(ISBN N. 978-85-98092-14-0) Eixo Temático: E7 (Resolução de Problemas e Investigação Matemática) Público-Alvo: Alunos de licenciatura e pós-graduandos de Matemática ou Educação Matemática, professores e pesquisadores da área. Tempo Previsto: 3 horas MATEMÁTICA DISCRETA ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Norma S. G. ALLEVATO UNICSUL-São Paulo/SP (normallev@uol.com.br) Lourdes R. ONUCHIC UNESP -Rio Claro/SP (lronuchic@gmail.com) Resumo: Este mini-curso abordará o ensino de Matemática Discreta através da resolução de problemas. Serão propostos problemas, utilizados com mote para reflexões, junto aos participantes do minicurso, sobre essa área da Matemática e sobre as possibilidades pedagógicas da Resolução de Problemas em sala de aula. Palavras-chave: Educação Matemática, Matemática Discreta, Resolução de Problemas. Introdução O objetivo deste minicurso é o de refletir sobre a possibilidade e a necessidade de abordar a Matemática Discreta empregando a resolução de problemas no trabalho em sala de aula. Esta proposta inclui duas seções com breves reflexões sobre (1) Matemática Discreta e (2) Resolução de Problemas; apresenta como será desenvolvido o minicurso, incluindo as atividades que serão propostas; e finaliza com as referências. 1. Matemática Discreta O interesse pela Matemática Discreta provém da Antiguidade, mas sua notoriedade e avanços surgiram com o fim da Segunda Guerra Mundial, com o estudo dos algoritmos e da Matemática Discreta, que configurou uma interação natural e mútua entre eles. Expandiu-se pelas pesquisas envolvendo Criptografia, Programação Linear e Teorias das Filas, dos Grafos e dos Jogos e, atualmente, suas aplicações estão em várias áreas do conhecimento como a Economia, a Engenharia, a Administração e as Ciências da Computação. Segundo Dossey (1991), discreto significa distinto; separado; que consiste de partes distintas, descontínuas. A Matemática Discreta estuda objetos e ideias que podem
2 ser divididos em partes separadas, em contraste com a noção clássica de Matemática Contínua, subjacente à maioria dos problemas da Álgebra e do Cálculo, que utilizam números reais ou complexos como domínio de suas funções. A Matemática Discreta, entretanto, investiga cenários onde as funções são definidas sobre conjuntos de números discretos ou finitos, tais como os inteiros positivos. A Matemática Contínua aplica-se a situações cujo objetivo é a medida de uma quantidade; na Matemática Discreta, o foco está em determinar uma contagem. Destaque-se a necessária e sutil diferença entre Matemática Discreta e Matemática Finita que, embora associadas, não são iguais. Segundo Bogart (1991), a Matemática Finita envolve estudos sobre teoria dos conjuntos, análise combinatória, probabilidades, estatística, teoria dos grafos, e matrizes e aplicações - por exemplo, em teoria dos jogos e programação linear. Não há diferenças marcantes, quanto aos conteúdos, entre o que usual e atualmente constitui a Matemática Finita e a Discreta: Cursos de Matemática Finita concentram-se em tópicos para o usuário final, tais como programação linear, estatística, finanças e aplicações de probabilidade, enquanto os de Matemática Discreta concentram-se sobre tópicos para uso futuro, tais como relações de equivalência, indução, recorrência, análise de algoritmos e a ideia de prova. (BOGART, 1991, p. 82) Por essa razão, processos iterativos e recorrentes ganham destaque nas atividades e problemas envolvendo Matemática Discreta. Iterar significa repetir. Então, um processo iterativo é aquele que realiza procedimentos ou cálculos repetidamente. A recorrência, por outro lado, envolve executar determinado passo, em um processo sequencial, em termos e a partir de um passo anterior (HART et al, 2008). Decorre daí a presença forte, nesses processos, dos padrões. Os problemas da Matemática Discreta, com frequência, envolvem análise e busca por padrões, que são grupos de objetos que apresentam uma regularidade, ou seja, algo que se repete, um modelo. Pode-se encontrá-los em sequências numéricas e de figuras, em ornamentos, na natureza, em fórmulas, em proposições a serem demonstradas, entre outras situações. A procura por padrões é uma interessante e importante estratégia de resolução de problemas. 2. Resolução de Problemas A resolução de problemas, especialmente se utilizada como metodologia de ensino, envolve os alunos na elaboração e teste de conjecturas, construção de
