Exercício 1 Considere os dados abaixo sobre distribuição de salário (em reais) num grupo de 1000 individuos. Tabela 1: Distribuição de frequências da variável salário Classe de Salário n i f i 500-1000 400 0,40 1000-1500 200 0,20 1500-2000 150 0,15 2000-3000 150 0,15 3000-5000 100 0,10 Classifique a variável Classe de Salário. Construa os histogramas pelos métodos de frequência e densidade. Qual deve ser utilizado? Justifique. Calcule aproximadamente do histograma apropriado a média, o desvio padrão, a mediana salarial e os percentis 10 e 90 para essa amostra Solução Variável Salário: Quantitativa contínua Para construir os histogramas solicitados temos, Tabela 2: Distribuição de frequências da variável salário Classe de Salário n i f i Amplitude i Densidade f i / i 500-1000 400 0,40 500 0, 8 10 3 1000-1500 200 0,20 500 0, 4 10 3 1500-2000 150 0,15 500 0, 3 10 3 2000-3000 150 0,15 1000 0, 15 10 3 3000-5000 100 0,10 2000 0, 05 10 3 O gráfico que deve ser utilizado é o histograma obtido pelo método de densidade, visto que as classes apresentam tamanhos diferentes. Média aproximada, x = 0.4 750 + 1250 0.2 + 1750 0.15 + 2500 0.15400 0.1 = 1587.5 Variância aproximada, Portanto, s 2 = 0.4 (750 1587.5) 2 + (1250 1587.5) 2 0.2 + (1750 1587.5) 2 0.15 +(2500 1587.5) 2 0.15 + (4000 1587.5) 2 0.1 = 1014219 s = 1014219 = 1007.084. Página 1 de 14
Figura 1: Histograma para a variável salário usando o métodos de densidade. A mediana encontra-se na segunda classe (de mil a mil e quinhentos reais) uma vez que as duas primeiras classes acumulam sessenta por cento das observações. E temos, md obs 1000 0.10 = 1500 1000 0.200 md obs = 1250. O percentis 10 encontra-se na primeira classe (de quinhentos e mil reais) uma vez que a primeira classe acumula quarenta por cento das observações. Então, temos P (10)obs 500 0.10 = 1000 500 0.400 P (10)obs = 650. O percentis 90 encontra-se na penultima classe (de dois mil e três mil reais) uma vez que nas quatro primeiras classes acumulam noventa por cento das observações. Então, temos P (90)obs 2000 0.15 = 3000 2000 0.15 P (90)obs = 3000. Página 2 de 14
Exercício 2 Os dados descritos a seguir referem-se a despesas fixas e despesas com pessoal (incluindo encargos) dos departamentos de contabilidade e pessoal de uma empresa durante 15 meses. Os valores estão em mil reais. Tabela 3: Valores Ordenados das despesas fixas e pessoais em cada departamento. Depto. Contabilidade Depto. Pessoal D. Fixas D. Pessoal D. Fixas D Pessoal 1 0.91 14.00 1.30 13.63 2 1.80 15.82 1.64 14.12 3 2.31 18.10 2.26 15.07 4 2.36 18.35 2.26 15.37 5 3.00 18.37 2.38 15.38 6 3.44 18.47 2.39 15.39 7 3.46 20.95 2.42 17.18 8 3.54 21.20 2.57 17.70 9 3.60 21.93 2.70 17.78 10 3.68 22.00 3.04 17.78 11 3.75 24.11 3.08 18.00 12 3.88 24.95 3.18 18.54 13 3.89 28.08 3.65 22.47 14 4.00 28.90 4.03 22.56 15 4.45 29.43 4.10 24.61 Construa, num mesmo gráfico, os boxplots das despesas fixas e num outro gráfico os boxplots das depesas com pessoal para os dois departamentos. Comente sobre a dispersão, pontos extremos, mediana e simetria dos dados, para cada departamento. Recomendado uso de computador. Solução Para a construção dos box-plots precisamos determinar os quartis, os limites superiores e inferiores. Como para cada variável em cada grupo temos n = 15 observações segue que, Posição de Q 1 =0,25(15+1)=4. Posição de Q 2 (mediana)=0,5(15+1)=8. Posição de Q 3 =0,75(15+1)=12. Olhando para a Tabela 3 podemos determinar facilmente estes valores em cada caso. Temos que, LI=Q1-1,5(Q3-Q1), de modo que Para as despesas fixas do departamento de contabilidade, LI=2,36-1,5(3,88-2,36)=0.08. Para as despesas pessoais do departamento de contabilidade LI=18,35-1,5(24,95-18,35)=8.45. Para as despesas fixas do departamento pessoal é LI=2,26-1,5(3,18-2,26)=0.88 Página 3 de 14
