GRÁFICOS DE CONTROLE DE XBARRA PARA O MONITORAMENTO DE PROCESSOS AUTOCORRELACIONADOS COM REGRA ESPECIAL DE DECISÃO

XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Maturidade e desafios da Engenharia de Produção: competitividade das empresas, condições de trabalho, meio ambiente. São Carlos, SP, Brasil, 12 a15 de outubro de 2010. GRÁFICOS DE CONTROLE DE XBARRA PARA O MONITORAMENTO DE PROCESSOS AUTOCORRELACIONADOS COM REGRA ESPECIAL DE DECISÃO Alex Ferrari Monteiro (FEG-UNESP) montyrex2@hotmail.com Antônio Fernando Branco Costa (FEG-UNESP) fbranco@feg.unesp.br Este trabalho tem como finalidade estudar as propriedades de uma nova geração de gráficos de Shewhart, destinados ao monitoramento de processos de produção em que a qualidade dos itens produzidos é avaliada pelos valores de uma característiica mensurável X. Para esta nova geração de gráficos de Shewhart, propoe-se que a amostragem seja realizada, em um primeiro momento, com regra especial de decisão e em um segundo momento, como um processo autocorrelacionado. Na regra especial de decisão, é feita uma média de n valores, e este valor médio é comparado com os limites do gráfico de Shewhart para observações individuais. Se este ponto médio cair fora dos limites de controle e ser menor ou igual a um L estabelecido, ocorre um alarme e o processo retorna ao início, caso contrário, o processo continua até obter este alarme. Neste projeto, propomos que o alarme ocorra apenas quando um segundo ponto cair fora dos limites de controle, e sob a condição de que este ponto seja menor ou igual a um L estabelecido. Tal estratégia de decisão observa-se na prática, pois, em geral, o usuário se sente inseguro em interromper o processo logo após a ocorrência do primeiro ponto fora dos limites de controle. No processo autocorrelacionado, o parâmetro X é dependente de um X anterior através de um coeficiente autoregressivo.neste processo os parâmetros do modelo autoregressivo são conhecidos e a autocorrelação é positiva. O desempenho das cartas de controle é medido pelo NMA - número médio de amostras até o sinal (Costa et al. 2005). Por meio de simulações, pretende-se estudar o desempenho dos gráficos de Shewhart com regra especial de decisão e autocorrelação. Palavras-chaves: Gráfico de Shewhart, Limites de Controle, Processo Autocorrelacionado, Regra Especial de Decisão

1. Introdução e Justificativa Os gráficos de controle surgiram em 1924, quando Shewhart, então funcionário da Bell Laboratories, publicou relatório técnico visando divulgar os fundamentos de uma técnica estatística destinada ao monitoramento de processos. No início, como era de se esperar, poucos acreditaram no potencial desta nova técnica. Pouco a pouco, no entanto, os gráficos de controle ganharam fama de serem ferramentas poderosas de monitoramento. A década de 70 pode ser considerada como a década dos gráficos de Shewhart; o lema da época era: só se assegurar qualidade de processos que estejam sob o monitoramento de gráficos de Shewhart. Esta intensa utilização dos gráficos de Shewhart teve seu lado bom e seu lado ruim. O lado bom foi que o uso intenso dos gráficos de controle facilitou a divulgação de diversas técnicas estatísticas, especialmente desenvolvidas para o monitoramento de processos industriais. O lado ruim foi que, em função da pressão natural gerada pelo modismo da época, os gráficos de Shewhart passaram a ser utilizados de forma indevida, ou pior, em situações desnecessárias, caindo assim no descrédito. Ainda hoje, se sente o efeito deste modismo. De acordo com os fundamentos estabelecidos por Shewhart, sempre que um ponto é plotado fora dos limites de controle do gráfico, o responsável pelo processo deve interrompê-lo imediatamente, visando encontrar causas especiais que afetam a qualidade dos produtos, exemplo, um desgaste de ferramenta que altera a dimensão dos eixos que estão sendo manufaturados. Na prática, contudo, poucos são aqueles que seguem a regra estabelecida por Shewhart, a grande maioria prefere esperar o surgimento de um segundo ponto na região de ação, e além disso, só tomam a decisão drástica de parar o processo se este ponto não estiver muito longe do primeiro. Em função desta realidade, Wu e Spedding (2000) têm proposto um gráfico de Shewhart com regra especial de decisão conhecido como Synthetic Control Chart. Quando os gráficos de Shewhart estão em uso, uma amostra de tamanho n é extraída da linha de produção a cada intervalo de tempo h. Então, para cada amostra, obtém-se um ponto que corresponde ao valor de uma estatística de monitoramento, por exemplo, a média da amostra X. O gráfico de Shewhart sinaliza uma deterioração do processo sempre quando um ponto cai em sua região de ação; alternativamente, o Synthetic Control Chart sinaliza somente quando um segundo ponto cai na região de ação, e sob a condição de que o número de amostras entre os dois pontos que caíram na região de ação, não seja superior a um L estabelecido. O Synthetic Control Chart que aqui chamaremos de Gráfico de Shewhart com Regra Especial de Decisão, tem sido objeto recente de pesquisa, ver Wu e Spedding (2000, 2000a), Wu e Yeo (2001), Wu et al. (2001), Calzada e Scariano (2001), ou Davis e Woodall (2002). As cartas de controle são habitualmente planejadas e avaliadas assumindo que observações consecutivas do processo são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), entretanto esta hipótese é freqüentemente violada na prática, pois observações da variável de monitoramento de muitos processos são correlacionadas. Os processos de manufatura, em geral, são regidos por elementos inerciais, e quando o intervalo entre observações torna-se pequeno em relação a estas forças, elas se tornam correlacionadas ao longo do tempo (Montgomery, 2001). Se a autocorrelação na variável sob monitoramento é uma causa especial, deve-se tentar eliminá-la. Por outro lado, se ela é parte inerente da variabilidade resultante de causas comuns e não pode ser removida, deve-se levá-la em consideração no planejamento das cartas de controle, evitando-se estimativas incorretas de seus parâmetros, que refletem em aumento na 2

