MO Mecânica e Ondas Aula prática 2: Equação de Newton Grandezas cinemáticas, Forças, equação de Newton
Saber usar a Lei de Newton Identificar os corpos Escolher sistema de referência Representar forças em cada corpo Escrever a equação de movimento Encontrar a solução da equação do movimento. Saber usar as condições iniciais.
Exemplo de lançamento (gravidade à superfície) III-113) Duas bolas são atiradas de uma mesma altura H com a mesma velocidade inicial. Uma é atirada para cima segundo um ângulo α e a outra para baixo segundo um ângulo β. Mostre que ambas atingem o solo com a mesma velocidade e calcule essa velocidade em função da altura H e da velocidade inicial V 0. Equações do movimento para qualquer bola: Notar que se tem: Em qualquer ponto. Quadrando e somando as eq. das velocidades obtémse: Reparando que o termo entre parêntesis está na eq. dos espaços, obtémse: Esta expressão não depende do ângulo de lançamento mas sim da velocidade inicial e da altura. Para a chegada ao chão temos y=0 e portanto: Vamos recuperar este resultado num capítulo mais à frente: Trabalho e Energia
Exemplo com atrito proporcional à velocidade (F = -bv) V 88 Considere um corpo em queda livre sob influência de uma força de resistência proporcional à velocidade: F = -bv. a) Mostra que a sua aceleração é proporcional a v e que existe velocidade limite. b) Escreva a equação de movimento na forma separável e obtenha a solução geral. c) Indique como se introduzem as condições iniciais. Equação do movimento: a) Obtém-se fazendo: b) O formato anterior é util para separar a parte em v da parte em t: Integrando dos 2 lados vem: Podemos reescrever a eq. Diferencial: Esta é a aceleração, proporcional a -v, mais um termo constante (gravidade). Agora integramos para obter a solução geral. c) Admitamos uma velocidade inicial: para t=0 temos v=v 0 obtenho a Cte: Solução particular: Para se obter a lei dos espaços tenho de integrar novamente:
Exemplo de Estática IV-51) O sistema da figura está em equilíbrio estático. Calcule as Tensões T 1, T 2 e o valor da massa m. Começamos por escrever a condição de equilíbrio: Escrevemos todas as componentes: Resolvemos o sistema:
Exemplo com Lei de Newton (forças de tensão) IV-78) Uma pintora de massa m=60kg está em cima de uma plataforma de massa M=15Kg presa a uma corda que passa por uma roldana. A pintora agarra a outra extremidade da corda. a) Com que força deve a pintora puxar a corda para que se consiga uma aceleração a=0.8m/s 2. b) Quando se atinge a velocidade v=1m/s, a pintora puxa a plataforma de modo a que sobe com velocidade constante. Com que força a pintora puxa a corda? a) Tensão na corda = Força feita pela pintora b) Fazendo a = 0 na expressão anterior obtemos:
Exemplo com Lei de Newton (forças de tensão), sem atrito. IV-79) Considere um plano inclinado que faz um ângulo de 20 graus com a horizontal. Um bloco de massa M=20 Kg escorrega em cima de um bloco de massa m=10 Kg. Os dois blocos estão ligados por um fio que passa por uma roldana. Despreze o atrito das superfícies. Determine a tensão na corda e a aceleração de cada bloco. Corpo de 10 Kg Corpo de 20 Kg Escrevemos a equação para cada corpo: Somando obtém-se:
Exemplo com Lei de Newton (com forças de atrito) V-38) Considere um bloco de massa m 1 =5Kg em cima de um bloco de massa m 2 =10Kg o qual se desloca sem atrito em cima de uma mesa. O bloco m 2 está preso através de um corda a um bloco m 3. Os coeficientes de atrito entre m 1 e m 2 são µ S =0.6 e µ K =0.4. a) Qual o valor máximo de aceleração de m 1? b) Qual o valor máximo de m 3 para que m 1 e m 2 se movam sem escorregar? c) Se m 3 =30 Kg, determine a aceleração de cada corpo e a tensão na corda. Entre m 1 e m 2 há atrito. Entre m 2 e a mesa não há atrito. a) Corpo 1: m 1 a F a = 0 Se m 1 não escorrega então: b) Corpo 3: m 3 a = m 3 g T Corpo 2: m 2 a = T F a m 2 a = T m 1 a m 3 a = m 3 g T a = m 3 m 1 + m 2 + m 3 g m 3 = a g a (m 1 + m 2 ) m 3max = µ S 1 µ S (m 1 + m 2 ) 22.5Kg
Exemplo com Lei de Newton (com forças de atrito) V-38) Considere um bloco de massa m 1 =5Kg em cima de um bloco de massa m 2 =10Kg o qual se desloca sem atrito em cima de uma mesa. O bloco m 2 está preso através de um corda a um bloco m 3. Os coeficientes de atrito entre m 1 e m 2 são µ S =0.6 e µ K =0.4. a) Qual o valor máximo de aceleração de m 1? b) Qual o valor máximo de m 3 para que m 1 e m 2 se movam sem escorregar? c) Se m 3 =30 Kg, determine a aceleração de cada corpo e a tensão na corda. Solução (continuação): c) Se m 1 escorrega então:
Exemplo com Lei de Newton (forças de inércia), com atrito. V-40) Um bloco de massa m=10kg está em cima de uma base de massa M=5Kg que escorrega sem atrito em cima de uma superfície. Os coeficientes de atrito entre o bloco e a base são µ s =0.40 e µ k =0.30. Uma força F é aplicada a uma corda ligada ao bloco e que passa por uma roldana de massa desprezável. Qual a força máxima que se pode aplicar, e a aceleração da base para que o bloco não escorregue? Incógnitas: F,T, Fa,a Eq. para o sistema m+m: F = (M + m)a Eq. para o bloco m: Eq. para a base M: A força de atrito é: F a T ma = 0 a = T T = (m + M)a m + M F Ma = 2T F a a = a F a = (2m + M)a (2m + M) F = m + M 2m + M F a
Exemplo com Lei de Newton (forças de inércia), com atrito. V-42) Um bloco de massa m=0.5kg está em cima de uma plano inclinado de massa M=2Kg que faz 35 graus com a horizontal e que se move sem atrito. Aplica-se uma força F no plano. O coeficiente de atrito é µ s =0.8. Determine o valor máximo e o valor mínimo de F para que o bloco não escorregue. Há atrito entre o bloco e o plano. Não há atrito entre plano e chão. Forças sobre o bloco: P=mg (peso), I=ma (inércia) e Fa=µN (atrito). Segundo o plano: Normal ao plano: Condição para não escorregar: θ a max = g sinθ + µ cosθ S cosθ µ S sinθ 33.5ms 2 F max = (m + M)a max 83.7N