Tabela 4: Quartis de cada variável em cada departamento Depto. Contabilidade Depto. Pessoal D. Fixas D. Pessoal D. Fixas D Pessoal Q 1 2.36 18.35 2.26 15.37 Q 2 3.54 21.20 2.57 17.70 Q 3 3.88 24.95 3.18 18.54 Para as despesas pessoais do departamento pessoal LI=15,37-1,5(18,54-15,37)=10,615 Temos que, LS=Q3+1,5(Q3-Q1), de modo que Para as despesas fixas do departamento de contabilidade, LS=3,88+1,5(3,88-2,36)= 6.16. Para as despesas pessoais do departamento de contabilidade LS=24,95+1,5(24,95-18,35)=34.85. Para as despesas fixas do departamento pessoal é LS=3,18+1,5(3,18-2,26)=4.56 Para as despesas pessoais do departamento pessoal LS=18,54+1,5(18,54-15,37)=23.295 Tabela 5: Valores máximos e mínimos do box plot Depto. Contabilidade Depto. Pessoal D. Fixas D. Pessoal D. Fixas D Pessoal Mínimo 0.91 14.00 1.30 13.63 Máximo 4.45 29.43 4.10 22.56 Figura 2: Boxplots das despesas fixas para os departamentos de contabilidade e pessoal No que se refere as despesas fixas temos, Os dados do departamento de contabilidade são claramente assimétricos, observe que a mediana está bem mais próxima do terceiro quartil do que do primeiro o que indica assimetria a esquerda. Já no departamento pessoal a mediana está bem mais próxima Página 4 de 14
Figura 3: Boxplots das despesas pessoais para os departamentos de contabilidade e pessoal do primeiro quartil do que do terceiro o que indica assimetria a direita. Em ambos os departamentos não foram detectados pontos discrepantes (outliers). Comparando os boxplots das despesas fixas vemos que a distribuição de valores (medidas de posição) é bem diferente em cada departamento. Há evidência que o departamento de contabilidade tem mais valores altos de despesas fixas durante os quinze meses em estudo do que o departamento pessoal. No que se refere as despesas pessoais temos, O departamento de contabilidade no que refere a despesas pessoais parece apresentar dados mais simétricos (levemente simétrico). Já no departamento pessoal constatamos agora assimetria a esquerda. Podemos visualizar a presença de uma observação discrepante no departamento pessoal (consideravelmente mais alta que os demais valores). Comparando os boxplots das despesas pessoais temos que a distribuição de valores (medidas de posição) é bem diferente em cada departamento. Agora podemos constatar que o departamento de contabilidade apresenta no geral valores mais altos de despesas pessoais durante os quinze meses em estudo do que o departamento pessoal. Observe inclusive que o primeiro quartil do departamento de contabilidade é realmente próximo do terceiro quartil das observações do departamento pessoal o que colabora com a conclusão que os gastos no departamento de contabilidade são mais elevados. É válido salientar ainda que o gasto de 24,61 (mil reais) é considerado discrepante no departamento pessoal, enquanto que no departamento de contabilidade cerca de 25% dos gastos são mais elevados do que isso. Observação Podemos obter os gráficos no software estatístico R. Os comandos utilizados neste caso são: despesas<-read.table( D:/MAE219/despesas.txt,head=T) despesasfixas<-matrix(c(despesas$fixas.c,despesas$fixas.p), nrow = 15, Página 5 de 14
