DETERMINAÇÃO DA FREQÜÊNCIA DE RESSONÂNCIA DE ANTENAS TIPO MICROFITA TRIANGULAR E RETANGULAR UTILIZANDO REDES NEURAIS ARTIFICIAIS E. R.Brinhole*, J. F. Z. Destro**, A. A. C. de Freitas***, N. P. de Alcantara Jr****. *UMP/Londrina/PR, **CEFET/Cornélio Procópio/PR, ***UNICAMP/Campinas/SP, ****UNESP/Bauru/SP naasson@feb.unesp.br RESUMO Apresentam-se modelos para auxiliar o projeto de antenas tipo microfita de equipamentos móveis, tanto para antenas retangulares como para antenas triangulares. Comparam-se modelos deterministas e modelos empíricos baseados em Redes Neurais Artificiais (RNA) da literatura pesquisada com os modelos apresentados neste trabalho. Apresentam-se modelos empíricos baseados em RNA tipo Perceptron Multi-camadas (PMC) e tipo Função de Base Radial (RBF). Os resultados alcançados em simulações realizadas comprovam que os modelos baseados em redes RBF fornecem resultados superiores aos demais modelos comparados. Os modelos propostos também são capazes de serem integrados em um ambiente CAD (Computed Aided Design) para projetar antenas tipo microfita de equipamentos móveis. 1. INTRODUÇÃO Na década de 1980 surgiram aplicações importantes dos sistemas de inteligência computacional (IC) em diversas áreas do conhecimento humano. Estes sistemas são baseados em redes neurais artificiais (RNA), em modelagens nebulosas e em algoritmos genéticos (AG). O nome inteligência computacional foi criado para distinguir esta classe de modelos daquelas criadas a partir da inteligência artificial (IA) tradicional, que representa e reproduz o conhecimento por meio de um conjunto de regras que são processadas automaticamente. Estas metodologias têm características como: aprendizado (RNA); raciocínio humano aproximado (nebuloso); busca inteligente (AG). Na área de antenas de equipamentos móveis tipo microfita, as aplicações de IC surgiram na década de 1990, por exemplo, citam-se as referências [1 e 2]. A freqüência de ressonância de antenas retangulares e triangulares dos equipamentos móveis deve ser determinada com precisão elevada porque necessita ter largura de faixa estreita. Por motivos óbvios, este tipo de antena deve operar somente na vizinhança da freqüência de ressonância. Esta aplicação sugere que os modelos baseados em RNA, treinados com dados experimentais da mesma classe de antena, coletados anteriormente, podem estimar preliminarmente a freqüência de ressonância de antenas triangulares ou retangulares tipo microfita em processo de fabricação e, a partir dos dados finais de fabricação da antena, determinar sua freqüência de ressonância com precisão. Observe-se que uma RNA não requer nenhuma fórmula (modelo determinista) para estimar a freqüência de ressonância da antena, ou seja, uma vez treinada a partir de dados experimentais, poderá determinar a freqüência de ressonância de uma antena da mesma classe (triangular, retangular etc). Assim, pode-se dizer que se trata de uma modelagem empírica, ou seja, baseada no comportamento do fenômeno (fenomenológica). Como um exemplo real de um diagrama de polarização de uma antena tipo microfita retangular, a figura (1) apresenta o diagrama de polarização linear horizontal (H) e vertical (E) de uma antena com as seguintes características físicas: L = 1.2 cm; W = 0,8 cm; P (E e H) = 15 db; freq. = 10.525 GHz. A metodologia utilizada para estimar a freqüência de ressonância da antena retangular é de acordo com a referência [1], que é baseada nos parâmetros: W - largura; L - comprimento; h - espessura; ε r - permissividade do substrato. A metodologia para estimar a freqüência de ressonância de uma antena triangular é de acordo com a referência [2], que é baseada nos parâmetros: a - comprimento lateral do dispositivo; h - espessura; ε r - permissividade do substrato; m e n - modalidades de TM mn excitadas. Estes modelos podem ser utilizados para uma faixa razoável de larguras, de espessuras e de permissividades das antenas projetadas, bem como, são adaptáveis ao ambiente CAD. As fórmulas matemáticas exatas utilizadas por métodos deterministas rigorosos envolvem procedimentos
numéricos extensivos, ocasionando erros de truncamento etc. Este tipo de procedimento pode também necessitar de ajustes experimentais finais em relação a resultados teóricos obtidos previamente. Além dis so consomem muito tempo e não são facilmente adaptáveis ao ambiente de um sistema CAD. Figura 1. Diagrama de polarização E e H - antena retangular 2. METODOLOGIA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A freqüência de ressonância de antenas tipo mic rofita é um fenômeno regido por uma lei cujo comportamento pode ser determinado a partir de amostras entrada-saída que retratam a aplicação desta lei para alguns casos específicos e, por interpolação, explica também outros casos similares, dentro de um domínio de interesse em que as amostras (com boa qualidade) possam ser obtidas. Logo, uma RNA pode adequar-se perfeitamente à solução deste