Redes de Computadores Problemas a Resolver {RC-ProblemasAResolver.doc}

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1 Redes de Computadores Problemas a Resolver {RC-ProblemasAResolver.doc} Introdução 1. Suponha que 100 utilizadores partilham uma ligação de capacidade C Mbps. Cada utilizador transmite ao ritmo de 1 Mbps, mas só está activo 20% do tempo a) Admitindo que se usa a tecnologia de comutação de circuitos, qual a Capacidade mínima C capaz de aceitar 25 utilizadores simultâneos? b) Para esse valor, qual o número máximo de utilizadores que pode partilhar aquela ligação? a) Considerando a Capacidade determinada na alínea anterior, e admitindo que se usa a tecnologia de comutação de pacotes, o que acontece quando o grau de actividade excede 20% do tempo? b) Qual o grau de actividade máximo que pode ter cada utilizador - isto é, a partir do qual já não é possível servir todos os 100 utilizadores? c) Escreva uma expressão para a probabilidade de, quando muito, estarem activos 5 utilizadores simultâneamente (admita que os utilizadores são independentes entre si). R: 1a) 25 Mbps; 1b) 125; 2b) 25%; 2c) P <6 =P 0 +P 1 +P 2 + P 5, com P i = C 100 i * 0,2 i * 0,8 100-i 2. Considere uma ligação entre dois computadores, A e B, com uma capacidade de 10 Mbps. Suponha que a distância entre os dois computadores é de 10 Km e que a velocidade de propagação na linha é de 2,5 * 10 8 m/s. Suponha que A envia um pacote. O último bit acaba de ser enviado exactamente no momento em que o primeiro está chegando a B. O tempo de processamento e de atraso nas filas de espera é desprezável Qual é o atraso extremo a extremo para o pacote transmitido (entre o instante em que A envia o primeiro bit e o instante em que B recebe o último bit do pacote)? Qual o número de octetos do pacote? Suponha que, no caminho de A para B, se introduzem vários nós de comutação "store-and-forward". Qual o número máximo de nós que pode ser introduzido, por forma a que o atraso extremo a extremo do pacote não exceda 160 µseg? R: 1)T 1 =2*T Xmt,T Xmt =T Prop =10 4 /2,5*10 8 T 1 =80 µseg; 2)N=T Xmt *10 7 /8=50; 3)(160-80)/40=2 3. Considere o envio de um ficheiro com 2 Mbits por um caminho com 10 linhas em sucessão. Cada linha tem débito 1 Mbits/s e atraso de propagação 10 ms. Não há mais tráfego nenhum na rede. Não há erros. Quando for necessário fragmentar o ficheiro em pacotes, são utilizados pacotes com 1000 bits de dados e cabeçalhos com 100 bits. Quando for preciso estabelecer um circuito, o tempo necessário é 0.1 segundos. Quanto tempo demora a transferência do ficheiro nos seguintes casos? Utiliza-se tecnologia de comutação de pacotes por circuitos virtuais Utiliza-se tecnologia de comutação de circuitos. São necessários 400 bits de cabeçalho para transferir o ficheiro. R: T 1 = ( ) / 10 6 [2*10 6 /1000s + 9] T 2 = (400+2*10 6 ) / 10 6 Camada de Aplicação 4. Pretende-se estimar o tempo mínimo necessário para obter um documento da Web. O documento é constituído por 6 objectos: o objecto base HTML e cinco imagens referenciadas no objecto base. O browser está ligado ao servidor HTTP por uma única linha com RTT de 20 ms. O tempo mínimo de transmissão na linha do objecto base HTML é de 8 ms e o tempo mínimo de transmissão na linha de cada imagem é de 80 ms. Admita que o browser só pode pedir as imagens quando receber completamente o objecto base. Admita que o utilizador sabe o endereço IP do servidor, indicando-o no browser. A dimensão dos pacotes de estabelecimento de ligação, de confirmação de estabelecimento de ligação e de envio dos pedidos HTTP é desprezável. Os tempos de processamento dos pacotes são também desprezáveis. Não há mais tráfego nenhum na rede.