ncol = 2, byrow = FALSE, dimnames = list(c(),c("depto de Contabilidade", "Depto Pessoal"))) boxplot(as.data.frame(despesasfixas)) despesaspessoal<-matrix(c(despesas$pessoal.c,despesas$pessoal.p), nrow = 15, ncol = 2, byrow = FALSE, dimnames = list(c(),c("depto de Contabilidade", "Depto Pessoal"))) boxplot(as.data.frame(despesaspessoal)) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 Depto de Contabilidade Depto Pessoal Figura 4: Boxplots das despesas fixas para os departamentos de contabilidade e pessoal obtidos no R 15 20 25 30 Depto de Contabilidade Depto Pessoal Figura 5: Boxplots das despesas pessoais para os departamentos de contabilidade e pessoal obtidos no R. Página 6 de 14
Exercício 3 Uma indústria, desejando melhorar o nível de seus funcionários em cargos de chefia, montou um curso experimental e indicou 25 funcionários para a primeira turma. Os dados referentes à seção a que pertencem, notas e graus obtidos no curso estão na tabela a seguir. (a) Classifique as variáveis listadas. (b) Calcule média, moda, mediana, desvio padrão e coeficiente de variação das variáveis Direito, Política e Estatística. (c) Compare e indique as diferenças existentes entre as distribuições das variáveis Direito, Política e Estatística utilizando boxplots. (d) Compare o aproveitamento dos funcionários na disciplina Estatística segundo a seção a que eles pertencem. Seção Direito Política Estatística Pessoal 7 7 9 Pessoal 9 6,5 8 Pessoal 8 9 7 Pessoal 6,5 7,5 8 Pessoal 8,5 6,5 9 Pessoal 6 4,5 10 Pessoal 7,5 8,5 7 Técnica 9,5 5 7 Técnica 8 9 6 Técnica 5,5 8 8 Técnica 7,5 7 10 Técnica 7,5 5,5 7 Técnica 8 7 7 Técnica 7 8 9 Vendas 9 7 8 Vendas 8 9 7 Vendas 6,5 10 8 Vendas 9,5 5,5 9 Vendas 6 7 3,5 Vendas 8 6 6 Vendas 7,5 7,5 7 Vendas 6,5 6 8 Vendas 3 9 9 Vendas 6 6,5 8 Vendas 9 7 7 Tabela 6: Tabela Notas Página 7 de 14
Solução (a) Classificação das variáveis listadas Seção Variável aleatória qualitativa nominal. Direito, Política e Estatística Variáveis aleatórias quantitativas contínuas. (b) Na seguinte tabela apresentamos algumas medidas das variáveis quantitativas Direito, Politica e Estatistica. A tabela anterior foi obtida usando o sofware R. As funções usadas foram Variáveis Media Moda Mediana Desvio Padrão CV Direito 7,42 8 7,5 1,49 20% Política 7,18 7 7 1,39 19% Estatística 7,7 7 8 1,4 18% sd Para o Desvio Padrão s. mean Para a media. mfv Para a moda. median Para a mediana. Tabela 7: Tabela Resumo Por exemplo para a variável aleatória Direito os comandos no R são os seguintes: Ex3<-read.table("dados_ex3_casa.txt",header=TRUE) attach(ex3) Ex3 Direito<-Ex3$Direito Direito mediadir<-mean(direito) mediadir sddir<-sd(direito) sddir modadir<-mfv(direito) modadir medianadir<-median(direito) medianadir CVdir<-sddir/mediadir #Coeficiente de variação. No entanto, também é possível fazer os cálculos. Vamos fazer só para a variável Direito. Para as outras variáveis o procedimento é similar. Para Direito temos que Temos 25 Direito 7.0 9.0 8.0 6.5 8.5 6.0 7.5 9.5 8.0 5.5 7.5 7.5 8.0 7.0 9.0 9.0 6.5 9.5 6.0 8.0 7.5 6.5 3.0 6.0 9.0 Página 8 de 14
