Dissertação de Mestrado AUTOR: MARCELO PEREIRA DE CAMPOS

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1 Dissertação de Mestrado Modelamento Matemático da Mina Pequizão em Crixás GO AUTOR: MARCELO PEREIRA DE CAMPOS ORIENTADOR: Prof. Dr. André Pacheco de Assis MESTRADO PROFISSIONAL EM ENGENHARIA GEOTÉCNICA DA UFOP OURO PRETO MARÇO DE 2015

2 Se fiz descobertas valiosas, foi mais por ter paciência do que qualquer outro talento Isaac Newton ( ) ii

3 DEDICATÓRIA Ao meu pai Gabriel Campos, Homem inteligente e trabalhador, exemplo para toda à família. Começou a trabalhar cedo em Bambuí e antes de completar 18 anos foi para Belo Horizonte em busca de mais oportunidades, em poucos anos se estabeleceu e trouxe sua esposa, irmãos e cunhados para trabalhar com ele. Infelizmente sua passagem por essa vida foi muito curta, e apesar de ter ido embora tão cedo, ensinou ao seu único filho o melhor que um Pai pode ensinar a um Filho. iii

4 AGRADECIMENTOS Esse trabalho se deve muito ao apoio de muitas pessoas que de alguma forma contribuíram de forma direta ou indireta na sua realização, contudo algumas merecem ser lembradas. A toda minha família, em especial aos meus avos pelas novenas, a minha mãe e ao meu pai sempre exigirem o melhor de mim e aos meus anjos da guarda que nunca me abandonaram. A minha querida esposa Daiane, pelo amor e dedicação em todos os momentos. Aos meus filhos, o incansável Guilherme e o próximo que está chegando, por me darem motivação de querer sempre mais. Aos companheiros e amigos geotécnicos, Gerson, Diogo, Túlio, Gustavo e Davi pelo bom ambiente de trabalho e amizade. Aos professores do NUGEO, que contribuíram para meu crescimento técnico, em especial aos professores Romero Cesar, Rodrigo Figueiredo e André Assis pela qualidade de suas aulas e pela orientação na realização desse trabalho. Aos gerentes Edijarbas, Diogo e Ricardo, os quais sempre me apoiaram e permitiram a realização desse trabalho. Ao companheiro de trabalho Físico e Engenheiro de Minas Roberto Hugo, o qual tive o privilégio de começar minha vida profissional e a infelicidade de perder em um ambiente de trabalho. iv

5 RESUMO Nesta dissertação, o layout de lavra e desenvolvimento, aplicáveis aos ambientes de mineração subterrânea de ouro na Mina Pequizão, Brasil, são avaliados por meio de Modelagem Numérica Bidimensional, a partir do Método de Elementos Finitos, implementado em Phase 2. Para isso, é definido a propriedades do maciço rochoso que subsidiam a avaliação de instabilidade das múltiplas variantes do método sublevel-stoping e open-stoping. Dessa forma pretende-se testar as condicionantes de projeto do layout (arranjo) atual, segundo princípios e critérios estabelecidos. Determinam-se as condições de instabilidade nas galerias de desenvolvimento, nos pilares tipo sill-pillar e no hangingwall dos realces. As análises matemáticas consideram as características mecânicas do maciço rochoso, incluindo a geometria do corpo de minério. As diferenças de propriedades de resistência entre o minério, a rocha encaixante e os demais domínios são considerados, tão quanto o estado de tensões durante o desenvolvimento e durante o aprofundamento da lavra. Os modelos numéricos são aplicados considerando elementos de suporte, como cavilhas tipo Split set e cable bolts, além da forma de exposição do minério durante o desenvolvimento. Analisam-se os resultados tanto nas escavações já realizadas como os resultados nas etapas de desenvolvimento e também nas lavras subsequentes, considerando os impactos do aprofundamento da lavra na estabilidade dos realces, dos sill-pillar, do hangingwall e na eficiência do suporte. Em última análise, essa dissertação se apresenta com uma contribuição na identificação de pontos de observação e melhoria no layout do Pequizão. v

6 ABSTRACT In this dissertation, the mining and development layout, applicable to underground gold mining environments in Mina Pequizão, Brazil, are evaluated by Numerical Modeling dimensional, from the finite element method, implemented in Phase2. Therefore, it is set to rock mass properties that support the evaluation of instability of multiple variants of the sublevel stoping method and open-stoping. Thus we intend to test the layout design constraints present, in accordance with principles and criteria. Shall be determined by the conditions of instability in the development of galleries, the pillars sill pillar-type and hangingwall of the highlights. Mathematical analysis consider the mechanical characteristics of the rock mass, including the geometry of the ore body. The differences in strength properties between ore, country rock and other fields are considered, such as the state of stress during development and during the progress of the mine in deeper areas. The numerical models are used considering supporting elements such as split sets and cable bolts, as well as the ore exposure during development. Analyze the results in both excavation already exposed and the results in development stages and also in the subsequent workings, considering the impacts on deeper mines on stopes stability, the sill-pillar, the hangingwall and the support efficiency. And finally, this dissertation presents with a contribution in identifying points of observation and improved in Pequizão layouta. vi

7 INDÍCE DE FIGURAS Figura 1-1: Layout das rampas dos Corpos C e G do Pequizão Figura 2-1: Célula e amostra de ensaio de pelo método de sobrefuração à esquerda e strain gauges à direita (Furnas, 2013) Figura 2-2: Célula e obturadores para ensaio de Fraturamento Hidráulico (Furnas, 2013) Figura 2-3: Comportamento Rúptil X Dúctil de rocha intacta modificado de Edelbro, Figura 2-4: Condições do maciço rochoso, onde o Critério de Hoek & Brown pode ser aplicado - modificado de Hoek, 2001) Figura 2-5: Critério Mohr-Coulomb em termos de a) Tensões principais e b) tensão normal e cisalhante modificado de Edelbro, Figura 2-6: Figura Esquemática mostrando o apartado do Teste de Carga Pontual (PLT) e da amostra - modificado de Peng & Jhang (2007) Figura 2-7: Esquema do aparato do teste brasileiro e da amostra - modificado de Peng & Jhang, Figura 2-8: Esquema do Ensaio de Resistência a Compressão simples (RCS) Figura 2-9: Gráfico do módulo de elasticidade e módulo de deformação (Extraído do material de aulas do Professor André Assis) Figura 2-10: Perfil de rugosidade e valor JRC correspondente (após Barton e Choubey, 1977) - modificado Hoek et al. (XX) Figura 2-11: Classificação do maciço e recomendações de suporte ( modificado Barbosa,2008, segundo Hutchinson e Diederichs, Figura 2-12: Ábaco para determinar GSI de maciços xistosos (modificado de Barbosa, 2008, segundo Hoek, 2001) Figura 2-13: Fator A para diferentes valores de σ c /σ Figura 2-14: Ajuste fator B, para orientação da junta em relação a face da escavação (modificado de Hoek, 2001) vii

