UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA PARA ILUSTRAR O EFEITO DA AUTOCORRELAÇÃO NO GRÁFICO DE CONTROLE T2 DE HOTELLING

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1 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA PARA ILUSTRAR O EFEITO DA AUTOCORRELAÇÃO NO GRÁFICO DE CONTROLE T DE HOTELLING Roberto Campos Leoni (UNESP ) rcleoni@yahoo.com.br Antonio Fernando Branco Costa (UNESP ) fbranco@feg.unesp.br Marcela Aparecida Guerreiro Machado (UNESP ) marcelagmachado@yahoo.com.br Um gráfico de controle é uma das técnicas principais do controle estatístico de processos e o emprego desta técnica pressupõe a ausência de autocorrelação entre os dados da(s) característica(s) de qualidade mensurada(s). Este artigo estuda o efeito da autocorrelação e da correlação no gráfico T de Hotelling quando há duas características de qualidade X e Y, cuja estrutura de correlação e autocorrelação é representada por um modelo VAR(). Utilizando-se uma abordagem geométrica com elipses, os resultados advertem que a presença autocorrelação reduz o desempenho do gráfico de T, restringindo a capacidade do gráfico em sinalizar uma causa especial que esteja atuando no processo. Alguns exemplos são apresentados para ilustrar o efeito prejudicial ao gráfico de T quando a autocorrelação está presente no processo. Palavras-chaves: autocorrelação, gráfico T de Hotelling, modelo VAR (), controle estatístico de processos

2 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04.. Introdução Uma das hipóteses básicas para uso de gráficos de controle é a independência entre observações ao longo do tempo. Porém, em muitos processos, medidas da característica de qualidade de itens vizinhos, segundo o instante em que foram produzidos, podem apresentar algum grau de dependência entre as observações. Este fenômeno é denominado autocorrelação. De acordo com Mason e Young (00), muitas operações industriais de fluxo contínuo apresentam autocorrelação e uma das possíveis causas é o desgaste gradual de componentes críticos do processo. Kim et al. (00) afirmam que a hipótese de independência entre as observações de uma variável pode ser violada pelas altas taxas de produção que geram correlação e dependência entre as observações de produtos vizinhos segundo o instante de fabricação. A autocorrelação prejudica o desempenho dos gráficos de controle tradicionais (KALGONDA e KULKARNI, 004). Estudos recentes apresentam alternativas para monitorar esses tipos de processos. Du e Lv (03) propuseram um gráfico de controle baseado na distância euclidiana mínima para detectar desvios na média em processos autocorrelacionados. Lin et al. (0) consideraram o design econômico do gráfico de controle ARMA, utilizado em processos autocorrelacionados. Franco et al. (0) utilizaram o modelo AR() para descrever o comportamento oscilatório da média e apresentaram os parâmetros ótimos do gráfico de X usando o modelo de Duncan. Costa e Machado (0) também empregaram o modelo AR () para investigar o efeito do comportamento oscilatório da média no desempenho no gráfico de X com amostragem dupla. Com a intensão de reduzir o efeito negativo da autocorrelação no desempenho do gráfico de X, Costa e Castagliola (0) apresentaram uma técnica de amostragem sistemática denominada s skip. Sistemas modernos com tecnologia avançada e altas taxas de produção geraram processos complexos que são multidimensionais, ou seja, muitas características de qualidade são mensuradas e controladas. Pan e Jarret (0) descrevem alguns desses processos que podem apresentar observações correlacionadas e autocorrelacionadas. Hotelling (947) sugeriu o uso da estatística T para o monitoramento do vetor de médias em processos multivariados. Sete décadas após, Chen (007) e Chen e Hsieh (007)