problema. Caso contrário, estarão em jogo apenas aspectos da distribuição espacial dos dados [7]. A metodologia utilizada neste trabalho consiste em desenvolver modelos para estimar a freqüência de ressonância e compará-los com os resultados apresentados pelos modelos deterministas das referências [3-6] e os modelos baseados em Redes Neurais Artificiais (RNA) apresentados pelas referências [1-2]. A partir dos dados experimentais utilizados pelas referências [1-2], desenvolvem-se modelos baseados em RNA, para estimar as freqüências de ressonância de antenas tipo microfita retangulares e triangulares com características semelhantes, mas não iguais. Estes modelos são baseados nas RNA tipo Perceptron Multi-Camadas (PMC) e tipo Função de Base Radial (RBF). A partir de vários modelos desenvolvidos (por exemplo: dependem da quantidade de neurônios e do ajuste dos pesos), baseados em RNA, será escolhido o melhor modelo para antena retangular e o melhor modelo para antena triangular. Note-se que a motivação por trás da utilização das redes neurais artificiais é a possibilidade de se encontrar soluções eficazes para problemas de difícil tratamento. Entretanto, o potencial das redes neurais artificiais só pode ser devidamente explorado com o emprego de procedimentos refinados de análise e síntese, ou seja, os recursos de processamento devem ser aplicados na medida certa e na situação apropriada [7]. O cenário atual exige soluções mais competitivas e a tendência é que este cenário torne-se mais exigente. Portanto, detectar deficiências nas metodologias convencionais e explorar apropriadamente a flexibilidade das redes neurais artificiais pode justificar sua utilização. Assim, deve-se avaliar o ganho de desempenho face ao aumento de complexidade. As redes tipo Perceptron Multi-Camadas (PMC) constituem-se em uma alternativa atraente, porém, o treinamento delas é feito pelo algoritmo bacpropagation que pode apresentar dificuldades típicas dos algoritmos de otimização baseados em gradiente descendente. Estas dificuldades podem ser de velocidade de convergência ou susceptibilidade a mínimos locais, aumentando o esforço computacional e diminuindo a interpretabilidade/ ransparência dos resultados [8]. Uma alternativa às redes tipo PMC são as Redes de Base Radial (RBF). Neste artigo, as RNA são utilizadas para modelar o relacionamento entre os parâmetros físicos de uma antena tipo microfita e o resultado medido da freqüência de ressonância. O tipo de arquitetura adotada neste trabalho é a feedforward e, entre os tipos de RNA com esta arquitetura, escolheram-se as RNA tipo PMC e RBF para realizar as simulações. Uma arquitetura PMC típica pode ser expressa pela figura (2). Camada de Entrada x 1 x 2 x N 1 a Camada Escondida 1 2 3 N 2 a Camada Escondida N Figura 2. Arquitetura Neural do PMC 1 2 3 Saída fmn
Muitos algoritmos diferentes podem ser utilizados em conjunto com este tipo de arquitetura. Um algoritmo clássico utilizado para treinamento de redes tipo PMC é o gradiente conjugado, considerado um método heurístico. O método analítico de Newton é uma alternativa aos métodos de gradiente conjugado para uma otimização rápida. A equação básica do método de Newton é: x = x +1 -H 1 g (1) Onde H é a matriz Hessiana (derivada segunda) do índice de desempenho dos valores atuais dos pesos e das polarizações (bias), e g é o gradiente atual. O método de Newton converge freqüentemente mais rápido do que os métodos baseados no gradiente descendente. Infelizmente, é complexa e computacionalmente custosa a estimativa da matriz Hessiana para redes neurais com arquitetura tipo feedforward. Há uma classe de algoritmos que são baseados no método de Newton, mas que não requerem o cálculo das derivadas segundas. Estes métodos analíticos são chamados de métodos Quasi-Newton (ou secante). Atualizam uma matriz aproximada da Hessiana, em cada iteração do algoritmo. A atualização é computada em função do gradiente. Assim, para as antenas retangulares utilizam-se redes tipo PMC, com treinamento pelo método Quasi-Newton proposto por Broyden, Fletcher, Goldfarb, e Shanno (BFGS). Este algoritmo é descrito na referência [9] e a equação básica do método BFGS é apresentada pela equação (2), a seguir: T 1 T? x = [J (x).j(x)] J (x).e(x) (2) Onde J é a matriz Jacobiana e o vetor e representa os erros. O algoritmo de aprendizagem das redes PMC que apresentou melhores resultados para antenas triangulares foi o algoritmo Rprop Resilient Propagation [10]. A principal diferença entre este algoritmo e as outras heurísticas baseadas em variações do bacpropagation é que os ajustes dos pesos (w) dos neurônios da rede e da taxa de aprendizado (η) depende apenas dos sinais dos gradientes da função erro E(w), não dependendo portanto de sua magnitude. A função E(w) é responsável pela especificação de um critério de desempenho que está associado à rede. No algoritmo Rprop, os pesos e a taxa de aprendizado são alterados apenas uma única