Salesianos de Mogofores - 2017/2018 MATEMÁTICA - 8.º Ano Rota de aprendizage m NÚMEROS RACIONAIS. NÚMEROS REAIS Objetivo Geral: Compreender a noção de número real Representar e comparar números reais Operar com números reais e utilizar as propriedades das operações no cálculo Total: 2 quinzenas do 1.º período. A definir nos PIQAs. O que são números racionais? - Número racional Como se representam números racionais na forma de fração decimal e na forma de dízima? - Frações decimais, dízimas, dízimas infinitas e o algoritmo da divisão. - período de uma dízima, comprimento do período. Como calcular o valor de potências de expoente inteiro? - Potências de base racional e expoente natural. Propriedades. - Potências de base racional e expoente inteiro. - Definição de potências de expoente nulo e negativo. Como operar com potências de expoente inteiro? - Operações com potências de expoente natural. - Operações com potências de expoente inteiro. Reconhecer, dada uma fração irredutível a, que esta é equivalente a uma fração b decimal quando (e apenas quando) b não tem fatores primos diferentes de 2 e de 5, e nesse caso, obter a respetiva representação como dízima por dois processos: determinando uma fração decimal equivalente, multiplicando numerador e denominador por potências de 2 e de 5 adequadas, e utilizando o algoritmo da divisão. Reconhecer, dada uma fração própria irredutível a tal que b tem pelo menos um b fator primo diferente de 2 e de 5, que a aplicação do algoritmo da divisão à determinação sucessiva dos algarismos da aproximação de a como dízima com b erro progressivamente menor conduz, a partir de certa ordem, à repetição indefinida de uma sequência de algarismos com menos de b termos, a partir do algarismo correspondente ao primeiro resto parcial repetido. Utilizar corretamente os termos «dízima finita», «dízima infinita periódica» (representando números racionais nessas formas), «período de uma dízima» e «comprimento do período» (determinando-os em casos concretos). Saber que o algoritmo da divisão nunca conduz a dízimas infinitas periódicas de período igual a «9». Representar uma dízima infinita periódica como fração, reconhecendo que é uma dízima finita a diferença desse número para o respetivo produto por uma potência de base 10 e de expoente igual ao comprimento do período da dízima e utilizar este processo para mostrar que 0,(9) = 1. Saber que se pode estabelecer uma correspondência um a um entre o conjunto das dízimas finitas e infinitas periódicas com período diferente de 9 e o conjunto dos números racionais. Representar na reta numérica números racionais representados na forma de dízima convertendo-a em fração e utilizando uma construção geométrica para decompor um segmento de reta em n partes iguais. 0 Identificar, dado um número não nulo a, a potência a como o número 1, reconhecendo que esta definição é a única possível por forma a estender a m n m n propriedade a a a a expoentes positivos ou nulos.
