Língua Natural EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Mestrado em Engenharia Informática e de Computadores Língua Natural EXERCÍCIOS RESOLVIDOS (Linguagem Lambda) 3ª Edição Nuno Mamede Maio 2010 Departamento de Engenharia Informática Instituto Superior Técnico

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 2 Í NDICE ENUNCIADOS 3 SOLUÇÕES 7 Problema 1 - Substituição de variáveis...7 Problema 2 - Redução Beta...7 Problema 3 - Numerais (adição e multiplicação)...8 Problema 4 - Numerais (zero?)...9 Problema 5 - Condicional...10 Problema 6 - Cálculo combinatório (simplificação)...11 Problema 7 - Cálculo combinatório (simplificação)...11 Problema 8 - Combinador B...11 Problema 9 - Combinador F...11 Problema 10 - Combinador W...12 Problema 11 - Algoritmo de abstracção (combinadores M, T e B)...12 Problema 12 - Algoritmo de abstracção (λg.λy.g y y)...12 Problema 13 - Algoritmo de abstracção (factorial)...13 Problema 14 - Combinador de pontos fixos...13 Problema 15 - Cálculo de 6!...13 Problema 16 - Numerais (predecessor)...15

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 3 ENUNCIADOS Problema 1 - Substituição de variáveis Calcule as seguintes substituições de variáveis: (a) [λz.λy.(y z)/x] ((λu.x u)(u x)) (b) [λu.(y u)/x] (λy.(x y)) (c) [2/z] λy.(λx.x y z) λz.z y Problema 2 - Redução Beta Aplicando redução- simplifique os seguintes termos: (a) (λu.u u)(λu.u u) (b) (λy.(λz.w)y) ((λu.u u) (λu.u u)) (c) (λz.λy.λx.y(z x)) p q r (d) (λz.λy.λx.y z) (z y) (u x) y (e) (λx.λy.x (y y)) (λz.x (z z)) (λu.λv.u) w Problema 3 - Numerais (adição e multiplicação) Considere a seguinte representação em termos lambda dos numerais: 0 = λf.λx.x 1 = λf.λx.f x 2 = λf.λx.f (f x) n = λf.λx.(f n x) onde f n x exprime a aplicação de f a x exactamente n vezes. e a seguinte representação em termos lambda: mais = λn.λm.λf.λx.n f (m f x) vezes = λn.λm.λf.n (m f) Prove que: (a) mais 1 2 = 3 (b) vezes 1 1 = 1 (c) vezes 2 1 = 2 (d) vezes 3 2 = 6 Problema 4 - Numerais (zero?) Considere as representações apresentadas no Problema 3 e as seguintes: zero? = λx.x (λy.λz.falso) (λx.x) verd falso = λx.λy.y verd = λx.λy.x

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 4 Prove que: (a) zero? 3 = falso (b) zero? 2 = falso (c) zero? 1 = falso (d) zero? 0 = verd Problema 5 - Condicional Considere a seguinte representação em termos lambda: falso = λx.λy.y verd = λx.λy.x se = λx.x Prove que: (a) se verd 1 2 = 1 (b) se falso 1 2 = 2 Problema 6 - Cálculo combinatório (simplificação) Simplifique o máximo que puder a seguinte expressão: S (S (K S) (S (K K) K)) (K (S K K)) M N Problema 7 - Cálculo combinatório (simplificação) Simplifique o máximo que puder a seguinte expressão: S (B B S) (K K) M N O em que: B M N O -> M (N O) Problema 8 - Combinador B Sabendo que B M N O -> M (N O) mostre que o combinador E M N O P Q -> M N (O P Q) é equivalente a: B(B B B). Problema 9 - Combinador F Mostre que o combinador F M N O -> O N M é equivalente a: B(B(T(B B T)) (B B T)) (B B T) em que: B M N O -> M (N O) T M N -> N M Problema 10 - Combinador W Seja W o combinador com o seguinte esquema de redução: Prove que W = SS(KI) W M N -> M N N Problema 11 - Algoritmo de abstracção (combinadores M, T e B) Exprima em termos de S, K e I os seguintes combinadores: (a) M O -> O O (b) T M N -> N M (c) B M N O -> M (N O) Problema 12 - Algoritmo de abstracção (lg.ly.g y y) Elimine variáveis e abstracções no programa: λg.λy.g y y Confirme o resultado.

