Métodos de Física Teórica II. Osmar S. Silva Jr.
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1 Métodos de Física Teórica II Osmar S. Silva Jr. São Cristóvão/SE 2009
2 Métodos de Física Teórica II Elaboração de Conteúdo Osmar S. Silva Jr. Capa Hermeson Alves de Menezes Copyright 2009, Universidade Federal de Sergipe / CESAD. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização por escrito da UFS. FICHA CATALOGRÁFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE S586m Silva Jr, Osmar S. Métodos de física teórica II / Osmar S. Silva Jr. -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, Física teórica. 2. Matemática. I. Título. CDU 530.1::51
3 Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância Carlos Eduardo Bielschowsky Reitor Josué Modesto dos Passos Subrinho Chefe de Gabinete Ednalva Freire Caetano Coordenador Geral da UAB/UFS Diretor do CESAD Antônio Ponciano Bezerra Vice-coordenador da UAB/UFS Vice-diretor do CESAD Fábio Alves dos Santos Vice-Reitor Angelo Roberto Antoniolli Diretoria Pedagógica Clotildes Farias (Diretora) Hérica dos Santos Mota Iara Macedo Reis Daniela Souza Santos Janaina de Oliveira Freitas Diretoria Administrativa e Financeira Edélzio Alves Costa Júnior (Diretor) Sylvia Helena de Almeida Soares Valter Siqueira Alves Coordenação de Cursos Djalma Andrade (Coordenadora) Núcleo de Formação Continuada Rosemeire Marcedo Costa (Coordenadora) Coordenadores de Curso Denis Menezes (Letras Português) Eduardo Farias (Administração) Haroldo Dorea (Química) Hassan Sherafat (Matemática) Hélio Mario Araújo (Geografi a) Lourival Santana (História) Marcelo Macedo (Física) Silmara Pantaleão (Ciências Biológicas) Núcleo de Avaliação Guilhermina Ramos (Coordenadora) Carlos Alberto Vasconcelos Elizabete Santos Marialves Silva de Souza Núcleo de Serviços Gráficos e Audiovisuais Giselda Barros Núcleo de Tecnologia da Informação João Eduardo Batista de Deus Anselmo Marcel da Conceição Souza Assessoria de Comunicação Guilherme Borba Gouy Coordenadores de Tutoria Edvan dos Santos Sousa (Física) Geraldo Ferreira Souza Júnior (Matemática) Janaína Couvo T. M. de Aguiar (Administração) Priscilla da Silva Góes (História) Rafael de Jesus Santana (Química) Ronilse Pereira de Aquino Torres (Geografi a) Trícia C. P. de Sant ana (Ciências Biológicas) Vanessa Santos Góes (Letras Português) NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICO Hermeson Menezes (Coordenador) Edvar Freire Caetano Isabela Pinheiro Ewerton Lucas Barros Oliveira Neverton Correia da Silva Nycolas Menezes Melo Tadeu Santana Tartum UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE Cidade Universitária Prof. José Aloísio de Campos Av. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa Elze CEP São Cristóvão - SE Fone(79) Fax(79)
4