- Propriedades das operações com potências de expoente inteiro. Identificar, dado um número não nulo a e um número natural n, a potência a n 1 como o número, reconhecendo que esta definição é a única possível por forma n a a estender a propriedade a m n a m a n a expoentes inteiros. Estender as propriedades previamente estudadas das potências de expoente natural às potências de expoente inteiro. Como se obtém a decomposição decimal de uma dízima? - Decomposição decimal de números racionais representados por dízimas finitas utilizando potências de base 10 e expoente inteiro. Como representar um número racional em notação científica? - Notação científica: aproximação, ordenação e operações em notação científica. Como identificas um número irracional? - Pontos irracionais da reta numérica; - Números irracionais e dízimas infinitas não periódicas (definição); - Números reais; - Irracionalidade de n para n natural e n distinto de um quadrado perfeito. Sabes completar a reta numérica? - Extensão a IR das operações conhecidas e respetivas propriedades; - Extensão a medidas reais das propriedades envolvendo proporções entre comprimentos de segmentos; - Extensão a IR da ordem em ; - Propriedade transitiva e tricotómica da relação de ordem; - Ordenação de números reais na forma de dízima dentificar, dado um número não nulo a e um número natural n, a potência como 1, reconhecendo que esta definição é a única possível por forma a estender n a a propriedade a m n a m a n a expoentes inteiros. Estender as propriedades previamente estudadas das potências de expoente natural às potências de expoente inteiro. Efetuar a decomposição decimal de uma dízima finita utilizando potências de base 10 e expoente inteiro. Representar números racionais em notação científica com uma dada aproximação. Ordenar números racionais representados por dízimas finitas ou infinitas periódicas ou em notação científica. Determinar a soma, diferença, produto e quociente de números racionais representados em notação científica. Reconhecer que um ponto da reta numérica à distância da origem igual ao comprimento da diagonal de um quadrado de lado 1 não pode corresponder a um número racional e designar os pontos com esta propriedade por «pontos irracionais». Reconhecer que cada ponto irracional da semirreta numérica positiva está associado a uma dízima infinita não periódica e interpretá-la como representação de um número, dito «número irracional», medida da distância entre o ponto e a origem. Designar por «conjunto dos números reais» a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais e designá-lo por «IR». Reconhecer que 2 é um número irracional e saber que n (sendo n um número natural) é um número irracional se n não for um quadrado perfeito. Saber que é um número irracional. Saber que, dado um número natural n, n é um número inteiro ou um número irracional. Estender aos números reais as operações definidas sobre os números racionais. Efetuar operações em Q. Estender a ordenação aos números reais. Ordenar números reais. Comparar dízimas. Aplicar, em R, as propriedades tricotómica e transitiva da relação de ordem. n a TEOREMA DE PITÁGORAS Projeto 1 Verificar a verticalidade de estruturas sem o fio-de-prumo 1.ª Fase: Seleção da estrutura a verificar. 2.ª Fase: Discussão do método a usar e planeamento da operação seguinte. 3.ª Fase: Registo das medições necessárias no local escolhido.
4.ª Fase: Cálculos e conclusões. 5ª Fase: Relatório de Aprendizagem (Escrito) Objetivo Geral: Analisar e utilizar as propriedades e relações relativas a triângulos e quadriláteros no plano e no espaço Compreender a noção de demonstração e fazer raciocínios dedutivos em contextos geométricos e trigonométricos Total: 2 quinzenas do 1.º período. A definir nos PIQAs Tarefas: Atribuir posteriormente aos elementos de cada grupo (A, O, E) Como se relaciona o teorema de Pitágoras com a semelhança de triângulos? Como utilizar o Teorema de Pitágoras na resolução de problemas? Como se relaciona o teorema de Pitágoras com a semelhança de triângulos? Como utilizar o Teorema de Pitágoras na resolução de problemas? Reconhece, dado um triângulo[abc] retângulo em C de altura [CD], que os comprimentos a=bc, b=ac, c=ab, x=ad, y=db satisfazem as igualdades b 2 =xc e a 2 =yc e concluir que a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa e designar esta proposição por «Teorema de Pitágoras» Reconhecer que um triângulo de medida de lados a, b e c tais que a 2 + b 2 = c 2 é retângulo no vértice oposto ao lado de medida c e designar