Ö ÓÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½¼º¾ Å Ö ÓÚ Ì ÑÔÓ Ö ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼¾ ½¼º¾º½ ÈÖÓ Ð ØÖ Ò Ó Ô Ö n Ô Ó º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½¼º¾º¾ ÈÖÓ Ð Ó Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½¼º¾º ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½¼º Å Ö ÓÚ Ñ Ø ÑÔÓ ÓÒØ ÒÙÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½¼º º½ Ì ÑÔÓ ÓÙÔ Ó Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½¼º º¾ Ì Ü ØÖ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ø Ó Ô Ò ÒØ Ø ÑÔÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¼ ½¼º ÈÖÓ Ð Ø Ó Ñ Ê Ñ ÕÙ Ð ÒÓ ÐÓ º ¾½ ½¼º Ð Ø Ó ÔÖÓÔÖ Ö ÓÖÖ Ò ÔÖÓ Ð Ð Ñ Ø º ¾½ ½¼º º½ Ð Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½¼º º¾ ÈÖÓÔÖ Ö ÓÖÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾¼ ½¼º º ÈÖÓ Ð Ð Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ½¼º º ÈÖÓ Ð Ð Ñ Ø Ô Ö Å Ö ÓÚ Ø ÑÔÓ ÓÒØ ÒÙÓ¾¾ ½¼º Ü Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ Ì Ð Å Ø Ñ Ø ¾ º½ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ó ÒØ ÒÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ö Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÁÒØ Ö Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÁÒØ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ì Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ¾ º½ Ò Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÖÓÔÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º È Ö ØÖ Ò ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ë Ö Ì ÝÐÓÖ ¾ ¼ º½ Ë Ö Ì ÝÐÓÖ Ô Ö ÙÒ ÙÑ Ú Ö Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼ º¾ ÜÔ Ò Ñ ÙØ Ð Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼

7 Ú ËÍÅýÊÁÇ Î Ö Ú Ð Ø Ö Ö Ø ¾ ¾ º½ ÖÒÓÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ º¾ ÒÓÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ º ÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ º ÒÓÑ Ð Ò Ø Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÈÓ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Î Ö Ú Ð Ø Ö ÓÒØ ÒÙ ¾ º½ ÍÒ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÜÔÓÒ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ù Ò ÆÓÖÑ Ðµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ѹ ÖÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ¹ÉÙ Ö Ó χ 2 µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ê ÝÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ù Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ä ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Î ÐÓÖ ØÖ Ù Ó ÒÓÖÑ Ð Ð Ó Ö ¾ ¾

8 Ä Ø ÙÖ ½º½ Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð Ô Ö Ó ÖÖ Ñ Ó ÙÑ Óº º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ó Ó µ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ µ ÙÒ Ó µ ÒØ Ö Ó Ú ÒØÓ µ Ú ÒØÓ ÙÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÑÓÒ ØÖ Ó Ð ÅÓÖ Òº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð Ô Ö Ö Ú Ó Ö Ö Ý º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½ ÍÑ Úº º Ó ÙÑ Ò Ñ ÖÓ x = X(ζ) Ö ÙÐØ Ó ζ ÒÓ Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð S ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ø Ö Óº º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ú ÒØÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º P[a < X b] = F X (b) F X (a) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ü ÑÔÐÓ ÙÑ ÙÑ Úº º Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ö Ó Úº º ÓÒØ ÒÙ Xº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ö Ó F X (x)º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÍÑ Ü ÑÔÐÓ Úº º Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÙÒÓ Ò ÔÖÓ Ð Ô ÔÖÓ Ð ÒØ Ö¹ Ú ÐÓ Ð Ö ÙÖ Ò Ò Ø Ñ Ðº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÔÖÓ Ð ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ [a, b] Ö Ó Ô Ò ÕÙ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓº ¾º½¼ ³ ÓÒ ÓÒ Ð ÒÓÒ ÓÒ Ð Xº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½½ µ Ô Ò Ò ÒØÖ µ f X (x) µ f Y (y)º º º º º º º º º º º º º ¾º½¾ ÍÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Úº º X ÙÑ Ü ÑÔÐÓ Ô³ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ X Y º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ ÙÒÓ ÙÑ Úº º ÓÑ Ù Ö Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ ÍÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ Ö Ø Úº º Xº º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º½ ÙÒÓ Ò ÔÖÓ Ð Ê ÝÐ º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÙÒÓ Ò ÔÖÓ Ð Ù Ò ÓÑ Ñ m Ú Ö Ò σ 2 º º¾ Y = g(x)º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Å ØÓ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ô Ö Ö Ö ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö ÓÑ F X (x)º ¾ º¾ Ö Ò Ó ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö ÓÑ ØÖ Ù Ó ÖÒÓÙÐÐ º º º º º º º º Ö Ò Ó ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö ÓÑ ØÖ Ù Ó ÒÓÑ Ðº º º º º º º º º º Å ØÓ Ó Ö Ó Ô Ö Ö Ö ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö ÓÑ Ô f X (x)º º º º Å ØÓ Ó Ö Ó Ô Ö Ö Ö ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö ÓÑ ØÖ Ù Ó Ñ 0 < α < 1µº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ê Ó ÒØ Ö Ó Ô Ö Ó Ø ÒÓ F W (w)º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Ê Ó ÒØ Ö Ó Ô Ö Ó Ø ÒÓ F W (w)º º º º º º º º º º º º º º ½¼

9 Ú ÄÁËÌ Á ÍÊ Ë º º½ º¾ º½ Ç Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ ¼ ÖÖ Ñ Ó ÙÑ ÑÓ Ð ¼¼ Ö Ô Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ú Ö Ù ÑÔ ÒÓÑ Ðº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ê Ó A ÓÑ Ö µº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ÍÑ Ð Ñ Ø ÒØ ÙÔ Ö ÓÖ ÜÔÓÒ Ò Ð Ù Ó Ô Ö Ó Ø Ö ÔÖÓ Ð Ù Ð Ñ Ø ÒØ ÖÒÓ µº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ÓÒÚ Ö Ò ÙÑ ÕÙ Ò Ñ ÑÓ ØÖ Ó Ø Ô ÖØ Ö ÙÑ ÕÙ Ò Úº º³ ÓÑ ØÖ Ù Ó Ù Ò Ñ Ú Ö Ò ½¼º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ ÍÑ ÔÖÓ Ó ØÓ Ø Ó ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÙÑ º º ½ ½ º¾ ÍÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÙÒ ÑÓ ØÖ º º º º º º º º º º ½ ½ º ÙÒ ÑÓ ØÖ ÕÙ ØÖÓ Ø ÔÓ ÔÖÓ Ó ØÓ Ø Ó X(t) ÙÑ ÔÖÓ Ó ÓÒØ ÒÙÓ ÒÓ Ø ÑÔÓ Ò ÑÔÐ ØÙ X(n) Ó Ø Ó Ô ÖØ Ö ÑÓ ØÖ Ñ X(t) Ñ Ò Ø ÒØ Ø ÑÔÓ ÒØ ÖÓ n Ö ØÓ ÒÓ Ø ÑÔÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ò ÑÔÐ ØÙ Y (t) Ó Ø Ô ÖØ Ö ÕÙ ÒØ Þ Ó X(t) ÒÓ Ò Ø ÒØ ÑÓ ØÖ Ñ ÙÑ ÔÖÓ Ó Ö ØÓ Ò ÑÔÐ ØÙ ÓÒØ ÒÙÓ ÒÓ Ø ÑÔÓ Ò ÐÑ ÒØ Y (n) ÙÑ ÔÖÓ Ó Ö ØÓ ÒÓ Ø ÑÔÓ Ò ÑÔÐ ØÙ Ó Ø Ó Ô ÖØ Ö ÑÓ ØÖ Ñ Y (t)º º º º º º º º º º ½ º ÙÒÓ ÑÓ ØÖ ÙÑ ÔÖÓ Ó ÓÒØ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÙÒÓ ÑÓ ØÖ ÙÑ ÔÖÓ Ó Ø Ð Ö Ó Ð Ø Ö Ó º º º º º º º º º º º ½ ¾ º ÓÖÑ ÓÒ Ó ÔÙÐ Ó p(t)º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÖÖÓ Ø Ó Ú Ó Ó ÖÙ Óº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÈÖÓ Ó ØÓ Ø Ó ÓÑÔÖ Ñ Ó ÒÓ Ø ÑÔÓº º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ô Ó ÔÖÓ Ó x yº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½¼ ÙÒ ÙØÓÓÖÖ Ð Ó Ô Ö Ó ÔÖÓ Ó X(t) Y (t)º º º º º º º º º ½ º½½ ÈÖÓ Ó Ð Ø Ö Ó X(t) = A cos(ω c t + θ)º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º½¾ Ð Ó Ó ÔÖÓ Ó ØÓ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ º¾ ÐØÖÓ Ô Ü Ð H(f) ÓÑ Ö ÕÙ Ò ÒØÖ Ð f 0 Ð Ö ÙÖ Ò B ÀÞº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÓÖÖ Ð Ó ÖÙÞ ÒØÖ ÒØÖ ÙÑ ÐØÖÓ Ð Ò Ö ÒÚ ¹ Ö ÒØ ÒÓ Ø ÑÔÓ ÓÒÚÓÐÙÓ Ö ÔÓ Ø ÑÔÙÐ Ó Ó ÐØÖÓ ÓÑ ÙÒÓ ÙØÓÓÖÖ Ð Ó ÒØÖ º Ò Ô ØÖ Ð ÖÙÞ Ò¹ ØÖ ÒØÖ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó Ô ØÖÓ Ò ÔÓØ Ò ÒØÖ ÓÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Ö Ò Ó ÐØÖÓº Ò Ô ØÖ Ð ÔÓØ Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ò Ô ØÖ Ð ÖÙÞ ÒØÖ Ó ÓÑÔÐ ÜÓ ÓÒ Ù Ó ÙÒÓ ØÖ Ò Ö Ò Ó ÐØÖÓº º ½ ½¼º½ ÌÖ Ò Ô Ö Ó Ø Ó jº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½½ ½¼º¾ Ð ÒÓ ÐÓ Ð ÙÜÓ ÔÖÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½¼º Ö Ñ ØÖ Ò Ó Ø Ó Ô Ö Ó Ø Ñ Å»Å»½º º º º º º º º º ¾½ ½¼º Ö Ñ Ø Ü ØÖ Ò Ó Ô Ö ÙÑ ÔÖÓ Ó Ò Ñ ÒØÓ ÑÓÖØ Ö Ðº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½¼º ÁÒ Ø ÒØ Ö ÓÖÖ Ò Ô Ö Ó Ø Ó iº º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾

10 Ô ØÙÐÓ ½ ÈÖÓ Ð ½º½ ÁÒØÖÓ ÙÓº Ñ ÑÙ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÒØ Ö Ü Ø ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ Ò ÖØ Þ ÓÙ Ð ØÓ¹ Ö º ÁÒ Ô Ò ÒØ ÕÙ ÒØÓ ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ø Ö Ô ÙÑ Ó ÒÑ ÒÓ ÓÑÓ Ò ÐÑ ÒØ Ò Ô Ø Ó ÔÖ Þ Ö Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙØÙÖÓ ÓÖÑ ÔÖ º ܺ Ö ÓÙ ÓÖÓ º Ó Ó ÖÚ Ó ÕÙ Ò Ø Ó ÖØ Ñ Ø Ò Ñ ÙÑ Ú ÐÓÖ ÓÒ Ø ÒØ Ñ Ñ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ó ÖÚ Ö º ÆÓ Ü ÑÔÐÓ Ö ÓÖÓ ÕÙ Ö Ñ Ø Ñ µ ÕÙ Ñ Ö ÐÑ ÒØ Ü Ñ Ø Ð Ö ÙÐ Ö Ó ÔÓÖØ ÒØÓ Ö ÞÓ Ú ÐÑ ÒØ ÔÖ Ú Ú Ô Ö Ö Ú Ð ÒÚÓÐÚ Ö ÙÑ ØÙ Ó Ó Ö Ó ÐÙÐÓ Ø Ñ º Ø Ó ÓÑ Ò Ó Ø ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ø Ø Ø º Ç ÔÖÓÔ ØÓ Ø Ö Ú Ö ÔÖ Þ Ö Ø Ñ Ñ Ø ÖÑÓ ÔÖÓ Ð Ú ÒØÓ º Ð ÙÑ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ó ½º½º ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ø Ö Ó ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ñ Ó Ð Ø Ö Ó Ù Ö ÙÐØ Ó ÒÓ ÔÓ Ö ÔÖ ØÓ ÔÖ Ñ ÒØ ÔÓÖÕÙ ÓÒ Ñ ÕÙ Ö Ð Þ Ó ÒÓ ÔÓ Ñ Ö ÔÖ Ø ÖÑ Ò ÓÑ ÔÖ Ó Ù ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ÖÖ Ñ Ó Ó ÓÙ ÑÓ º Ò Ó ½º¾º Ê ÙÐØ Ó Ó Ó Ö ÙÐØ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ü ÙÓ ÙÑ Ü¹ Ô Ö Ñ ÒØÓº Ü ÑÔÐÓ Ö ÓÖÓ º