8 Figura 2-15: Determinação do Fator C (modificado de Hoek, 2001) Figura 2-16: Fator de ajuste gravidade para rupturas por deslizamento. Após Povin (1988) modificado de Hoek, Figura 3-1: Mapa de localização dos principais Corpos da MSG Figura 3-2: Coluna estratigráfica esquemática do Greenstone belt Crixás Figura 3-3: Seção vertical esquemática do empilhamento estratigráfico na Região de Crixás.. 47 Figura 3-4: Modelo em Datamine de estruturas mapeadas através do MEP na Mina Pequizão Figura 3-5: Domínios geomecânicos da Mina Pequizão Figura 4-1: Fotos de rejeitos de rupturas ocorridos no em frentes de desenvolvimento e de lavra na Mina Pequizão Figura 4-2: Estruturas persistentes levantadas na Mina Pequizão e interpretadas no DIPS da Rocscience Figura 4-3: Localização dos Furos geotécnicos em relação às escavações realizadas Figura 4-4: Da esquerda para direita as Seções A B e C em vermelho; em cinza as escavações atuais e em vermelho o recurso do Pequizão Figura 4-5: Foto de uma amostra de mão da ZCIV com placas de grafita bem cristalizadas Figura 4-6: Fotografia de testemunho de sondagem. Em detalhe MVA (hospedeira) ao centro e MG (encaixante) em contato superior e inferior Figura 4-7: Fotografia de testemunho de sondagem. Contato entre MG e GXN Figura 4-8: Foto de testemunho de sondagem. Detalhe da ZCIV Figura 4-9: Foto de testemunho de sondagem À esquerda CBCX e a direita DOL Figura 4-10: Furos de sonda realizados no Pequizão Figura 5-1: A partir da foto superior a esquerda no sentido horário, temos ruptura em realces de corte e enchimento no teto do realce, início de ruptura entre SN e J1 na TV acesso, e rupturas em SN também na TV de acesso Figura 6-1: Layout das escavações do Pequizão na Seção viii

9 Figura 6-2: Detalhe dos elementos da Seção Figura 6-3: Resultado da simulação numérica na Seção 1 até a profundidade de 450 m Figura 6-4: Resultado da simulação numérica da seção 1 entre a profundidade 425 e 520 m abaixo da superfície Figura 6-5: Layout das escavações do Pequizão na Seção Figura 6-6: Resultado do FS em galerias de desenvolvimento na Seção Figura 6-7: Layout da Seção 3 apresenta a esquerda as escavações realizadas e a direita as planejadas Figura 6-8: Resultado da simulação do FS para escavações da Seção 3 entre 355 m de profundidade Figura 6-9: Resultado da simulação do FS para escavações da Seção 3 entre 465 m de profundidade Figura 6-10: Resultado da simulação do FS para escavações da Seção 3 entre 520 m de profundidade Figura 6-11: Resultado da simulação do FS para escavações da Seção 3em profundidade de 525 até 565 m Figura 6-12: Localização dos sill pillars na Seção Figura 6-13: Gráfico do FS e da tensão σ 3 durante o progresso da lavra tensão em MPa Figura 6-14: Locação do monitoramento dos sill pillars na Seção Figura 6-15: Gráfico da relação entre os monitoramentos FS; σ 3 e (σ 1 -σ 3 ) Figura 6-16: Layout do monitoramento de deslocamento total na Seção Figura 6-17: Localização dos pontos de controle do segmento superior do Corpo G - Seção Figura 6-18: Localização dos monitoramentos de deslocamento (mm) no segmento inferior da Seção Figura 6-19: Locação dos monitoramentos de deslocamento total na Seção Figura 6-20: Localização dos monitoramentos de deslocamento total na Seção Figura 6-21: Overview dos deslocamentos totais na Seção ix

10 Figura 6-22: Zona de plastificação restrita a ZCIV durante o desenvolvimento Figura 6-23: Zona plastificada durante a lavra - Corpo G superior Figura 6-24: Zona plastificada (linha preta) - Corpo G inferior e Corpo G Figura 6-25 Zona de plastificação na Seção Figura 6-26: Zona plastificada em galerias de desenvolvimento da Seção Figura 6-27: Zona de plastificação no final da lavra da Seção x

11 INDÍCE DE TABELAS Tabela 2-1: Pesos e fatores da Classificação Geomecânica Tabela 2-2: Classes do maciço rochoso, segundo sistema RMR Tabela 2-3: Índice de qualidade do maciço rochoso (modificado de Barton et al., 1974) Tabela 3-1: Resumo da situação atual Minas em Operações da MSG (2014) Tabela 4-1: Mediana dos resultados laboratoriais realizados na Mina Pequizão Tabela 4-2: Média dos valores de RMR dos litotipos presentes na Mina Pequizão Tabela 4-3: Valores de GSI baseados na relação (Hoek et al., 1995) com o RMR Tabela 5-1: Valores dos materiais utilizados no modelamento Tabela 6-1: Resultado da simulação do FS e σ 3 nos Sill pillars da Seção Tabela 6-2: Resultado do monitoramento na Seção 3 - FS; σ 3 e (σ 1 - σ 3 ) Tabela 6-3: Deslocamentos em mm dos pontos na superfície do HW em cada estágio Tabela 6-4: Monitoramento dos deslocamentos totais (mm) na Seção Tabela 6-5: Monitoramento dos deslocamentos totais (mm) do HW na Seção xi