esta propriedade por «recíproco do Teorema de Pitágoras». Resolver problemas geométricos envolvendo a utilização dos Teoremas de Pitágoras e de Tales. Resolver problemas envolvendo a determinação de distâncias desconhecidas por utilização dos Teoremas de Pitágoras e de Tales. Reconhecer que um triângulo de medida de lados a, b e c tais que a 2 + b 2 = c 2 é retângulo no vértice oposto ao lado de medida c e designar esta propriedade por «recíproco do Teorema de Pitágoras». Resolver problemas geométricos envolvendo a utilização dos Teoremas de Pitágoras e de Tales. Resolver problemas envolvendo a determinação de distâncias desconhecidas por utilização dos Teoremas de Pitágoras e de Tales. Utilizar o Teorema de Pitágoras para construir geometricamente radicais de números naturais e representá-los na reta numérica. VETORES, TRANSLAÇÕES E ISOMETRIAS Objetivo Geral: Compreender e usar a noção de semelhança para resolver problemas em contextos diversos
Compreender e usar as isometrias para resolver problemas em contextos diversos Total: 2 quinzenas do 1.º período. A definir nos PIQAs. O que é um segmento orientado? E um vetor? Direção, sentido e comprimento de um segmento orientado; Segmentos orientados equipolentes; Vetor nulo; Vetores colineares e vetores simétricos. Como posso identificar uma translação? Soma de um ponto com um vetor; Translação associada a um vetor; Composição de translações; Adição de vetores; Propriedades da adição de vetores. Como construir e reconhecer propriedades das translações do plano? Soma de um ponto com um vetor; Translação associada a um vetor; Composição de translações; Adição de vetores; Propriedades da adição de vetores. Reflexão deslizante; isometria; propriedades das isometrias; composição de isometrias. Identificar segmentos orientados [A,B] e [C,D] como tendo «a mesma direção e sentido» ou simplesmente «o mesmo sentido» quando as semirretas AB e CD tiverem o mesmo sentido e como tendo «sentidos opostos» quando tiverem a mesma direção mas não o mesmo sentido. Identificar segmentos orientados como «equipolentes» quando tiverem a mesma direção, sentido e comprimento e reconhecer que os segmentos orientados [A,B] e [C,D] de retas suportes distintas são equipolentes quando (e apenas quando) [ABCD] é um paralelogramo. Saber que um «vetor» fica determinado por um segmento orientado de tal modo que segmentos orientados equipolentes determinam o mesmo vetor e segmentos orientados não equipolentes determinam vetores distintos, designar esses segmentos orientados por «representantes» do vetor e utilizar corretamente os termos «direção», «sentido» e «comprimento» de um vetor. Designar por «vetor nulo» o vetor determinado pelos segmentos orientados de extremos iguais e representá-lo por 0. Identificar a «translação de vetor u como a aplicação que a um ponto P associa o ponto P + u e designar a translação e a imagem de P respetivamente por Tu e por Tu (P). Identificar, dados vetores u e v, a «composta da translação Tv com a translação Tu» como a aplicação que consiste em aplicar a um ponto P a translação Tu e, de seguida, a translação Tv ao ponto Tu (P) obtido. Reconhecer que Tv otu é uma translação de vetor w tal que se u =AB e designando por C a extremidade do representante de v de origem B (v =BC ), então w =AC e designar w por u +v («regra do triângulo»). Reconhecer que se podem adicionar dois vetores através da «regra do paralelogramo». Identificar a «translação de vetor u como a aplicação que a um ponto P associa o ponto P + u e designar a translação e a imagem de P respetivamente por Tu e por Tu (P). Reconhecer que se podem adicionar dois vetores através da «regra do paralelogramo». Saber que as translações são as únicas isometrias que mantêm a direção e o sentido de qualquer segmento orientado ou semirreta. Identificar, dada uma reflexão R r de eixo r e um vetor u com a direção da reta r, a «composta da translação Tu com a reflexão R r» como a aplicação que consiste em aplicar a um ponto P a reflexão R r e, em seguida, a translação T u ao ponto R r(p) assim obtido e designar esta aplicação por «reflexão deslizante de eixo r e vetor u». Saber que as imagens de retas, semirretas e ângulos por uma isometria são respetivamente retas, semirretas e ângulos, transformando origens em origens, vértices em vértices e lados em lados. Saber que as únicas isometrias do plano são as translações, rotações, reflexões axiais e reflexões deslizantes. Identificar, dada uma reflexão R r de eixo r e um vetor u com a direção da reta r, a «composta da translação Tu com a reflexão R r» como a aplicação que consiste em aplicar a um ponto P a reflexão R r e, em seguida, a translação T u