3 demonstrações, exploração e formalização de padrões, generalização (VALE; PIMENTEL, 2011) e aprendizagem de conceitos e conteúdos matemáticos (ONUCHIC; ALLEVATO, 2011). A resolução de problemas estimula o envolvimento nas atividades de sala de aula de Matemática, tornando-o agente e responsável por sua própria aprendizagem, que se realiza pela mobilização de seus recursos cognitivos e afetivos. Aprendendo através da resolução de problemas, os conteúdos passam a fazer sentido para o aluno. Nesse modo de trabalho, um problema é ponto de partida e orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á através de sua resolução. Professor e alunos, juntos, desenvolvem esse trabalho e a aprendizagem se realiza de modo colaborativo em sala de aula. Em Allevato e Onuchic (2009), pode-se encontrar sugestões de como desenvolver este tipo de trabalho em aula de Matemática. 3. Desenvolvimento do mini-curso 3.1 Introdução ao tema: breve diálogo com os participantes a respeito da Matemática Discreta (sua importância, natureza e ensino) e sobre a Resolução de Problemas (importância, orientações didáticas, metodologia e formas de implementação) 3.2 Parte Prática: proposição de problemas, utilizados com mote para reflexões, junto aos participantes do minicurso, sobre a Matemática Discreta e sobre as possibilidades pedagógicas da Resolução de Problemas sem sala de aula de Matemática. Apresentamos, a seguir, alguns desses problemas: Problema 1 - Sequências de Cruzes com Azulejos Analise as três primeiras figuras da sequência abaixo: Qual é o número de azulejos necessários para construir a cruz da figura de ordem n? Quantos azulejos serão necessários para construir a figura de ordem n? Fonte: Adaptado de Vale e Pimentel (2009) Problema 2 - Agenda de aulas Eliane quer escolher seu horário para a natação. Quer ir a duas aulas por semana, uma de manhã e a outra de tarde, não sendo no mesmo dia nem em dias seguidos. De manhã, há aulas de natação de 2 a feira a sábado, às 9h, às 10h e às 11h e, de tarde, de 2 a feira a 6 a feira, às 17h e às 18h. De quantas maneiras distintas Eliane pode escolher seu horário? Fonte: Souza (2010)
4 Problema 3 - Quantidade de Divisores Positivos do Número 67500 Dona Florinda é uma professora de Matemática que adora aplicar desafios matemáticos aos seus alunos. Num belo dia, ela propôs aos seus alunos que encontrassem a soma de todos os divisores positivos do número 67500. Qual é a soma de todos os divisores positivos do número 67500? Questões-chave Quantos divisores positivos possui o número 67500? Qual é a soma dos divisores de 67500 que são múltiplos de 2? Qual é a soma dos divisores de 67500 que são múltiplos de 3? Qual é a soma dos divisores de 67500 que são múltiplos de 5? Como pode ser calculado o número soma de todos os divisores do número 67500? Fonte: Santos (2011) 3.3 Conclusão: os participantes serão convidados fazer uma avaliação do minicurso. Recursos materiais: projetor multimídia, lousa, giz e fichas de trabalho. Referências ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando matemática na sala de aula através da resolução de problemas. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, ano 33, n. 55, p. 133-156, jul./dez. 2009. BOGART, K. P. The Roles of Finite and Discrete Mathematics in College and High School Mathematics. In: Kenney, M.J.; Hirsch, C.R. Discrete Mathematics across the Curriculum, K-12: 1991, Yearbook. NCTM, 1-9, 1991. DOSSEY, J. A. The Math for Our Time. In: Kenney, M.J.; Hirsch, C.R. Discrete Mathematics across the Curriculum, K-12: 1991, Yearbook. NCTM, 1-9, 1991. HART, E. W. et al. Navegating through Discrete Mathematics in Grades 6-12. Reston,VA: NCTM, 2008. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. BOLEMA, Rio Claro, v. 25, n. 41, p. 73-98, dez. 2011. SANTOS, R. H. Proposta Didática. In:. Uma Abordagem do Ensino da Análise Combinatória sob a Ótica da Resolução de Problemas. 2011. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática) Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2011. SOUZA, A. L. C. P. Análise Combinatória no Ensino Médio Apoiada na Metodologia e Ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas. 2010. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho, Rio Claro, 2010. VALE, I.; PIMENTEL, T. Padrões no ensino e aprendizagem da matemática propostas curriculares para o ensino básico. Viana do Castelo: Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana do Castelo, 2009.
5 VALE, I.; PIMENTEL, T. Padrões em Matemática: uma proposta didática no âmbito do novo programa para o ensino básico. Lisboa: Texto, 2011.