12 LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES plunge footwall hangingwall sill pillar K E mr E rm layout in situ ISRM yield σ lim σ res σ c σ ci σ cm σ 1 σ 3 σ t σ f spalling RCS mi σ' 1 σ' 3 mb C φ D I s P Pe I s(50) UCS T 0 A E Ѵ direção da maior continuidade da mineralização rocha encaixante da base do minério rocha encaixante do topo do minério pillar que divide dois paineis de lavra razão entre tensão principal maior e tensão principal menor Módulo de deformabilidade do maciço rochoso Módulo de deformabilidade do maciço rochoso arranjo das escavações região que ainda não sofreu o efeito de escavações sociedade internacional de mecânica das rochas região plastificada limite de tensão onde a deformação deixa de ser somente elástica tensão residual após deformação substancial tensão de ruptura tensão de ruptura em rocha intacta tensão de ruptura em maciço rochoso tensão principal maior tensão principal menor tensão máxima cisalhante tensão cisalhante no plano de ruptura ruptura por extensão resistência a compressão simples ou uniaxial módulo da rocha intacta tensão maxima efetiva tensão mínima efetiva modulo do maciço rochoso coesão ângulo de atrito dano provocado pela escavação índice inicial - ensaio point load test carga de ruptura diâmetro equivalente (mm) índice padrão resisistência a compressão uniaxial carga aplicada (N) área inicial da amostra módulo de young (elasticidade) módulo de poisson xii

13 σ N JRC JCS JRC 0 JCS 0 JRC n JCS n J n J r SRF Q Q' GSI N N' RH FEM FDM DEM BEM GXN ZCIV MVA MG CBCX DOL GNCX MEP RCT RCD RTI backfill rib pillar K H K h FS SF DIP DIP DIR tensão normal coeficiente de rugosidade da junta resistência a compressão da parede da junta coeficiente de rugosidade da junta em escala de laboratório (100 mm) resistência a compressão da parede da junta em escala de laboratório (100 mm) coeficiente de rugosidade da junta em escala de campo resistência a compressão da parede da junta em escala de campo número de juntas rugosidade da descontinuidade fator de redução de tensão índice de qualidade índice de qualidade modificado índice de resistência geológica número de estabilidade número de estabilidade modificado raio hidráulico método de elementos finitos método de diferenças finitas método de elemento distinto método de elemento de contorno grafita xisto zona de cisalhamento da estrutura IV meta-vulcânica ácida meta-grauvaca carbonato-biotita-clorita xisto dolomitos impuros quartzo-clorita-sericita-granada xisto mapeamento de estruturas persistêntes resistência a compressão triaxial resistência ao cisalhamento direto resistência a tração indireta - método brasileiro enchimento hidráulico pilar que separa os blocos dentro do painel de lavra relação entre a tensão horizontal maior e a tensão vertical relação entre a tensão horizontal menor e a tensão vertical fator de segurança fator de segurança ângulo de mergulho de um plano direção do mergulho de um plano xiii

14 LISTA DE ANEXOS ANEXO I: BANCO DE DADOS DE ESTRUTURAS PERSISTENTES ANEXO II: BANCO DE DADOS- DESCRIÇÃO DE TESTEMUNHOS xiv

15 DEDICATÓRIA... iii AGRADECIMENTOS... iv RESUMO... v ABSTRACT... vi INDÍCE DE FIGURAS... vii INDÍCE DE TABELAS... xi LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES... xii LISTA DE ANEXOS... xiv 1 - INTRODUÇÃO A INDÚSTRIA MINEIRA AURÍFERA NO BRASIL E NO MUNDO ENQUADRAMENTO DA MODELAGEM NUMÉRICA APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA E DO ESTUDO DE CASO ANALISADO OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO METODOLOGIA ADOTADA MODELAGEM NÚMERICA DA MINA PEQUIZÃO EM CRIXÁS-GO: UMA REVISÃO BIBLIOGRÁFICA INTRODUÇÃO ENSAIO PARA DETERMINAÇÃO DE TENSÕES IN SITU Método de Sobrefuração (Overcoring) COMPORTAMENTO DO MACIÇO ROCHOSO - RESISTÊNCIA E DEFORMABILIDADE Tipos de Ruptura em Rochas Critérios de Ruptura Hoek & Brown Quando usar o critério de Hoek & Brown Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb Módulo de Deformabilidade do Maciço Rochoso xv

16 Parâmetros para Rocha Intacta Módulo de Deformação Resistência ao cisalhamento de descontinuidades CLASSIFICAÇAO DE MACIÇOS ROCHOSOS SISTEMAS DE CLASSIFICAÇÃO DE MACIÇOS ROCHOSOS Sistema de Classificação RMR (Rock Mass Rating System) Sistema de Classificação Q (Q-Tunnelling index) Índice de Resistência Geológica (GSI) Método do Gráfico de Estabilidade Número de Estabilidade Modificado N Raio Hidráulico MÉTODOS NÚMERICOS DE ANÁLISE DE TENSÕES Método de Domínio Métodos Integrais MINA PEQUIZÃO INTRODUÇÃO LOCALIZAÇÃO CARACTERÍSTICAS GEOLÓGICAS Greenstone Belt de Crixás Depósitos Auríferos Geologia da Mina Pequizão Estratigrafia da Mina Pequizão Metabasaltos e Carbonato-Clorita Xistos Silicificação CARACTERIZAÇÃO DA MINA PEQUIZÃO xvi

17 3.5 - DADOS EXISTENTES Mapeamento Estruturas Persistentes (MEP) Definição de Domínios Geomecânicos Ensaios de Resistência CLASSIFICAÇÃO DE MACIÇOS ROCHOSOS CARACTERIZAÇAO GERAL DO CORPO PEQUIZÃO DESCONTINUIDADES GEOLÓGICAS PARÂMETROS GEOMECÂNICOS: RESULTADOS LABORATORIAIS CLASSIFICAÇÃO DO MACIÇO ROCHOSO ENSAIOS DE TENSÃO IN SITU RELAÇÃO ENTRE ÍNDICE DE RESISTÊNCIA GEOLÓGICA (GSI) E CLASSIFICAÇÃO GEOMECÂNICA (RMR) CRITÉRIOS PROPOSTOS PARA O MODELAMENTO MATEMÁTICO INTRODUÇÃO: CONTEXTUALIZAÇAO DO PROBLEMA CARACTERÍSTICAS GERAIS DO MODELAMENTO DO CORPO PEQUIZÃO DADOS DE ENTRADA NA SIMULAÇÃO MATEMÁTICA Domínios Geotécnicos Campo de Tensões Suporte CRITÉRIOS CONSIDERADOS PARA MENSURAR A INSTABILIDADE DAS ESCAVAÇÕES Instabilidade Segundo o Fator de Segurança Instabilidade Segundo Deslocamento Totais Instabilidade Segundo a Zona de Plastificação MODELAMENTO MATEMÁTICO: MINA PEQUIZÃO ESTABILIDADE DAS ESCAVAÇÕES DURANTE O DESENVOLVIMENTO xvii