taxa de alarmes falsos ou no número de amostras necessárias para detecção de deslocamentos na média do processo (VANDER WIEL, 1996; REYNOLDS & LU, 1997; VAN BRACKLE, III & REYNOLDS, 1997; LU & REYNOLDS, 1999). 2. Descrição do Modelo e Resultados Obtidos Amostras de tamanho n são periodicamente retiradas do processo para a mensuração de uma determinada característica de qualidade X que segue o seguinte modelo de autocorrelação. X X, t=1,2,3,...,n (1) t t 1 Em processos autocorrelacionados, os limites de controle dependem diretamente do parâmetro, ou seja, quanto maior o valor deste parâmetro, os limites de controle serão mais largos, para uma mesma taxa de alarmes falsos. Neste estudo fixou-se um risco com alarmes falsos de 0,0027, ou seja, em média se tem um alarme falso a cada 370,4 amostras. Por meio de simulações (10.000 corridas) obtiveram-se os limites do gráfico de controle para n=4, e de 0,2, 0,5 e 0,7. O código computacional para a obtenção, por meio de simulações, das propriedades dos gráficos de Shewhart de X com regra especial de decisão e para processos autocorrelacionados foi desenvolvido em linguagem FORTRAN. Sem perda de generalidade consideramos o tamanho das amostras n = 4, o desvio padrão do processo = 4 e a média em controle 0 = 1000. O código foi testado por meio de comparações com resultados teóricos obtidos por Davis e Woodall (2002), para regra especial de decisão e observações independentes. Na Tabela 1 são comparados os valores de K, fator de abertura dos limites de controle do gráfico de X, obtidos teoricamente e por meio de simulações. t L k teórico k simulação Erro(%) 2 2,088 2,080 0,383 3 2,164 2,155 0,416 4 2,218 2,195 1,037 5 2,263 2,245 0,795 6 2,295 2,275 0,871 7 2,322 2,305 0,732 8 2,349 2,325 1,022 9 2,367 2,345 0,929 10 2,385 2,365 0,839 Tabela 1 Fator K de abertura dos limites de controle, obtidos teoricamente e por meio de simulações Na Tabela 2, são comparados os valores teóricos e os obtidos por simulação, dos nmas - número médio de amostras até o sinal com o processo em controle (caracterizado por uma média igual a 1000,0 e desvio padrão de 4,0). L LIC LSC Nmas teórico Nmas calculado Erro (%) 2 995,824 1004,176 376,2 370,126 1,615 4 995,564 1004,436 369,0 370,055 0,286 6 995,410 1004,590 372,5 372,584 0,023 8 995,302 1004,698 376,7 376,912 0,056 10 995,230 1004,770 370,0 372,092 0,566 Tabela 2 Valores de nmas e erro percentual para = 1000 (processo em controle) 3