Como resolver prolemas envolvendo as isometrias? ao ponto R r(p) assim obtido e designar esta aplicação por «reflexão deslizante de eixo r e vetor u». Resolver problemas envolvendo as propriedades das isometrias utilizando raciocínio dedutivo. Resolver problemas envolvendo figuras com simetrias de translação, rotação, reflexão axial e reflexão deslizante. GRÁFICOS DE FUNÇÕES AFINS Objetivo Geral: Compreender o conceito de função e de gráfico de uma função Usar o conceito de função em situações de proporcionalidade direta e inversa Analisar propriedades de uma função em várias representações Comunicar, raciocinar e modelar situações recorrendo a conceitos e procedimentos algébricos Total: 2 quinzenas do 2.º período. A definir nos PIQAs. Como identificar o gráfico de uma função linear? - Função linear, equação da reta, declive. Como identificar o gráfico de uma função afim? - Função Afim, equação de uma reta vertical e não vertical, declive de uma reta não vertical Como interpretar retas e gráficos de funções em contextos diversos? Associar o gráfico cartesiano de uma função linear a uma reta que contém a origem do referencial. Escrever a equação de uma reta não vertical que contém a origem do referencial. Representar graficamente uma função linear. Identificar o declive de uma reta não vertical representada num referencial ortogonal e monométrico. Associar o gráfico cartesiano de uma função afim a uma reta. Identificar o declive e a ordenada na origem de uma reta. Reconhecer que duas retas não verticais são paralelas quando (e apenas quando) têm o mesmo declive. Escrever equações de retas. Determinar o declive de uma reta não vertical dados dois dos seus pontos. Determinar a expressão algébrica de uma função afim dados dois pontos do respetivo gráfico. Determinar a equação de uma reta paralela a outra dada e que passa num determinado ponto. Resolver problemas envolvendo equações de retas em contextos diversos. MONÓMIOS E POLINÓMIOS. EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2.º GRAU
Objetivo Geral: Reconhecer equações do 2º grau a uma incógnita Resolver e formular problemas envolvendo equações do 2º grau incompletas Adequar as soluções obtidas de uma equação do 2º grau incompleta ao contexto do problema Total: 2 quinzenas do 2.º período. A definir nos PIQAs Tarefas: Atribuir posteriormente aos elementos de cada grupo (A, O, E) O que é um monómio? Monómio, variáveis, fatores numéricos, parte numérica e parte literal de um monómio, monómios semelhantes, monómios simétricos, monómios iguais, grau de um monómio Como determino a soma, a diferença e a multiplicação de monómios? Soma algébrica de monómios, produto de monómios O que é um polinómio? Polinómio, variáveis e coeficientes de um polinómio, forma reduzida de um polinómio, polinómios iguais, grau de um polinómio, termo independente de um polinómio Como operar com polinómios? Adição de polinómios; produto de polinómios Identificar um monómio como uma expressão que liga por símbolos de produto «fatores numéricos» e potências de expoente natural e de base representada por letras, ditas «variáveis». Designar por «parte numérica» ou «coeficiente» de um monómio uma expressão representando o produto dos respetivos fatores numéricos; «monómio nulo» um monómio de parte numérica nula e por «monómio constante» um monómio reduzido à parte numérica; «parte literal» de um monómio, o produto, de cada uma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em que essa variável intervém no monómio dado; «forma canónica» de um monómio, um monómio em que se representa em 1º lugar a parte numérica e em seguida a parte literal; «grau» de um monómio a soma dos expoentes da respetiva parte literal e atribuir aos monómios constantes não nulos o grau 0. Identificar 2 monómios não nulos como «semelhantes» quando têm a mesma parte literal e como «iguais» quando admitem a mesma forma canónica ou quando são ambos nulos. Reduzir monómios à forma canónica e identificar monómios iguais. Identificar, dados monómios semelhantes não nulos, a respetiva «soma algébrica» como um monómio com a mesma parte literal e cujo coeficiente é igual à soma algébrica dos coeficientes das parcelas e o «produto de monómios» como 1 monómio cuja parte numérica é igual ao produto dos coeficientes dos fatores e a parte literal se obtém representando cada uma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em que