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 5 Problema 13 - Algoritmo de abstracção (factorial) Elimine variáveis e abstracções no programa: λx.se (zero? x) 1 (vezes x( f (pred x 1))) Problema 14 - Combinador de pontos fixos Mostre que o seguinte combinador é um determinante de pontos fixos: λf.(λg.λx.f (g g) x) (λg.λx.f (g g) x) Problema 15 - Cálculo de 6! Mostre que: Y (λf.λn.se (zero? n) 1 (vezes n (f (pred n)))) 3 = 6 Em que Y é o determinante de pontos fixos: Y = λf.(λx.f (x x)) (λx.f (x x))

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 6 Problema 16 - Numerais (predecessor) Considere as representações apresentadas no Problema 3 e que: pred = Y??????????? Em que Y é o determinante de pontos fixos: Y = λf.(λx.f (x x)) (λx.f (x x)) Prove que: (a) pred 3 = 2 (b) pred 2 = 1 (c) pred 1 = 0

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 7 SOLUÇÕES Problema 1 - Substituição de variáveis (a) [λz.λy.(y z)/x]((λu.x u)(u x)) = ([λz.λy.(y z)/x](λu.x u) [λz.λy.(y z)/x](u x)) = ([λz.λy.(y z)/x](λu.x u) ([λz.λy.(y z)/x]u [λz.λy.(y z)/x]x)) = ([λz.λy.(y z)/x](λu.x u) (u (λz.λy.(y z)))) = ((λu.[λz.λy.(y z)/x](x u) (u (λz.λy.(y z)))) = ((λu.([λz.λy.(y z)/x]x [λz.λy.(y z)/x]u) (u (λz.λy.(y z)))) = ((λu.(λz.λy.(y z)) u) (u (λz.λy.(y z)))) (b) [λu.(y u)/x] (λy.(x y)) = [λu.(y u)/x](λz.(x z)) = (λz.[λu.(y u)/x](x z)) = (λz.([λu.(y u)/x]x [λu.(y u)/x]z)) = (λz.((λu.(y u)) z)) (c) [2/z] λy.(λx.x y z) λz.z y = λy.[2/z]((λx.x y z) (λz.z y) = λy.[2/z](λx.x y z) [2/z](λz.z y) = λy.[2/z](λx.x y z) (λz.z y) = λy.(λx.[2/z]((x y) z)) (λz.z y) = λy.(λx.[2/z](x y) [2/z]z))(λz.z y) = λy.(λx.x y 2) (λz.z y) = λy.(λx.x y 2) λz.z y Problema 2 - Redução Beta (a) (λu.u u)(λu.u u) [λu.u u/u] (u u) = (λu.u u)(λu.u u) [λu.u u/u] (u u) = (λu.u u)(λu.u u) (λu.u u)(λu.u u) (b) (λy.(λz.w)y) ((λu.u u) (λu.u u)) [((λu.u u) (λu.u u))/y]((λz.w)y) = (λz.w) ((λu.u u) (λu.u u)) [((λu.u u) (λu.u u))/z] (w) = w (c) (λz.λy.λx.y(z x)) p q r [p/z](λy.λx.y(z x)) q r = (λy.λx.y (p x)) q r

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 8 [q/y](λx.y (p x)) r = (λx.q (p x)) r [r/x](q (p x)) = q (p r) (d) (λz.λy.λx.y z) (z y) (u x) y [(z y)/z](λy.λx.y z)) (u x) y = [(z y)/z](λy.λx.y z)) (u x) y = (λw.[(z y)/z][w/y](λx.y z)) (u x) y = (λw.[(z y)/z](λx.w z)) (u x) y = (λw.[(z y)/z](λx.w z)) (u x) y = (λw.λx.w (z y)) (u x) y [(u x)/w](λx.w (z y)) y = (λv.[(u x)/w][v/x](w (z y)) y = (λv.[(u x)/w](w (z y)) y = (λv.(u x) (z y)) y [y/v]((u x) (z y)) = (u x) (z y) (e) (λx.λy.x (y y)) (λz.x (z z)) (λu.λv.u) w (λy.(λz.x (z z)) (y y)) (λu.λv.u) w (λy.x ((y y) (y y))) (λu.λv.u) w x (((λu.λv.u) (λu.λv.u)) ((λu.λv.u) (λu.λv.u))) w x ((λv.(λu.λv.u)) (λv.(λu.λv.u))) w x (λu.λv.u) w Problema 3 - Numerais (adição e multiplicação) (a) mais 1 2 = 3 (λn.λm.λf.λx.n f (m f x)) (λf.λx.f x) (λf.λx.f (f x)) (λm.λf.λx.(λf.λx.f x) f (m f x)) (λf.λx.f (f x)) (λm.λf.λx.(λx.f x) (m f x)) (λf.λx.f (f x)) (λm.λf.λx.f (m f x)) (λf.λx.f (f x)) λf.λx.f ((λf.λx.f (f x)) f x) λf.λx.f ((λx.f (f x)) x) λf.λx.f (f (f x)) = 3 (b) vezes 1 1 = 1 (λn.λm.λf.n (m f)) (λf.λx.f x) (λf.λx.f x) (λm.λf.(λf.λx.f x) (m f)) (λf.λx.f x) (λm.λf.(λx.(m f) x)) (λf.λx.f x) λf.λx.(λf.λx.f x) f x λf.λx.(λx.f x) x λf.λx.f x = 1 (c) vezes 2 1 = 2