11 ¾ ÈÖÓ Ð Ò Ó ½º º Ú ÒØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÙÐØ Ó ÕÙ Ø Ò Ñ Ð ÙÑ Ô ¹ º Ü ÑÔÐÓ ÒÓ Ó Ó Ö Ó Ó Ú ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ ÑÔ Ö Ñ ÙÑ ÖÖ Ñ Ó ÔÓ Ö ÙÐØ Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÑ Ö ÙÐØ Ó ½ º Ø ÓÖÑ Ø ÙÑ Ú ÒØÓ Ö ÙÐØ Ó º ÈÓÖØ ÒØÓ Ú ÒØÓ Ó ÖÙÔ Ñ ÒØÓ Ö ÙÐØ Ó Ñ Ð º ½º¾ Ì ÓÖ ÓÒ ÙÒØÓ º Ò Ó ½º º Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð Ó Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð S Ò Ó ÓÑÓ ÙÑ ÓÐ Ó ØÓ Ó Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ø Ö Óº Ö ÙÐØ Ó ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ ÓÙ ÑÓ ØÖ Ø Ô Ó ÔÓ Ö ÓÒÚ Ò ÒØ Ñ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒÓ Ô Ó ÑÓ ØÖ Ðº Ü ÑÔÐÓ ½º½º ÆÓ Ó Ó Ó Ó Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð ÓÒ Ø Ð Ñ ÒØÓ ζ 1 ζ 2 ζ 3 ζ 4 ζ 5 ζ 6 ÓÒ Ó ζ i Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓÒØÓ º Ç Ú ÒØÓ ÔÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÙÑ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ëº Ç Ú ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ ÑÔ Ö Ñ ÙÑ ÖÖ Ñ Ó ÒÓØ Ó ÔÓÖ A o ÙÑ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ë ÓÙ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ Ó Ð Ñ ÒØÓ ζ 1 ζ 3 ζ 5 µº Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ Ó Ú ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ñ ÙÑ ÖÖ Ñ Ó ÒÓØ Ó ÔÓÖ A e ÓÙØÖÓ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ë ÓÙ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ Ó Ð Ñ ÒØÓ ζ 2 ζ 4 ζ 6 µº Ç Ú ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÒÓÖ ÓÙ Ù Ð Ñ ÙÑ Ó ÒÓØ Ó ÔÓÖ ÓÖÑ Ó Ô ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ ζ 1 ζ 2 ζ 3 ζ 4 º Æ ÙÖ ½º½ ÜÓ Ø Ñ¹ ÙÑ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö Ø Ú ÒØÓ Ñ ÙÑ ¹ Ö Ñ Î ÒÒº Ë ζ 1 ζ 3 ζ 5 A o ζ 2 ζ 4 ζ 6 A e ÙÖ ½º½ Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð Ô Ö Ó ÖÖ Ñ Ó ÙÑ Óº

12 ÈÖÓ Ð Ò Ó ½º º Ç ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ú ÒØÓ A ÒÓØ Ó ÔÓÖ A c Ó Ú ÒØÓ ÕÙ ÓÒØ Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ S ÕÙ ÒÓ ØÓ Ñ Aº ÆÓ Ü ÑÔÐÓ Ñ ÕÙ Ó Ó Ú ÒØÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö A o A e B º Ò Ó ½º º ÍÑ Ú ÒØÓ ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ñ Ð Ñ ÒØÓ Ñ Ó Ú ÒØÓ ÒÙÐÓ ÒÓØ Ó ÔÓÖ φº Ç ÖÚ ÕÙ Ó Ú ÒØÓ ÒÙÐÓ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ Ó Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð S : φ = S c º Ò Ó ½º º ÙÒ Ó Ú ÒØÓ A B ÒÓØ ÔÓÖ A B ÕÙ Ð ÕÙ ÓÒØ Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ñ A Bº Î Ö ÕÙ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ó Ó Ú ÒØÓ A o A e A o B A e Bµº Ç ÖÚ ÕÙ A B = B Aº Ò Ó ½º º ÒØ Ö Ó Ó Ú ÒØÓ A B ÒÓØ ÔÓÖ A B ÓÙ ÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ AB Ó Ú ÒØÓ ÕÙ ÓÒØ Ñ ÔÓÒØÓ ÓÑÙÒ A Bº Ø Ú ÒØÓ Ø Ñ Ñ ÓÒ Ó ÓÑÓ Ú ÒØÓ ÓÒ ÙÒØÓ ABº Ç ÖÚ ÕÙ AB = BAº Æ ÙÖ ½º¾ ÜÓ Ø Ñ¹ Ø ÓÒ ØÓ ÑÓ ØÖ Ó Ö Ñ ÒØ Ñ Ö Ñ Î ÒÒº Ò Ó ½º º Ë Ó Ú ÒØÓ A B Ó Ø ÕÙ AB = φ ÒØÓ A B Ó ØÓ Ú ÒØÓ ÙÒØÓ ÓÙ ÑÙØÙ Ñ ÒØ ÜÐÙ ÚÓ º Á ØÓ ÕÙ Ö Þ Ö ÕÙ A B ÒÓ ÔÓ Ñ ÓÓÖÖ Ö ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ º A A c Ó ÑÙØÙ¹ Ñ ÒØ ÜÐÙ ÚÓ µº Ø ÓÒ ØÓ Ó ÑÓ ØÖ Ó ÓÖÑ Ö Ò ÙÖ ½º¾º

13 Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÈÖÓ Ð S A c S S S A A B A B A B µ µ µ µ ÙÖ ½º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ó Ó µ ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ µ ÙÒ Ó µ ÒØ Ö Ó Ú ÒØÓ µ Ú ÒØÓ ÙÒØÓ º ½º¾º½ Ä ÅÓÖ Òº Ì ÓÖ Ñ ½º½º Ë A B Ó Ú ÒØÓ Ñ ÙÑ Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð ÒØÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö A + B = A B AB = A + B ½º½µ ½º¾µ ÑÓÒ ØÖ Óº Ð ÅÓÖ Ò ÔÓ Ö ÐÑ ÒØ ÑÓÒ ØÖ ÔÓÖ Ñ Ó ¹ Ö Ñ Î ÒÒ Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ A B A B A + B A B A B ÙÖ ½º ÑÓÒ ØÖ Ó Ð ÅÓÖ Òº Ç ÖÚ Ó ÔÐ Ó Ö Ô Ø ÕÙ Ó ½º½µ Ð Ú Ó Ù ÒØ Ñ ÙÑ ÒØ ÓÒ¹ ÙÒØÓ Ù Ø ØÙ ÑÓ ØÓ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ô ÐÓ Ù ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ØÓ ÙÒ ÔÓÖ ÒØ Ö ØÓ ÒØ Ö ÔÓÖ ÙÒ ÒØ ÔÖ ÖÚ º Ü ÑÔÐÓ ½º¾º Ë ÒØ

14 ÈÖÓ Ð A(B + C) = AB + AC ½º µ Í Ò Ó ½º½µ Ù ÕÙ A(B + C) = A + B + C = A + B C Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ AB + AC = AB AC = (A + B)(A + C) ÕÙ Ó Ó Ð Ó ½º µ Ó Ù Ù ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ Ø Ñ Ñ Ó Óº ÈÓÖØ ÒØÓ A + B + C = (A + B)(A + C) ½º µ Ø ÒØ ÔÓ Ñ Ö ÐÑ ÒØ ÓÒ Ö ÔÓÖ Ñ Ó Ö Ñ Î ÒÒº ½º¾º¾ ÈÖ Ò Ô Ó Ù Ð º Ë ÑÓ ÕÙ S = φ φ = Sº Ð Ñ Ó Ñ ÙÑ ÒØ ÓÑÓ ½º µ ØÓ ÖÖ ÓÖ Ñ Ö ÑÓÚ ÒØ ÔÖ ÖÚ º Á ØÓ Ð Ú Ù ÒØ Ú Ö Ó Ð ÅÓÖ Ò ÈÖÓÔÓ Ó ½º½º Ë Ñ ÙÑ ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ Ù Ø ØÙ ÑÓ ØÓ ÙÒ ÔÓÖ ÒØ Ö ØÓ ÒØ Ö ÔÓÖ ÙÒ Ó ÓÒ ÙÒØÓ S φ Ô ÐÓ ÓÒ ÙÒØÓ φ S Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒØ ÔÖ ÖÚ º ÔÐ Ò Ó Ó Ø ÓÖ Ñ Ñ ÒØ A(B + C) = AB + AC S = A + S Ó Ø ÑÓ ÒØ A + BC = (A + B)(A + C) φ = φa ½º ½º º½ Ò ÈÖÓ Ð º Ö ÕÙ Ò Ê Ð Ø Ú º Ñ ÓÖ Ó Ö ÙÐØ Ó ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ø Ö Ó ÑÔÖ Ú Ú Ð Ü Ø ÙÑ Ö ÙÐ ¹ Ö Ø Ø Ø Ó Ö Ø Ò Ó ÔÓÖ Ö Õ Ò Ö Ð Ø Ú ¹ Ò Ø Ö Ù¹ Ð Ö º

15 ÈÖÓ Ð Ò Ó ½º½¼º ÔÖÓ Ð P(A) ÙÑ Ú ÒØÓ A Ô ÐÓ Ð Ñ Ø n A P(A) = lim n n ÓÒ n A Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÓÖÖ Ò A n Ó Ò Ñ ÖÓ Ø ÒØ Ø Ú º ½º µ Ç ÖÚ ÑÔÓÖØ ÒØ ½º Ë Ù Ò Ó ÕÙ 0 P(A) 1º ¾º Ë A B Ó Ó Ú ÒØÓ ÑÙØÙ Ñ ÒØ ÜÐÙ ÚÓ n A + n B P(A + B) = P(A) + P(B) = lim n n ½º µ º Ë A 1, A 2,, A N ÒÓ ÓÖ Ñ ÑÙØÙ Ñ ÒØ ÜÐÙ ÚÓ ÒØÓ P(A 1 + A A N ) < P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A N ) ½º µ ½º º¾ Ü ÓÑ Ø º Ò Ó ½º½½º ÔÖÓÜ Ñ Ó Ü ÓÑ Ø Ô Ö ÔÖÓ Ð ÒÓ ØÖ ÔÓ ØÙÐ Ó Ù ÒØ Ò Ñ ½º ÔÖÓ Ð P(A) ÙÑ Ú ÒØÓ A ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ó Ø Ú ÒØÓ P(A) 0 ½º µ ¾º ÔÖÓ Ð Ó Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð Ù Ð ½ P(S) = 1 ½º µ º Ë Ó Ú ÒØÓ A B Ó ÑÙØÙ Ñ ÒØ ÜÐÙ ÚÓ ÒØÓ P(A + B) = P(A) + P(B) ½º½¼µ ÈÖÓÔÖ P(φ) = 0 P(A c ) = 1 P(A) P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A) + P(B) Ú ÒØÓ ÑÔÓ Ú Ð A c ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ A ÔÖÓ Ð ÙÒ Ó Ü ÑÔÐÓ ½º º Ø ÖÑ Ò Ö ÔÖÓ Ð Ó Ø ÒÓ ÙÑ Ö Ù ÓÖÓ Ñ ÖÖ Ñ Ó ÙÑ ÑÓ Ðº

16 ÈÖÓ Ð ËÓÐÙÓº Æ Ø Ó Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú Ó ½µ µ Ó ¾µ Ó µ Ó Ó µ Ó µ Ó Ó µ Ó Ó µ Ó Ó Ó ËÓ ÔÓ Ú Ö ÙÐØ Ó ÑÙØÙ Ñ ÒØ ÜÐÙ ÚÓ P(A i ) = 1/8 P(1ca,2co) = P(A 4 ) + P(A 6 ) + P(A 7 ) = 3/8 ½º º Ð º Ò Ó ½º½¾º ÔÖÓ Ð P(A) ÙÑ Ú ÒØÓ A Ø ÖÑ Ò ÔÖ ÓÖ Ñ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ó Ö Ð Ô Ð ÜÔÖ Ó P(A) = n A n ÓÒ n Ò Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú n A Ò Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÚÓÖ Ú Ó Ú ÒØÓ Aº ½º½½µ Î Ö Ó Ñ Ð ÓÖ Ò Ó Ð Ò Ó ½º½ º ÔÖÓ Ð ÙÑ Ú ÒØÓ Ù Ð Ö ÞÓ ÒØÖ Ù Ö ÙÐØ ¹ Ó ÚÓÖ Ú Ó Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ö ÙÐØ Ó ÕÙ ØÓ Ó Ó Ö ÙÐØ Ó Ñ ÕÙ ÔÖÓÚ Ú º Ü ÑÔÐÓ ½º º ÖÖ Ñ Ó ÙÑ Ó P( ÑÔ Ö) = 3/6 = 1/2 ½º ÐÙÐÓ ÔÖÓ Ð Ù Ò Ó Ñ ØÓ Ó ÓÒØ ¹ Ѻ Ñ ÑÙ ØÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÓÑ Ô Ó ÑÓ ØÖ Ò ØÓ Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ñ Ö Ù¹ Ñ Ó ÓÑÓ Ò Ó ÕÙ ÔÖÓÚ Ú º ÔÖÓ Ð ÙÑ Ú ÒØÓ ÒØÓ Ö ÞÓ ÒØÖ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÒÓ Ú ÒØÓ ÒØ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ö ÙÐØ Ó ÒÓ Ô Ó ÑÓ ØÖ Ðº Ç ÐÙÐÓ ÔÖÓ Ð Ö ÙÞ ÓÒØ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÙÑ Ú ÒØÓº