essa variável intervém nos monómios dados. Multiplicar monómios e adicionar algebricamente monómios semelhantes. Designar por «polinómio» um monómio ou uma expressão ligando monómios (designados por «termos do polinómio») através de sinais de adição, que podem ser substituídos por sinais de subtração; «variáveis do polinómio» ou «indeterminadas do polinómio» as variáveis dos respetivos termos e por «coeficientes do polinómio» os coeficientes dos respetivos termos; «forma reduzida» de um polinómio qualquer polinómio que se possa obter do polinómio dado eliminando os termos nulos, adicionando algebricamente os termos semelhantes e eliminando as somas nulas; polinómios «iguais» os que admitem uma mesma forma reduzida; por «termo independente de um polinómio» o termo de grau 0 de uma forma reduzida e por «polinómio nulo» um polinómio com forma reduzida «0»; «grau» de um polinómio não nulo o maior dos graus dos termos de uma forma reduzida desse polinómio. Identificar, dados polinómios não nulos, o «polinómio soma» (respetivamente «polinómio diferença») como o que se obtém ligando os polinómios parcelas através do sinal de adição (respetivamente «subtração») e designar ambos por «soma algébrica» dos polinómios dados. Identificar o «produto» de dois
Quais são os casos notáveis da multiplicação? Casos notáveis da multiplicação como igualdade de polinómios, quadrado de um binómio, diferença de quadrados. Como fatorizar polinómios? Casos notáveis da multiplicação de polinómios, factorização de polinómios. Como resolver equações incompletas do 2º grau Equações do 2º grau, equações do 2º grau incompletas, lei do anulamento do produto. Como resolver problemas envolvendo polinómios e equações do 2.º grau? polinómios como o polinómio que se obtém efetuando todos os produtos possíveis de um termo de um por um termo do outro e adicionando os resultados obtidos. Reconhecer que se obtém uma forma reduzida da soma algébrica de dois polinómios na forma reduzida adicionando algebricamente os coeficientes dos termos semelhantes, eliminando os nulos e as somas nulas assim obtidas e adicionando os termos assim obtidos, ou concluir que a soma algébrica é nula se todos os termos forem assim eliminados. Reconhecer, dada uma soma (respetivamente produto) de polinómios, que substituindo as indeterminadas por números, obtém-se uma expressão numérica de valor igual à soma (respetivamente produto) dos valores das expressões numéricas que se obtêm substituindo, nas parcelas (respetivamente fatores), as indeterminadas respetivamente pelos mesmos números. Efetuar operações entre polinómios, determinar formas reduzidas e os respetivos graus. Reconhecer os casos notáveis da multiplicação como igualdades entre polinómios e demonstrá-los. Resolver problemas que associem polinómios a medidas de áreas e volumes interpretando geometricamente igualdades que os envolvam. Fatorizar polinómios colocando fatores comuns em evidência e utilizando os casos notáveis da multiplicação de polinómios. Designar a equação do 2.º grau ax 2 +bx+c=0 (a 0) por «incompleta» quando b=0 ou c=0. Provar que se um produto de números é nulo então um dos fatores é nulo e designar esta propriedade por «lei do anulamento do produto». Demonstrar que a equação do 2.º grau x 2 =k não tem soluções se k<0, tem uma única solução se k=0 e tem duas soluções simétricas se k>0. Aplicar a lei do anulamento do produto à resolução de equações de 2.º grau, reconhecendo, em cada caso, que não existem mais do que duas soluções e simplificando as expressões numéricas das eventuais soluções. Resolver problemas envolvendo equações do 2.º grau incompletas. Resolver problemas que associem polinómios a medidas de áreas e volumes interpretando geometricamente igualdades que os envolvam. EQUAÇÕES LITERAIS. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1.º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS Objetivo Geral: Resolver sistemas de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas Resolver problemas Total: 2 quinzenas do 3.º período. A definir nos PIQAs O que é uma equação literal? - Polinómios, equação, equação literal - Resolução de uma equação literal em ordem a uma dada incógnita Designar por «equação literal» uma equação que se obtém igualando dois polinómios de forma que pelo menos um dos coeficientes envolva uma ou mais letras. Resolver equações literais do 1.º e do 2.º graus em ordem a uma dada incógnita considerando apenas essa incógnita como variável dos polinómios envolvidos e as restantes letras como constantes.