3 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. apresentaram os esquemas adaptativos que melhoram o desempenham do gráfico de T. De acordo com Hwarng e Wang (00), a autocorrelação aumenta a taxa de alarmes falsos, enquanto que a correlação diminui o poder do gráfico de controle. O feito combinado da autocorrelação e da correlação no desempenho do gráfico T é digno de investigação. Este artigo tem como objetivo avaliar graficamente o efeito da autocorrelação em duas características de qualidade mensuráveis X e Y quando existe correlação entre as observações de X e Y. O modelo VAR() foi adotado para representar a estrutura de correlação e autocorrelação. Considerou-se na avaliação que o deslocamento na média seja o mais importante em todo o processo e que o vetor de médias e a matriz de covariância sejam conhecidos ou estimados com precisão. O artigo está organizado da seguinte forma: na seção, descreve-se o modelo que representa as características de qualidade quando há autocorrelação no processo; Na seção 3 são apresentadas algumas características do gráfico T de Hotelling; O efeito da autocorrelação em processos bivariados é discutido e avaliado na seção 4 e, por fim, concluise acerca do trabalho na seção 5.. Modelo autorregressivo e a matriz de covariância cruzada Os procedimentos clássicos de controle em processos multivariados consideram a hipótese básica de que as observações seguem distribuição normal multivariada e sejam independentes, com vetor de médias μ 0 e matriz de variância-covariância. sendo: X =μ e t,,..., T () t 0 t X t representa as observações através de um vetor de ordem p x (p é o número de variáveis); e t são vetores aleatórios independentes de ordem p x com distribuição normal multivariada cuja média é zero e matriz de variância-covariância e. A hipótese de independência é violada em muitos processos de manufatura. Vetores autoregressivos de primeira ordem - VAR() são usados para modelar processos multivariados com correlação temporal entre observações de uma mesma variável e correlação entre observações de diferentes características de qualidade (MASTRANGELO e FORREST, 00; BILLER e NELSON, 003; KALGONDA e KULKARNI, 004; ARKAT 3

4 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. e NIAKI, 007; JARRETT e PAN, 007; ISSAM e MOHAMAD, 008; PFAFF, 008; NIAKI e DAVOODI, 009; HWARNG e WANG, 00; KIM et al., 00; KALGONDA, 0). O modelo VAR() é representado por: X μ X μ ε () t ( t ) t sendo X ~ N μ, o vetor de observações de dimensão t p p no instante t (p é o número de variáveis), μ é o vetor de médias, ε t é um vetor aleatório com observações independentes e distribuição normal multivariada com média zero e matriz de covariância e é uma matriz com parâmetros de autocorrelação de ordem p p. De acordo com Kalgonda e Kulkarni (004), a matriz de correlação cruzada de X t possui a seguinte propriedade: obter a relação: '. Após alguma manipulação algébrica, é possível Vec I Vec (3) p onde é o operador produto de Kronecker e Vec é o operador que transforma a matriz em um vetor empilhando suas colunas. Para estudar o efeito da autocorrelação e correlação no gráfico de um processo bivariado (p=): T, considerou-se a 0 0 b ; (4) A partir de () e (3), segue-se que: a XY ab ab Y b X XY (5) 3. Gráfico de controle T de Hotelling O gráfico de controle T de Hotelling é um dos mais conhecidos esquemas de controle para detectar desvios na média de processos multivariados (HOTELLING, 947). 4

5 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. Quando o vetor de médias, ) e a matriz são conhecidos, a estatística de monitoramento 0 ( 0 0 T de Hotelling é representada por: T ' (6) X X 0 0 Com o processo em controle, T ~ p. Se ocorrer uma causa especial que provoque a mudança no vetor de médias para, ), ( T ~ ( p, com parâmetro de não centralidade δ δ, sendo δ ( 0, 0), veja Wu e Makis (008). X Quando o vetor de médias e a matriz de covariâncias são desconhecidos e precisam ser estimados, os limites de controle são calculados de acordo com a fase de monitoramento (BERSIMIS et al., 007). Alguns autores utilizam o parâmetro de não centralidade ( ) como medida de deslocamento no vetor de médias do processo (ALT, 985; APARISI, 996; APARISI e HARO, 00; MASON e YOUNG, 00). Nesse caso, o desempenho do gráfico é medido por: Pr ( p LC, ) ARL (7) sendo: ARL o número médio de amostras até o sinal; LC o limite de controle do gráfico de O ARL mede o número médio de amostras até a ocorrência de um alarme falso se T. 0. Quando o processo está fora de controle, o gráfico com menor ARL detecta com maior rapidez mudança no processo. 4. Efeito da autocorrelação em processos bivariados O gráfico T de Hotelling foi criado para ser usado quando a hipótese de independência entre as observações de uma ou mais características de qualidade não é violada. Desconsiderar o efeito dessa hipótese é bastante prejudicial para o desempenho do gráfico de controle. Para estudar o efeito da autocorrelação, considerou-se a distância do vetor X ao vetor de médias μ denominada distância de Mahalanobis (MAHALANOBIS, 936). A distância de Mahalanobis é dada por: 5