17 ÈÖÓ Ð ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÑ Ø Ø Ñ ÐØ ÔÐ ÓÐ Ø Ñ k ÕÙ Ø Ô Ö ÕÙ ØÓ i Ó ØÙ ÒØ ÔÖ Ð ÓÒ Ö ÙÑ ÒØÖ n i Ö ÔÓ Ø ÔÓ Ú º ÉÙ Ð Ó Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð ÑÓ Ó Ö ÔÓÒ Ö ØÓ Ó Ó Ø Ø Ö ÔÓ Ø ÕÙ ØÓ i ÔÓ Ö Ú Ø ÓÑÓ Ô Ó i¹ Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÙÑ k¹ùôð ÑÓ Ó ÕÙ ÕÙ ØÓ Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÕÙ ÒØ k¹ùôð ÓÖ Ò Ø ÒØ (x 1,,x k ) Ó ÔÓ Ú x i ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ n i Ð Ñ ÒØÓ Ø ÒØÓ Ç Ò Ñ ÖÓ k¹ùôð ÓÖ Ò Ø ÒØ (x 1,,x k ) ÓÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ x i ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ n i Ð Ñ ÒØÓ Ø ÒØÓ Ó ÔÓÖ Ò Ñ ÖÓ ¹ÙÔÐ ÓÖ Ò Ø ÒØ = n 1 n 2 n k ½º½¾µ ÅÙ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØ Ñ ÔÓ Ñ Ö ÓÐÓ Ó ÓÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓ ØÖ ¹ Ñ ÓÒ Ð ÓÒ ÑÓ ÓÐ Ñ ÙÖÒ ÓÙ Ó ØÓ Ñ ÔÓÔÙÐ º ÁÖ ÑÓ ÓÖ Ù Ö ÕÙ Ó ½º½¾ Ô Ö ÒÚÓÐÚ Ö ÖÑÙÐ ÓÑ Ò ØÓÖ Ô Ö Ú Ö Ó Ø ÔÓ ÑÓ ØÖ ¹ Ѻ ½º º½ ÑÓ ØÖ Ñ ÓÑ Ö ÔÓ Ó ÓÖ Ò Óº ËÙÔÓÒ ÕÙ ÓÐ ÑÓ k Ó ØÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ A ÕÙ Ø Ñ n Ó ØÓ Ø ÒØÓ ÓÑ Ö ÔÓ Óº ÁÖ ÑÓ ÒÓ Ö Ö Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ A ÓÑÓ ÔÓÔÙÐ Óº Ç ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÔÖÓ ÙÞ ÙÑ k¹ùôð ÓÖ Ò (x 1,, x k ) ÓÒ x i A, i = 1, 2,, kº ÕÙ Ó ½º½¾ ÓÑ n 1 = n 2 = = n k = n ÑÔÐ ÕÙ Ò Ñ ÖÓ ¹ÙÔÐ ÓÖ Ò Ø ÒØ = n k ½º½ µ Ü ÑÔÐÓ ½º º ÍÑ ÙÖÒ ÓÒØ Ñ ÒÓ ÓÐ ÒÙÑ Ö º ËÙÔÓÒ ÕÙ Ð ÓÒ ÑÓ Ù ÓÐ ÙÖÒ ÓÑ Ö ÔÓ Óº ÉÙ ÒØÓ Ô Ö ÓÖ Ò Ó Ø ÒØÓ Ó ÔÓ Ú ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð Ö Ø Ö Ö Ù Ú Þ Ñ Ñ ÓÐ ËÓÐÙÓº ÕÙ Ó ½º½ Þ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ô Ö ÓÖ Ò Ó 5 2 = 25º Æ Ì Ð ÜÓ Ø ÑÓ Ó Ô Ö ÔÓ Ú º ÒÓ Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú Ó ÓÐ ÓÑ Ó Ñ ÑÓ Ò Ñ ÖÓº Ë ÙÔÓÑÓ ÕÙ ØÓ Ó Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú Ó ÕÙ ÔÖÓÚ Ú ÒØÓ ÔÖÓ Ð Ö Ø Ö Ö Ñ Ñ ÓÐ Ù Ú Þ 5/25 = 0, 2º ½ ½µ ½ ¾µ ½ µ ½ µ ½ µ ¾ ½µ ¾ ¾µ ¾ µ ¾ µ ¾ µ ½µ ¾µ µ µ µ ½µ ¾µ µ µ µ ½µ ¾µ µ µ µ ½º º¾ ÑÓ ØÖ Ñ Ñ Ö ÔÓ Ó ÓÑ ÓÖ Ò Óº Ç ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÓÒ Ø Ñ ÓÐ Ö k Ó ØÓ Ñ Ù Ó Ñ Ö ÔÓ Ó ÙÑ ÔÓÔÙÐ Ó A n Ó ØÓ Ø ÒØÓ º Ð Ö Ñ ÒØ k nº Ç Ò Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú Ò ÔÖ Ñ Ö Ö Ø Ö n 1 = n Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú Ò ÙÒ

18 ÈÖÓ Ð Ö Ø Ö n 2 = n 1 Ñ ÔÓÖ ÒØ Ø n k = n (k 1) Ò Ö Ø Ö Ò Ðº Ø ÓÖÑ ÕÙ Ó ½º½¾ ÓÖÒ Ò Ñ ÖÓ k¹ùôð ÓÖ Ò Ø ÒØ = n(n 1)(n k + 1) ½º½ µ Ü ÑÔÐÓ ½º º ÍÑ ÙÖÒ ÓÒØ Ñ ÒÓ ÓÐ ÒÙÑ Ö º ËÙÔÓÒ ÕÙ Ð ÓÒ ÑÓ Ù ÓÐ ÙÖÒ Ñ Ù Ó Ñ Ö ÔÓ Óº ÉÙ ÒØÓ Ô Ö ÓÖ Ò Ó Ø ÒØÓ Ó ÔÓ Ú ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ ÔÖ Ñ Ö ÓÐ Ø Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÓÖ ÕÙ ÙÒ ËÓÐÙÓº ÕÙ Ó ½º½ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ô Ö ÓÖ Ò Ó ÔÓ Ú 5(4) = 20º Ø Ó ÑÓ ØÖ Ó Ò Ì Ð ÜÓº Þ Ô Ö ÓÖ Ò Ó Ò Ø Ø Ð Ø Ñ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÓÖ ÕÙ Ó ÙÒ Ó ÓÖÑ ÕÙ ÔÖÓ Ð Ø Ú ÒØÓ ½¼»¾¼ ¼ º ½ ¾µ ½ µ ½ µ ½ µ ¾ ½µ ¾ µ ¾ µ ¾ µ ½µ ¾µ µ µ ½µ ¾µ µ µ ½µ ¾µ µ µ ½º º È ÖÑÙØ Ó Ò Ó ØÓ Ø ÒØÓ º ÓÒ Ö ÙÑ ÑÓ ØÖ Ñ Ñ Ö ÔÓ Ó ÓÑ k = nº Á ØÓ ÕÙ Ú Ð Ö Ø Ö Ö Ó ØÓ ÙÑ ÙÖÒ Ø ÕÙ Ð Ø Ú Þ º ÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Õ Ò ÔÓ Ú n Ó ØÓ Ø ÒØÓ Ù Ð Ó Ò Ñ ÖÓ n¹ùôð ÑÓ ØÖ Ñ Ñ Ö ÔÓ Ó ÓÑ k = nº ÕÙ Ó ½º½ Ø ÑÓ Ò Ñ ÖÓ Ô ÖÑÙØ Ò Ó ØÓ = n(n 1)(2)(1) = n! ½º½ µ È Ö n Ö Ò ÖÑÙÐ ËØ ÖÐ Ò Ø ÒØ Ø Ð n! 2π n n+1 2 e n ½º½ µ Ü ÑÔÐÓ ½º º ÒÓÒØÖ Ó Ò Ñ ÖÓ Ô ÖÑÙØ ØÖ Ó ØÓ Ø ÒØÓ ½ ¾ º ËÓÐÙÓº ÕÙ Ó ½º½ ÓÖÒ 3! = 6º Ô ÖÑÙØ Ó ½¾ ½¾ ¾ ½ ½ ¾ ¾½ ¾½

19 ½¼ ÈÖÓ Ð ½º º ÑÓ ØÖ Ñ Ñ Ö ÔÓ Ó Ñ ÓÖ Ò Óº ËÙÔÓÒ ÕÙ Ô ÑÓ k Ó ØÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ n Ó ØÓ Ø ÒØÓ Ñ Ö ÔÓ Ó ÖÑ Þ Ò ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ñ ÒÓ ÑÔÓÖØ ÖÑÓ ÓÑ ÓÖ Ñº Ñ ÑÓ Ó Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÙÐØ ÒØ k Ó ØÓ Ð ÓÒ Ó ÙÑ ÓÑ Ò Ó Ø Ñ Ò Ó k º ÕÙ Ó ½º½ Ü Ø Ñ k! ÕÙ Ò Ò ÕÙ Ó Ó ØÓ Ð ÓÒ Ó ÔÓ Ñ Ø Ö Ó Ð ÓÒ Ó º ÒØÓ Ck n ÒÓØ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÑ Ò Ø Ñ Ò Ó k ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ñ Ò Ó n ÒØÓ Ck n k! Ó Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð ÑÓ ØÖ ÓÖ Ò Ø ÒØ k Ó ØÓ ÕÙ Ð Ô Ð ÕÙ Ó ½º½ º ÒØÓ Ck n k! = n(n 1)(n k + 1) ½º½ µ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÑ Ò Ö ÒØ Ø Ñ Ò Ó k ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ñ Ò Ó n k n C n k = n(n 1)(n k + 1) k! ÜÔÖ Ó ( n k) Ñ Ó ÒØ ÒÓÑ Ðº = n! k!(n k)! ( ) n k ½º½ µ ÆÓØ ÕÙ ÓÐ Ö k Ó ØÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ n ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÐ Ö Ó (n k) Ó ØÓ ÕÙ ÒÓ ÓÖ Ñ Ð ÓÒ Ó º Ë Ù ÒØÓ ÕÙ ( ) ( ) n n = ½º½ µ k n k Ü ÑÔÐÓ ½º º ÒÓÒØÖ Ó Ò Ñ ÖÓ ÑÓ Ó Ð ÓÒ Ö Ó Ó ØÓ A = {1, 2, 3, 4, 5} Ñ ÑÔÓÖØ Ö ÓÑ ÓÖ Ñº ËÓÐÙÓº ÕÙ Ó ½º½ ÓÖÒ ( ) 5 = 5! = 10 ½º¾¼µ 2 2!3! ÜÓ Ø ÑÓ Ð Ø Ñ Ø ½¼ Ô Ö º ½ ¾µ ½ µ ½ µ ½ µ ¾ µ ¾ µ ¾ µ µ µ µ Ü ÑÔÐÓ ½º º ÒÓÒØÖ Ó Ò Ñ ÖÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÒØ k ÓÐ Ö Ò (n k) ÓÐ ÔÖ Ø º ËÓÐÙÓº Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓ ØÖ Ñ ÓÐÓÕÙ n Ø ÕÙ Ø ÒÙÑ Ö ½ n Ñ ÙÑ ÙÖÒ ÓÒ Ø ÕÙ Ø Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ ÔÓ Ó ÒÓ ÖÖ Ò Ó ÓÐ Ô Ù ÙÑ ÓÑ Ò Ó k Ø ÕÙ Ø ÓÐÓÕÙ k ÓÐ Ö Ò Ò ÔÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÓÑ Ò Ó Ø Ñ Ò Ó k Ð Ú ÙÑ ÖÖ Ò Ó Ö ÒØ Ô ÖÑÙØ Óµ k ÓÐ Ö Ò (n k) ÓÐ ÔÖ Ø º ÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ô ÖÑÙØ Ø ÒØ k ÓÐ Ö Ò (n k) ÓÐ ÔÖ Ø C n k º

20 ÈÖÓ Ð ½½ Ø Ü ÑÔÐÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ ÑÓ ØÖ Ñ Ñ Ö ÔÓ Ó Ñ ÓÖ Ò Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ô ÖØ ÓÒ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ n Ó ØÓ Ø ÒØÓ Ñ Ó ÓÒ ÙÒØÓ B ÓÒØ Ò Ó Ó k Ø Ò ÕÙ ÓÖ Ñ Ö Ø Ö Ó ÙÖÒ B c ÓÒØ Ò Ó Ó (n k) Ü Ó Ò ÙÖÒ º ËÙÔÓÒ ÕÙ Ô ÖØ ÓÒ ÑÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ n Ó ØÓ Ø ÒØÓ Ñ F Ù ÓÒ ÙÒØÓ B 1, B 2,, B F ÓÒ Ó Ù ÓÒ ÙÒØÓ B j Ó Ó Ó k j Ð Ñ ÒØÓ k 1 +k 2 + +k F = nº Æ Ø Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÑ Ò Ø ÒØ Ó ÔÓÖ n! k 1!k 2! k F! ½º¾½µ ÕÙ Ó ½º¾½ Ñ Ó ÒØ ÑÙÐØ ÒÓÑ Ðº Ç Ó ÒØ ÒÓÑ Ð Ó Ó F = 2 Ó Ó ÒØ ÑÙÐØ ÒÓÑ º ½º º ÑÓ ØÖ Ñ ÓÑ Ö ÔÓ Ó Ñ ÓÖ Ò Óº ËÙÔÓÒ ÕÙ ØÓÑ ÑÓ k Ó ØÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ n Ó ØÓ Ø ÒØÓ ÓÑ Ö ÔÓ Ó ÖÑ Þ Ò ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ñ ÒÓ ÑÔÓÖØ ÖÑÓ ÓÑ ÓÖ Ñº Á ØÓ ÔÓ Ö ØÓ ÔÖ Ò Ò Ó¹ ÙÑ ÓÖÑÙÐ Ö Ó ÓÑ n ÓÐÙÒ ÙÑ Ô Ö Ó ØÓ Ø ÒØÓº Ú Þ ÕÙ ÙÑ Ó ØÓ Ð ÓÒ Ó ÙÑ Ü ÓÐÓ Ó Ò ÓÐÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ð ÓÒ ÑÓ Ó ØÓ Ó ØÓ Ø ÒØÓ ÙÑ ÓÖÑÙÐ Ö Ó Ø ÔÓ Ö Ø Ö Ù ÒØ ÓÖÑ Ç ØÓ ½ Ç ØÓ ¾ Ç ØÓ Ç ØÓ ÜÜ Ü ÜÜ ÆÓØ ÕÙ Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ó ÔÓ Ö Ö ÙÑ Ó Ô Ð ÕÙ Ò ÜÜ»» Ü» ÜÜ ÓÒ Ó Ñ ÓÐÓ» Ù Ó Ô Ö Ô Ö Ö ÒØÖ Ô Ö Ö ÒØ ÓÐÙÒ º Ø ÓÖÑ Ó Ò ¹½µ»³ Ò Ñ Ð Ò ÒØÖ ÓÐÙÒ ÓÒ Ò Ô Ö ÒØÖ»³ ÓÒ ÙØ ÚÓ Ó Ó ØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÒÓ Ó Ð ÓÒ Óº ÖÖ Ò Ó Ö ÒØ Ü³»³ Ð Ú ÙÑ ÓÖÑÙÐ Ö Ó Ø ÒØÓº Ë ÒØ ÖÑÓ Ó Ü³ ÓÑ ÓÐ Ö Ò Ó»³ ÓÑ ÓÐ ÔÖ Ø ÒØÓ Ø ( ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÒ Ö Ó ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ½º Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÖ Ò Ó Ö ÒØ Ó ÔÓÖ 8 ) 3 º ÆÓ Ó Ö Ð Ó ÓÖÑÙÐ Ö Ó Ö ÒÚÓÐÚ Ö k ܳ (n 1)»³ º ÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÑÓ Ó Ö ÒØ ÓÐ Ö k Ó ØÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ n Ó ØÓ Ø ÒØÓ ÓÑ Ö ÔÓ Ó Ñ ÓÖ Ò Ó Ó ÔÓÖ ( ) ( ) n 1 + k n 1 + k = k n 1 ½º¾¾µ ½º ÈÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØ º Ó ÒÚ Ð Ö ÓÑ ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ù Ö Ô Ø ÚÓ Ö ÙÐØ Ó º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÔÓ Ñ Ö Ó ÖÖ Ñ Ó ÓÒ ÙØ ÚÓ ÙÑ Ò Ó Ó ÓÙ ÙÑ Ò Ó ÖÖ Ñ Ó Ó Ó º Ñ Ñ Ó Ó Ó Ó Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð ÓÒ Ø ÙÔÐ (i, j) ÓÒ i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6º Ë Ó Ó Ó ÔÓÒØÓ Ó Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð Ó ÙÑ ÔÖÓ Ð ½» º ÈÓ ÑÓ ÓÖ ÓÒ Ö Ö Ú ÒØÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ø ÓÑÓ ß Ô Ö j Ð Ø ÖÑ Ò Ö