O que é um sistema de duas equações do 1.º grau com duas incógnitas? - Forma canónica, sistema de duas equações do 1º grau, solução de um sistema de duas equações do 1º grau, sistemas equivalentes. Como resolvo um sistema de duas equações do 1.º grau pelo método de substituição? - Método de substituição Como classifico um sistema de duas equações do 1.º grau com duas incógnitas? - Sistema impossível, sistema possível e determinado, sistema possível indeterminado Como resolver problemas envolvendo sistemas de duas equações do 1.º grau com duas incógnitas? Designar por «sistema de duas equações do 1.º grau com duas incógnitas x e y» um sistema de duas equações numéricas redutíveis à forma «ax by x» tal que os coeficientes a e b não são ambos nulos e utilizar corretamente a expressão «sistema na forma canónica». Designar, fixada uma ordem para as incógnitas, o par ordenado de números 0, 0 x y como «solução de um sistema com duas incógnitas» quando, ao substituir em cada uma das equações a primeira incógnita por x e a segunda 0 por y, se obtêm duas igualdades verdadeiras e por «sistemas equivalentes» 0 sistemas com o mesmo conjunto de soluções. Interpretar geometricamente os sistemas de duas equações de 1.º grau num plano munido de um referencial cartesiano. Resolver sistemas de duas equações do 1.º grau pelo método de substituição. Interpretar geometricamente os sistemas de duas equações de 1.º grau num plano munido de um referencial cartesiano e reconhecer que um tal sistema ou não possui soluções («sistema impossível») ou uma única solução («sistema possível e determinado») ou as soluções são as coordenadas dos pontos da reta definida por uma das duas equações equivalentes do sistema («sistema possível e indeterminado»). Resolver problemas usando sistemas de equações; Interpretar ideias matemáticas representadas de diversas formas; Traduzir relações de linguagem natural para linguagem matemática e vice-versa; Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando notação, simbologia e vocabulário próprios. DIAGRAMA DE EXTREMOS E QUARTIS. MEDIDAS DE DISPERSÃO Objetivo Geral: Representar, tratar e analisar conjuntos de dados Resolver problemas Total: 1 quinzena do 3.º período A definir nos PIQAs Sabes o que são quartis? Identificar, dado um conjunto de dados numéricos (sendo ímpar), o «primeiro quartil» (respetivamente «terceiro quartil») como a mediana do subconjunto de dados de ordem inferior (respetivamente superior) a na sequência ordenada do conjunto inicial de dados. Identificar, dado um conjunto de dados numéricos (sendo par), o «primeiro quartil» (respetivamente «terceiro quartil») como a mediana do subconjunto de dados de ordem inferior ou igual a (respetivamente superior ou igual a ) na sequência ordenada do conjunto inicial de dados.
O que é um diagrama de extremos e quartis? Quais são as Medidas de dispersão? Amplitude e amplitude interquartil Como resolver problemas envolvendo a análise de dados? Identificar, considerado um conjunto de dados numéricos, o «segundo quartil» como a mediana desse conjunto e representar os primeiro, segundo e terceiro quartis respetivamente por, e. Reconhecer, considerado um conjunto de dados numéricos, que a percentagem de dados não inferiores (respetivamente não superiores) ao primeiro (respetivamente terceiro) quartil é pelo menos. Representar conjuntos de dados quantitativos em diagramas de extremos e quartis. Identificar a «amplitude interquartil» como a diferença entre o 3.º quartil e o 1.º quartil ( ) e designar por «medidas de dispersão» a amplitude e a amplitude interquartis. Resolver problemas envolvendo a análise de dados representados em gráficos diversos e em diagramas de extremos e quartis.