vez em cada época de treinamento. Cada peso w possui sua própria taxa de variação ( ), a qual varia em função do tempo t da seguinte forma: + η. (t 1), se ( t 1). > 0 (t ) = η. (t 1), se ( t 1). < 0 ( t 1), caso contrário Onde 0 < η - < 1 < η +. Uma mudança no sinal das derivadas parciais correspondentes ao peso w indica que a última mudança foi grande suficiente para que o sistema saltasse sobre um ponto de mínimo da função E(w), o que implica então numa diminuição do valor de proporcional ao fator η -. Já as derivadas consecutivas com o mesmo sinal indicam que o sistema está movendo permanentemente em uma única direção, o que implica assim num aumento sensível de proporcional ao fator η +. Os pes os da rede são então alterados por meio das seguintes equações: ( t), se ( t) > 0 w ( t) = + ( t), se ( t) < 0 (4) 0, casocontrário É importante notar que a mudança nos pesos da rede depende apenas do sinal das derivadas parciais, independente de sua magnitude. Se a derivada for positiva, o peso é decrementado por (t); se a derivada for negativa, o peso será incrementado por (t). Nas situações estudadas para antenas triangulares, utilizando redes tipo PMC, o algoritmo de aprendizagem Rprop foi mais eficiente que aqueles baseados no método gradiente conjugado [11] ou nos métodos gradiente de segunda ordem, como o de Levenberg-Marquardt [12]. Por outro lado, nesta aplicação, tanto para antenas retangulares como triangulares, os modelos baseados em redes RBF alcançaram melhores resultados. A arquitetura básica das redes RBF é de acordo com a figura (3). O algoritmo de treinamento utilizado foi de acordo com as referências [2]e [4] e a equação básica da rede tipo RBF é representada pela equação (5), a seguir: ^ i y( n + 1) = w (n)* ϕ( u( n) - z ) (5) = 0 Onde ϕ ( u( n) z ) é uma função escalar radialmente simétrica, tendo z como centro. Os vetores z são, por esta razão, referidos como centros no contexto de redes neurais RBF. O operador é usualmente a norma euclidiana - ou norma L2 - e mede o módulo do vetor (3)
argumento, isto é, a distância euclidiana da ponta do vetor à sua origem. Maiores detalhes sobre o treinamento deste tipo de RNA poderão ser vistos na referência [2 ] e [15]. u(n) φ 0(u) w 0(n) u i u(n-1) φ 1(u) w 1(n) Σ y(n+1) u(n-m+1) φ i(u) W i (n) Figura 3. Arquitetura Neural da rede RBF Obviamente, a complexidade da implementação de um modelo via RNA pode aumentar e tornar difícil encontrar a solução global ótima já que nem sempre se sabe determinar exatamente o ponto de mínimo global e o número de parâmetros de ajustes (pesos). Na próxima seção apresentam-se os resultados das simulações utilizando as abordagens propostas. 3. SIMULAÇÕES REALIZADAS Uma rede tipo PMC é usada em conjunto com um algoritmo de retro-propagação auxiliado pelo método BFGS para ajustar o modelo para as antenas retangulares. O treinamento da rede é feito com regularização. Os valores W, L, h e ε r são usados como entradas das antenas retangulares e a saída da RNA é a freqüência de ressonância (f mn ). Os melhores resultados foram obtidos usando duas camadas escondidas, com 25 e 51 nós, respectivamente, obedecendo à heurística sugerida em [15]. O número de épocas de treinamento foi de 3.741 e a soma dos quadrados dos erros foi 597.98, de acordo com a figura (4)., com resultados superiores aos apresentados pela referência [1], com 200.000 épocas e soma dos quadrados dos erros igual a 749. Os valores apresentados na tabela (1) demonstram a superioridade dos modelos propostos a partir das RNA tipo RBF. Observa-se que o desempenho da RNA tipo PMC é superior aos métodos disponíveis na literatura pesquisada (deterministas e baseados em RNA), mas inferiores às performances apresentadas pela s redes RBF. Figura 4. Treinamento da rede PMC antena retangular Tabela 1. Comparação entre a soma dos quadrados dos erros dos modelos empíricos e deterministas antena retangular Método Soma dos quadrados dos erros RBF Freqüência de ressonância PMC fmn [1] fmn [3] fmn [4] 10-8 598 749 31.436 108.707 Épocas 75 3.741 200 mil - - Tempo de treinamento 1 min. 3 horas - - - Para antenas triangulares os melhores resultados foram obtidos usando uma RNA com duas camadas escondidas, com 50 e 101 neurônios, respectivamente, obedecendo à heurística sugerida em [15]. O algoritmo de treinamento que melhor se adequou a este tipo de antena foi Rprop, vide figura (5). Embora o número de épocas necessárias para o treinamento tenha sido 105.000, o tempo de treinamento foi de 5 minutos e a soma dos quadrados dos erros 20. Este resultado é superior ao apresentado pela referência [2], com soma dos quadrados dos erros igual a 23. Os valores apresentados na tabela 2 também demonstram a superioridade do método proposto a partir da RNA tipo RBF. Observa-se que o desempenho da RNA tipo PMC é inferior ao método baseado na rede RBF, superior ao apresentado pela referência [2] e aos métodos empíricos disponíveis na literatura pesquisada.