21 ½¾ ÈÖÓ Ð ÔÖÓ Ð Ó Ø Ú ÒØÓ Ô ÖØ Ö Ó ÓÒ Ñ ÒØÓ ÔÖÓ Ð Ó ÔÓÒØÓ ÑÓ ØÖ º Ò Ó ½º½ º Ë Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ó A i, i = 1, 2,, n Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú ÙÑ ÙÒ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ó B j, j = 1, 2,, m ÒØÓ Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÓÑ Ò Ó Ó Ó Ô ÐÓ ÓÒ ÙÒØÓ (A i, B j ), i = 1, 2,, n, j = 1, 2,, mº Ö ÙÐØ Ó ÓÒ ÙÒØÓ (A i, B j ) Ó ¹ ÙÑ ÔÖÓ ¹ Ð ÓÒ ÙÒØ P(A i, B j ) ÕÙ Ø Þ ÓÒ Ó 0 P(A i, B j ) 1 ½º¾ µ Ü ÑÔÐÓ ½º½¼º Ê Ø Ö Ö Ù ÖØ Ñ Ù Ó ÓÑ ÓÙ Ñ Ö ÔÓ Óµ ÙÑ Ö Ð Óº ËÓÐÙÓº Î ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ó Ù ÒØ Ú ÒØÓ Ú ÒØÓ A Ö Ø Ö Ö ÙÑ Ò ÔÖ Ñ Ö Ø ÒØ Ø Ú Ú ÒØÓ B Ö Ø Ö Ö ÙÑ Ò ÙÒ Ø ÒØ Ø Ú AB Ó Ú ÒØÓ Ö Ø Ö Ö Ó º ½º º½ ÈÖÓ Ð Å Ö Ò º ÙÑ Ò Ó ÕÙ Ó Ö ÙÐØ Ó B j, j = 1, 2,, m Ó ÑÙØÙ Ñ ÒØ ÜÐÙ ÚÓ Ù ÕÙ m P(A i, B j ) = P(A i ) j=1 ½º¾ µ Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ Ó Ö ÙÐØ Ó A i, i = 1, 2,, n Ó ÑÙØÙ Ñ ÒØ ÜÐÙ ÚÓ ÒØÓ n P(A i, B j ) = P(B j ) i=1 ½º¾ µ Ð Ñ Ó ØÓ Ó Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ó ÑÙØÙ Ñ ÒØ ÜÐÙ ÚÓ Ø ÑÓ n m P(A i, B j ) = 1 ½º¾ µ i=1 j=1 P[A i ] P[B j ] Ó Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò º Ð Ú Ö ÕÙ Ò Ö Ð Þ Ó Ó ØÖ Ø Ñ ÒØÓ Ñ Ô Ö Ñ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ö Ø º ½º ÈÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ðº ÓÒ Ö ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÓÑ Ò Ó ÒÓ ÕÙ Ð ÙÑ Ú ÒØÓ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÓÖÖ ÓÑ ÔÖÓ Ð ¹ P(A, B)º ËÙÔÓÒ ÕÙ Ó Ú ÒØÓ B ÓÓÖÖ Ù ÕÙ Ö ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö ÔÖÓ Ð ÓÓÖÖ Ò Ó Ú ÒØÓ Aº Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ð ÒÓØ ¹ ÔÓÖ P(A B)º

22 ÈÖÓ Ð ½ Ü ÑÔÐÓ ½º½½º ÆÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÖ Ñ Ö ÖØ ÒÓ Ö ÓÐÓ ÒÓ Ö Ð Ó Ú ÒØ ÕÙ Ö Ø Ö ÙÑ Ò ÙÒ Ø ÒØ Ø Ú Ò Ù Ò Ô ÐÓ Ö ÙÐØ Ó ÔÖ Ñ Ö º ½º º½ Ê Ö Ý º Ì ÓÖ Ñ ½º¾º Ì ÓÖ Ñ Ý º Ë ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÓÖÒ Ò Ó Ó Ö ÙÐØ ¹ Ó A Bº ÒØÓ P(AB) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) ½º¾ µ ÑÓÒ ØÖ Óº Ë Ñ Ù ÒØ Ö Ò Þ N Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ø ÒØ Ø Ú n B Ò Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÚÓÖ Ú Ó Ú ÒØÓ B n AB Ò Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÚÓÖ Ú Ó Ú ÒØÓ A ÒØÖÓ n B Ø ÒØ Ø Ú º Ø Ö Ò Þ Ó ÑÓ ØÖ Ñ ÙÑ Ö Ñ Î ÒÒ Ò ÙÖ ½º º S B n B n AB A N ÙÖ ½º Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð Ô Ö Ö Ú Ó Ö Ö Ý º Ç ÖÚ ÕÙ n AB Ó Ò Ñ ÖÓ Ø ÒØ Ø Ú ÕÙ Ó ÚÓÖ Ú Ó Ú ÒØÓ ABº Ñ n ( AB P(AB) = lim N N = lim nb )( nab ) ½º¾ µ N N n B Ó Ö Ñ Ñ ÔÓ ÑÓ ÜØÖ Ö Ù ÒØ ÜÔÖ n B P(B) = lim N N n AB P(A B) = lim N n B ½º¾ µ ½º ¼µ

23 ½ ÈÖÓ Ð ÕÙ Ø ÑÓ ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ó Ó ØÓ ÕÙ n B Ñ ÕÙ N º Ç ÖÚ ÕÙ n AB Ó Ò Ñ ÖÓ Ø ÒØ Ø Ú ÚÓÖ Ú Ó Ú ÒØÓ A ÒØÖÓ n B Ø ÒØ Ø Ú ÚÓÖ Ú Ó Ú ÒØÓ Bº Á ØÓ Ö ÔÖ ÒØ ÔÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ð P(A B)º ÓÑ Ò Ò Ó ½º¾ µ ½º¾ µ ½º ¼µ Ø ÑÓ P(A B) = P(AB) P(B) ÔÓÖ ÙÑ ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ñ Ð Ö ÔÓ ¹ ÑÓÒ ØÖ Ö ÕÙ P(B A) = P(AB) P(A) ½º ½µ ½º ¾µ ÓÑ Ò Ò Ó ½º ½ ½º ¾ ÑÓ Ê Ö Ý P(AB) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) ½º µ ÜØ Ò Ó Ô Ö Ñ Ú ÒØÓ ÍÑ Ò Ö Ð Þ Ó Ø ÒØ Ø Ð Ö Ö Ý Ù ÒØ ÓÒ Ö Ó Ú ÒØÓ A i, i = 1, 2,, n ÑÙØÙ Ñ ÒØ ÜÐÙ ÚÓ Ø ÕÙ n A i = S i=1 ½º µ ÙÑ Ú ÒØÓ Ö ØÖ Ö Ó B ÓÑ ÔÖÓ Ð ÒÓ ÒÙÐ º ÒØÓ Ö Ö Ý ÔÓ Ö Ö Ö Ø ÓÑÓ P(A i B) = P(A i, B) P(B) = P(B A i)p(a i ) n P(B A j )P(A j ) j=1 ½º µ ½º Ú ÒØÓ Ò Ô Ò ÒØ º Ò Ó ½º½ º ÍÑ Ú ÒØÓ A ØÓ Ò Ô Ò ÒØ B P(A B) = P(A) ½º µ Ì ÓÖ Ñ ½º º Ë A B Ó Ú ÒØÓ Ò Ô Ò ÒØ ÒØÓ P(AB) = P(A)P(B) ½º µ

24 ÈÖÓ Ð ½ ÑÓÒ ØÖ Óº È Ð Ê Ö Ý Ø ÑÓ ÕÙ P(AB) = P(A B)P(B) Å ÓÑÓ Ó Ò Ô Ò ÒØ P(A B) = P(A) ËÙ Ø ØÙ Ò Ó Ø Ö ÙÐØ Ó Ò ÕÙ Ó Ñ ÑÓ P(AB) = P(A)P(B) Ü ÑÔÐÓ ½º½¾º ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÑ ÑÓ Ó ØÖ Ú Þ º Ë ÙÑ ÑÓ ÕÙ Ó Ó Ò Ô Ò ÒØ ÔÖÓ Ð Ö p ÒÓÒØÖ ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ Ò Ò ÙÑ ÓÖÓ ÙÑ ÓÖÓ Ù ÓÖÓ ØÖ ÓÖÓ º ËÓÐÙÓº ÔÖÓ Ð Ô Ö ÕÙ Ò Ö ÓÖÓ ÔÓÖ P[{CCC}] P[{C}]P[{C}]P[{C}] p 3 P[{CCK}] P[{C}]P[{C}]P[{K}] p 2 (1 p) P[{CKC}] P[{C}]P[{K}]P[{C}] p 2 (1 p) P[{KCC}] P[{K}]P[{C}]P[{C}] p 2 (1 p) P[{KKC}] P[{K}]P[{K}]P[{C}] p(1 p) 2 P[{KCK}] P[{K}]P[{C}]P[{K}] p(1 p) 2 P[{CKK}] P[{C}]P[{K}]P[{K}] p(1 p) 2 P[{KKK}] P[{K}]P[{K}]P[{K}] (1 p) 3 ÓÒ Ù ÑÓ Ó ØÓ ÕÙ Ó Ó Ò Ô Ò ÒØ º Ë k Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ ØÖ Ø ÒØ Ø Ú º ÒØÓ P[k = 0] = P[KKK] = (1 p) 3 P[k = 1] = P[KKC, KCK, CKK] = 3p(1 p) 2 P[k = 2] = P[CCK, CKC, KCC] = 3p 2 (1 p) P[k = 3] = P[CCC] = p 3 Ç ÖÚ ú 1 2 ú1 2 Ó Ò Ó Ò Ô Ò Ò Ø Ø Ø ÔÓ Ö Ø Ò ØÖ ÓÙ Ñ Ú ÒØÓ º È Ö ÕÙ ØÖ Ú ÒØÓ A 1 A 2 A 3 Ñ Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÔÖ Ñ Ø Þ Ö Ù ÒØ ÓÒ P(A 1, A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) P(A 1, A 3 ) = P(A 1 )P(A 3 ) P(A 2, A 3 ) = P(A 2 )P(A 3 ) P(A 1, A 2, A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) ½º µ È Ö Ó Ó Ö Ð Ó Ú ÒØÓ A i, i = 1, 2,, n Ó Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ ÓÒ ÙÒØÓ ØÓÑ Ó 2, 3,, n Ú ÒØÓ Ú Þ ÔÓ Ñ Ö ØÓÖ ÒÓ ÔÖÓ ÙØÓ ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ Ò Ú Ù º