5 Jν
6 Nν
7 1 7
8 8
9 1 y(x) x y x (dy/dx) 3 +3xy 2 =9ln x y.y +2x = 8 ÿ +2y +1=0. dy dx =ẏ = y = y (1). y dy/dx d 2 y/dx 2 y.ÿ y ky k y k k (ln x)ÿ + x 3 e πx y +1=0 ẏ +2y = 1 x ÿ + x 2 ẏ =senx. 9
10 e x2 ÿ = 2y ÿ +2ẏ (2x +1)y =0 (cos x)ẏ +(senx) y =tgxÿ. y =0 ky k y y 3x y (2x 3) ẏ +3x = 2x 3x y (2x 3) ẏ =0 x ln x ẏ xln(x 1) = 0 2 ln x ẏ =0 2 y +ẏ +1=xy 2 y +ẏ = xy a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a 0 y =0 a 0 a 1 a n n 10
11 n 1 n y 1 (x) y 2 (x) y n (x) y = n c i y i (x) i=1 c i y GH y P a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 1 y + a 0 y = b y G = y GH + y P ẏ + ay = b. ẏ + ay =0 dy dx = ay = dy y = adx ln y = ax+ C 11
12 y = Ae ax, A = e C =. y GH = Ae ax. y P = C =, y P + ay P = b = ac = b y P = bx C = b/a a 0 a y G = y GH + y P = Ae ax + b a a 0 a y G = bx+ D D ÿ + aẏ + by = c. 12
13 1 ÿ + aẏ + by =0. r y = e rx ẏ = re rx, ÿ = r 2 e rx, e rx ( r 2 + ar + b ) =0 x r 2 + ar + b =0, r = a 2 ± Δ 2, Δ=a2 4b. Δ > 0 r 1 r 2 r 1 = a 2 + Δ 2, r 2 = a 2 Δ 2, e r 1x, e r 2x Δ=0 r 1 = r 2 = a/2 y GH = C 1 e ( a 2 + Δ 2 )x + C 2 e ( a 2 Δ 2 )x. e r 1x 13
14 xe r 1x y GH = C 1 e ax 2 + C2 xe ax 2. Δ < 0 r r 1 = a 2 + i 4b a 2, r 2 = a 2 i 4b a 2, y GH = C 1 e ( a 2 +i 4b a 2 )x + C 2 e ( a 2 i 4b a 2 )x. y GH = e ax 2 y GH { } C 1 e i 4b a 2x + C 2 e i 4b a 2 x ; e iα =cosα + i sen α [ y GH = e ax 2 {C 1 cos 4b a 2 x + i sen ] 4b a 2 x + +C 2 [cos 4b a 2 x + i sen ( ]} 4b a 2 x) { = e ax 2 cos 4b a 2 x [C 1 + C 2 ] + }{{} =B 1 = +sen } 4b a 2 x [ic 1 ic 2 ] }{{} =B 2 = = B 1 e ax 2 cos 4b a 2 x + B 2 e ax 2 sen 4b a2 x. y GH = e ax 2 D1 sen y GH ( 4b a2 x + D 2 ), sen (α + β) =senα cos β +cosα sen β 14
15 D 1 = D 1 D 2 B B 2 2, tg D 2 = B 1 B 2. 1 ÿ + aẏ + by = c. b b =0 a 0 y P = c b ; y P = cx a ; a = b =0 y P = cx2 2. y G = y GH + y P. y 1 (x) ÿ + P (x)ẏ + Q(x) y =0, 15
16 y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) W (x) = y 1(x) ẏ 1 (x) y 2 (x) ẏ 2 (x) = y 1 ẏ 2 ẏ 1 y 2. Ẇ = y 1 ÿ 2 y 2 ÿ 1 = y 1 ( P ẏ 2 Qy 2 ) y 2 ( P ẏ 1 Qy 1 ). y 1 (x) y 2 (x) ÿ 1 + P (x) y 1 + Q(x) y 1 =0, ÿ 2 + P (x) y 2 + Q(x) y 2 =0, ÿ 1 ÿ 2 Ẇ =( P )(y 1 ẏ 2 y 2 ẏ 1 )= P W dw = P W dx dw = P dx W ln W = Pdx+ C W = Ae R Pdx. W W = y 1 2 d dx ( y2 y 1 ) 16
17 B =0 2 y d ( ) y2 1 = Ae R Pdx dx y 1 ( ) d y2 1 R = Pdx dx y 1 [y 1 (x)] 2 Ae y 2 Ae R P (x ) dx dx = + B y 1 [y 1 (x)] 2 Ae R P (x ) dx y 2 (x) =y 1 (x) dx [y 1 (x)] 2 1 y = a i x k+i, i=0 k a 0,a 1,... A(x)ÿ + B(x)ẏ + C(x) y =0, ÿ + P (x)ẏ + Q(x) y =0. P Q A(x) x = x 0 P (x),q(x) x x 0. 17
18 P (x) Q(x) x x 0 (x x 0 ) P (x) (x x 0 ) 2 Q(x) x 0 P (x) Q(x) (x x 0 ) P (x) x x 0 x 0 (x x 0 ) 2 Q(x) x 2 ÿ + x ẏ +(x 2 n 2 ) y =0 x =0 ÿ + 1 x ẏ +(1 n2 x 2 ) y =0 x =0 18