18 6.2. ESTABILIDADE DOS PILARES TIPO SILL PILLAR ESTABILIDADE DO HANGINGWALL DOS REALCES ZONA DE PLASTIFICAÇÃO E SUPORTE CONCLUSÕES E SUGESTÕES INTRODUÇÃO CONCLUSÕES Importância do Corpo Pequizão Classificação do Maciço Rochoso Modelamento Matemático RECOMENDAÇÕES E SUGESTÕES DE TRABALHOS No Desenvolvimento Na Lavra CONSIDERAÇÕES FINAIS GERAIS BIBLIOGRAFIA ANEXO I: BANCO DE DADOS DE ESTRUTURAS PERSISTENTES ANEXO II: BANCO DE DADOS- DESCRIÇÃO DE TESTEMUNHOS xviii

19 1 - INTRODUÇÃO A INDÚSTRIA MINEIRA AURÍFERA NO BRASIL E NO MUNDO Neste capítulo será contextualizada a evolução econômica da indústria mineira de produção aurífera nas últimas décadas. Nessa contextualização será desenvolvida a aplicação de técnicas de modelagem numérica para validação do layout proposto para extração aurífera em uma mina subterrânea localizada no município de Crixás, Goiás, Brasil. O relatório do Departamento Nacional de Produção Mineral (DNPM, 2009) mostra os impactos significativos da indústria produtora de ouro na geração de riquezas. Em nível mundial, durante o período , as cotações do ouro apresentaram modesta volatilidade posicionando-se entre US$ /oz. A partir de 1997, ocorreu um significativo declínio dos preços do ouro, chegando a registrar US$ 253/oz nos meses de julho e agosto de Essa baixa cotação obrigou o fechamento de diversas minas de pequeno e médio porte e obrigou as empresas de grande porte a submeter-se a processos de consolidação, através de fusões, incorporações e aquisições entre seus concorrentes, no intuito de incorporar ganhos de escala em seus empreendimentos. A partir de abril de 2002, o ouro voltou a se posicionar acima dos US$ 300/oz, chegando a US$ 840/oz, o que provocou uma corrida para o aumento das capacidades produtivas instaladas e uma tentativa de elevação dos volumes de produção. Nesse período AngloGold Ashanti, GolKd Fields e Harmony Gold Mining acumulavam 14.7% da produção global de ouro. Contudo o aumento do preço aurífero não foi acompanhado pelo aumento de oferta do metal, ou seja, no período entre 1995 e 2007 houve uma taxa média de crescimento anual da ordem de 0,9%. Diferentemente do ocorrido com outros países, o auge da produção aurífera no Brasil ocorreu na década de 80, quando o Brasil ocupou o 5º lugar mundial com a produção de 113 t de outo. Desde então a produção recuou consideravelmente, em virtude da incapacidade das empresas em substituir a produção oriunda das lavras garimpeiras. No período de 1995 a 2007 a produção de ouro brasileira apresentou um decrescimento médio de 3,6% ao ano. Entre 2004 e 2007 novas minas passaram a liderar a indústria mineira de ouro no país. Em 2007 as operações mineiras formais produziram 42,4 toneladas de metal, registraram um acréscimo de 8.1% frente à produção do ano anterior, correspondendo a 89% da produção nacional. Nesse mesmo ano a empresa AngloGold Ashanti Brasil Mineração (AGABM), passou a ocupar a 1

20 posição de maior produtora nacional de ouro, sendo responsável por cerca de 20% da produção nacional de ouro. Também no ano de 2007, a usina Serra Grande, da Mineração Serra Grande beneficiou a segunda maior produção do país, produzindo kg de ouro lingote. O Brasil tradicionalmente se posiciona no mercado internacional como um centro produtor e exportador de ouro, apresentando dessa forma saldos superavitários na balança comercial do ouro. Em 2007, o consumo mundial de ouro cresceu 3,3% em termos de quantidade (3.519 t), o que representa um aumento de 18.7% em relação ao ano anterior. Nesse mesmo ano de 2007 a demanda por ouro superou a oferta em 59%, representada por diversos setores, que abrangem desde segmentos industriais, de saúde, eletrônicos, joalheria e financeiro, este com finalidades especulativas. Em agosto de 2011 o ouro atingiu a marca histórica de US$ 1.880,70/oz, que representa um aumento de cerca de 620% no período de 2002 a Devido ao ápice na cotação do ouro, houve uma maior demanda de produção, o que pode gerar ambientes geotécnicos mais complexos, mais profundos e, por conseguinte mais desafiadores. Nesse cenário, aumenta a demanda por uma melhor avaliação técnico-econômica dos projetos de mineração, na qual se enquadra a modelagem numérica, para um planejamento seguro na otimização dos layouts de lavra e desenvolvimento das minas de grande porte. Em muitos casos os projetos inviáveis no passado tornaram-se viáveis com a alta na cotação do ouro. Contudo os tempos dourados podem ter chegado ao fim, pelo menos por enquanto. Os preços do metal, que estavam próximos de US$ 1.800/onça no início de 2012, apresentaram um trajetória de queda acentuada, chegando abaixo de US$ 1.200/onça nos últimos meses de 2014, colocando em situação crítica aqueles produtores que estavam operando com custos elevados. Diante desse quadro, uma das medidas mais perseguidas pelos produtores de ouro tem sido a redução de custos, em todos os níveis: Cash Cost, All-in Cost. O Cash Cost, como se sabe, é o custo direto de produção; enquanto o All-in Cost inclui tanto os custos operacionais quanto de capital para sustentar a produção de ouro em bases atuais. Como o grau de interferência dos produtores sobre os níveis de preço é mínima, eles têm mesmo que atuar fortemente sobre os custos envolvidos na produção do metal, conscientes de que a lucratividade futura, o fluxo de caixa operacional e a posição financeira de suas empresas estão intimamente relacionados com os preços vigentes para o metal, e que os 2