Na Tabela 3, são comparados os valores teóricos e os obtidos por simulação, dos nmas - número médio de amostras até o sinal com o processo fora de controle (caracterizado por uma média igual a 1004,0 e desvio padrão de 4,0). L LIC LSC Nmas teórico Nmas calculado Erro (%) 2 995,824 1004,176 3,0 2,9531 1,563 4 995,564 1004,436 2,7 2,7535 1,981 6 995,410 1004,590 2,8 2,7406 2,121 8 995,302 1004,698 2,8 2,8115 0,411 10 995,230 1004,770 2,9 2,9142 0,490 Tabela 3 Valores de nmas e erro percentual para = 1004 De acordo com as Tabelas 1, 2 e 3, o erro percentual entre valores teóricos e os obtidos por simulação é pequeno, validando assim o uso do código computacional, e a estratégia de simulação, para o estudo do desempenho do gráfico de X com regra especial de decisão no monitoramento de processos autocorrelacionados. Cumpre informar que, para observações autocorrelacionadas, até o momento ainda não se tem expressões teóricas dos nmas. O erro percentual foi obtido da seguinte maneira: V V Erro % V T S 100 (2) sendo V T o valor teórico e V s o valor obtido por simulação. Uma vez obtidos os limites de controle para o processo independente, adota se o mesmo procedimento para obter os limites de controle para processos autocorrelacionados. Neste novo caso é necessário levar em conta o coeficiente de autocorrelação. São apresentados os limites de controle para de 0,2, 0,5, 0,7. Na Tabela 4 estão os limites de controle para o processo independente e autocorrelacionado com os valores de citados acima. = 0,0 = 0,2 = 0,5 = 0,7 L LIC LSC LIC LSC LIC LSC LIC LSC 2 995,84 1004,16 995,14 1004,86 993,5002 1006,5000 991,9506 1008,0490 3 995,69 1004,31 995,96 1005,04 993,2800 1006,7200 991,6403 1008,3590 4 995,61 1004,39 994,84 1005,16 993,1199 1006,8000 991,4501 1008,5490 5 995,51 1004,49 994,74 1005,26 992,9397 1006,9800 991,3099 1008,6890 6 995,45 1004,55 994,65 1005,35 992,8196 1007,1000 991,1697 1008,8290 7 995,39 1004,61 994,60 1005,40 992,7395 1007,1800 991,0596 1008,9390 8 995,35 1004,65 994,52 1005,48 992,6794 1007,2400 990,9695 1009,0290 9 995,31 1004,69 994,49 1005,51 992,6093 1007,3100 990,9094 1009,0890 10 995,27 1004,73 994,46 1005,54 992,5593 1007,3600 990,8293 1009,1690 Tabela 4 Limites de controle para processos independente e autocorrelacionado com = 0,2, 0,5 e 0,7 A Tabela 4 mostra quanto os limites se alargam com o valor de em relação os limites de controle para o processo independente. Pode se notar que quanto maior o maior o alargamento dos limites de controle. Obtidos os limites de controle, foi criado um novo programa que calcula o número médio de amostras até o sinal para processos autocorrelacionados. As entradas deste programa são os limites inferiores e superiores obtidos e o parâmetro. Em alguns casos foi necessário fazer um ajuste fino nos limites de controle, pois alguns nmas estavam fora do intervalo considerado como satisfatório (entre 369 e 371, com o processo ajustado). Tal ajuste fino T 4

Nmas Nmas consiste em alargar os limites de controle quando o nmas for menor que 369 e estreitar os mesmos quando o nmas for maior que 371. As Figuras 1, 2, 3 e 4 mostram os nmas para diferentes desajustes na média para cada e diferentes valores de L. Estes nmas foram obtidos com os limites ajustados. 1000 100 fi = 0,0 fi = 0,2 fi = 0,5 10 fi = 0,7 1 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 Média Figura 1 Nmas x Média para L = 2 1000 100 fi = 0,0 fi = 0,2 fi = 0,5 10 fi = 0,7 1 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 Média Figura 2 Nmas x Média para L = 4 5

Nmas Nmas 1000 100 fi = 0,0 fi = 0,2 fi = 0,5 10 fi = 0,7 1 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 Média Figura 3 Nmas x Média para L = 6 1000 100 fi = 0,0 fi = 0,2 fi = 0,5 10 fi = 0,7 1 1000 1001 1002 1003 1004 1005 1006 1007 Média 3. Comentários e Conclusões Figura 4 Nmas x Média para L = 8 O aumento da autocorrelação torna o gráfico de controle lento, ou seja, ele demora para detectar alterações no processo.uma maneira de reduzir este efeito da autocorrelação consiste em se trabalhar com a regra de decisão que sinaliza somente quando um segundo ponto cai na região de ação, e sob a condição de que o número de amostras entre os dois pontos que caíram na região de ação, não seja superior a um L estabelecido. Em geral, maiores valores de L tornam o gráfico mais ágil na sinalização. Referências CALZADA, M.E.; SCARIANO, S.M. The Robustness of the Synthetic Control Chart to Non-normality. Comminications in Statistics: Simulation and Computation 30, p. 311-326, 2001. 6