19 1 x 2 ÿ + x ẏ +(x 2 n 2 ) y =0. y(x) =a 0 x k + a 1 x k = a i x k+i i=0 a 0 a 1 k y(x) ẏ = (k + i) a i x k+i 1, i=0 ÿ = (k + i 1)(k + i) a i x k+i 2. i=0 dx n /dx = nx n 1 ÿ ẏ y x 2 i=0 (k + i 1)(k + i) a i x k+i 2 + x i=0 (k + i) a i x k+i 1 + +(x 2 n 2 ) i=0 a i x k+i =0 x 2 i=0 (k + i 1)(k + i) a i x k+i 2 + x i=0 (k + i) a i x k+i 1 + +x 2 i=0 a i x k+i n 2 i=0 a i x k+i =0. x 2 x i=0 (k + i 1)(k + i) a i x k+i + i=0 (k + i) a i x k+i + + i=0 a i x k+i+2 n 2 i=0 a i x k+i =0. 19
20 {1,x,x 2,x 3,...} A 0 + A 1 x + A 2 x 2 + A 3 x =0 A 0 = A 1 = A 2 = A 3 =...=0. x x k i x A k x k + A k+1 x k+1 + A k+2 x k =0 A k A k+1 x x k+i i =0, 1, 2,... x k x k+1 x k+2 x k+2 A k A k+1 A k+2 x k x x k x k x i =0 A k = a 0 (k +0)(k +0 1) + a 0 (k +0) n 2 a 0 =0. A k x k+2 20
21 A k = a 0 (k 2 n 2 )=0 A k 1 x k+1 A k+1 = a 1 (k +1)(k +1 1) + a 1 (k +1) n 2 a 1 =0 A k+1 = a 1 [(k +1) 2 n 2 ]=0. A k+2 k =+n k = n a 0 0 k =+n k = n k = n 1 a 1 =0 k =+n a 1 =0 a 0 0 k = n a 1 =0 a 0 0 k = ±n = ±1/2 x k+2 n A k+j j 2 k + i +2=k + j i +2 = j i = j 2 a i x k+i+2 = i=0 a j 2 x k+j. j=2 i = j (k + j 1)(k + j) a j x k+j + (k + j) a j x k+j + j=2 + j=2 a j 2 x k+j n 2 j=2 j=2 a j x k+j =0. 21
22 2 i =0 i =1 A k A k+1 j { } (k + j 1)(k + j) aj +(k + j) a j + a j 2 n 2 a j x k+j =0 j=2 {x k+2,x k+3,x k+4,...} A k+j =(k + j 1)(k + j) a j +(k + j) a j + a j 2 n 2 a j =0. a j = 1 (k + j) 2 n 2 a j 2 (j 2) a 3 = j =3 1 (k +3) 2 n a =0 }{{} a 1 =0 a 1 =0 a 3 a 1 a 5 a 3 a 3 =0 a 5 =0 a 1 = a 3 = a 5 =...=0. k = ±n a 0 0 k =+n a 1 =0 j =2 a 2 = 1 (n +2) 2 n 2 a 0 = 1 2(2+2n) a 0 ; 22
23 j =4 a 4 = = 1 (n +4) 2 n 2 a 2 = ( 1) 2 42(4+2n)(2+2n) a (4+2n) 1 2(2+2n) a 0 j =6, 8, 10,... 1 a 2j = ( 1) j [2j (2j 2)...2] [(2j +2n)...(2 + 2n)] a 0 a 2j = ( 1)j (2n)!! a 0 (2j)!! (2j +2n)!! j =1, 2,... 6!! = =48 y(x) = = a 2j x 2j+n j=0 j=0 = J n (x) ( 1) j (2n)!! a 0 (2j)!! (2j +2n)!! x2j+n J n (x) a 0 0 k = n a 1 =0 y(x) = = a 2j x 2j n j=0 j=0 = J n (x) ( 1) j ( 2n)!! a 0 (2j)!! (2j 2n)!! x2j n 23
24 x =0 ÿ + 1 x 2 ẏ a2 x 2 y =0, k =0 a j+1 = j(j 1) a2 j +1 a j. a j+1 a j 1 ÿ 6 x 2 y =0. y(x) = a i x k+i, i=0 (k + i 1)(k + i) a i x k+i 2 6 a i x k+i 2 =0 i=0 i=0 x i =0 [k(k 1) 6]a 0 =0 24
25 i>0 a 0 0 k = 2 k =3 [(k +1)k 6]a 1 =0= a 1 =0, [(k +2)(k +1) 6]a 2 =0= a 2 =0, 1 y(x) = i=0 { a i x k+i }{{} = a 0 x k a0 x = 2 a 0 x 3 a 1 =a 2 =...=0 (ÿ) 2 2xy =0 x 2 ÿ + xẏ +(x 2 n 2 )y =0 x 2 ẏ 2x(y 1) = 0 5ẏ 2y =4. y(0) = 1 ÿ 2ẏ + y =2 ÿ ẏ 6y =18 ÿ 2ẏ +2y =0 ÿ 6ẏ +9y =0 y 1 (x) =e 3x y 1 xẏ +5y =8x 3 25
26 ÿ 2ẏ +3y =2x 2 +1 ÿ 12ẏ 3y =senx 2ẏ ÿ +4y =2e 3x ÿ + ω 2 y =0 k =1 a 1 =0 07 (1 x 2 )ÿ 2x ẏ + l(l +1)y =0. y G = 2+Ae +2x/5 y = 2+3e +2x/5 y G =2+c 1 e x + c 2 xe x y G = 3+c 1 e 2x + c 2 e +3x y G = y GH = e x [c 1 e ix + c 2 e ix ] y = xe 3x y P = Ax 2 + Bx + C 1 x x 2 A, B, C y = A sen x + B cos x y = Ae 3x 26
27 k a
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