Figura 5. Treinamento da rede PMC antena triangular Tabela 2. Comparação entre a soma dos quadrados dos erros dos modelos empíricos e deterministas antena triangular Método Soma dos quadrados dos erros RBF Freqüência de ressonância PMC fmn [2] fmn [5] fmn [6] 10e(-8) 20.3 23 326 424 Épocas 75 105 mil 25 mil - - Tempo de treinamento 1 min. 30 min. - - - 4. CONCLUS ÕES Os resultados obtidos usando os modelos s neste artigo estão muito mais perto dos valores experimentais do que os valores obtidos usando os métodos analíticos e os baseados em RNA comparados. Assim, como estes modelos apresentaram resultados com precisão excelente, podem ser incorporados a um ambiente CAD. Em termos práticos, as redes RBF apresentaram maior rapidez de processamento, custos computacionais menores e maior precisão na estimação da freqüência de ressonância. 5. MAJOR HEADINGS [1] D. Karaboga, K. Güney, S. Sagiroglu and M. Erler, Neural computation of resonant frequency of electrically thin and thic rectangular microstrip antennas. IEEE Proc. Microw. Antennas Proprag., vol. 146, no. 2, April 1999. [2] C. Christodoulou, M. Georgiopoulos, Applications of neural networs in eletromagnetics, 1rd ed., Oxford: Clarendon, 1999, pp. 354-357. [3] K. Güney, "A new edge extension expression for the resonant frequency of electrically thic rectangular microstrip antennas", Int. J. Electron., 1993, 75, (4), pp. 767-770. [4] M. Kara, "Closed-form expressions for the resonant frequency of rectangular microstrip antenna elements with thic substrates", Microw. Opt. Technol. Lett., 1996, 12, (3), pp. 131-136. [5] R. Garg and S. A. Long, "An Improved Formula for the Resonant Frequency of the Triangular Microstrip Patch Antennas", IEEE Proc. Microw. Antennas Proprag., vol. 36, 1998, p. 570. [6] J. Helszajn and D. S. James, "Planar Triangular Resonators with Magnetic Walls", IEEE Proc. Microw. Theory and Techniques., vol. 26, no. 2, 1978, pp. 95-100. [7] Fernando J. Von Zuben, Uma Caricatura Funcional de Redes Neurais Artificiais, DCA/FEEC/Unicamp - Campinas SP Brasil, 2003 [8] A. A. C. Freitas et al., Non-Linear Ponder Autoregressive (NPAR) Neural Networ (NN) Methodology to Predict Brazilian Exchange Rates, IV Quarto Encontro Brasileiro de Finanças - Sbfin, Rio de Janeiro, 2004. [9] J. E. Dennis and R. B. Schnabel, Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1983. [10] M. Riedmiller and H. Braun, A direct adaptive method for faster bacpropation learning: the RPROP algorithm, Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networs (San Francisco), Vol. 1, pp. 586-591, 1993. [11] R. D. Reed and R. J. Mars, Neural Smithing, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1999. [12] M. T. Hagan and Menhaj, Training feedforward networs with the Marquardt algorithm, IEEE Trans. on neural networs, vol. 5, no. 6, pp. 989-993, 1994. [13] A. A. C. Freitas, Redes Neurais Artificiais Aplicadas em Transformadores de Distribuição Imersos em Óleo, Tese de Mestrado, UNESP/FE/DEE, Bauru-SP, 2000. [14] H. Demuth and M. Beale, Neural Networ Toolbox, The Mathwors Inc., 1998. [15] S. Hayin, Neural Networs - A Comprehensive Foundation, McMillan Inc., Englewood Cliffs NJ, USA, 1994.