Anura obrt za poduke - Tina , ,

Transcrição

1 Matrice Matrica je familija od brojeva zapisanih u obliku: gdje je (broj redova) i (broj stupaca). - elementi matrice Tip ili format matrice pokazuje koliko matrica ima elemenata ( ) i na koji način su ti elementi poredani (u redaka i stupaca). Dvije matrice A i B jednake su ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi jednaki:, tj. za sve i. Glavna dijagonala kvadratne matrice sastavljena je od elemenata. Sporedna dijagonala kvadratne matrice sastavljena je od elemenata. Vrste matrica 1. Kvadratna matrica broj redova jednak je broju stupaca ; pravokutna matrica - 2. Dijagonalna matrica kvadratna matrica kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nula ( čim je ) 3. Skalarna matrica dijagonalna matrica kod koje su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki ( ) 4. Jedinična matrica skalarna matrica koja na glavnoj dijagonali ima jedinice ( ) 5. Nul-matrica matrica kojoj su svi elementi jednaki nula 6. Gornja trokutasta matrica kvadratna matrica za koju vrijedi čim je, tj. : 7. Donja trokutasta matrica kvadratna matrica za koju vrijedi čim je, tj. : 8. Transponirana matrica matrice A formata je matrica,formata, tako da bude. Reci (stupci) matrice su stupci (reci) matrice A, pa vrijedi. 9. Simetrična matrica kvadratna matrica kod koje su elementi, simetrično raspoređeni s obzirom na glavnu dijagonalu, jednaki, tj. za sve uređene parove ili 1

2 10. Anitsimetrična matrica kvadratna matrica za koju vrijedi za sve ili. Svaka antisimetrična matrica na glavnoj dijagonali ima nule. 11. Vektor-redak - matrica koja ima samo jedan redak, a vektor-stupac matrica koja ima samo jedan stupac 12. Ortogonalna matrica je kvadratna matrica n-tog reda za koju vrijedi: 13. Regularna (invertibilna) matrica kvadratna matrica za koju vrijedi ( ). U suprotnom, ako je, matrica je singularna. 14. Inverzna matrica - vrijedi: 15. Trag kvadratne matrice A zbroj elemenata na glavnoj dijagonali ( Za svaku regularnu matricu vrijede svojstva: a) b) Operacije s matricama 1. Zbrajanje matrica Zbroj matrice i matrice, obje formata, definira se kao matrica formata s elementima:. 2. Oduzimanje matrica Razlika matrice i matrice, obje formata, definira se kao matrica formata s elementima:. 3. Množenje matrice skalarom Matrica množi se skalarom tako da se svaki njen element pomnoži skalarom: 4. Množenje matrica Produkt matrica i definira se samo onda kada su te matrice ulančane, tj. ako prva (matrica ) ima onoliko stupaca koliko druga (matrica ) ima redaka. Ako je matrica formata i formata, produkt je matrica formata, čiji se elementi računaju po formuli: Množenje matrica nije komutativno, tj.. U slučaju da ipak vrijedi kažemo da matrice komutiraju. 2

3 Svojstva zbrajanja i množenja matrica 1. - asocijativnost 2. asocijativnost 3. - asocijativnost 4. - komutativnost 5. ne vrijedi komutativnost 6. Distributivnost slijeva: 7. Distributivnost zdesna: 8. - distributivnost 9. - distributivnost nul-matrica tipa za kvadratnu matricu za kvadratnu matricu Determinanta, ili Determinanta funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vijednosti iz skupa skalara, dakle determinanta je matrica svedena na broj. Determinanta matrice prvog reda je je. Determinantu matrice drugog reda računamo:. Determinantu matrice trećeg reda računamo: Determinantu matrice n-tog reda računamo pomoću Laplaceovog razvoja determinante tako da razvijemo determinantu bilo kojeg retka ili stupca na poddeterminante nižeg reda: gdje je matrica bez -tog retka i -tog stupca ( matrica bez -tog retka i prvog stupca razvijamo determinantu po prvom stupcu). Svojstva determinante 1. Matrica i transponirana matrica imaju jednake determinante:. 2. Ako je matrica trokutasta matrica n-tog reda, onda je: 3. Ako dva retka (stupca) zamijene mjesta, determinanta mijenja predznak. 4. Ako su dva retka (stupca) jednaka, determinanta je nula. 5. Ako su svi elementi nekog stupca jednaki nula, onda je:. 6. Determinantu množimo skalarom tako da elemente bilo kojeg stupca pomnožimo tim brojem, tj. zajednički faktor svih elemenata nekog stupca može se izlučiti ispred determinante. 7. Determinanta se ne mijenja ako jedan redak pomnožimo brojem i dodamo drugom retku. 8. Matrica A je regularna onda i samo onda ako je. 3