2 Prof V Vargas, Instituto Superior Tecnico RC - Problemas a Resolver 22/11/10, Pg 2 de Ilustrando a situação com um diagrama temporal, qual o tempo necessário para obter o documento (todos os objectos), se utilizar HTTP não persistente com um máximo de 4 ligações paralelas? Ilustrando a situação com um diagrama temporal, qual o tempo necessário para obter o documento (todos os objectos), se utilizar HTTP/1.1 com pipelining em todos os pedidos? R: T 1 = [2 * RTT + 8] + [2 * RTT + 4 * 80] + [2 * RTT + 80] = 528 mseg (ou, se a 5ª imagem for pedida logo após ser recebida a 1ª, apenas T 1 = [2 * RTT + 8] + [2 * RTT + 4 * 80] + [80], já que 2 * RTT < 3 *80) T 2 = [2 * RTT + 8] + RTT + 5 * 80 = 468 mseg 5. Considere que uma aplicação no computador surf.eurecom.fr pretende aceder a um servidor no computador gaia.cs.umass.edu. Para isso, a aplicação consulta vários servidores de nomes, pela ordem ilustrada na figura Applications01.a. Considere as dimensões de todos os pacotes desprezáveis, os tempos de processamento desprezáveis e que não há erros. Os tempos de ida-e-volta (RTTs) entre as entidades referidas são dados em ms pela tabela Classifique os pedidos a cada servidor de nomes como recursivos ou iterativos Quanto tempo demora a aplicação a resolver o endereço IP do servidor? Quanto tempo demoraria a aplicação a resolver o endereço IP do servidor se todos os pedidos fossem recursivos? R1:O pedido ao servidor de nomes raiz é iterativo, os outros são recursivos. T 2 = = 403 mseg; T 3 = = 563 mseg. Camada de Transporte 6. Considere um protocolo stop and wait para o envio de pacotes de dados de uma estação A para uma estação B. A especificação do protocolo impõe apenas que todos os pacotes de dados enviados por A sejam eventualmente recebidos em B, e que B saiba identificar pacotes de dados duplicados, para assim os descartar Suponha que o canal de comunicação bi-direccional que une a estação A à estação B pode corromper ou perder pacotes mas que, quando não são perdidos, os entrega sequencialmente ao destinatário. Os pacotes de dados a enviar de A para B são numerados módulo 4. Admita que os Acks enviados de B para A não são numerados; A envia sucessivamente quatro pacotes; Imagine uma situação - e represente-a por uma diagrama temporal - em que o primeiro e segundo pacotes são bem recebidos, mas o terceiro pacote não vem a ser bem recebido. O que acontece aos seguintes? Suponha que o canal de comunicação bi-direccional que une a estação A à estação B pode corromper, perder e re-ordenar pacotes. Os pacotes de dados a enviar de A para B e os respectivos Acks são numerados módulo 4. A estação A transmite a um débito máximo de R pacotes/seg. Qual o atraso máximo de um pacote no canal de comunicação? e qual o atraso máximo de um Ack?

