Delfim F. M. Torres Universidade de Évora 9 11 de Maio de 2003

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1 Concurso/Encontro Nacional de Programação Lógica CeNPL 2003 Delfim F. M. Torres Universidade de Évora 9 11 de Maio de 2003 Introdução Autómatos Celulares Um Autómato Celular (AC) é um sistema dinâmico determinístico que consiste num array A de células idênticas que repetidamente mudam o seu estado ou cor de acordo com uma determinada regra de actualização ra. Esta regra é aplicada simultaneamente a todas as células de A em unidades de tempo discretas. Quando ra é aplicada a uma célula particular x A, a nova cor para x é determinada pelo valor corrente das células numa vizinhança V x de x. Embora existam muitas escolhas interessantes para A, vamos restringir a nossa atenção a arrays uni-dimensionais de inteiros. A vizinhança de raio r (r é um inteiro positivo) de uma célula x é então o intervalo V x = {y Z : x y r}. De um modo geral, as células de um AC tomam uma cor de um conjunto de k cores diferentes (k 2). No nosso problema tomamos r = 1 e k = 2. As duas cores possíveis são representadas por 0 e 1. Para os ACs uni-dimensionais com r = 1 e k = 2, a regra de actualização ra de uma célula x depende das cores correntes das três células na vizinhança de x, pelo que podemos representar a nova cor de x por ra(p, Q, R), onde P, Q, R denotam as cores correntes respectivamente das células x 1, x e x + 1. Por exemplo, a regra ra(p, Q, R) = R desloca a sequência de cores (a sequência de zeros e uns) de uma unidade para a esquerda em cada actualização. Tarefa A sua tarefa consiste em escrever um programa Prolog que dada a configuração inicial das células; a regra de actualização; e o número N de actualizações a realizar; mostra na primeira linha do ecrã a configuração inicial e nas N linhas seguintes as N configurações que lhe sucedem. 1

2 Os Dados O array uni-dimensional A é representado por uma lista de zeros e uns. ra(p, Q, R) é representada por um átomo em Prolog. Por exemplo, a regra A regra P + (1 2P )(Q + R QR) é codificada como P + (1-2*P)*(Q+R-Q*R) À esquerda da primeira célula (à esquerda do primeiro elemento na lista) e à direita da última célula (à direita do último elemento na lista) supomos um zero para efeitos de aplicação da regra (supomos, respectivamente, que P = 0 e R = 0). Os Resultados O programa deve ser invocado através do predicado: ac(+configuracaoinicial,+regraactualizacao,+numactualizacoes) Seguem-se dois exemplos ilustrativos:?- ac([0,0,0,0,1], R,6) ?- ac([0,0,0,1,0,0,0], P+(1-2*P)*(Q+R-Q*R),13)

3 Uma Solução %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % CeNPL 2003 % Soluç~ao do problema AUTÓMATOS CELULARES % SWI-Prolog % % Delfim F. M. Torres (delfim@mat.ua.pt) % 10/Fev/2003 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ac(l,r,n) :- mostra(l), fazupdates(l,r,n). mostra([]) :- nl. mostra([x R]) :- write(x), write( ), mostra(r). fazupdates(_,_,0). fazupdates(l,r,n) :- itera(l,r,nl), mostra(nl), N1 is N - 1, fazupdates(nl,r,n1). itera([],_,[]). itera(l,r,nl) :- append(l,[0],l0), iterate([0 L0],R,NL). iterate([p,q,r],regra,[y]) :- aplicaregra(p,q,r,regra,y). iterate([p,q,r Resto],Regra,[Y UR]) :- aplicaregra(p,q,r,regra,y), iterate([q,r Resto],Regra,UR). aplicaregra(p,q,r,regra,y) :- atom_to_term(regra,_,s), concretiza( P,P,S), concretiza( Q,Q,S), concretiza( R,R,S), atom_to_term(regra,t,s), Y is T. 3

4 concretiza(a,v,s) :- member(a=v,s). concretiza(_,_,_). Exemplos?- ac([1,1,1], Q+R-Q*R-P*Q*R,6).?- ac([0,1,0], Q+R-Q*R-P*Q*R,3) ?- ac([0,1,0,1,0,1], Q*R+(1-Q)*P,6) ?- ac([0,1,0,1,0,1], 1-(1-P)*(1-Q)*(1-R),2)