4 Binet-Cauchyjev teorem Ako su i kvadratne matrice istog reda, onda je Inverzna matrica Inverz matrice, tipa, tražimo na sljedeće načine: I. Pomoću Gaussove metode za invertiranje matrice Neka je kvadratna matrica. S označimo matricu proširenu jediničnom matricom istog reda. Gaussovim elementarnim operacijama nad recima matricu svodimo na oblik. Ako je to moguće, je regularna i, a ako to nije moguće, onda je singularna matrica. Pod Gaussovim elementarnim operacijama nad recima matrice podrazumjevamo: 1. permutiranje redaka, 2. množenje redaka skalarom različitim od nule te 3. dodavanje retku nekog drugog retka prethodno pomnoženog proizvoljnim skalarom. II. Pomoću determinante Neka je kvadratna matrica. Inverznu matricu računamo: - adjungirana matrica Matricu transponiramo. Za svaki element transponirane matrice računamo pripadne kofaktore ili algebarske komplemente, tj. subdeterminante, koje dobivamo tako da precrtamo stupac i redak na kojem leži dotični element pri čemu uzimamo predznake plus i minus naizmjenice. U matrici zamijenimo svaki element pripadnim kofaktorom. Dobivenu adjungiranu matricu podijelimo determinantom, tj. množimo s te tako dobivamo inverznu matricu matrice. Matrične jednadžbe Kod rješavanja matričnih jednadžbi moramo imati na umu da kod množenja matrica ne vrijedi komutativnost te da se dijeljenje matrica zapravo svodi na množenje inverznom matricom. Ovdje su neki primjeri: 1) 2) 3) Sustav jednadžbi Opći oblik sustava od linearnih algebarskih jednadžbi s nepoznanica, pri čemu označavaju nepoznanice, glasi: 4) 5) Realne brojeve ( nazivamo koeficijentima sustava, a realne brojeve, slobodnim koeficijentima sustava. 4

5 o o o o Homogen sustav sustav kojem su svi slobodni koeficijenti jednaki nula Nehomogen sustav sustav kojem je barem jedan od slobodnih članova različit od nule Rješiv (konzistentan) sustav - sustav jednadžbi koji ima barem jedno rješenje (može imati jedno jedinstveno rješenje ili beskonačno mnogo rješenja) Nerješiv (nekonzistentan) sustav - sustav nema rješenja Sustave jednadžbi rješavamo: I. Gaussovom metodom Neka je sustav zadan matricom i vektorom slobodnih članova. Rješenje će biti vektor. Matricu proširimo vektorom kako bismo dobili proširenu matricu. Gaussovim elementarnim operacijama nad recima matricu svodimo na gornju trokutastu matricu pa zatim očitavamo rješenje od zadnjeg reda prema prvom. II. Cramerovo pravilo Cramerovo pravilo koristimo za rješavanje tzv. kvadratnih sustava, tj. sustava kod kojih je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica (matrica sustava je kvadratna). Neka je sustav zadan matricom i vektorom slobodnih članova. Rješenje će biti vektor. Neka je determinanta matrice sustava i neka je determinanta koja se dobiva iz determinante slobodnih koeficijenata. zamjenom -tog stupca stupcem (vektorom) A. Ako je, da bi sustav bio rješiv, mora vrijediti. U tom slučaju sustav ima beskonačno mnogo rješenja, u suprotnom, sustav nema rješenja. B. Sustav ima jedinstveno rješenje ako je. U tom slučaju rješenje je dano s Zadaci inverz, determinanta i regularnost matrice 1) Odredite inverznu matricu matrice : a. b. 5

6 2) Pronađite uvjet na uz koji je matrica regularna. Za takve odredite inverz matrice. 3) Odredite determinantu matrice gdje je proizvoljan realan broj. Za koje vrijednosti je matrica regularna? Odredite inverz kada postoji. a. b. c. d. 4) Izračunajte determinantu matrice i odredite one vrijednosti za koje je matrica s pripadajućom determinantom regularna. a. b. c. d. 5) Izračunajte determinantu D (n-tog reda): a. 6

7 b. c. d. Zadaci matrične jednadžbe 6) Zadane su matrice i. Riješite jednadžbu. 7) Zadane su matrice i. Riješite jednadžbu. 8) Zadane su matrice i. Riješite jednadžbu. 9) Riješite matričnu jednadžbu. 10) Riješite matričnu jednadžbu za dane matrice: 7

8 11) Zadane su matrice i. Riješite matričnu jednadžbu. 12) Zadane su matrice i. Riješite matričnu jednadžbu. 13) Riješite matematičku jednadžbu gdje je: 14) Riješite matričnu jednadžbu ako je zadano: a. b. 15) Riješite matričnu jednadžbu ako je zadano: a. Zadaci sustavi algebarskih jednadžbi 16) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi: 17) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi: beskonačno mnogo rješenja - sustav ima 8

9 18) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi: 19) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi: beskonačno mnogo rješenja - sustav ima 20) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 5 2x 1 - x 2 - x 3 = 1 x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 6 21) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi: x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 2 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 3 2x 1 + 7x 2 + 3x 3 = 2 22) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi: x 1 - x 2 + 6x 3 = 4 2x 1 + x 3 = 1 4x 1 + 2x 2-5x 3 = 3 23) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi: 2x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 Sustav nema rješenja x 1 - x 2 = 1 24) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi: 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 4x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 7 Rj : Sustav nema rješenja 6x 1 + 3x 2 + 3x x 4 = 13 25) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi: 3x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 3 6x 1 + 8x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 7 ima beskonačno mnogo rješenja 9x x 2 + 3x x 4 = 13 - zadatak 9

10 26) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi a. b. c. 27) Riješite sustav linearnih algebarskih jednadžbi u ovisnosti o : a. x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1 za - x 1 - x 2-3x 3 = 5 sustav ima beskonačno mnogo rješenja; 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 = za - sustav nema rješenja b. 2x 1 + x 2 - x 3 = 1 x 1-3x 2 + x 3 = 2 za - sustav ima beskonačno mnogo rješenja; - x 1-4x 2 + 2x 3 = za - sustav nema rješenja c. 2x 1 + x 2 - x 3 = 1 x 1-3x 2 + x 3 = 2 za - sustav ima beskonačno mnogo rješenja; 5x 1 - x 2 - x 3 = za - sustav nema rješenja 10