3 Prof V Vargas, Instituto Superior Tecnico RC - Problemas a Resolver 22/11/10, Pg 3 de 9 R 1 : T AntesDeAckDeS1, S 2 perde-se, S 3 é descartado R 2 : T Pkt =2 RTT + RTT/2 + 4 * 1/R; T Ack =2 RTT + RTT/2 + 3* 1/R em que T Pkt/Ack : atraso máximo entre o envio do 1º bit dum bloco e a recepção do seu último bit. (Sugestões: a) T AntesDeAckDeS0, re-envia S 0, que demora T Pkt até B, aí chegando logo após S 3 ; b) T AntesDeAckDeS0, re-envia S 0, e o respectivo Ack 1 demora T Ack a chegar a A, confirmando a recepção do pacote S 0 - que, entretanto se perdeu ) 7. Considere um protocolo de transmissão fiável, funcionando na presença de erros de transmissão, mas sobre uma rede que entrega os pacotes todos por ordem. Caso se pretenda poder ter 30 pacotes transmitidos em pipeline, à espera de confirmação, indique justificadamente quantos números de sequência distintos, no mínimo, têm de ser utilizados na numeração dos pacotes, por forma a que o protocolo funcione correctamente para os seguintes casos: Protocolo "Go-Back-N" (Voltar Atrás N) Protocolo Selective-Repeat (Retransmissão Selectiva). R: GoBackN= 31; SelectiveRepeat=60 8. Considere um caminho de 4000 Km de comprimento com atraso de propagação igual a 5 µseg/km, e sobre o qual consegue transmitir a um débito máximo de 10 Mbps. Suponha que usa um algoritmo de janela deslizante para controlo de erros e controlo de fluxo. Cada pacote tem 500 bits. Se usar Go-Back-N, com uma janela de dimensão 127 (pacotes), qual a eficiência máxima de utilização do caminho? E se usar Selective-Repeat? R: 127*T Xmt /(T Xmt +2*4000*5*10-6 ), com T Xmt =500/(10*10 6 ) 9. Considere que, em dado momento, o Round-Trip-Delay de uma conexão TCP (RTT) é 30 milisegundos; os acknowledges seguintes chegam após 20, 39 e 40 milisegundos, respectivamente. Assuma que o timeout para a retransmissão de um segmento é o dobro do RTT estimado. Se se usar x=0,1, qual o valor final para o timeout? R: RTT 1 =0,9*30+0,1*20=29; RTT 2 =30; RTT Final =31 timeout=62 milisegs 10. Uma aplicação de transferência de ficheiros funciona no modo cliente servidor e usa o protocolo TCP no nível de transporte. A parte cliente da aplicação pretende copiar, do servidor, um ficheiro. Na comunicação dos dados usam-se segmentos de dimensão 500kbit através de uma única ligação de capacidade 50Mbps. O tempo de ida e volta da ligação, RTT, é de 50ms e não há erros nem perdas. Admite-se desprezável o tamanho dos cabeçalhos dos segmentos bem como o tamanho dos segmentos de controlo envolvidos. Admite-se ainda que o receptor envia uma confirmação por cada segmento bem recebido e que tem suficiente memória atribuída à comunicação por forma a não fazer actuar o mecanismo de controlo de fluxo do TCP. Define-se latência da transferência como o intervalo de tempo desde que a parte cliente da aplicação inicia a comunicação até que recebe o último bit do ficheiro. Para cada um dos seguintes casos, apresente um diagrama temporal, aproximadamente à escala, que ilustre a sequência de segmentos trocados até que todo o ficheiro é recebido, e determine a latência desta transferência Suponha que o TCP está, durante toda a comunicação de dados, na fase de arranque lento ( slow-start ), e que o ficheiro a transmitir tem 7 Mbit Admita agora que o TCP inicia o seu funcionamento na fase de arranque lento ( slow-start ) mas que, quando a janela de congestionamento atinge o valor de 4 segmentos, passa à fase de congestion avoidance Repita as duas alíneas anteriores, mas admitindo que o ficheiro a transmitir tem 10 Mbit. T Xmt =500k/50M=10 mseg R 1,2 : Número de Segmentos: 7M/500k=14 Segmentos R 1 : Dimensões das (4) Janelas transmitidas: Segmentos cada Latência: RTT + 4*(RTT+T Xmt )+6*T Xmt, = 350 mseg. R 2 : Dimensões das (5) Janelas transmitidas: Segmentos cada Latência: RTT + 5*(RTT+T Xmt )+1*T Xmt, = 360 mseg. R 3 : Número de Segmentos: 10M/500k=20 Segmentos R 31 : Dimensões das (4) Janelas transmitidas: Segmentos cada Latência: RTT + 4*(RTT+T Xmt )+12*T Xmt, = 410 mseg. R 32 : Dimensões das (5) Janelas transmitidas: Segmentos cada Latência: RTT + 5*(RTT+T Xmt )+7*T Xmt, = 420 mseg.