COSTA, A.F.B. Joint Economic Design of X and R Control Charts for Processes Subject to Two Independent Assignable Causes. IIE Transactions, v. 25, p. 27-33, 1993. COSTA, A. F. B. Joint X and R Charts with Variable Parameters. IIE Transactions, v. 30, p. 505-514, 1998. COSTA, A. F. B. Joint X and R Charts with Variable Sample Sizes and Sampling Intervals. Journal of Quality Technology, v. 31, p. 387-397, 1999. COSTA, A.F.B.; RAHIM, M. A. Economic Design of X and R Charts Under Weibull Shock Models. Quality and Reliability Engineering International, v. 16, p. 143-156, 2000. COSTA, A.F.B.; RAHIM, M. A. Economic Design of Charts with Variable Parameters: the Markov Chain Approach. Journal of Applied Statistics, v. 28, No 7, p. 875-885, 2001. COSTA, A.F.B.; RAHIM, M. A. Joint X and R Charts with Two Stage Samplings. Quality and Reliability Engineering International, v. 20, p. 699-708, 2004. COSTA, A.F.B.; RAHIM, M. A. Monitoring Process Mean and Variability with One Non-Central Qui-Square Chart. Journal of Applied Statistics, v. 31, No 10, p. 1171-1183, 2004a. COSTA, A.F.B.; RAHIM, M. A. The Non-central Chi-square Chart with Two Stage Samplings. European Journal of Operation Research, in press, 2005. COSTA, A.F.B.; De MAGALHÃES, M.S. O Uso da Estatística de Qui-quadrado no Monitoramento de Processos. Gestão&Produção, (submetido), 2005. COSTA, A.F.B; EPPRECHT E.K; CARPINETTI, L.C.R Controle Estatístico de Qualidade, Editora Atlas, 2ª edição, 2005. COSTA, A.F.B.; De MAGALHÃES, M.S.; EPPRECHT E.K. The Non-central Chi-square Chart with Double Sampling to Control the Process Parameters. Brazilian Journal of Operation and Production Management (submetido), 2005. DAVIS, R.B.; WOODALL, W.H. Evaluating and Improving the Synthetic Control Chart. Journal of Quality Technology, v. 34, p. 200-208, 2002. MONTGOMERY, D. C.; Introduction to Statistical Quality Control, 4 th ed., New York: John Wiley and Sons, 674 p., 2001. MONTGOMERY, D. C.; MASTRANGELO, C. M.; Some statistical process control methods for autocorrelated data; Journal of Quality Technology, v.23, p.179-193, 1991. RAHIM, M. A.; COSTA, A. F. B. Joint Economic Design of X and R Charts Under Weibull Shock Models. International Journal of Production Research. v. 28, p. 2871-2889, 2000. REYNOLDS, M. R.; STOUMBOS, Z.G. Monitoring the Process Mean and Variance Using Individual Observations and Variable Sampling Intervals. Journal of Quality Technology, v. 33, p. 181-205, 2001. REYNOLDS, M. R.; STOUMBOS, Z.G. Control Charts and the Efficient Allocation of Sampling Resources. Technometrics, v.46, p. 200-214, 2004. REYNOLDS, M. R. Jr., LU, C.-W.; Control charts for monitoring processes with autocorrelated data, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, v.30, p.4059-4067, 1997. VAN BRACKLE, III, L. N., REYNOLDS, M. R. Jr., EWMA and CUSUM control charts in the presence of correlation, Communication in Statistics- Simulation and computation, v.26, p.979-1008, 1997. VANDER WIEL, S.A., Monitoring process that wander using integrated moving average models, Technometrics, v.38, p.139-151, 1996. WU, Z.; SPEDDING, T.A. A Synthetic Control Chart for Detecting Small Shifts in the Process Mean. Journal of Quality Technology, v. 32, p. 32-38, 2000. WU, Z.; SPEDDING, T.A. Implementing Synthetic Control Charts. Journal of Quality Technology, v. 32, p. 75-78, 2000a. 7

WU, Z.; YEO, S.H. Implementing Synthetic Control Charts for Attributes. Journal of Quality Technology, v. 33, p. 112-114, 2001. WU, Z.; YEO, S.H.; SPEDDING, T.A. A Synthetic Control Chart for Detecting Fraction Nonconforming Increases. Journal of Quality Technology, v. 33, p. 104-111, 2001. 8