observações nesta variável e portanto a media x é dada por x = 25 X i i=1 25 = 185, 5 25 = 7.0 + 9.0 + 8.0 + + 3.0 + 6.0 + 9.0 25 = 7, 42. Tambem, note que o valor que ocorre com maior frequência é 8. Ou seja, a moda é 8. Além disso temos 25 observações para a variável Direito, por tanto na posição 25+1 2 = 13 dos dados ordenados está a mediana. A tabela seguinte mostra os dados ordenados, para a variável Direito, com suas respectivas posições. Posições 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Direito 3.0 5.5 6.0 6.0 6.0 6.5 6.5 6.5 7.0 7.0 7.5 7.5 7.5 7.5 8.0 Posições 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Direito 8.0 8.0 8.0 8.5 9.0 9.0 9.0 9.0 9.5 9.5 Assim, a mediana é 7, 5. Finalmente, sabemos que a variância amostral s 2 pode ser achada usando a expressão s 2 = 25 i=1 X 2 i 25 X 2 25 1 = 1429, 75 25 55, 06 24 = 2.22 assim, o desvio padrão é s = s 2 = 1, 49. CV = s/x. Para o coeficiente de variação lembre que Note que los resultados obtidos mediante cálculos, coincidem com os resultados obtidos con o software R. Observação: A função no software R para fazer o ordenamento dos dados é sort. Neste caso temos sort(direito). (c) No software R com o comando boxplot(direito,politica, Estatistica,names=c("Direito","Politica","Estatistica"),ylab="Notas") obtemos Página 9 de 14
Notas 3 4 5 6 7 8 9 10 Direito Politica Estatistica Figura 6: Boxplots para Direito, Politica e Estatistica Os dados do curso de Politica são claramente assimétricos, observe que a mediana está bem mais próximo do primeiro quartil que do terceiro o que indica assimetría a direita. Além disso, os dados dos cursos de Direito e Estatistica parecem apresentar dados mais simétricos. Temos dados discrepantes no curso de Direito e Estatística. Mesmo que os dados do curso de Direito e Estatistica parecem apresentar simetría, podemos constatar que as notas mais altas foram obtidas em geral no curso de Estatistica. (d) Podemos dizer que o aproveitamento do curso de Estatística em geral foi melhor para as pessoas da seção Pessoal. Isto pode ser visto nos seguintes boxplots. Página 10 de 14
Notas 4 5 6 7 8 9 10 Pessoal Técnica Vendas Figura 7: Boxplots para Direito, Politica e Estatistica Note que a nota mínima obtida da seção pessoal no curso de Estatística é maior que o 25% das notas das outras seções. Em geral as maiores notas foram obtidas pelas pessoas da seção pessoal. Além disso, note que Seções Média D. Padrão CV Pessoal 8.29 1.11 13% Técnica 7.71 1.38 18% Vendas 7.31 1.55 21% Tabela 8: Tabela Resumo logo, a pessoas da seção pessoal têm em media nota maior que as pessoas das outras seções no curso de Estatistica. Também, em relação às médias, as notas das pessoas da seção pessoal são menos dispersas que as notas das outras seções. Exercício 4 Um estudo para avaliar o grau de competitividade em jogos de basquete durante os XV Jogos Pan-americanos realizados no Rio de Janeiro considera como competitividade a diferença entre a pontuação do vencedor em relação à do perdedor (quanto menor a diferença, mais competitivo é o jogo). Na tabela abaixo, essa diferença é apresentada para todos os jogos, nas modalidades feminino e masculino. Solução Para a construção dos box-plots precisamos determinar o seguinte: Página 11 de 14