25 ½ ÈÖÓ Ð ½º ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÕÙ Ò Ö Ñ Ñ ÖÚÓÖ ÅÙ ØÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÓÒ Ø Ñ ÙÑ ÕÙ Ò Ù ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ º Ç ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÓØ Ó Ô Ö Ù ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÔÓ Ô Ò Ö Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ù ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÒØ Ö ÓÖ º ÈÓ ÑÓ Ù Ö ÙÑ Ö Ñ Ñ ÖÚÓÖ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Þ ÕÙ Ò Ð Ó Ù ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ º Ë Ù Ö Ó ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÒÓØ Ö Ó ÖÚ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ù Ö ÕÙ Ò Ö Ñ Ö Þ Ô Ö ÓÐ ÖÚÓÖ º ÓÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÑ Ö ÙÐØ Ó Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓº Ò ØÙÖ Ð ÑÓ Ð Ö ÔÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ñ Ø ÖÑÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÕÙ Ò ¹ ÐÙ ØÖ ¹Ð ØÖ Ú Ö Ñ Ñ ÖÚÓÖ º Æ Ö Þ ÖÚÓÖ ÔÖÓ Ð ÙÑ Ú ÒØÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö ØÓ Ô ÐÓ ÒÓ Ó ÓÒ Ñ ÒØÓ ÔÖ ÓÖ º Ë Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ ¹ Ú Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó Ó Ö ØÓ Ô ÐÓ Ú ÒØÓ B 1,, B m ÒØÓ {B 1,, B m } ÙÑ Ô Ó Ú ÒØÓ º Ô ÖØ Ö Ö Þ Ò ÑÓ Ö ÑÓ Ô Ö Ú ÒØÓ B i º Ë Ù Ö ÙÑ Ö ÑÓ Ô ÖØ Ö Ö Þ ÓÖÖ ÔÓÒ Ó ÖÚ Ö Ó Ö ÙÐØ Ó Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ù ÜÔ ¹ Ö Ñ ÒØÓº Ó ÑÓ Ö ÑÓ ÔÖÓ Ð ÔÖ ÓÖ P[B 1 ],, B[B m ]º È Ö Ú ÒØÓ B i Ø ÑÓ ÔÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ö Ú Ò Ó Ó Ö ÙÐØ Ó Ó ÙÒ Ó Ù ÜÔ Ö Ñ ÒØÓº ÒØÓ Ô Ö ÙÑ Ó Ö ÑÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ÑÓ ÙÑ ÒÓÚÓ Ö ÑÓ Ó ÑÓ Ð Ø ÔÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ðº Ë Ù ÖÑÓ ÙÑ ÕÙ Ò Ö ÑÓ Ö Þ ÙÑ Ø ÖÑ Ò ÓÐ Ô ÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó ÙÑ Ó Ù ÜÔ Ö Ñ ÒØÓº Ø ÓÖÑ ÓÐ Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÓÑÔÐ ØÓº ÔÖÓ Ð Ö ÙÐØ Ó Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÔÖÓ Ð Ó Ö ÑÓ ÒØÖ Ö Þ ÖÚÓÖ ÓÐ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ó Ö ÙÐØ Óº Ñ Ö Ð Ó ÑÓ ÓÐ Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÖÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º Á ØÓ ÙÑ Ö Ó ÓÑÔÐ Ô Ö ÙÑ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ ÑÔÐ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ ÒÓ Ü ÑÔÐÓ Ù Öº Ü ÑÔÐÓ ½º½ º ÍÑ ÓÑÔ Ò Ø Ñ ØÖ Ñ ÕÙ Ò B 1 B 2 B 3 ÕÙ Ö Ñ Ö ØÓÖ 1kΩº Ç ÖÚÓÙ¹ ÕÙ ¼± Ó Ö ØÓÖ ÔÖÓ ÙÞ Ó ÔÓÖ B 1 Ø Ñ ØÓÐ ÖÒ 50Ω Ó Ú ÐÓÖ ÒÓÑ Ò Ðº Ñ ÕÙ Ò B 2 ÔÖÓ ÙÞ ¼± Ó Ö ØÓÖ ÓÑ ØÓÐ ÖÒ 50Ω Ó Ú ÐÓÖ ÒÓÑ Ò Ðº ÔÓÖ ÒØ Ñ Ô Ö Ñ ÕÙ Ò B 3 ¼±º ÓÖ Ñ ÕÙ Ò B 1 ÔÖÓ ÙÞ ¼¼¼ Ö ØÓÖ B 2 ÔÖÓ ÙÞ ¼¼¼ Ö ØÓÖ B 3 ÔÖÓ ÙÞ ¼¼¼ Ö ØÓÖ º ÌÓ Ó Ó Ö ØÓÖ Ó Ñ ØÙÖ Ó Ñ ÙÑ Ö Ô ÒØ ÓÑÙÑ ÑÔ ÓØ Ó Ô Ö ÒÚ Óº Ò ÙÑ Ö Ñ Ñ ÖÚÓÖ Ô Ö Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØÓº ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÓÐ Ö ÙÑ Ö ØÓÖ Ñ ÕÙ Ò B 2 ÓÑ ØÓÐ ÖÒ Ñ ÓÖ ÕÙ 50Ω ËÓÐÙÓº Ë A Ó Ú ÒØÓ Ó Ö ØÓÖ Ð ÓÒ Ó Ø Ú Ð Ø Ñ ØÓÐ ÖÒ ¼Ωµ N Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ A Ó Ö ØÓÖ Ð ÓÒ Ó ÒÓ Ø Ú Ð º Ç ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ø Ø Ö ÙÑ Ö ØÓÖ ÔÓ Ö ÓÑÔÓ ØÓ Ñ Ó Ô Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÒØ ÑÓ ÕÙ Ð Ñ ÕÙ Ò B 1 B 2 ÓÙ B 3 µ ÔÖÓ ÙÞ Ù Ó Ö ØÓÖ ÔÓ Ú Ö ÑÓ Ó Ö ØÓÖ Ø Ú Ð ÓÙ ÒÓº Ø Ó Ô Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ñ Ù ÒØ ÖÚÓÖ

26 ÈÖÓ Ð ½ 0, 8 A B 1 A 0, 24 0, 3 B 1 0, 2 N B 1 N 0, 06 0, 4 B 2 0, 9 0, 1 A B 2 A 0, 36 N B 2 N 0, 04 0, 3 0, 6 A B 3 A 0, 18 B 3 0, 4 N B 3 N 0, 12 È Ö Ù Ö ÖÚÓÖ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ B 2 N ÙÑ Ö ØÓÖ ÒÓ Ø Ú Ð Ñ ÕÙ Ò B 2 ÓÑ ÑÓ ÕÙ Ö Ú Ö ÑÓ ÕÙ ÔÖÓ Ð Ð Ò Ö B 2 P[B 2 ] = 0, 4º Ò ÑÓ ÒØÓ Ô Ö Ö Ø Ñ Ö Ó Ó Ò B 2 N ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ P[B 2 ] ÔÓÖ P[N B 2 ] = 0, 1 Ó Ø ÑÓ P[B 2 N] = 0, 4 0, 1 = 0, 04 ÈÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö Ò Ø Ü ÑÔÐÓ ÙÑ ÔÖÓÔÖ Ö Ð ØÓ Ó Ó Ö Ñ Ñ ÖÚÓÖ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ñ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÕÙ Ò ÓÑ ÔÖÓ Ð Ó Ö ÑÓ ÕÙ Ü Ñ ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ó Ò ÑÔÖ ½º Á ØÓ ÙÑ ÓÒ ÕÙ Ò Ð ÔÖÓ ¹ Ð ØÓØ Ð ÔÖÓÔÖ ÔÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ð Ú Ø ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º Ü ÑÔÐÓ ½º½ º ËÙÔÓÒ ÕÙ Ó Ò Ò ÖÓ ØÖ Ó Ø Ò Ñ ÓÓÖ Ò Ó Ø ÑÔÓÖ ¹ Þ Ó Ó Ö Ô Ö ÒÓÖ Ö ÙÑ ÕÙ Ò Ö Ú Ö º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÑÔÓÖ Þ Ó Ó ÔÖÓ Ø ÑÓ Ó ÕÙ ÓÑ ÔÖÓ Ð ¼ ÙÑ ÑÓØÓÖ Ø ÒÓÒØÖ Ó ÙÒ Ó ÖÓÐ ÓÑ Ñ Ñ ÓÖ Ó ÔÖ Ñ ÖÓº ÙÑ Ò Ó ÕÙ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÖÓÐ Ú Ö ÓÙ Ú ÖÑ Ð Ó ÓÑ Ñ Ñ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð P[G 2 ] ÕÙ Ó ÙÒ Ó ÖÓÐ Ú Ö ÐÙÐ P[G 1 R 2 ] ÔÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ð ÕÙ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÖÓÐ Ú Ö Ó ÕÙ Ó ÙÒ Ó Ú ÖÑ Ð Óº ËÓÐÙÓº Æ Ø Ó ÖÚÓÖ ÕÙ Ö Ú Ó ÔÖÓ Ð Ñ 0, 5 G 1 0, 8 0, 2 G 2 G 1 G 2 0, 4 R 2 G 1 R 2 0, 1 0, 5 R 1 0, 2 0, 8 G 2 R 1 G 2 0, 1 R 2 R 1 R 2 0, 4 ÔÖÓ Ð Ó ÙÒ Ó ÖÓÐ Ö Ú Ö P[G 2 ] = P[G 1 G 2 ] + P[R 1 G 2 ] = 0, 4 + 0, 1 = 0, 5

27 ½ ÈÖÓ Ð Ç Ú ÒØÓ W Ø Ö ÕÙ Ô Ö Ö ÔÓÖ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÖÓÐ Ó ÔÓÖ W = {R 1 G 2 G 1 R 2 R 1 R 2 } Ø ÓÖÑ ÔÖÓ Ð Ô Ö Ö ÔÓÖ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÖÓÐ ÔÓÖ P[W] = P[R 1 G 2 ] + P[G 1 R 2 ] + P[R 1 R 2 ] = 0, 1 + 0, 1 + 0, 4 = 0, 6 È Ö ÒÓÒØÖ Ö P[G 1 R 2 ] ÔÖ ÑÓ P[R 2 ]º ÆÓØ Ò Ó ÕÙ R 2 = {G 1 R 2 R 1 R 2 } Ø ÑÓ P[R 2 ] = P[G 1 R 2 ] + P[R 1 R 2 ] = 0, 1 + 0, 4 = 0, 5 ÕÙ P[G 1 R 2 ] = 0, 1 ÔÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ð Ó ÖÚ Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÖÓÐ Ú Ö Ó ÕÙ Ó ÙÒ Ó Ú ÖÑ Ð Ó ÔÓÖ P[G 1 R 2 ] = P[G 1R 2 ] P[R 2 ] = 0, 1 = 0, 2 ½º µ 0, 5 Ü ÑÔÐÓ ½º½ º ÓÒ Ö Ó Ó Ó Ó ÌÖ º ÎÓ Ñ Ö Ð ÙÑ Ö Ð Ó ØÖ ÖØ ¾ º Ë Ó Ú Ð ÙÑ ÔÓÒØÓ ÚÓ Ö Ø Ö ÖØ Ó Ö Ð Ó Ø ÕÙ ÓÑ ÓÙ Ñ º ÎÓ Ò Ó ØÓØ Ð ÓÖ º ÐÙÐ P[W] ÔÖÓ Ð Ú Ò Ö Ó Ó Óº ËÓÐÙÓº Ë C i Ó Ú ÒØÓ C i¹ Ñ ÖØ Ö Ø Ö º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ 3 2 Ó Ú ÒØÓ Ø Ö Ö ÙÑ Ò ÙÒ ÖÓ º ÖÚÓÖ Ô Ö Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÒØÓ 1/2 2 2 A /6 1/3 1/3 A /2 1/2 1/2 3 2 A /6 A A 2 1/ /6 1/ /3 ÎÓ Ú Ò A A 2 ÓÙ 3 1 ÓÓÖÖ Ö Ñº Ø ÓÖÑ ÔÖÓ Ð Ú Ò Ö ÔÓÖ P[W] = P[A ] + P[2 1 A 2 ] + P[3 1 ] = = 2 3 Ü ÑÔÐÓ ½º½ º ËÙÔÓÒ ÕÙ ÚÓ Ø Ñ Ù ÑÓ ÙÑ Ú ÓÙØÖ ÒÓ Ñ ÚÓ ÒÓ ÕÙ Ð Õ٠к ÑÓ ½ Ú Ø Ñ ÔÖÓ Ð 3/4 Ö Ö µº ËÙÔÓÒ ÕÙ ÚÓ Ô Ù ÙÑ ÑÓ ÓÖÑ Ð Ø Ö ÖÖ Ñ º Ë C i Ó Ú ÒØÓ ÑÓ i Ó Ð ÓÒ º Î ÑÓ ÒÓØ Ö ÔÓÖ H Ö µ T ÓÖÓ µ Ó ÔÓ Ú Ö ÙÐØ Ó ÙÑ ÖÖ Ñ Óº Ó ÕÙ Ó Ö ÙÐØ Ó ÙÑ ÖÖ Ñ Ó ÙÑ Ö ÐÙÐ P[C 1 H] ÔÖÓ Ð ÚÓ Ø Ö Ð ÓÒ Ó ÑÓ Ú º Ó ÕÙ Ó Ö ÙÐØ Ó ÙÑ ÓÖÓ ÐÙÐ P[C 1 T] ÔÖÓ Ð Ø Ö Ð ÓÒ Ó ÑÓ Ú º

28 ÈÖÓ Ð ½ ËÓÐÙÓº ÈÖ Ñ ÖÓ ÓÒØÖÙ ÑÓ ÖÚÓÖ ÕÙ Ö Ú Ó ÔÖÓ Ð Ñ 3/4 H C 1 H 3/8 1/2 C 1 1/4 T C 1 T 1/8 1/2 C 2 1/2 H C 2 H 1/4 1/2 T C 2 T 1/4 È Ö ÒÓÒØÖ Ö ÔÖÓ Ð ÓÒ ÓÒ Ø ÑÓ P[C 1 H] = P[C 1H] P[H] = P[C 1 H] P[C 1 H] + P[C 2 H] = 3/8 3/8 + 1/4 = 3 5 Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ P[C 1 T] = P[C 1T] P[T] = P[C 1 T] P[C 1 T] + P[C 2 T] = 1/8 1/8 + 1/4 = 1 3 ÓÑÓ Ô Ö Ú ÑÓ Ñ ÔÖÓÚ Ú Ð Ø ÖÑÓ Ð ÓÒ Ó ÑÓ ½ ÕÙ Ò Ó Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÖÖ Ñ Ó Ö ÙÐØÓÙ Ñ Ö Ñ ÔÖÓÚ Ú Ð Ø ÖÑÓ Ð ÓÒ Ó ÑÓ ¾ ÕÙ Ò Ó Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÖÖ Ñ Ó Ö ÙÐØÓÙ Ñ ÓÖÓ º ½º Ü Ö Ó ½º ÉÙ ØÖÓ ÑÓ Ó ÖÖ Ñ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ º µ ÉÙ ÒØÓ Ö ÙÐØ Ó Ó ÔÓ Ú µ Ó ÔÖÓ Ð ÕÙ Ô Ö Ó Ø ÒÓ ÕÙ ØÖÓ ÓÖÓ ÙÑ Ö Ù Ö ØÖ Ö ÕÙ ØÖÓ Ö Ò Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØÓº Ê Ô µ ½ µ P[ ÓÖÓ ] = 1/16 P[½ Ö ] = 1/4 P[¾ Ö ] = 3/8 P[ Ö ] = 1/4 P[ Ö ] = 1/16 ¾º ÌÖ Ó ÒÓ Ú Ó Ó Ó Ó º ÐÙÐ ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ Ó Ø Ö ÙÑ ÓÑ ½¼ ÔÓÒØÓ º Ê Ô P[8] = 21/216 P[9] = 25/216 P[10] = 27/216