21 fatores preponderantes que influenciam o preço do ouro incluem a oferta e demanda para o metal, a solidez relativa das moedas macroeconômicas como as expectativas atuais e futuras da inflação e a taxas de juros. No Brasil, os preços atuais na ordem de US$ 1.200/onça, está levando os produtores a deixar de lado ou adiar a implantação de novos projetos ou postergar projetos de expansão de capacidade. Há, inclusive, quem está pensando em se desfazer de ativos que não são considerados muito atraentes do ponto de vista de rentabilidade na atual conjuntura de preços. Mesmo projetos que haviam sido concluídos recentemente estão sendo descontinuados, seja por razões técnicas ou econômicas ENQUADRAMENTO DA MODELAGEM NUMÉRICA Os layouts de mina não devem ser planejados sem que sejam consideradas as condições geológicas, estruturais e geotécnicas do maciço. A variação da morfologia do minério em função da presença de estruturas geológicas complexas, tais como dobras, falhas e até intrusões, demanda ferramentas de análise sofisticadas. Existem várias formas de realizar análises geotécnicas, são exemplos de métodos e ferramentas, formulações, classificações e ranqueamentos empíricos, métodos analíticos e numéricos, ensaios laboratoriais e ensaios in situ. Faz parte desse conjunto a descrição geotécnica de testemunhos de sondagem; as classificações e o zoneamento da qualidade do maciço; a determinação empírica do raio hidráulico; os ensaios laboratoriais das propriedades mecânicas da rocha e as interpretações numéricas bidimensionais e tridimensionais. A modelagem numérica ganhou força em todo o mundo com a evolução dos computadores com maior capacidade de processamento. No Brasil, sobretudo a utilização da modelagem numérica ainda é incipiente devido ao fato da maior parte das minas brasileiras serem a céuaberto. Nessas minas, a facilidade em gerar modelos conceituais bidimensionais e simétricos induz a utilização de métodos analíticos bidimensionais através de equilíbrio limite para determinar as condições de equilíbrio. Condições do maciço, tais como, morfologia, heterogeneidade, estado de tensões pré e póslavra, entre outras condições requerem que a análise de minas subterrâneas seja feita por meio da modelagem numérica. Quanto maior a variedade de condições do maciço e de lavra 3

22 maior é a necessidade do uso de análises numéricas para a determinação dos riscos geotécnicos na elaboração do layout da mina. Geralmente as minas subterrâneas são desenhadas em função da geometria do corpo (condicionada pela espessura e inclinação), pela condição de tensão, e pelas características de resistência dos materiais constituintes do minério e rochas encaixantes que controlam as condições de estabilidade dos maciços. Em termos gerais, a incidência de fenômenos de desplacamentos em minas subterrâneas depende das reações dos maciços rochosos em função da lavra, da complexidade geológica, do aprofundamento das frentes de trabalho e consequente elevação das tensões. Devido aos vários fatores que influenciam a estabilidade das escavações subterrâneas, surge a necessidade de aplicar controles técnicos, cuja eficácia pode ser avaliada com a ajuda da modelagem numérica. Diante da necessidade de produções cada vez maiores, e mais profundas, mudanças no método de lavra podem torna-se imprescindíveis. Nestes casos, a geomecânica pode integrar uma avaliação multidisciplinar, detalhada, visando a uma possível aplicação de determinado método de lavra que contemple e se ajuste às condições geotécnicas prevalecentes, o que permite a implementação eficiente e segura do novo método extrativo e contribui para a melhora no aumento da produtividade. A sofisticação dos métodos de lavra, envolvendo sequenciamentos variados das escavações de mina, requerem análises numéricas. Dessa forma, o emprego da modelagem numérica, como ferramenta de análise e desenho de mina, é oportuno e deve ser utilizado como instrumento de suporte sistemático ao planejamento de mina. A geotecnia promove a implantação do rigor técnico com o propósito de mitigar e controlar os riscos em operações de lavra APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA E DO ESTUDO DE CASO ANALISADO A Mina Pequizão, objeto dessa dissertação, conduz sua lavra a profundidades médias de 400 m, com pretensões de prosseguir a extração a até pelo menos 850 m de profundidade. É provável, então, antever um aumento no estado de tensões no entorno das escavações com a continuidade da lavra em maiores profundidades. Na Mina, o teor da mineralização varia ao longo do strike e também em função da profundidade, o que exige uma atenção no sequenciamento da lavra. O layout atual da mina contempla a lavra dos corpos através de três métodos diferentes em função do mergulho do minério. Para corpos com mergulho menor que 15 é aplicado o método Câmara e Pilar, para corpos com mergulho entre 15 a 35 é 4

23 empregado o método Corte e Enchimento, e para corpos com mergulho maior que 35 é aplicado o método Sub Level ou Open Stoping. As operações de lavra são realizadas de forma mecanizada com o uso também de equipamentos de controle remoto. Devido à variação da morfologia e mergulho das camadas mineralizadas, o que implica num layout diversificado, tornando essencial recorrer à modelagem numérica. A realização das análises geotécnicas cabíveis, com a finalidade de antecipar circunstâncias das lavras, proporciona tanto uma pré-avaliação do layout atual como de uma possível otimização. Na Mina Pequizão, atualmente, existem dois corpos principais, o Corpo C e o Corpo G, ambos possuem zonas de cisalhamento métrica na base, falhas subparalelas à foliação no hangingwall e juntas cortando as camadas. Devido à presença de uma zona de cisalhamento variando de 0,5 a 10 m de espessura na base da zona minério a rampa principal foi alocada para o hangingwall. O Corpo C possui um mergulho mais acentuado com inclinações de até 55 em profundidades maiores, enquanto o Corpo G possui uma inclinação de até 45, podendo chegar localmente a 65. A diferença tanto na inclinação como na direção do plunge, tornou necessário o desenvolvimento de rampas principais separadas para ambos os corpos a partir do painel do nível 300 (N300). A Erro! Fonte de referência não encontrada. ilustra o layout das rampas principais da Mina Pequizão. Figura 1-1: Layout das rampas dos Corpos C e G do Pequizão. 5