4 Prof V Vargas, Instituto Superior Tecnico RC - Problemas a Resolver 22/11/10, Pg 4 de Considere a troca de segmentos na fig. TCP30.b, em que W envia seis segmentos cujos primeiros e últimos bytes têm os números indicados. Um deles perde-se. Considere que ambos os interlocutores executam a opção SACK Para cada um dos segmentos Ack devolvidos por E, especifique os respectivos números de Acknowledge e a identificação dos blocos recebidos Relativamente ao segmento perdido, diga em que instante irá o emissor retransmiti-lo. Admita que ele segue a política de reenviar, por cada Ack, um segmento o mais cheio possível até um máximo de MSS octetos, com MSS=1500 octetos. R1 (cfr fig. TCP30.d. com evolução do buffer do receptor): R2: No instante t2: em t1, o emissor reenvia os octetos { }, em t2 reenvia os octetos { } - que incluem aqueles que se perderam. Camada de Rede 12. Suponha uma tabela de encaminhamento IP com apenas as seguintes 3 entradas: ( /8, interface A); ( /12, interface B); (omissão, interface C). Por qual interface é expedido um datagrama com endereço IP de destino ? R: Interface B 13. Considere que ao ISP1 está atribuído o bloco de endereços /13 e ao ISP2 está atribuído o bloco de endereços /13. Os blocos de endereços das redes RA e RB são retirados do bloco de endereços atribuído ao ISP1, enquanto que o bloco de endereços da rede RC é retirado do bloco de endereços atribuído ao ISP Sabendo que as redes RA, RB e RC necessitam, respectivamente, de 512, 256 e 1024 endereços, atribua blocos de endereços a estas redes pela ordem indicada e escolhendo sempre o endereço-base mais baixo possível Suponha que a rede RB muda o seu contrato de prestação de serviços do ISP1 para o ISP2, mantendo o bloco de endereços atribuído anteriormente. Que espaço de endereços é que os ISP1 e ISP2 anunciam para o resto da Internet, por forma a que todo o tráfego com destino a RB lhe seja entregue pelo ISP2? Suponha que a rede RB mantém em simultâneo um contrato de fornecimento de serviços IP com o ISP1 e com o ISP2, mantendo o bloco de endereços atribuído anteriormente. Se agora RB pretender receber tráfego tanto pelo ISP1 como pelo ISP2, que espaços de endereços é que ISP1 e ISP2 devem anunciar para o resto da Internet? R 1 : RA: /23; RB: /24; RC: /22. R 2 : ISP1: /13; ISP2: /13 e /24. R 3 : ISP1: /13 e /24; ISP2: /13 e / Considere que uma gateway-ip recebeu um datagrama-ip com os campos seguintes: Id: 314 TL (Total Length)=132 FO (Offset do Fragmento)=29 MF (More Fragments)=0 e que ele deve ser re-enviado, para uma rede cujo MTU Max =128. Em quantos datagramas-ip deve aquele ser segmentado? Quais os valores que aqueles campos deverão passar a deter, em cada um deles? Nota: Admita que o campo Opções do cabeçalho do datagrama-ip está vazio