6 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. D ' (8) X X 0 0 A relação entre a matriz de covariância cruzada ( ) e os elementos das matrizes e é obtida utilizando a equação (3). Na presença de autocorrelação e correlação, a distância de Mahalanobis é dada por: D ' (9) X X 0 0 Sem perda de generalidade, considerando o caso bivariado em que, quando μ 0; 0 e o vetor xy ; X a distância a 0 0 b D equivale a: e D -a bx a b xy a x - a xy - ab y abx aby - b xy b y - x xy - y 3 3 ab - -a b a b a - ab b - (0) A equação (0) revela a influência de a,b e na distância D. Se ab 0, ou seja, 0 (não há autocorrelação), a distância D se reduz a: D (x -xy+y ) - () Quando não há autocorrelação, ou seja, os dados são independentes, D ~ ( p; ). Para avaliar o efeito da autocorrelação, utilizou-se no presente artigo o caso bivariado e = 0,0 ( ), sendo, neste caso, D 0,5966. ( p ; 0,0) O desempenho de um gráfico de controle pode ser avaliado em função do número de amostras que o gráfico utiliza para detectar um deslocamento na característica que se deseja monitorar. Quando não há deslocamento, o processo encontra-se em controle estatístico. Espera-se, neste caso, que o sinal dado pelo gráfico seja um alarme falso. O valor D 0,5966 equivale a um alarme falso, em média, para cada 00 amostras avaliadas quando é utilizado o gráfico T de Hotelling (COSTA et al., 008). Na avaliação gráfica do efeito da autocorrelação, considerou-se que o deslocamento seja do tipo δ ( 0, 0), ou seja, a ocorrência de uma causa especial 6

7 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. desloca o vetor de médias 0; 0 μ ; 0 0 μ para um novo patamar Nas seções 4. e 4., realizou-se a avaliação do efeito da autocorrelação do processo em controle ( δ =0) e do processo fora de controle ( δ 0 ), respectivamente. 4. Avaliação gráfica do efeito da autocorrelação com o processo em controle Em um processo isento de autocorrelação, ab 0 e = 0,7, tem-se que D,9608 x,745xy,9608 y. A elipse que representa a curva de nível da distribuição para D 0,5966 é ilustrada na Figura. A Figura ilustra a curva de nível para ab 0,5 e = 0,7. y y x x Figura. Elipse: ab 0 e = 0,7. Figura. Elipse: ab 0,5 e = 0,7. Para a e b 0,0;0,;0, ;0,3;0, 4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9, pode-se observar na Figura 3 uma demonstração gráfica em que quanto maior for a autocorrelação, maior é a região elíptica, ou seja, se o processo está em controle e há autocorrelação nas variáveis, é necessário ajustar o limite de controle do gráfico, caso contrário, muitos alarmes falsos ocorrerão. 7

8 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. y a = b 0,9 a = b 0,8 a = b 0, x a = b 0,0 Figura 3. Elipses: a e b 0, 0;0,;0, ;0,3;0, 4;0,5;0, 6;0, 7;0,8;0,9 e = 0,7. Se os dados são normalmente distribuídos, as elipses da Figura 3 representam todos os pontos equidistantes, na distância de Mahalanobis, da origem. Isto sugere que todos esses pontos têm a mesma probabilidade de serem regidas por uma distribuição normal multivariada com centro em (0,0), pois μ 0= 0. No gráfico controle (LC) igual a D T de Hotelling o limite de 0,5966, gera, em média, um alarme falso a cada 00 amostras coletadas quando ab 0. O mesmo não ocorre quando ab 0,0, ou seja, a taxa média de alarmes falsos não corresponde a um alarme a cada 00 amostras coletadas, mesmo que seja usado como LC o valor 0,5966. Isso significa na prática que, quando usamos o gráfico T de Hotelling, considerar o LC do gráfico com distribuição qui-quadrado com p graus de liberdade ( p) na presença de autocorrelação nos fornecerá uma taxa de alarmes falsos diferente da desejada. 4. Avaliação gráfica do efeito da autocorrelação com o processo fora de controle A Figura 4 ilustra um processo isento de autocorrelação com ab 0 e = 0,7. A elipse tracejada com centro em (0,0) representa um processo em controle e sua equação é D,9608 x,745xy,9608 y 0,5966. As demais elipses representam a ocorrência de uma causa especial que desloca o vetor de médias para um novo patamar: 8