24 As lavras de sublevel em corpos com aproximadamente 35 no Pequizão, representam hoje, a maioria dos realces em lavra. Atualmente é realizado o enchimento mecânico com material estéril proveniente do desenvolvimento primário (rampas), o que por um lado aproveita o material estéril dentro da mina, mas gera um aumento significativo no ciclo de lavra devido ao tempo necessário para realizar o enchimento. Uma alternativa de lavra que está sendo empregada nos corpos com mergulho maior que 35 é a lavra através do método open stoping, no qual a lavra é realizada de forma descendente, onde o enchimento só é realizado ao final da lavra de todo o painel. As condições geotécnicas são tais que se deve analisar, por meio de ferramentas de modelagem numérica, a estabilidade das escavações de lavra propostas, o que até o momento não foi realizado. A conclusão de um estudo que defina as condições de estabilidade do atual layout podem ser tais, que permitam uma nova proposta de layout de mina, de acordo com os pontos críticos do modelamento OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO Este estudo tem como objetivo realizar uma simulação computacional do comportamento geomecânico de uma mina de ouro subterrânea localizada no município de Crixás no interior do estado de Goiás. Essa mina pertence à Mineração Serra Grande, uma empresa do Grupo Anglo Gold Ashanti. Essa simulação será realizada através da avaliação geotécnica por meio de modelagem numérica bidimensional, na aplicabilidade do método de lavra sublevel e open stoping para lavra do Corpo C e G da Mina Pequizão, caracterizado como um ambiente geológico-geotécnico complexo. Essencialmente, se pretende avaliar para diferentes profundidades de lavra, a estabilidade dos pilares de sustentação que limitam painéis (sill pillars), bem como a estabilidade ao longo do hangingwall das escavações. Em geral, o maciço apresenta propriedades mecânicas semelhantes entre hangingwall e footwall, no entanto na base da mineralização existe a presença de uma zona de cisalhamento que dificulta o desenvolvimento e aumenta a diluição durante a lavra. A hospedeira possui característica semelhante às encaixantes, contudo mais resistência a compressão devido a presença de silicificação da zona mineralizada. Para regiões mais rasas, como as regiões de lavra atuais, é esperado um mecanismo de ruptura por deslocamento associado ao 6

25 relaxamento do hangingwall após a lavra e, por conseguinte em regiões mais profundas um mecanismo de ruptura mais associado à sobre tensões nos pilares. O presente trabalho tem como objetivos intrínsecos: - Apresentar o padrão estrutural do Pequizão; - Apresentar os resultados de testes de resistência laboratoriais; - Realizar a classificação geomecânica do maciço rochoso; - Definir domínios geotécnicos com características semelhantes - Estimar o parâmetro K do maciço rochoso com base em Sheorey, 1994; - Analisar o nível de instabilidade durante o desenvolvimento produtivo (primário); - Analisar a tensão atuante nos pilares tipo sill pillar; - Calcular o deslocamento total no teto de realces; - Analisar a eficiência do suporte aplicado como reforço nas escavações em relação a zona de plastificação METODOLOGIA ADOTADA Com a discretização do problema e objetivos desta dissertação, o primeiro passo é a consulta às bibliografias disponíveis a fim de expor alguns conceitos relacionados à geologia e mecânica de rochas. Para realização do estudo primeiramente será realizado uma descrição geotécnica de 26 furos de sonda que foram realizados nos últimos três anos, para assim realizar uma atualização dos domínios geomecânicos existentes. A classificação do maciço rochoso será baseada na descrição de furos de sonda; nos resultados de ensaios de compressão uniaxial, triaxial, diametral e de cisalhamento; e também no mapeamento de estruturas no subsolo. Serão descritos os parâmetros necessários para realizar a classificação do maciço de acordo com Bieniawski, 1989 (Classificação Geomecânica). No mapeamento de subsolo além de checado os parâmetros das descontinuidades serão descritos a atitude, a natureza e a persistência das descontinuidades. 7

26 Será utilizado o critério de ruptura de Hoek & Brown (1980) para determinar os parâmetros do maciço, o qual utiliza os parâmetros de resistência da rocha intacta, e dados de mapeamento geotécnico de subsolo e da descrição geotécnica dos testemunhos. O parâmetro k será estimado de forma empírica de acordo com a proposta de Sheorey (1994), considerando o módulo de deformabilidade do maciço E mr calculado através do Critério de Hoek-Brown. O banco de dados estrutural será construído com base nas estruturas mapeadas no subsolo e servirão de base para definir a atitude das principais estruturas presentes nas minas. A zona de cisalhamento visto sua importância, será incorporada no modelamento numérico como um domínio presente no footwall da estrutura mineralizada através do critério de ruptura de Hoek & Brown. O trabalho de simulação computacional será realizado no software Phase da Rocscience, com base nas escavações do layout atual e conjunto com os parâmetros do maciço rochoso. Para isso será necessário realizar o desenho das escavações no software Phase 2 para assim iniciar as simulações propriamente ditas. Essa simulação será realizada considerando o cenário tanto do maciço antes das escavações (tensões in situ), bem como o maciço escavado pelas escavações existentes e, por conseguinte em função de todas as escavações que serão realizadas de acordo com o layout da mina. 8

27 2 - MODELAGEM NÚMERICA DA MINA PEQUIZÃO EM CRIXÁS-GO: UMA REVISÃO BIBLIOGRÁFICA INTRODUÇÃO Nesse capitulo é apresentado uma revisão bibliográfica como o foco de elucidar os métodos, critérios e procedimentos abordados nessa dissertação, tais como: - Determinação da tensão in situ; - Comportamento do maciço rochoso; - Classificação do maciço rochoso; - e Métodos numéricos de análise de tensões ENSAIO PARA DETERMINAÇÃO DE TENSÕES IN SITU De acordo com os novos métodos sugeridos (SM s) pela Sociedade Internacional de Mecânica das Rochas (ISRM) para estimação da tensão in situ, seguem abaixo pontos importantes para uma estratégia de aproximação da estimação: - Um maciço rochoso fraturado e/ou heterogêneo pode ser inapropriado usar mecanismos contínuos o que pode causar um conceito inapropriado de tensão. Esse é o caso particular do maciço formado por blocos rígidos de rocha onde houve deslocamento entre seus limites causados por uma deformação preliminar. Nesse caso um maciço contínuo aproximado somente será valido se a análise for feita para volumes significativamente maiores do que a dos blocos constitutivos. - Identificar os objetivos da campanha de estimação das tensões in situ, listando os componentes que devem ser estimados com precisão, e aqueles que podem ser simplesmente atribuídos valores de considerações gerais. - A estimativa de tensão in situ não pode basear somente em um único padrão de medição, é sempre vantajoso combinar medições de diversas localizações. Quando a distância entre várias medições é pequena em relação ao gradiente de tensões, um procedimento estatístico simples pode ser adotado. De outra forma se várias medições forem conduzidas em 9