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 9 (λn.λm.λf.n (m f)) (λf.λx.f (f x)) (λf.λx.f x) (λm.λf.(λf.λx.f (f x)) (m f)) (λf.λx.f x) (λm.λf.(λx.(m f) ((m f) x))) (λf.λx.f x) (λm.λf.λx.m f ((m f) x)) (λf.λx.f x) λf.λx.(λf.λx.f x) f (((λf.λx.f x) f) x) λf.λx.(λx.f x) (((λf.λx.f x) f) x) λf.λx.(λx.f x) ((λx.f x) x) λf.λx.(λx.f x) (f x) λf.λx.f (f x) = 2 (d) vezes 3 2 = 6 (λn.λm.λf.n (m f)) (λf.λx.f (f (f x)) (λf.λx.f (f x)) (λm.λf.(λf.λx.f (f (f x))) (m f)) (λf.λx.f (f x)) (λm.λf.(λx.(m f) ((m f) ((m f) x))) (λf.λx.f (f x)) λf.(λx.((λf.λx.f(f x))f) (((λf.λx.f(f x))f)(((λf.λx.f(f x))f)x))) λf.λx.((λf.λx.f(f x))f) (((λf.λx.f(f x))f) (((λf.λx.f(f x))f)x)) λf.λx.(λx.f (f x)) ((λx.f (f x)) ((λx.f (f x)) x)) λf.λx.f (f ((λx.f (f x)) ((λx.f (f x)) x))) λf.λx.f (f (f (f ((λx.f (f x)) x)))) λf.λx.f (f (f (f (f (f x))))) = 6 Problema 4 - Numerais (zero?) (a) zero? 3 = falso (λx.x (λy.λz.falso) (λx.x) verd) (λf.λx.f (f (f x))) (λf.λx.f (f (f x))) (λy.λz.falso) (λx.x) verd λx.(λy.λz.falso) ((λy.λz.falso) ((λy.λz.falso) x)) (λx.x) verd λx.(λz.falso) (λx.x) verd λx.falso verd λx.(λx.λy.y) (λx.λy.x) λx.λy.y = falso

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 10 (b) zero? 2 = falso (λx.x (λy.λz.falso) (λx.x) verd) (λf.λx.f (f x)) (λf.λx.f (f x)) (λy.λz.falso) (λx.x) verd λx.(λy.λz.falso) ((λy.λz.falso) x) (λx.x) verd λx.(λz.falso) (λx.x) verd λx.falso verd λx.(λx.λy.y) (λx.λy.x) λx.λy.y = falso (c) zero? 1 = falso (λx.x (λy.λz.falso) (λx.x) verd) (λf.λx.f x) (λf.λx.f x) (λy.λz.falso) (λx.x) verd λx.((λy.λz.falso) x) (λx.x) verd λx.(λz.falso) (λx.x) verd λx.falso verd λx.(λx.λy.y) (λx.λy.x) λx.λy.y = falso (d) zero? 0 = verd (λx.x (λy.λz.falso) (λx.x) verd) (λf.λx.x) (λf.λx.x) (λy.λz.falso) (λx.x) verd λx.x (λx.x) verd (λx.x) verd verd Problema 5 - Condicional (a) se verd 1 2 = 1 (λx.x) (λx.λy.x) 1 2 (λx.λy.x) 1 2 (λy.1) 2 (λy.1) 2 1 (b) se falso 1 2 = 2 (λx.x) (λx.λy.y) 1 2 (λx.λy.y) 1 2