29 ¾¼ ÈÖÓ Ð º ÍÑ ÖØ Ø Ñ Ö Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÐÓ Ð Þ Ó ÕÙ ØÖÓ Ó ÕÙ Ñ Ú Ö ÔÓÖ Ñ Ó Ñ ÒÙØÓ Ò Ö Ó Ð Ø ¹Ó Ø Ñ Ó Ñ ÒÙØÓ Ò Ö Ó ÒÓÖØ ¹ ÙÐ ØÖ Ô ÖÑ Ò Ñ Ú Ö ÔÓÖ ½» Ñ ÒÙØÓ Ò Ö Ó Ð Ø ¹Ó Ø» Ñ ÒÙØÓ Ò Ö Ó ÒÓÖØ ¹ ÙÐ Ó ÐØ ÑÓ Ô ÖÑ Ò Ú Ö» Ñ ÒÙØÓ Ò Ö Ó Ð Ø ¹Ó Ø ½» Ñ ÒÙØÓ Ò Ö Ó ÒÓÖØ ¹ Ùк ÙÑ ÕÙ ØÓ Ó Ó Ö Ó Ò Ô Ò ÒØ ØÓ ÒÓ Ü Ø Ò Ò ÙÑ Ø ÔÓ ÒÖÓÒ Þ Ó ÒØÖ Ð º ÍÑ ÙØÓÑ Ú Ð Ø Ú Ò Ó ÓÖÑ Ð Ø Ö ØÖ Ú º ÒÓÒØÖ ÔÖÓ Ð Ó ÙØÓÑ Ú Ð ÒÓÒØÖ Ö ÙÑ Ò Ð Ú Ö Ò Ö Ó Ð Ø ¹Ó Ø º Ó Ñ ÑÓ Ô Ö Ö Ó ÒÓÖØ ¹ Ùк ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÙÑ ÙØÓÑ Ú Ð Ú Ò Ó Ð ØÓÖ Ñ ÒØ Ô Ð ÒÓÒØÖ ÙÑ Ò Ð Ú Ö Ê Ô P[Ú Ö Ò Ö Ó Ä¹Ç] = 7/16 P[Ú Ö Ò Ö Ó Æ¹Ë] = 9/16 P[Ú Ö ] = 1/2 º ÍÑ ÙÖÒ ÓÒØ Ñ ÓÐ Ú ÖÑ Ð ¾ Ö Ò º Ù ÓÐ Ó Ö Ø Ö Ñ Ù Ó ÔÖ Ñ Ö ÓÐ Ò Ó Ö ÓÐÓ ÒØ Ö Ø Ö ÙÒ º µ ÉÙ ÒØÓ Ö ÙÐØ Ó Ó ÔÓ Ú µ Ó ÔÖÓ Ð ÙÑ Ø Ö ÙÐØ Ó º Ê Ô µ µ P[½ ºÎ ¾ ºÎ] = 9/25 P[½ ºÎ ¾ º ] = 6/25 P[½ º ¾ ºÎ] = 6/25 P[½ º ¾ º ] = 4/25 º Ê Ô Ø Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÔÖ Ñ Ö ÓÐ ÒÓ ÓÖ Ö ÓÐÓ ÒØ ÙÒ Ö Ø Ö º µ µ P[½ ºÎ ¾ ºÎ] = 3/10 P[½ ºÎ ¾ º ] = 3/10 P[½ º ¾ ºÎ] = 3/10 P[½ º ¾ º ] = 1/10 º ÆÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ÕÙ ÔÖ Ñ Ö Ö Ø Ö Ó ÙÑ ÓÐ Ö Ò ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð ÙÒ Ö Ø Ö Ö Ø Ñ Ñ ÙÑ ÓÐ Ö Ò Ê Ô ½»

30 ÈÖÓ Ð ¾½ º ÆÓ ÔÖÓ Ð Ñ µ ÑÓ ÕÙ ÙÒ ÓÐ Ú ÖÑ Ð ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ñ Ñ Ø Ö Ó Ú ÖÑ Ð ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐ Ø Ö Ó Ö Ò Ê Ô µ ½»¾ µ ½»¾ º ÍÑ ÙÖÒ ÓÒØ Ñ ÓÐ Ú ÖÑ Ð ÓÐ Ö Ò ÓÐ ÔÖ Ø º ÇÙØÖ ÙÖÒ ÓÒØ Ñ ÓÐ Ú ÖÑ Ð ÓÐ Ö Ò ÓÐ ÔÖ Ø º ÍÑ ÓÐ Ö Ø Ö ÙÖÒ º ÒÓÒØÖ ÔÖÓ Ð Ó Ø Ö Ù ÓÐ Ñ Ñ ÓÖº Ê Ô»¾ ¾ º Ü Á ÓÒØ Ñ ÓÐ Ú ÖÑ Ð ÓÐ Ö Ò Ü ÁÁ Ú ÖÑ Ð ¾ Ö Ò º ÜØÖ ¹ Ó Ó ÙÑ ÓÐ ÔÖ Ñ Ö Ü ÓÐÓ ¹ Ò ¹ ÙÒ Ñ Ó ÖÚ Ö ÓÖº ÜØÖ ¹ ÒØÓ ÙÑ ÓÐ ÙÒ Ü º ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö Ö Ò Ê Ô ¾½» ½¼º Ñ ÖØÓ ÓÐ Ó ¾ ± Ó ØÙ ÒØ ÓÖ Ñ Ö ÔÖÓÚ Ó Ñ Ñ Ø Ñ Ø ½ ± Ñ ÕÙ Ñ ½¼ ± Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ Ó Ñ ÑÓ Ø ÑÔÓº ÍÑ ØÙ ÒØ Ð ÓÒ Ó Ð ØÓÖ Ñ ÒØ º µ Ë Ð Ó Ö ÔÖÓÚ Ó Ñ ÕÙ Ñ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ð Ø Ö Ó Ö ÔÖÓ¹ Ú Ó Ñ Ñ Ø Ñ Ø µ Ë Ð Ó Ö ÔÖÓÚ Ó Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ð Ø Ö Ó Ö ÔÖÓÚ Ó Ñ ÕÙ Ñ µ ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð Ð Ø Ö Ó Ö ÔÖÓÚ Ó Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÓÙ ÕÙ Ñ Ê Ô µ ¾» µ ¾» µ ¼ ¼ ½½º Ö ÓÑÙØ ÑÓ ØÖ Ò ÙÖ ÜÓ ÓÔ Ö ÓÑ ÒØ Ü Ø Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ñ Ò Ó Ó ÓÑÙØ ÓÖ ÒØÖ ÒØÖ º ÙÑ Ò Ó ÕÙ Ó ÓÑÙØ ÓÖ Ð Ñ ÓÖÑ Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ ÔÖÓ Ð Ð ÓÑÙØ ÓÖ Ó ÕÙ Ð Ò ÙÖ ÐÙÐ ÔÖÓ Ð Ø Ö ÙÒ ÓÒ Öº ¼ ¾ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ Ê Ô ¼

31 ¾¾ ÈÖÓ Ð ½¾º ÍÑ ÙÖÒ ÓÒØ Ñ Ù ÓÐ ÔÖ Ø ØÖ ÓÐ Ö Ò º Ù ÓÐ Ó Ð ¹ ÓÒ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÙÖÒ Ñ Ö ÔÓ Ó ÕÙ Ò ÓÖ ÒÓØ º ÒÓÒØÖ ÔÖÓ Ð Ö Ø Ö Ö Ù ÓÐ ÔÖ Ø º Ê Ô ½»½¼ ½ º Ä Ò ¹ ÙÑ ÑÓ Ú ÑÓ Ó ÕÙ P[cara] = 2/3 P[coroa] = 1/3º Ë Ô Ö Ö Ö ÒØÓ Ð ÓÒ ¹ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒØÖ Ó ½ Ô Ö Ö ÓÖÓ Ð ÓÒ ¹ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒØÖ Ó ½ º ÒÓÒØÖ ÔÖÓ Ð p ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ö Ð ÓÒ Óº Ê Ô p = 58/135 ½ º Ó ØÓ Ó Ð ÓÒ Ó Ó Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ½ Ñ Ö ÔÓ Óº Ë ÓÑ Ô Ö ÒÓÒØÖ ÔÖÓ Ð p Ñ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ ÑÔ Ö º Ê Ô p = 5/8 ½ º Ì Ð ÓÒ ÐÙÐ Ö Ö Ð Þ Ñ Ò Ó Ñ Ñ ÕÙ ÑÓÚ Ñ ÙÑ ¹ ÐÙÐ Ô Ö ÓÙØÖ º ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÖ ÒØ ÙÑ Ñ Ó Ø Ð ÓÒ Ö Ð Þ Ñ Þ ÖÓ Ò Ó H 0 µ ÙÑ Ò Ó H 1 µ ÓÙ Ó Ò Ó H 2 µº ÓÒ ÐÑ ÒØ Ñ ÔÓ Ö ÐÓÒ Äµ ÓÙ Ö Ú µº Ë Ò Ó ÕÙ P[L, H 0 ] = 01 P[B, H 1 ] = 01 P[H 2 ] = 03 P[B] = 06 P[H 0 ] = 05 ÐÙÐ µ ÔÖÓ Ð ÒÓ ÓÓÖÖ Ö Ò Ò ÙÑ Ò Ó ÙÖ ÒØ ÙÑ Ñ º µ ÔÖÓ Ð ÙÑ Ñ Ö Ö Ú º µ ÔÖÓ Ð ÙÑ Ñ Ö ÐÓÒ ÓÙ Ü Ø Ö Ñ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ó Ò Ó º Ê Ô µ ¼º µ ¼º µ ¼º ½ º ÌÖ Ñ ÕÙ Ò A B C ÔÖÓ ÙÞ Ñ ¼± ¼± ¾¼± Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó ØÓØ Ð Ô ÙÑ Ö º ÔÓÖ ÒØ Ò ÔÖÓ ÙÓ Ô ØÙÓ Ø Ñ ÕÙ Ò Ó ± ± ± Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º µ Ë ÙÑ Ô Ð ÓÒ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ð Ð Ö ØÙÓ º µ ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÑ Ô Ð ÓÒ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÓÒ Ö ¹ ØÙÓ º ÒÓÒØÖ ÔÖÓ Ð Ð Ø Ö Ó ÔÖÓ ÙÞ Ô Ð Ñ ÕÙ Ò Aº Ê Ô µ ¼ ¼ µ ½» ½ º ÆÓ Ø Ñ ÓÑÙÒ Ó Ø ÖÒ Ö Ó ÑÓ ØÖ Ó Ò ÙÖ ÜÓ ÙÑ ÒÚ Ó ØÖ Ú Þ Ñ Ö ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ ÕÙ ÙÑ ½ ÙÑ ¾ ÒÚ Ó Ù Ú Þ Ñ Ö ÕÙ ÒØ ÑØ ÕÙ ÙÑ ½º ÍÑ ½ Ó ÖÚ Óº ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÙÑ ½ Ø Ö Ó ÒÚ Ó

32 ÈÖÓ Ð ¾ X = 1 1 α α/2 Y = 1 α/2 X = 2 β/2 1 β/2 β/2 Y = 2 X = 3 Ê Ô 1 α 1 α + β + 1, 5γ γ/2 γ/2 1 γ/2 Y = 3 ½ º È Ö ÓÑÙÒ Ó ÒØÖ Ó Ø ÖÑ Ò A B Ó Ò Ö Ó ÒÐ ÕÙ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ ÜÓ ÔÓÖ ÖÓ º Ë Ò Ó p ÔÖÓ Ð ÕÙ ÙÑ ÒÐ Ø ÓÙÔ Ó Ø ÖÑ Ò ÔÖÓ Ð ÕÙ ÒÓ Ü Ø Ñ Ò Ó Ð ÚÖ Ô Ö ÓÑÙÒ Ó Ñ ÙÑ Ù ÒØ ÓÒ ÙÖ µ µ Ê Ô µ 3(1 p)p 2 + 3(1 p) 2 p + p 3 µ ( 2p(1 p) + p 2) 2 ½ º ÙÖ ÒØ Ö ÔÓ Ñ Ò Ò Ó ÓÒ Ø Ò Ó ÔÙÐ Ó ÓÖÑ Ø Ð Ù¹ ÕÙ ½¼ ÓÑ Ò ÕÙ ÔÖÓÚ Ú ØÖ Ó Ó Ø ÔÓ ÒÓ Ó Ó Ø ÔÓ Ù Ó Ó Ø ÔÓ º ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ ÙÑ ÔÙÐ Ó ÓÐ Ó Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÓÖÑ Ê Ô 31/60 ¾¼º ÆÙÑ ÖØÓ ÓÐ Ó ± Ó ÓÑ Ò ½± ÑÙÐ Ö Ø Ñ Ñ Ó ÕÙ ½ ¼Ñ ÐØÙÖ º Ð Ñ Ó ¼± Ó ØÙ ÒØ Ó ÑÙÐ Ö Ë Ò Ó ÕÙ ÔÖÓ Ð ÙÑ ÓÑ Ñ Ú Ú Ö Ñ Þ ÒÓ ½» ÔÖÓ Ð Ù ÔÓ Ú Ú Ö Ñ Þ ÒÓ ½» ÒÓÒØÖ ÔÖÓ Ð Ó Ù ÒØ Ú ÒØÓ µ Ñ Ó Ø Ö Ñ Ú ÚÓ ÔÓ Þ ÒÓ µ Ó Ñ ÒÓ ÙÑ Ø Ö Ú ÚÓ ÔÓ Þ ÒÓ µ Ò Ò ÙÑ Ð Ø Ö Ú ÚÓ ÔÓ Þ ÒÓ µ ÓÑ ÒØ ÔÓ Ø Ö Ú Ú ÔÓ Þ ÒÓ º

33 ¾ ÈÖÓ Ð ÓÒ Ö Ó Ú ÒØÓ A Ó ÓÑ Ñ Ø Ú ÚÓ ÕÙ ½¼ ÒÓ º B Ù ÔÓ Ø Ú Ú ÕÙ ½Ó ÒÓ º Ê Ô µ ½»½¾ µ ½»¾ µ ½»¾ µ ½» ¾½º ÙÖÒ ½ ÓÒØ Ñ ÓÐ Ö Ò ÓÐ ÔÖ Ø º ÙÖÒ ¾ ÓÒØ Ñ ÓÐ Ö Ò ½¾ ÓÐ ÔÖ Ø º ÍÑ ÑÓ Ð ÖÖ Ñ º Ë Ó Ö ÙÐØ Ó Ö ÒØÓ Ð ÓÒ ¹ ÙÑ ÓÐ ÙÖÒ ½ ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÖÓ Ð ÓÒ ¹ ÙÑ ÓÐ ÙÖÒ ¾º ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÑ ÓÐ Ö Ò Ø Ò Ó Ð ÓÒ º ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð Ó Ö ÙÐØ Ó Ó ÖÖ Ñ Ó ÑÓ Ø Ö Ó ÓÖÓ Ê Ô P[co B] = 12/37 ¾¾º Ë Ñ Ó Ù ÒØ Ú ÒØÓ A ÙÑ Ñ Ð Ø Ñ Ö Ò Ñ Ó Ó ÜÓ º B ÙÑ Ñ Ð Ø Ñ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ ÙÑ Ñ Ò ÒÓº µ ÅÓ ØÖ ÕÙ A B Ó Ò Ô Ò ÒØ ÙÑ Ñ Ð Ø Ñ Ö Ò º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ A B Ó Ô Ò ÒØ ÙÑ Ñ Ð Ø Ñ ¾ Ö Ò º