9 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. a) Deslocamento μ ; 0 0 ; sendo: D x xy x y y,9608,745,765,9608,765,765 0,5966 b) Deslocamento μ ; 0 0 ; sendo: D x xy x y y,9608,745,359,9608,359 4,7059 0,5966 c) Deslocamento 3 μ 3; ; sendo: D x xy x y y,9608,745 3,594,9608 3,594 0,588 0,5966 A Figura 5 ilustra um processo com autocorrelação com ab 0,7 e = 0,7. A elipse tracejada com centro em (0,0) representa um processo em controle e sua equação é: D x, 4xy y 0,06. O valor 0,06 foi usado para que fosse possível fazer um comparação justa que, na presença de autocorrelação, mantém a taxa média de alarmes falsos igual a um alarme a cada 00 amostras. As demais elipses representam a ocorrência de uma causa especial que desloca o vetor de médias para um novo patamar: a) Deslocamento μ ; 0 0 D x xy x y y ; sendo:, 4 0,8 0,8 0,054 0,06 b) Deslocamento μ ; 0 0 D x xy x y y ; sendo:, 4 0,36 0,36 0, 6 0,06 c) Deslocamento 3 μ 3; D x xy x y y ; sendo:, 4 0,54 0,54 0, 486 0,06 y 8 6 y x x Figura 4 - Elipses: ab 0 e = 0,7. Figura 5 - Elipses: ab 0,7 e = 0,7. 9

10 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. Da Figura 4, observa-se que em processos sem autocorrelação o deslocamento no vetor de médias causado por uma causa especial é representado pelas elipses que se afastam do centro em (0,0), caracterizando que o gráfico T, nesse caso, apresenta desempenho superior em relação ao processo em que a autocorrelação está presente. Na Figura 5, as elipses apresentam maior resistência em se manter próxima ao centro em (0,0) quando ocorrem deslocamentos que desajustam o vetor de médias, significando que o desempenho do gráfico T é inferior quando há presença de autocorrelação. 4.3 Exemplo Dois tipos de processos bivariados foram simulados e o gráfico de T aplicado para controlar as variáveis desses processos. No primeiro processo: 0 (0;0) ; a=b=0,0; =0,7 e LC=0,5966 (ARL 0 =00). No segundo processo: 0 (0;0) ; a=b=0,7; =0,7 e LC=0,06 (ARL 0 =00). Três tipos de deslocamentos foram realizados no vetor de médias: δ (,0;,0), δ (,0;,0) e δ ( 3,0;3,0). As observações das variáveis do primeiro e segundo processos foram geradas com os modelos da equação () e equação (), respectivamente. As Figuras 6, 7 e 8 ilustram os resultados. Em cada gráfico de T, o processo sofre deslocamentos no vetor de médias a partir da amostra 50. Os resultados evidenciam que a autocorrelação diminui o poder do gráfico em detectar uma causa especial que atua no vetor de médias do processo. Resultados similares foram ilustrados nas Figuras 4 e 5. 0

11 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. Figura 6 Gráficos T de Hotelling; δ (,0 ;,0). Figura 6 Gráficos T de Hotelling; δ (,0 ;,0).

12 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. Figura 6 Gráficos T de Hotelling; δ ( 3,0 ; 3,0). 5. Conclusão Este artigo avaliou o efeito da autocorrelação no gráfico de controle de T por ser uma das ferramentas mais populares no meio acadêmico e industrial. A distância de Mahalanobis, mesma estatística utilizada no gráfico de T, foi empregada para representar geometricamente o comportamento de um processo na presença e ausência de causas especiais que afetam o valor médio das variáveis monitoradas. A violação da hipótese de autocorrelação afeta o desempenho do gráfico de reduzindo a capacidade em detectar desvios no vetor de médias. A utilização de elipses ilustrou como os dados de um processo se comportam na presença da autocorrelação, ou seja, mascarando o efeito do deslocamento no vetor de médias das variáveis. Os exemplos apresentados ilustraram a redução que ocorre no poder do gráfico de T, T em detectar a presença de uma causa especial que desloca o vetor de médias no processo. Sugere-se, em trabalhos futuros, a apresentação de estatísticas ou técnicas que aprimorem desempenho de gráficos de controle na presença de autocorrelação.