5 Prof V Vargas, Instituto Superior Tecnico RC - Problemas a Resolver 22/11/10, Pg 5 de 9 R: IHL=20 [(128-20) / 8] * 8=104 octetos por fragmento; 132 = / datagramas-ip, com os seguintes campos: Id TL FO MF Considere a rede da figura Routing 12.a com sete nós, na qual o encaminhamento é realizado com um protocolo por estado-daligação (link-state). O custo de cada ligação está indicado junto a ela Utilize o algoritmo de Dijkstra para determinar os custos mínimos, e os caminhos de custo mínimo, do nó A para o nó G. Apresente a evolução do algoritmo numa tabela em que cada coluna corresponde a uma iteração do algoritmo Suponha que a ligação FG é cortada no instante t1. Explique detalhadamente o que acontece na rede como consequência desse corte e diga explicitamente qual o conteúdo, origens e destinos das mensagens (LSP s) trocadas R: 1. A C F G (custo: 8) B C D 6 4/B 4/B E 3/B F 8/BD 7/C - G 9/BE 9/BE 9/BE 8/CF 2. Os diagramas Routing14a e Routing14b indicam o par fonte-destino para cada pacote LSP enviado. O total de pacotes LSP enviados é 2*14. As tabelas de A, C, F e G ficam recalculadas em T5; as de B, D e E em T4. O caminho mais curto entre A e G fica A B E G (custo:9). Os pacotes LSP enviados têm o seguinte conteúdo: F Id-F C:2 D:4 G Id-G E:6 16. Considere a rede da figura Routing13.a. Os nós da rede usam um protocolo de encaminhamento vectordistância para determinar caminhos mais curtos. O nó destino de interesse é o nó A. Inicialmente, o sistema está estável, isto é, todos os nós têm uma estimativa correcta do custo do caminho mais curto que os une ao nó A. No instante t1 o custo da ligação A-D aumenta de 2 para 10. Assume-se que o protocolo evolui sincronamente, com todos os nós a trocarem mensagens de encaminhamento nos mesmos instantes, começando no instante t2 > t Mostre a evolução das tabelas de encaminhamento de cada um dos nós até o sistema voltar a estabilizar, incluindo as tabelas de encaminhamento presentes em t Repita a alínea anterior, mas agora pressupondo que os nós usam a técnica de separação de horizontes com envenenamento inverso.

6 Prof V Vargas, Instituto Superior Tecnico RC - Problemas a Resolver 22/11/10, Pg 6 de 9 1) Em Routing13.b, indicam-se as distâncias difundidas ao longo do tempo; a evolução das entradas das tabelas de encaminhamento que têm o nó A como destino foi a seguinte: B 3/D 3/D 5/D 5/D 7/D 7/D 7/C C 2/A 2/A 2/A 2/A 2/A 2/A 2/A D 2/A 4/B 4/B 6/B 6/B 7/C 7/C 2) Em Routing13.c, indicam-se as distâncias difundidas ao longo do tempo; a evolução das entradas das tabelas de encaminhamento que têm o nó A como destino foi a seguinte: B 3/D 3/D 7/C C 2/A 2/A 2/A D 2/A 7/C 7/C 17. Considere a rede da figura routing15.a, na qual os números junto das linhas indicam os seus comprimentos. Define-se o custo de uma operação multicast ou difusão como o número total de datagramas que têem que ser enviados por forma a alcançar todos os destinos Determine os custos das duas seguintes abordagens para multicast (sendo F o nó fonte) na camada aplicação: emulação com encaminhamento unicast; encaminhamento multicast O nó F envia um datagrama que é difundido por toda a rede usando expedição por caminho inverso (Reverse Path Forwarding). Determine o custo desta operação. R: Routing15.b esquematiza a árvore de escoamento do nó F. R 1.1 : 3 (A) +2 (B) +2 (C) +1 (D) +1 (E) +3 (G) +4 (H) =16 R 1.2 : 7 R.2: 4 (F) +4 (D) +2 (E) +4 (B) +3 (C) +1 (A) +3 (G) +2 (H) =23 = N cheio +N fino *2=7+2(15-7)