34 Ô ØÙÐÓ ¾ Î Ö Ú Ð Ø Ö ¾º½ Ò Óº Ç Ö ÙÐØ Ó ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ø Ö Ó ÔÓ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÑÓ ÒÓ Ó Ó ÖÖ Ñ Ó Ó µ ÓÙ ÔÓ Ö ÒÓ ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ö ØÓ ÔÓÖ Ô Ð ÚÖ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ö ÓÖÓ µº ÒØÖ Ø ÒØÓ Ø ÑÓ Ö ÐÑ ÒØ ÒØ Ö Ó ÒÓ ÒÓ Ö ÙÐØ Ó Ñ Ñ Ð ÙÑ Ñ ¹ ÓÙ ØÖ ÙØÓ ÒÙÑ Ö Ó Ø º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó ÑÓ ÙÑ ÑÓ n Ú Þ ÔÓ ÑÓ Ø Ö ÒØ Ö Ó ÒÓ Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ö ÒÓ Ò ÓÖ Ñ Ô Ò ÕÙ Ð ÓÓÖÖ Ö Ñ Ö ÓÖÓ º Ñ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ó ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒÙÑ Ö Ó Ó Ö ÙÐØ Ó Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ø Ö Óº ÕÙ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ð Ø Ö Ó Ó Ö ÙÐØ Ó Ñ Ø Ñ Ñ Ó ÖÓº Ø ÓÖÑ Þ ÒØ Ó Ð Ö Ñ ÔÖÓ Ð Ó Ú ÐÓÖ ÒÙÑ Ö Ó Ö ÙÐØ ÒØ º Ç ÓÒ ØÓ Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö ÓÖÑ Ð Þ Ø ÒÓÓ Ò Ó ¾º½º ÍÑ Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö X ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ó ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð X(ζ) Ö ÙÐØ Ó ζ ÒÓ Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ø Ö Óº Ä Ñ Ö ¹ ÕÙ ÙÑ ÙÒÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÑ Ö Ö ÕÙ Ó ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒÙÑ Ö Ó Ð Ñ ÒØÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑÓ ÑÓ ØÖ Ó Ö Ñ ÒØ Ò ÙÖ ¾º½º ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ S X(ζ) = x ζ x Ö Ø Ö Ð S x ÙÖ ¾º½ ÍÑ Úº º Ó ÙÑ Ò Ñ ÖÓ x = X(ζ) Ö ÙÐØ Ó ζ ÒÓ Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð S ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ø Ö Óº

35 ¾ Î Ö Ú Ð Ø Ö Ô Ó ÙÑ Ñ ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ø Ö Ó Ò ÙÑ ÙÒÓ ÒÓ Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð ÔÓÖØ ÒØÓ ÙÑ Úº º Ç Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð S Ó ÓÑ Ò Ó Úº º Ó ÓÒ ÙÒØÓ S X ØÓ Ó Ó Ú ÐÓÖ ØÓÑ Ó ÔÓÖ X Ü Úº º ÒØÓ S X ÙÑ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ö º ÈÓ ÑÓ Ú Ö X( ) ÓÑÓ ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ñ Ô Ó ÔÓÒØÓ ÑÓ ØÖ ζ 1, ζ 2,,ζ m Ñ Ò Ñ ÖÓ Ö x 1, x 2,,x n º Ñ X ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö ÕÙ ÙÑ Ú ÐÓÖ x 1, x 2,, x n º Ç ÖÚ ÕÙ m ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ù Ð nº Å ÙÑ ÔÓÒØÓ ÑÓ ØÖ Ð ÔÓ Ö Ñ Ô Ó Ñ ÙÑ Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ xº Ü ÑÔÐÓ ¾º½º Ô ÕÙ Ó Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð ÙÑ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÕÙ ÓÒ Ø Ñ Ó Ö ÙÑ ÑÓ Ú Þ º ËÓÐÙÓº Ç Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð Ô Ö Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ë ß Ã Ã Ãà à à à Ãà ÃÃÃÐ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ã ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÖÓ º Ë X Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ ØÖ Ó ÑÓ º X Ó Ö ÙÐØ Ó ζ Ñ S ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ S X = 0, 1, 2, 3º Ø Ð ÜÓ Ð Ø Ó Ó ØÓ Ö ÙÐØ Ó S Ó Ú ÐÓÖ X ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ζ à à à Ãà à à Ãà ÃÃà X(ζ) ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ¼ X ÒØÓ ÙÑ Úº º ÕÙ ØÓÑ Ú ÐÓÖ ÒÓ ÓÒ ÙÒØÓ S X = 0, 1, 2, 3º ÙÒÓ ÓÙ Ö Ö ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ Ö ÙÐØ Ó Ü ÓÙ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ò Ö Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ Ó ÙÑ ÑÓ º Ð ØÓÖ ÒÓ Ú ÐÓÖ Ó ÖÚ Ó Ú ¹ Ð ØÓÖ Ó Ö ÙÑ ÒØÓ ÙÒÓ X ÓÙ Ó Ö ÙÐØ Ó ζ i Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓº Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ Ð ØÓÖ Ó Ú ÐÓÖ Ó ÖÚ Ó X Ò ÙÞ Ô ÐÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ø Ö Ó Ú ÑÓ ÔÓÖØ ÒØÓ Ö Ô Þ ÐÙÐ Ö ÔÖÓ Ð Ó Ú ÐÓÖ Ó ÖÚ Ó Ñ Ø ÖÑÓ ÔÖÓ Ð Ó Ö ÙÐØ Ó Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓº Ü ÑÔÐÓ ¾º¾º Ç Ú ÒØÓ {X = k} = { Ö Ñ Ó ÙÑ ÑÓ } ÓÓÖÖ ÕÙ Ò Ó Ó Ö ÙÐØ Ó Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÓÒØ Ñ k Ö º ÐÙÐ ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ {X = k} k = 0, 1, 2, 3º ËÓÐÙÓº ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ {X = k} Ô Ð ÓÑ ÔÖÓ Ð Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÙ Ú ÒØÓ Ð Ñ ÒØ Ö º Ë p ÔÖÓ Ð Ö (1 p) ÔÖÓ Ð ÓÖÓ º Ø ÓÖÑ Ø ÑÓ p 0 P[X = 0] P[{KKK}] = (1 p) 3 p 1 P[X = 1] P[{CKK}]P[{KCK}]P[{KKC}] = 3(1 p) 2 p p 2 P[X = 2] P[{CCK}]P[{CKC}]P[{KCC}] = 3(1 p)p 2 p 3 P[X = 3] P[{CCC}] = p 3

36 Î Ö Ú Ð Ø Ö ¾ Ç Ü ÑÔÐÓ Ñ ÐÙ ØÖ Ù ÒØ Ø Ò Ö Ð Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ÔÖÓ Ð Ú ÒØÓ ÒÚÓÐÚ Ò Ó Úº º X S X Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ú ÐÓÖ ÕÙ ÔÓ Ñ Ö ÙÑ Ó ÔÓÖ X B Ð ÙÑ Ù ÓÒ ÙÒØÓ S X º S X ÔÓ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ ÙÑ ÒÓÚÓ Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð B ÓÑÓ ÙÑ Ú ÒØÓ Ò Ø Ô Óº Ë A Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÙÐØ Ó ζ Ñ S ÕÙ Ð Ú Ñ Ú ÐÓÖ X(ζ) Ñ B ÓÑÓ ÑÓ ØÖ Ó Ò ÙÖ ¾º¾ ØÓ A = {ζ : X(ζ) Ñ B} ÒØÓ Ó Ú ÒØÓ B Ñ S X ÓÓÖÖ ÑÔÖ ÕÙ Ó Ú ÒØÓ A Ñ S ÓÓÖÖ º Ø ÓÖÑ ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ B ÔÓÖ P[A] = P[B] = P[ζ : X(ζ) Ñ B] Ê Ö ÑÓ¹ÒÓ Ó Ú ÒØÓ A B ÓÑÓ Ú ÒØÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ º S ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ A B Ö Ø Ö Ð ÙÖ ¾º¾ Ú ÒØÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ º ¾º¾ ÙÒÓ ØÖ Ù Ó ÙÑÙÐ Ø Ú º Ò Ó ¾º¾º ÙÒÓ ØÖ Ù Ó ÙÑÙÐ Ø Ú µ ÙÑ Úº º X Ò ÓÑÓ ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ {X x} F X (x) = P[X x], < x < ¾º½µ ØÓ ÔÖÓ Ð Úº º X ØÓÑ Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ (, x]º Ñ Ø ÖÑÓ Ó Ô Ó ÑÓ ØÖ Ð ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ {ζ : X(ζ) x}º Ç Ú ÒØÓ {X x} Ù ÔÖÓ Ð Ú Ö Ñ Ñ ÕÙ x Ú Ö Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ F X (x) ÙÑ ÙÒÓ Ú Ö Ú Ð xº ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÑ Ñ Ò Ö ÓÒÚ Ò ÒØ Ô Ö ÔÖÓ Ð ØÓ Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ ¹ Ò Ò ØÓ Ö Ø Ö Ð Ù ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ ÙÒ ÒØ Ö º

37 ¾ Î Ö Ú Ð Ø Ö ÈÖÓÔÖ Ç Ü ÓÑ ÔÖÓ Ð Ù ÓÖÓÐ Ö Ó ÑÔÐ Ñ ÕÙ Ø Ñ Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ ½º 0 F X (x) 1 ¾º lim x F X(x) = 1 º lim x F X(x) = 0 º F X (x) ÙÑ ÙÒÓ ÒÓ Ö ÒØ x ØÓ a < b ÒØÓ F X (a) F X (b)º º ÔÖÓ Ð Ú ÒØÓ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÖÑ (a < X b) ÔÓ Ñ Ö ÜÔÖ Ñ Ø ÖÑÓ P[a < X b] = F X (b) F X (a) ¾º¾µ ÑÓÒ ØÖ Óº P[a < X b] = P[X b] P[X a] = F X (b) F X (a) Á ØÓ ÔÓ Ö ÐÑ ÒØ Ú ØÓ Ò ÙÖ ÜÓ P[X b] P[X a] ÙÖ ¾º P[a < X b] = F X (b) F X (a) P[a < X b] º ÔÖÓ Ð ÕÙ ÙÑ Úº º X ØÓÑ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ô Ó ÑÓ b Ô Ð Ñ Ò ØÙ Ó ÐØÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ bº Ë Ù ÕÙ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ b ÒØÓ Ó Ú ÒØÓ Ø Ñ ÔÖÓ Ð Þ ÖÓº ÑÓÒ ØÖ Óº ÑÓ ÐÙÐ Ö P[X = b]º Ë a = b ε, ¾º¾µ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö ε > 0º Í Ò Ó P[a < X b] = P[b ε < X b] = F X (b) F X (b ε) ¾º µ ü Ñ ÕÙ ε 0 Ó Ð Ó ÕÙ Ö Ó ¾º µ ÔÖÓÜ Ñ P[X = b] ÒØÓ P[X = b] = F X (b) F X (b ) ¾º µ

38 Î Ö Ú Ð Ø Ö ¾ º Ë Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ {a X b} = {X = a} {a < X b}º ÒØÓ P[a X b] = P[X = a] + P[a < X b] = F X (a) F X (a ) + F X (b) F X (a) = F X (b) F X (a ) ¾º µ º Ë ÓÒØ ÒÙ ÒÓ Ð Ñ Ø ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒØÓ Ó Ð Ñ Ø Ø Ñ ÔÖÓ Ð ¹ Þ ÖÓ ÔÓÖØ ÒØÓ ÔÓ Ñ Ö ÒÐÙ Ó ÓÙ ÜÐÙ Ó Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ Ø Ö ÔÖÓ Ð º Ñ ÓÙØÖ Ô Ð ÚÖ ÓÒØ ÒÙ ÒÓ ÔÓÒØÓ x = a x = b ÒØÓ P[a < X < b] = P[a X < b] = P[a < X b] = P[a X b] ¾º µ Ü ÑÔÐÓ ¾º º ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö ÔÓÖ 0 x < 0 F X (x) = 1 4 (x2 + 1) 0 x < x x < 2 1 x 2 ÒÓÒØÖ ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ µ {X < 1} µ {X = 1} µ {X = 0} µ { x 1 > 1/2} µ {x 0} ËÓÐÙÓº ÔÖ Ñ Ö Ó Þ Ö Ò Ð Ö ÓÑÓ Ø ÙÒÓ ÓÑÔÓÖØ ÕÙ ¹ Ñ ÔÓ ÑÓ Ú Ö ÕÙ Ø ÙÑ ÙÒÓ ÒÙÐ Ô Ö x < 0 Ô Ö 0 x < 1 ÙÑ ÓÖÑ ÙÑ Ô Ö ÓÐ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ 1 x < 2 Ó ÙÑ Ö Ø Ò ÐÑ ÒØ ÙÑ ÙÑ Ú ÐÓÖ ÓÒ Ø ÒØ Ù Ð ½ Ô Ö x > 2º ÜÓ Ø ÑÓ ÙÑ Ö Ó Ø ÙÒÓº f X (x) ½ ¼º ¼º ¼º¾ ¹½ ¼ ½ ¾ Ô ÖØ Ö Ò Ð Ó Ö Ó Ð Ö ÓÐÚ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ µ ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ {X < 1} Ó Ô ÐÓ Ú ÐÓÖ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ñ Ø ¹ Ñ ÒØ ÒØ Ö ÓÖ X = 1º ÈÓÖØ ÒØÓ P[X < 1] = 1/2º x