13 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. REFERÊNCIAS ALT. F. B. Multivariate control charts. Encyclopedia of Statistical Sciences. Kotz. S. Johnson. N. L. Eds., Wiley APARISI. F. e HARO. C.L, Hotelling s T control chart with variable sampling intervals, International Journal of Production Research, Vol. 39. pp APARISI. F. Hotelling s T control chart with adaptive sample sizes, International Journal of Production Research, Vol. 34. pp ARKAT. J., NIAKI. S.T.A. e ABBASI. B. Artificial neural networks in applying MCUSUM residuals charts for AR() processes, Applied Mathematics and Computation, Vol. 89. pp BERSIMIS, S., PSARAKIS, S. e PANAREOS, J. Multivariate Statistical Process Control Charts: An Overview, Quality and Reliability Engineering International, Vol. 3, pp BILLER, B. e NELSON. B. Modeling and generating multivariate time-series input processes using a vector autoregressive technique, ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation, Vol. 3. No.3. pp CHEN, Y. K. Adaptive sampling enhancement for Hotelling's T charts. European Journal of Operational Research, Vol. 78. No.3. pp CHEN, Y.K. e HSIEH, K.L. Hotelling s T charts with variable sample size and control limit. European Journal of Operational Research, Vol. 8. pp COSTA, A. F. B., EPPRECHT, E.K. e CARPINETI, L.C.R. Controle Estatístico de Qualidade. a. ed., São Paulo: Editora Atlas COSTA, A.F.B. e MACHADO, M.A.G. Variable parameter and double sampling X charts in the presence of correlation: The Markov chain approach Original Research Article. International Journal of Production Economics, Vol. 30. No.. pp COSTA, A.F.C. e CASTAGLIOLA, P. Effect of measurement error and autocorrelation on the X chart. Journal of Applied Statistics, Vol. 38. No. 4. pp DU, S. e LV, J. Minimal Euclidian distance chart based on support vector regression for monitoring mean shifts of auto-correlated processes. International Journal of Production Economics, Vol. 4. pp FRANCO, B.C., COSTA, A.F.B. e MACHADO, M.A.G. Economic-statistical design of the X chart used to control a wandering process mean using genetic algorithm. Expert Systems with Applications, Vol. 39. pp HOTELLING, H. Multivariate quality control illustrated by the air testing of samples bombs sights, in techniques of Statistical Analysis, C. Eisenhard, M.W. Hastay and W.A. Wallis, eds., Mc Graw Hill, New York, pp HWARNG. H.B. e WANG. Y. Shift detection and source identification in multivariate autocorrelated process, International Journal of Production Research, Vol. 48. No. 3. pp ISSAM. B.K. e MOHAMAD. L. Support vector regression based residual MCUSUM control chart for autocorrelated process, Applied Mathematics and Computation, Vol. 0. pp JARRET. J.E. e PAN. X. The quality control chart for monitoring multivariate autocorrelated processes, Computational Statistics & Data Analysis, Vol. 5. pp KALGONDA. A.A. A Note on generalization of Z Graph, Journal of Academia and Industrial Research, Vol.. No. 6. pp KALGONDA. A.A. e KULKARNI. S.R. Multivariate quality control chart for autocorrelated processes, Journal of Applied Statistics, Vol. 3. pp

14 Curitiba, PR, Brasil, 07 a 0 de outubro de 04. KIM. S.B., JITPITAKLERT. W. e SUKCHOTRAT. T. One-Class Classification-Based Control Charts for Monitoring Autocorrelated Multivariate Processes, Communications in Statistics - Simulation and Computation, Vol. 39. No.3. pp LIN, Y. C., CHOU, C. Y., Wang, S. L. e Liu, H. R. Economic design of autoregressive moving average control chart using genetic algorithms. Expert Systems with Applications, Vol. 39. pp MAHALANOBIS, P.C. In Proceedings National Institute of Science, India, Vol., No.. pp MASON. R. e YOUNG. J.C. Multivariate statistical process control with industrial applications. Alexandria. Sociey for Industrial and Applied Mathematics. 00. MASTRANGELO, C.M. e FORREST, D. R. Multivariate Autocorrelated Processes: Data and Shift Generation, Journal of Quality Technology, Vol. 34, No.. pp NIAKI. S.T.A. e DAVOODI. M. Designing a multivariate-multistage quality control system using artificial neural networks, International Journal of Production Research, Vol. 47. pp PAN, X. e JARRETT, J.E. Why and how to use vector autoregressive models for quality control: the guideline and procedures. Quality and Quantity, Vol. 6. No. 3. pp PAN. X. e JARRET. J.E. Using vector autoregressive residuals to monitor multivariate processes in the presence of serial correlation, International Journal of Production Economics, Vol. 06. pp PFAFF. B. VAR, SVAR and SVEC models: implementation within r package vars, Journal of Statistical Software, Vol. 7. No. 4. pp WU, J., MAKIS, V. Economic and economic-statistical design of a chi-square chart for CBM. European Journal of Operational, Vol. 88. No.. pp