7 Prof V Vargas, Instituto Superior Tecnico RC - Problemas a Resolver 22/11/10, Pg 7 de 9 Camada de Ligação de Dados 18. Suponha que um determinado protocolo da camada de ligação de dados usa um código cíclico de verificação, CRC, dado por G(x)=x 6 +x 5 +x Desenhe o registo de deslocamento com re-alimentação que materializa este CRC em hardware Determine os bits de CRC do bloco de dados Suponha que o emissor forma uma trama com o bloco de dados e bits de CRC da alínea anterior. A trama é enviada do emissor para o receptor, é corrompida na transmissão, e é recebida pelo receptor na forma Os erros são detectados no receptor? Indique um padrão de 6 bits errados que não seja detectado pelo código cíclico. Indique o que o receptor receberia se, na sequência enviada, tivesse ocorrido tal erro. R: 1. Cfr figura ErrorCtrl Sim ; S Rcv = {CRC: } (se o primeiro bit errado tiver sido o segundo recebido) 19. Considere um sistema Aloha sincronizado (slotted) com um número elevado de utilizadores; os pacotes têm comprimento 1000 bits, e são transmitidos ao ritmo de 100 Kbps. Por observação do sistema, verifica-se que metade dos slots estão vazios (isto é, nenhuma estação os está utilizando para enviar pacotes). Admitindo que o sistema está estabilizado (isto é, o número médio de pacotes gerados é igual ao número médio de pacotes transmitidos com sucesso), determine: Nota: Recorde a distribuição de Poisson: P[k pkts em t segs]=(gt/p) k e -Gt/P /k! O número médio de pacotes transmitidos (com ou sem sucesso) num intervalo arbitrário T; R: G T/Tt, com e -G =0,50 e T t = 1000/(100*10 3 ) seg O débito; R: S=G e -G A taxa de geração de novos pacotes (em pacotes/segundo); R: λ tal que S=λT t A probabilidade de sucesso na transmissão de um pacote; R: P 0 =e -G O número médio de transmissões necessárias por pacote; R: G/S O menor ritmo de transmissão do canal que conduz a um funcionamento estável; R: C tal que λ*1000/c=1/e 20. Considere o desenho de uma Ethernet de 1 Gbps utilizando um cabo de 2 km de comprimento sem repetidores; a velocidade de propagação do sinal é de km/seg Qual o tamanho mínimo que uma trama poderá ter? Como deve proceder uma estação se, eventualmente, pretende enviar um caracter apenas? R: L min =2*τC=2*(2/ )*10 9 bits=2*10 4 bit Acrescentar caracteres pad até o pacote perfazer L min bits 21. Considere uma rede Ethernet com N estações. Quando acaba a transmissão em curso, a probabilidade de qualquer uma delas ter dados para transmitir é de p (e, portanto, a probabilidade de não os ter é q=1-p) Qual a probabilidade de não haver colisões logo após acabar essa transmissão? R: P NinguémTransmitir +P TransmissãoComSucesso =q N + Npq N Qual o valor de p que torna máxima essa probabilidade? R: d/dp (q N +Npq N-1 )=0 p=0, ou p qualquer se N=1; Qual o valor de p para o qual ela advêm igual a 0.5? R: q N + Npq N-1 =0, Qual a probabilidade de haver uma transmissão com sucesso? R: Npq N Qual o valor de p que torna máxima essa probabilidade? Qual o valor dela, então? R: d/dp (Npq N-1 )=0 p = 1/N P TransmissãoComSucesso =(1-1/N) N Considere um anel com passagem de testemunho (token ring) com 32 estações e 5 Km de comprimento; a velocidade de propagação dos sinais no meio é de 4 µseg/km; cada uma das interfaces anel-estação introduz um atraso equivalente a 1 bit; a token ocupa 8 bits; a carga de cada uma das estações é 4 msg/seg, em que cada