28 diferentes localizações e o gradiente de tensão possuir uma variação significativa, regras de interpolação devem ser propostas. Procedimentos de extrapolação podem ajudar a identificar zonas de heterogeneidade e ou descontinuidade. Uma investigação preliminar geológica poderá indicar a formação rochosa, a geologia estrutural e a presença de fraturas, o que é muito útil para estabelecer uma estimativa do tensor stress. Essa estimativa é muito útil para a realização do ensaio de tensões in situ, pois pode ser utilizado para conduzir as medições. Essa informação é essencial para estabelecer uma estratégia de estimativa, no que diz respeito se o maciço rochoso possui comportamento elástico quebradiço, plástico ou visco-elástico, bem como se o maciço está sujeito a poropressão. Sob a superfície, a componente da tensão normal a superfície possui magnitude zero, o que reflete num σ 3 vertical nos primeiros 100 m de profundidade em rocha sã. Áreas próximas a grandes falhas devem ser evitadas em campanhas de estimativa do campo de tensões Método de Sobrefuração (Overcoring) A medição de tensões overcoring tridimensional está estabelecida desde sua concepção na década de 1960 por Leeman and Hayes e Leeman. Em 2003 a ISRM publicou os métodos sugeridos (SM s) par estimação de tensões em rochas. Uma lista compreensiva de métodos disponíveis foi publicada por Amadei e Stephansson em O propósito do método é determinar a tensão in situ na parede do furo. A medição é baseada na deformação quando a amostra de rocha é desprendida do maciço rochoso. A tensão in situ pode ser calculada pela medida de deformação juntamente com o conhecimento de propriedades elásticas do maciço, gerado pelo ensaio biaxial da amostra ensaiada. A célula de medição é composta por strain gauges na sua superfície externa (Erro! Fonte de referência não encontrada.). Essa célula é colada na parede de um furo piloto de forma que os strain gauges permanecem conectados a parede desse furo. E realizado uma sobrefuração de diâmetro maior que o furo piloto de forma que a amostra de maciço juntamente com a célula são efetivamente aliviadas da tensão atuante sobre a rocha. Os strain gauges deformam juntamente com a amostra sobrefurada, o que permite a quantificação da deformação. 10

29 Esse teste resulta no tensor tensão completo, expresso nas três dimensões principais (magnitude e orientação) o que pode ser transformado para qualquer sistema de coordenadas. Amadei e Stephansson revisaram vários estudos e encontraram que a imprecisão esperada é pelo menos de 10 a 20% em um maciço de condições ideais. Variações na orientação das medições são grandes, principalmente em casos onde duas das principais tensões são similares em magnitude. Erros podem ser minimizados pelo controle e aderência a procedimentos operacionais de qualidade. Figura 2-1: Célula e amostra de ensaio de pelo método de sobrefuração à esquerda e strain gauges à direita (Furnas, 2013). De acordo com o método sugerido em 2003 pelo instituto internacional de mecânica de rochas, o fraturamento hidráulico também conhecido como hidrofrac e as vezes como minifrac é um método de determinação de tensão, que deriva de uma técnica originalmente desenvolvida para a indústria do petróleo, para estimular a produção de óleo através do aumento global da porosidade e permeabilidade do maciço rochoso. O teste de fraturamento hidráulico resulta geralmente em uma estimativa do estado de tensão in situ em um plano perpendicular ao eixo do furo. Quando ambos, o furo e a fratura induzida estão aproximadamente verticais, o componente de tensão na direção do eixo do furo é tido como 11

30 sendo um componente principal e igual ao peso da coluna de rochas acima do local onde foi gerada a fratura. Em ambos os métodos, a seção do furo é selada com o uso de dois anéis de borracha inflável (Erro! Fonte de referência não encontrada.), o qual é inflado suficientemente para aderir na parede do furo. Fluido hidráulico (geralmente água) é bombeado sob a taxa de fluxo constante para dentro da seção, e a pressão é gradualmente aumentada na parede do furo até que a fratura é iniciada no maciço, ou uma fratura pré-existente é mecanicamente aberta. O bombeamento é parado e as condições ambientes de pressão do maciço são restabelecidas depois de vários minutos do decaimento da pressão. O ciclo de pressão é repetido várias vezes mantendo a mesma taxa de fluxo. Os valores de pressão chave são escolhidos do gráfico pressão versus tempo. A atitude da fratura induzida ou pré-existente é obtida usando um marcador de borracha que registra a impressão da fratura na parede do furo ou pelo uso de câmera de vídeo. Figura 2-2: Célula e obturadores para ensaio de Fraturamento Hidráulico (Furnas, 2013) COMPORTAMENTO DO MACIÇO ROCHOSO - RESISTÊNCIA E DEFORMABILIDADE Tipos de Ruptura em Rochas 12

31 De acordo com Edelbro, 2003, as falha em maciços rochosos podem ser dividida em dois grupos, dependendo da característica da ruptura; rúptil ou dúctil, como pode ser visto na Erro! Fonte de referência não encontrada.. Para rupturas rúpteis existe uma perda súbita de resistência após o pico (σ pico ) ser alcançado. Apesar do fato do maciço romper, ainda existe a resistência residual (σ res ), a qual representa o nível de tensão que o maciço pode suportar após a deformação substancial sofrida. O limite yield (σ limite ) é definido pelo nível de tensão onde a deformação deixa de ser somente elástica, começando a deformação permanente (plástica). Para rupturas dúcteis a perda de resistência é menor ou não existe quando o σ limite é atingido. Rupturas em rochas intactas são frequentemente classificadas como rúpteis, bem como em rochas ígneas e algumas rochas metamórficas. Rochas intactas pouco competentes de origem sedimentar tendem a falhar de maneira mais dúctil. Figura 2-3: Comportamento Rúptil X Dúctil de rocha intacta modificado de Edelbro, Falhas de maciço ocorrem quando a combinação de tensão, deformação, temperatura e tempo excedem certo limite crítico. Existem três diferentes mecanismos de ruptura que podem ser observados em rochas duras. - ruptura por tração; - ruptura por extensão (spalling); - ruptura por cisalhamento. 13