Diferença de Pontuação em Jogos de Basquete Jogos Feminino (20 jogos) Masculino (19 jogos) 1 1 1 2 2 2 3 2 3 4 7 3 5 7 3 6 11 5 7 12 5 8 12 5 9 12 6 10 13 7 11 13 8 12 14 8 13 15 9 14 16 9 15 19 12 16 23 19 17 28 21 18 31 26 19 44 35 20 54 Tabela 9: Diferença de Pontuação em Jogos de Basquete segundo a modalidade Os quartis Os limites superiores e inferiores. Vamos começar com os Quartis. Como para a modalidade masculino temos n = 19 observações, segundo a tabela 9 tem-se que: Posição de Q 1 é 0, 25(19 + 1) = 5. Portanto, Q 1 = 3 Posição de Q 2 = Md é 0, 5(19 + 1) = 10. Portanto, Md = Q 2 = 7 Posição de Q 3 é 0, 75(19 + 1) = 15. Portanto, Q 3 = 12 Agora, para a modadilade feminino temos n = 20 observacoes, segundo a tabela 9 tem-se que: Posição de Q 1 é 0, 25(20 + 1) = 5, 25. Por simplicidade tomaremos a media das obsevacoes 5 y 6. Assim Q 1 = 7 + 11 = 9 2 Posição de Q 2 = Md é 0, 5(20 + 1) = 10, 5. Portanto, Md = Q 2 = 13 + 13 2 Posição de Q 3 é 0, 75(20+1) = 15, 75. Por simplicidade tomaremos a media das obsevacoes 19 + 23 15 y 16. Assim Q 3 = = 21 2 = 13 Página 12 de 14
Os resultados anteriores ficam resumidos na seguinte tabela Tabela 10: Quartis segundo a modalidade Feminino Masculino Q 1 9 3 Q 2 13 7 Q 3 21 12 Agora, para os Límites Inferioes (LI) e Superiores(LS) temos o seguinte: LI = Q1 1, 5(Q3 Q1) logo: Para a madalidade feminino, LI = 9 1, 5(21 9) = 9. Para a madalidade masculino, LI = 3 1, 5(12 3) = 10, 5. Além disso, sabemos que de modo que: LS = Q3 + 1, 5(Q3 Q1) Para a madalidade feminino, LS = 21 + 1, 5(21 9) = 39. Para a madalidade masculino, LS = 12 + 1, 5(12 3) = 25, 5. Tabela 11: Valores máximos e mínimos dos boxplots Feminino Masculino Mínimo 1 1 Máximo 54 35 Com a informação acima, podemos construir os seguintes boxplots Página 13 de 14
Figura 8: Boxplots da Diferença de Pontuação em Jogos de Basquete por modalidade Observacao: La figura 8 pode ser obtida usando o software R com os seguintes comandos > Problema <- read.table("defi.txt",header=true) > diferencia<-problema$diferencia > sexo<-problema$genero > boxplot(split(diferencia,sexo),names=c("feminino","masculino") + ylab="diferença de Pontuação em Jogos de Basquete") Da figura 8 podemos deduzir o seguinte: Os dados na modalidade masculino parecem apresentar dados simétricos. Já na modalidade feminino constatamos agora assimetria a direita. Podemos visualizar nos dados das duas modalidades a presença de observaçoes discrepantes (consideravelmente mais altas que os demais valores). Comparando os boxplots da figura 8 temos que a distribuição dos dados nas duas modalidaes é bem diferente. Agora, podemos constatar que os jogos de basquete na modalidade feminino apresenta em geral valores mais altos para a diferença entre a pontuação do vencedor em relação com o perdedor. Observe inclusive que o primeiro quartil na modalidade feminino é realmente próximo do terceiro quartil das observações na modalidade Masculino o que colabora com a conclusão que as diferenças na modadilade feminino são mais elevadas que na modalidade masculino, Assim, é válido dizer que a modalidade feminino é menos competitiva que a modalidade masculino, pois as diferenças são mais altas na modalidade feminino. Página 14 de 14