8 Prof V Vargas, Instituto Superior Tecnico RC - Problemas a Resolver 22/11/10, Pg 8 de 9 mensagem tem 128 bit; admitindo que o tempo máximo de posse da token é de 16 msg, qual o ritmo binário mínimo admissível? R: C tal que N BitsEnviadosPorEstacaoPorCiclo = N BitsGeradosPorEstacaoPorCiclo * T Ciclo, Com N BitsEnviadosPorEstacaoPorCiclo =16 * 10-3 * C e N BitsGeradosPorEstacaoPorCiclo =4 * 128 * T Ciclo, T Ciclo =32 * (16 * / C) + T prop, com T prop = 5*4* /C 23. Considere o seguinte conjunto de LANs interligadas por pontes transparentes, Internetworking05.a. Em cada ponte, encontra-se indicado o seu identificador, e junto de cada porto encontra-se indicado o seu identificador, seguido do custo de enviar uma trama através desse porto, isto é, P1,3 refere o porto 1 com custo Classifique as interfaces de cada um dos comutadores (raíz, designada ou bloqueada) e indique as BPDUs enviadas por cada comutador em cada uma das suas interfaces quando em regime estacionário Para a sequência de envio de tramas seguinte, indique as interfaces sobre as quais são transmitidas cópias das tramas respectivas (A B, C D, C A, B A, D C) R1: B1 B1:B1-0 P1, P2 B1:B1-0 P1, P2 B1:B1-0 P1, P2 B1:B1-0 P1, P2 B2 B2:B2-0 P1,P2,P3 B2:B1-1 P1, P3 B2:B1-1 P1, P3 B2:B1-1 P1, P3 B3 B3:B3-0 P1,P2 B3:B2-1 P1 B3:B1-2 P1 B3:B1-2 P1 B4 B4:B4-0 P1,P2,P3 B4:B1-3 P1,P3 B4:B1-2 P1 B4:B1-2 B5 B5:B5-0 P1,P2 B5:B2-1 P1 B5:B1-2 P1 B5:B1-2 e, por conseguinte, cfr Internetworking05.b, P1 P2 P3 B1 (L1, L3) D (L3) D (L1) B2 (L2,L4) D (L4) R D (L2) B3 (L5) D (L5) R B4 B B R, B B5 B R, B R2: B1 B2 B3 B4 B5 A B C D C A B A D C P P P1 2 5 P P P P P P P3 2 5 P P3 2 5

9 Prof V Vargas, Instituto Superior Tecnico RC - Problemas a Resolver 22/11/10, Pg 9 de 9 Camada Física 24. Considere um trem de impulsos rectangulares, g(t), cada um estendendo-se entre 2,5 e 1,5 Volt, com a duração de 1 µseg, repetidos periodicamente a intervalos de 4 µseg. Admita que o centro de um dos impulsos está localizado em t 0 = 3,5 µseg. Qual a frequência, a amplitude e a fase da 3ª harmónica? Nota: recorde a expressão de Fourier para a sequência periódica de impulsos rectangulares: a n /2= Aτ/T sen (nπτ/t) / (nπτ/t), a 0 /2= g min +Aτ/T R: A evolução de g(t) está esquematizada em Fourier05. g(t)= -1,5+Σ [a n /2 *cos(2πnf 0 [t-3,5*10-6 ])], com A=[1,5-(-2,5)]=4, τ/t=1/4, f 0 =1/(4*10-6 ) f 3 =3/4Mhz=250 khz, Aτ/T =1 a 3 =2*sen (3π/4)/(3π/4)=4 2/(3π), φ n =-2π3/4*3,5=- 21π/4 25. Pretende-se transmitir sobre uma linha de transmissão com largura de banda 100 khz. A potência do sinal que alimenta a linha é 0,5 watt. A potência do ruído, medido na saída da linha, é de 2,5 µwatt. Qual a maior atenuação aceitável, em db, para se poder transmitir ao rtmo de, ao menos, 1 Mbps? R: 10 log 10 P Output /0,5, em que P Output satisfaz log 2 [1+ P Output /(2,5*10-6 )] = 1 * Considere um cabo de 40 Km de comprimento W E. A 1 Km de cada extremidade do cabo, insere-se um repetidor com 50 db de ganho. A potência de entrada em W é P W =2 W, e a potência do sinal na extremidade E do cabo é 20 mw. Qual a atenuação do cabo, em db/km? R: [ - 10 log 10 (20 * 10-3 / 2 ) + 2 * 50 ]/40 db/km = 3 db/km