32 Segundo Feder (1986), Rupturas por tração ocorrem quando a valor absoluto da tensão principal menor (σ 3 ) é menor que o valor absoluto da resistência a tração do maciço rochoso (σ tm ). A resistência a tração do maciço rochoso é normalmente assumida como zero. Rupturas por extensão ocorrem como fraturamento de micro defeitos paralelos a tensão principal maior (σ 1 ) e perpendicular ao σ 3 ; resultando em uma deformação extensional paralela a σ 3. O início do mecanismo de ruptura por cisalhamento é similar ao spalling. Na ruptura por cisalhamento, a propagação das rachaduras na direção do σ 1 é impedida pela tensão confinante e a zona de cisalhamento é criada. Rupturas no maciço rochoso envolvem tanto mecanismos de ruptura de rocha intacta, como o cisalhamento e a dilatação ao longo da descontinuidade pré-existente. A resistência do maciço rochoso, em teoria, é determinada pela resistência combinada da rocha intacta e das varias descontinuidades do maciço rochoso. A instabilidade do maciço rochoso é frequentemente caracterizada pelo: - Queda de blocos rupturas estruturalmente controlada. Normalmente tratado como um problema descontínuo. - Rupturas induzidas pela sobre tensão, que pode ser tratado como um problema contínuo ou descontínuo. - Instabilidade em zonas de falha ou zonas de rocha incompetente. Pode ser tratado como um problema contínuo ou descontínuo, dependendo do tamanho da zona de incompetência ou de falha em relação ao tamanho do modelo. Para grandes escalas (maior detalhe), zonas de falha ou de material fraco podem ser tratadas como juntas e devem ser analisados como um problema descontínuo. Desde que o projeto seja focado em maciços de rochas duras, problemas contínuos com rupturas induzidas por sobre tensão ou instabilidade de zonas de rocha incompetente são mais importantes. Segundo o professor Rodrigo Figueiredo (UFOP), as tensões tangenciais e adjacentes à face de uma escavação podem ser comparadas diretamente à resistência à compressão uniaxial da rocha ou do maciço rochoso. No entanto o maciço rochoso possui a resistência à compressão simples (RCS) em torno de 1/3 até ½ da RCS obtida para o ensaio da rocha intacta no 14

33 laboratório. A resistência à tração da rocha maciça sem descontinuidades (σ t ) pode ser considerada em torno de 10% da RCS para essa mesma rocha, segundo Figueiredo, O efeito da tensão desviatória causada por uma escavação podem danificar o maciço rochoso se o valor dessa tensão ultrapassar o intervalo de 1/3 até 1/2 da RCS. Mesmo que a tensão desviatória ultrapasse a resistência do maciço, o confinamento desse maciço pode impedir a ruptura final da rocha. Contudo a depender do grau de fraturamento a ruptura da rocha pode ocorrer em tensões desviatória bem menores Critérios de Ruptura Hoek & Brown O critério original de ruptura de Hoek & Brown foi apresentado em 1980, o qual foi atualizado várias vezes, contudo para rochas intactas a formulação teve pequenas alterações. Hoek & Brown (1980) concluiu que o pico da resistência à compressão triaxial de rochas intactas poderia ser escrito através de: σ 1 = σ 3 + σ ci (m i σ 3 /σ ci + 1) 1/2 (2.1) A constante mi pode ser calculada através de dados de testes laboratoriais triaxiais e seu valor está relacionado com sua composição mineralógica e tamanho dos grãos da rocha intacta. Tabelas com valores de m i foram apresentadas por Hoek (1983), Doruk (1991) e Hoek et al (1992, 1995, 2001), e foram baseadas na analise de resultados laboratoriais triaxiais de rocha intacta. Atualmente o critério de Hoek-Brown é amplamente aceito e aplicado em um grande número de projetos, onde são aceitos os parâmetros de entrada baseado nos parâmetros calculados através do software RocLab (Rocscience, 2002) Quando usar o critério de Hoek & Brown O critério de Hoek & Brown é aplicado a rocha intacta ou maciços rochoso fortemente fraturados, os quais possuem propriedades de seus matérias iguais em todas as direções. Quando aplicado a rocha intacta, os parâmetros devem ser calculados através de: σ1 = σ3 + (mi x σ3 / σc + 1 ) 1/2 (2.2) 15

34 onde σ 1 é tensão principal maior efetiva na ruptura σ 3 é a tensão principal menor efetiva na ruptura σ c é a resistência a compressão uniaxial da rocha intacta m i é a constante do material rocha intacta. O critério não deve ser aplicado a rochas xistosas, onde as propriedades são controladas por um simples padrão de descontinuidade como o plano de foliação. Quando dois padrões de juntas ocorrem no maciço rochoso, o critério pode ser usado desde que esses planos tenham características semelhantes e não sejam alterados ou preenchidos por argila. Para maciços rochosos caracterizados pela presença de vários padrões de descontinuidades, o critério de Hoek & Brown pode ser aplicado, de acordo com: σ 1 = σ 3 + σ c (m b x σ 3 /σ c + s) a (2.3) onde, m b é a constante m do maciço rochoso s e a são as constantes que dependem das características do maciço rochoso σ c é a resistência à compressão uniaxial σ 1 são as tensões axial e confinante efetivas principais respectivamente. A Figura 2.4 descreve os casos onde o critério de Hoek & Brown podem ser aplicados. 16

35 Figura 2-4: Condições do maciço rochoso, onde o Critério de Hoek & Brown pode ser aplicado - modificado de Hoek, 2001) Critério de Ruptura de Mohr-Coulomb Segundo Edelbro, 2003, o critério de ruptura Mohr-Coulomb é dependente da tensão e é escrito de acordo com: τ f = c + σ n tan φ (2.4) onde, τ f é a tensão cisalhante ao longo do plano de ruptura, c e a coesão, σ n é a tensão normal atuando no plano de cisalhamento, 17

36 φ é o ângulo de atrito do plano de cisalhamento. Essa equação é frequentemente referida como critério Mohr-Coulomb e é aplicada em mecânica das rochas para ruptura por cisalhamento em rochas, juntas em rochas e maciços rochosos. O critério assume que a ruptura ocorre ao longo do plano sem nenhuma dilatação. O critério Mohr-Coulomb pode também ser expresso em termos das tensões principais: σ1 = σc + kσ3 (2.5) onde, k é a razão entre σ 1 e σ 3, e σ c é a resistência a compressão simples (RCS). Os valores de φ é da c podem ser calculados através de: sin φ = ( k 1 ) / ( k + 1 ) (2.6) c = σ c ( 1 sin φ ) / 2 cosφ (2.7) Em especial quando c = 0, tem-se que: σ 1 / σ 3 = ( 1 + sinφ ) / ( 1 - sinφ ) = k (2.8) A Erro! Fonte de referência não encontrada. mostra o critério de Mohr-Coulomb expresso no campo de tensões principais e das tensões normal e de cisalhamento. 18