5 ?- ac([1,0,0,0,0], 1-(1-P)*(1-Q)*(1-R),5) Cellular Automata Portuguese Logic Programming Contest CELLULAR A Cellular Automata (CA) is a deterministic dynamical system, consisting of an array A of identical finite machines or cells that repeatedly change states or colors by following an update rule U. This rule is applied simultaneously to all of the cells in A at discrete time units. When U is applied to a particular cell x A, the new color for x is determined by the current colors of the cells in the neighborhood of x, denoted by N x. Although there are many interesting choices for A, we will restrict our attention to one-dimensional arrays. The neighborhood of a cell x is then the interval N x = {y Z : x y r}, where r is a positive integer parameter called the range. In general, the cells in a CA can take on one of k different colors, where k 2. In our problem we take r = 1, k = 2, and we will use 0 and 1 to represent the two possible colors. For these CAs the update rule at a cell x depends on the current colors of the three cells in the neighborhood of x, so that we may denote the new color of x by U(p, q, r), where p, q, r denote the current colors of x 1, x, x + 1 respectively. Each of the inputs p, q, r can be either a 0 or a 1. For example, the rule U(p, q, r) = r simply shifts the entire sequence of colors (the sequence of zeros and ones) to the left, one unit at each update. Task Your task consists of writing a Prolog program that given the initial configuration of the cells; the update rule; and the number N of updates to accomplish; it shows in the first line of the screen the initial configuration, and in following N lines the N configurations that follow. 5

6 Data The one-dimensional array A is represented in Prolog by a list of zeros and ones. The rule U(p, q, r) is represented in a straightforward way. For example, the rule is codified as p + (1-2*p)*(q+r-q*r) p + (1 2p)(q + r qr) To the left of the first cell (to the left of the first element in the list), and to the right of the last cell (to the right of the last element in the list), we suppose a zero for effects of application of the rule (we suppose, respectively, that p = 0 and r = 0). Results Your program must be invoked through the following predicate: ca(+initialconfiguration,+updaterule,+numberupdates) Two illustrative examples are:?- ca([0,0,0,0,1],r,6) ?- ca([0,0,0,1,0,0,0],p+(1-2*p)*(q+r-q*r),13)

7 Uma Solução %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % CeNPL 2003 % Possible Solution to the problem CELLULAR % SWI-Prolog (but shall work on any Prolog) % % Delfim F. M. Torres (delfim@mat.ua.pt) % 24/April/2003 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ca(l,r,n) :- show(l), exprlist(r,rl), doupdates(l,rl,n). show([]) :- nl. show([x R]) :- write(x), write( ), show(r). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %?- exprlist(3+(4*2),l). % L = [+,3,[*,4,2]] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% exprlist(x,ll) :- X =.. L, el(l,ll). el([],[]). el([x R],[X RL]) :- atomic(x), el(r,rl). el([x R],[LL RL]) :- X =.. L, el(l,ll), el(r,rl). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% doupdates(_,_,0). doupdates(l,r,n) :- iterate(l,r,nl), show(nl), N1 is N - 1, doupdates(nl,r,n1). 7

8 iterate([],_,[]). iterate(l,r,nl) :- append(l,[0],l0), doiteration([0 L0],R,NL). doiteration([p,q,r],rule,[y]) :- applyrule(p,q,r,rule,y). doiteration([p,q,r Rest],Rule,[Y UR]) :- applyrule(p,q,r,rule,y), doiteration([q,r Rest],Rule,UR). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %?- applyrule(3,4,2,[+,p,[*,q,r]],v). % V = 11 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% applyrule(p,q,r,ll,v) :- es(p,q,r,ll,l), v(l,v). v(l,v) :- E =.. L, V is E. es(_,_,_,[],[]). es(p,q,r,[p RR],[P ER]) :- es(p,q,r,rr,er). es(p,q,r,[q RR],[Q ER]) :- es(p,q,r,rr,er). es(p,q,r,[r RR],[R ER]) :- es(p,q,r,rr,er). es(p,q,r,[x RR],[X ER]) :- atomic(x), es(p,q,r,rr,er). es(p,q,r,[x RR],[V ER]) :- applyrule(p,q,r,x,v), es(p,q,r,rr,er). Exemplos?- ca([0,0,0,0,1],r,6)

9 ?- ca([0,0,0,1,0,0,0],p+(1-2*p)*(q+r-q*r),13) ?- ca([1,1,1],q+r-q*r-p*q*r,6).?- ca([0,1,0],q+r-q*r-p*q*r,3)

10 ?- ca([0,1,0,1,0,1],q*r+(1-q)*p,6) ?- ca([0,1,0,1,0,1],1-(1-p)*(1-q)*(1-r),2) ?- ca([1,0,0,0,0],1-(1-p)*(1-q)*(1-r),5) Referências [1] David G. Green, Cellular Automata Tutorial Notes, Charles Sturt University, [2] Lawrence Gray, A Mathematician Looks at Wolfram s New Kind of Science, Notices of the American Mathematical Society, Vol. 50, Nr. 2, February 2003, pp [3] Stephen Wolfram, A New Kind of Science, Wolfram Media, Inc., [4] Steven G. Krantz, A new kind of science book review, Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, Vol. 40, No. 1, January 2003, pp