39 ¼ Î Ö Ú Ð Ø Ö µ ÔÖÓ Ð Ó Ú ÒØÓ {X = 1} Ô ÐÓ Ú ÐÓÖ Ó ÐØÓ Ñ X = 1º ÈÓÖØ ÒØÓ P[X = 1] = 1/4º µ È Ð Ñ Ñ Ö Þ Ó Ø Ñ µ P[X = 0 = 1/4]º µ Ç Ú ÒØÓ { x 1 > 1/2} ÔÓ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ ÙÑ ÖÙÐÓ Ö Ó 1/2 ÓÑ ÒØÖÓ Ñ X = 1º Ø ÓÖÑ P[ x 1 > 1/2] = 1 P[1/2 < X 3/2] = 1 [F X (3/2) F X (1/2)] = 7/16 µ P[X 0] = F X (0) = 1/4 ¾º Ì ÔÓ Î Ö Ú Ð Ø Ö ¾º º½ Ö Ø Î Ö Ú Ð Ø Ö Ö Ø ØÓÑ Ñ Ú ÐÓÖ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓ S X = {x 0, x 1,, x n }º Ô Ö Ñ Ö ÐÑ ÒØ Ñ ÔÐ ÕÙ ÒÚÓÐÚ Ñ ÓÒØ Ñ ÑÓ Ó ÕÙ Ö Ð¹ Ñ ÒØ Ø ÑÓ S X = {0, 1, }º Ò Ó ¾º º ÙÒÓ Ñ ÔÖÓ Ð ÑÔµ X Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖÓ Ð p X (x k ) = P[X = x k ] Ó Ð Ñ ÒØÓ Ñ S X º Ò Ó ¾º º ÙÑ Úº º Ö Ø ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ ÙÑ ÓÑ ÔÓÒ ¹ Ö ÙÒ Ö Ù ÙÒ Ø Ö Ó F X (x) = k p X (x k )u(x x k ) ¾º µ ÓÒ p X (x k ) = P[X = x k ] ÓÖÒ Ñ Ò ØÙ Ó ÐØÓ Ò º Ü ÑÔÐÓ ¾º º Ë Úº º X Ò ÓÑÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ ØÖ ÖÖ Ñ Ó ÙÑ ÑÓ Ð º Ø ÖÑ Ò Xº ËÓÐÙÓº Ó Ü ÑÔÐÓ ¾º½ ÑÓ ÕÙ X ØÓÑ Ô Ò Ó Ú ÐÓÖ ¼ ½ ¾ º Ó Ü ÑÔÐÓ ¾º¾ Þ ÖÑÓ p = 05 ÔÖÓ Ð Ô Ö ÙÑ Ø Ö ÙÐØ Ó Ó ½»»» ½» Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÑÓ Ó ÕÙ F X (x) ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÑ ÔÖÓ Ð Ó Ö ÙÐØ Ó ¼ ½ ¾ ÕÙ Ó Ñ ÒÓÖ ÓÙ Ù xº Ö ÙÐØ ÒØ Ø Ñ ÔÓÖØ ÒØÓ ÓÒØ ÒÙ ÒÓ ÔÓÒØÓ ¼ ½ ¾ º X Ò Ø Ñ Ò Ö ÔÓ Ö Ú Ø Ò ÙÖ ¾º º

40 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ Î Ö Ú Ð Ø Ö ½ F X (x) 1 7/8 1/2 1/ x ÙÖ ¾º Ü ÑÔÐÓ ÙÑ ÙÑ Úº º Ö Ø º ¾º º¾ ÓÒØ ÒÙ ËÓ Úº º³ Ù ³ F X (x) Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ ÓÒ Ð¹ Ñ ÒØ Ó Ù ÒØ Ñ ÒØ Ù Ú ÑÓ Ó ÕÙ ÔÓ Ñ Ö Ö Ø ÓÑÓ ÙÑ ÒØ Ö Ð Ð ÙÑ ÙÒÓ f(x) ÒÓ Ò Ø Ú º F X (x) = f(t)dt ¾º µ È Ö Úº º³ ÓÒØ ÒÙ ÓÒØ ÒÙ Ñ ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ ÑÓ Ó ÕÙ ÔÖÓÔÖ ¹ ÑÔÐ ÕÙ P[X = x] = 0, xº Ü ÑÔÐÓ ¾º º Ç Ø ÑÔÓ ØÖ Ò Ñ Ó X Ñ Ò Ò Ñ ÙÑ Ø Ñ ÓÑÙÒ ¹ Ó Ó Ð ÔÖÓ Ð ÜÔÓÒ Ò Ð ÓÑ Ô ÖÑ ØÖÓ λ ØÓ P[X > x] = e λx, x > 0º ÒÓÒØÖ Xº ÐÙÐ P[T < X 2T], T = 1/λº ËÓÐÙÓº ÈÓÖ Ò Ó X ÔÓÖ F X (x) = P[X x] = 1 P[X > x]º Ø ÓÖÑ Ø ÑÓ { 0, x 0 F X (x) = 1 e λx, x > 0 Æ ÙÖ ¾º Ø Ñ¹ ÙÑ Ò Ó º F X (x) 1 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÔÖÓÔÖ Ø ÑÓ ÕÙ ÙÖ ¾º Ö Ó Úº º ÓÒØ ÒÙ Xº x

41 ¾ Î Ö Ú Ð Ø Ö P[T < X 2T] = F X (2T) F X (T) = 1 e 2 (1 e 1 ) = e 1 e ÆÓØ ÕÙ F X (x) ÓÒØ ÒÙ Ô Ö ØÓ Ó xº ÆÓØ Ø Ñ Ñ ÕÙ Ù Ö Ú Ü Ø Ô Ö ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ü ØÓ Ñ x = 0º Æ ÙÖ ¾º Ø Ñ¹ Ó Ö Ó F X (x)º F X (x) ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÙÖ ¾º Ö Ó F X (x)º x ¾º º Å Ø ËÓ Úº º³ Ù ³ Ø Ñ ÐØÓ Ñ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ÔÓÒØÓ x 0, x 1,, x n Ñ ÕÙ Ø Ñ Ñ ÙÑ ÒØ Ñ ÓÖÑ ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ú ÐÓÖ xº Ø Ú Ö Ú Ø Ñ ÓÖÑ ÓÒ 0 < p < 1 F X (x) = pf 1 (x) + (1 p)f 2 (x) ¾º µ F 1 (x) ÙÑ Úº º Ö Ø º F 2 (x) ÙÑ Úº º ÓÒØ ÒÙ º Ü ÑÔÐÓ ¾º º Ç Ø ÑÔÓ Ô Ö X ÙÑ Ù Ù Ö Ó Ñ ÙÑ Ø Ñ Ð Þ ÖÓ Ð ÒÓÒØÖ Ó Ø Ñ Ð ÚÖ ÓÑ ÙÑ Ø ÑÔÓ Ô Ö ÜÔÓÒ Ò ÐÑ ÒØ ØÖ Ù Ó ÒÓÒØÖ Ó Ø Ñ ÓÙÔ Óº ÔÖÓ Ð Ð ÒÓÒØÖ Ö Ó Ø Ñ Ð ÚÖ ÓÙ ÓÙÔ Ó Ó p (1 p) Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÒÓÒØÖ Xº ËÓÐÙÓº F X (x) = P[X x] = P[X x livre]p + P[X x ocupado](1 p)

42 Î Ö Ú Ð Ø Ö ÆÓØ ÕÙ P[X x livre] = 1 ÕÙ Ò Ó x 0 ¼ Ó ÓÒØÖ Ö Óº Ø ÓÖÑ { 0, x < 0 F X (x) = p + (1 p)(1 e λx ), x 0 Ç Ö Ó ÑÓ ØÖ Ó Ò ÙÖ ¾º º ÆÓØ ÕÙ F X (x) ÔÓ Ö ÜÔÖ ÓÑÓ ÓÑ ÙÑ ÙÒÓ Ö Ù ÓÑ ÑÔÐ ØÙ p ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ xº F X (x) 1 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÙÖ ¾º ÍÑ Ü ÑÔÐÓ Úº º Ñ Ø º x ¾º ¾º º½ ÙÒÓ Ò ÈÖÓ Ð Ò Ó Ò Ó ¾º º ÙÒÓ Ò ÔÖÓ Ð Ôµ ÙÑ Úº º X Ü Ø Ö Ò ÓÑÓ Ö Ú F X (x) f X (x) = df X(x) dx ¾º½¼µ Ô Ö ÔÖ ÒØ Ò ÔÖÓ Ð ÒÓ ÔÓÒØÓ x ÒÓ Ù ÒØ ÒØ Ó ÔÖÓ Ð ÕÙ X Ø Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ô ÕÙ ÒÓ Ò Ú Þ Ò Ò x ØÓ {x < X x + h} P[{x < X x + h}] = F X (x + h) F X (x) = F X(x + h) F X (x) h h Ë Ø Ñ ÙÑ Ö Ú Ñ x ÒØÓ Ñ ÕÙ h 0 ¾º½½µ P[{x < X x + h}] f X (x)h ¾º½¾µ ÒØÓ f X (x) Ö ÔÖ ÒØ Ò ÔÖÓ Ð ÒÓ ÔÓÒØÓ x ÒÓ ÒØ Ó ÕÙ ÔÖÓ Ð ÕÙ X Ø Ñ ÙÑ Ô ÕÙ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ú Þ Ò Ò x ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ f X (x)h ÓÒ ÓÖÑ ÑÓ ØÖ Ó Ò ÙÖ ¾º º

43 Î Ö Ú Ð Ø Ö ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ f X (x) x x x + dx f X (x)dx ÙÖ ¾º ÙÒÓ Ò ÔÖÓ Ð Ô ÔÖÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ö ÙÖ Ò Ò Ø Ñ Ðº ¾º º¾ ÈÖÓÔÖ ½º Ö Ú ÕÙ Ò Ó Ü Ø Ö ÔÓ Ø Ú ÕÙ ÙÑ ÙÒÓ ÒÓ Ö ÒØ x ÒØÓ f X (x) 0 ¾º½ µ ¾º Ë f X (x) ÙÑ ÙÒÓ ÒÓ Ò Ø Ú ÕÙ Ð Ñ Ö ÑÓ ÙÒÓ Ò ÔÖÓ Ð ÕÙ Ô ÔÖÓ Ð Ú ÒØÓ ÓÖÑ X Ñ ÙÑ Ô ÕÙ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ö ÙÖ dx Ó Ö ÓÖ Ó ÔÓÒØÓ x º ÔÖÓ Ð Ú ÒØÓ ÒÚÓÐÚ Ò Ó X Ó ÒØÓ ÜÔÖ Ñ Ø ÖÑÓ Ô ÓÒ Ò Ó ÔÖÓ ¹ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ö ÙÖ dxº ü Ñ ÕÙ Ð Ö ÙÖ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÔÖÓÜ Ñ Ñ Þ ÖÓ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÒØ Ö Ð Ñ Ø ÖÑÓ Ôº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÔÖÓ Ð ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ [a, b] ÔÓÖ P[a x b] = b a f X (x)dx ¾º½ µ ÔÖÓ Ð ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÔÓÖØ ÒØÓ Ö Ó f X (x) Ò ÕÙ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ú Ö ÙÖ ¾º µº ÔÖÓ Ð ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú ÒØÓ ÕÙ ÓÒ Ø Ò ÙÒ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÙÒØÓ ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ ÓÒ Ò Ó¹ ÒØ Ö Ô Ó Ö ÙÑ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ º x a b f X (x) ÙÖ ¾º ÔÖÓ Ð ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ [a, b] Ö Ó Ô Ò ÕÙ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓº º X ÔÓ Ö Ó Ø ÒØ Ö Ò Ó¹ Ô F X (x) = x f X (t)dt ¾º½ µ

44 Î Ö Ú Ð Ø Ö º Þ Ò Ó x + Ò ÕÙ Ó ¾º½ µ Ó Ø ÑÓ ÓÒ Ó ÒÓÖÑ Ð Þ Ó Ô Ö Ô³ + f X (t)dt = 1 ¾º½ µ º ÍÑ Ô Ú Ð ÔÓ Ö ÓÖÑ Ô ÖØ Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÒÓ g(x) ÒÓ Ò Ø Ú ÓÒØ ÒÙ ÔÓÖ Ô ÖØ ÕÙ Ø Ò ÙÑ ÒØ Ö Ð Ò Ø + g(x)dx = c < ¾º½ µ ¾º º Þ Ò Ó f X (x) = g(x)/c Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ø Þ ÓÒ Ó ÒÓÖÑ ¹ Ð Þ Óº ÆÓØ ÕÙ Ô ÔÖ Ö Ò Ô Ö ØÓ Ó Ó Ú ÐÓÖ Ö x X ÒÓ ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ñ Ð ÙÑ Ö Ó Ö Ø Ö Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Þ ÑÓ f X (x) = 0 Ò Ö Óº Ó Ö ØÓ Ö Ú ÒÓ Ü Ø Ñ ÔÓÒØÓ ÓÒ Ð ÒÓ ÓÒØ ÒÙ º ÒØÓ ÒÓÓ Ô Ò Ò ÕÙ Ó ¾º½¼µ ÒÓ ÔÐ Úº º³ Ö Ø ÒÓ ÔÓÒØÓ Ñ ÕÙ ÒÓ ÓÒØ ÒÙ º ÈÓ ÑÓ Ò Ö Ð Þ Ö Ò Ó ÙÒÓ Ò ÔÖÓ Ð ÒÓØ Ò Ó Ö Ð Ó ÒØÖ ÙÒ Ö Ù ÙÒ Ø Ö Ó ÐØ Ö º Ò Ó ¾º º ÙÒÓ Ö Ù ÙÒ Ø Ö Ó u(x) Ò ÓÑÓ { 0, x < 0 u(x) = 1, x 0 ¾º½ µ Ò Ó ¾º º ÙÒÓ ÐØ Ö δ(x) Ò Ñ Ø ÖÑÓ ÙÒÓ Ö Ù ÙÒ Ø Ö Ó Ô Ð Ù ÒØ ÕÙ Ó u(x) = + δ(t)dt ¾º½ µ Æ Ó ¾º º½ Ú ÑÓ ÕÙ ÙÑ Úº º Ö Ø ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ ÙÑ ÓÑ ÔÓÒ Ö ÙÒ Ö Ù ÙÒ Ø Ö Ó F X (x) = k p X (x k )u(x x k ) ¾º¾¼µ ÓÒ ÙÒÓ Ñ ÔÖÓ Ð ÔÓÖ p X (x) = P[X = x]º È Ö Ò Ö Ð Þ Ö Ò Ó Ô ÑÓ Ó ÕÙ ÕÙ Ó ¾º½ µ Ú Ð Ø Ñ Ñ Ô Ö Úº º³ Ö Ø ÔÓ ÑÓ ÒÓØ Ö Ó Ù ÒØ ÒØ Ö Ð ÙÑ ÙÒÓ ÐØ ÐÓ Ð Þ