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 11 (λy.y) 2 2 Problema 6 - Cálculo combinatório (simplificação) S (S (K S) (S (K K) K)) (K (S K K)) M N = (S (K S) (S (K K) K)) M ((K (S K K)) M) N = S (K S) (S (K K) K) M (K (S K K) M) N = S (K S) (S (K K) K) M (S K K) N = (K S M) ((S (K K) K) M) (S K K) N = S (S (K K) K M) (S K K) N = S ((K K M) (K M)) (S K K) N = S (K (K M)) (S K K) N = (K (K M) N) (S K K N) = (K M) (S K K N) = K M (S K K N) = M Problema 7 - Cálculo combinatório (simplificação) S (B B S) (K K) M N O = (B B S M) (K K M) N O = (B B S M) K N O = B (S M) K N O = (S M) (K N) O = S M (K N) O = M O (K N O) = M O N Problema 8 - Combinador B B (B B B) M N O P Q = (B B B) (M N) O P Q = B B B (M N) O P Q = B (B (M N)) O P Q = (B (M N)) (O P) Q = B (M N) (O P) Q = (M N) ((O P) Q) = M N ((O P) Q) = M N (O P Q) Problema 9 - Combinador F B (B (T (B B T)) (B B T)) (B B T) M N O = (B (T (B B T)) (B B T)) (B B T M) N O = B (T (B B T)) (B B T) (B B T M) N O = B (T (B B T)) (B B T) (B (T M)) N O = (T (B B T)) ((B B T) (B (T M))) N O = T (B B T) (B B T (B (T M))) N O = T (B B T) (B (T (B (T M)))) N O = (B (T (B (T M)))) (B B T) N O = B (T (B (T M))) (B B T) N O = (T (B (T M))) (B B T N) O = T (B (T M)) (B (T N)) O = (B (T N)) (B (T M)) O

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 12 = B (T N) (B (T M)) O = (T N) (B (T M) O) = T N (B (T M) O) = (B (T M) O) N = B (T M) O N = (T M) (O N) = T M (O N) = (O N) M = O N M Problema 10 - Combinador W S S (KI) M N = S M ((K I) M) N = S M (K I M) N = S M I N = M N (I N) = M N N Problema 11 - Algoritmo de abstracção (combinadores M, T e B) (a) M O -> O O M <-> λx.x x x [x x] = S x [x] x [x] = S (S K K) (S K K) = S I I, Logo, M = S I I (b) T M N -> N M T <-> λx.λy.y x x [ y [y x]] = x [ S y [y] y [x] ] = x [ S I (K x) ] = S x [S I] x [K x] (c) B M N O -> M (N O) = S (K (S I)) K, Logo, T = S (K(S I)) K B <-> λx.λy.λz.x (y z) z [ y [ z [x (y z)] ] ] = x [ y [ (S z [x] [(y z)]) ] ] z = x [ y [ S (K x) y ] ] = x [ S (K x) ] = S x [S] x [K x] = S (K S) K, Logo, B = S (K S) K Problema 12 - Algoritmo de abstracção (λg.λy.g y y) λg.λy.g y y g [ y [g y y] ] = g [ S y [g y] y [y] ] = g [ S g I ]

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 13 = S g [S g] g [I] = S S (K I) Verificação: (λg.λy.g y y) M N (λy.m y y) N M N N S S (K I) M N = S M (K I M) N = S M I N = M N (I N) = M N N Problema 13 - Algoritmo de abstracção (factorial) λx.se (zero? x) 1 (vezes x( f (pred x))) [se (zero? x) 1 (vezes x (f (pred x)))] x = S x [se (zero? x) 1] x [vezes x (f (pred x))] = S (S x [se (zero? x)] x [1]) (S x [vezes x] x [f (pred x)]) = S (S (S x [se] x [zero? x]) x [1]) (S vezes (S x [f] x [pred x])) = S (S (S (K se) zero?) (K 1)) (S vezes (S (K f) pred)) = S (S (S (K se) zero?) (K 1)) (S vezes (S (K f) pred)) Problema 14 - Combinador de pontos fixos Se Pfixo = λf.(λg.λx.f (g g) x) (λg.λx.f (g g) x) é um combinador de pontos fixos então temos de provar que: (Pfixo E) = E (Pfixo E) (λf.(λg.λx.f (g g) x) (λg.λx.f (g g) x)) E (λf.(λx.f ((λg.λx.f (g g) x) (λg.λx.f (g g) x)) x) ) E (λf.f ((λg.λx.f (g g) x) (λg.λx.f (g g) x))) E η E [E/f]((λg.λx.f (g g) x) (λg.λx.f (g g) x)) E ((λf.(λg.λx.f (g g) x) (λg.λx.f (g g) x)) E) = E (Pfixo E) Problema 15 - Cálculo de 6! Vamos representar (λf.λn.se (zero? n) 1 (vezes n (f (pred n)))) por FACT Como Y é um determinante de pontos fixos: (Y FACT) = FACT (Y FACT) (λf.λn.se (zero? n) 1 (vezes n (f (pred n)))) (Y FACT) 3 λn.se (zero? n) 1 (vezes n ((Y FACT) (pred n))) 3 se (zero? 3) 1 (vezes 3 ((Y FACT) (pred 3))) Recordando o Problema 4a e Problema 5b, obtém-se: vezes 3 ((Y FACT) (pred 3)) No

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 14 Problema 16 mostra-se que (pred 3) é equivalente a 2; assim a expressão anterior simplifica-se: vezes 3 ((Y FACT) 2) Reinicia-se uma nova iteração (não esquecer que Y é um determinante de pontos fixos): vezes 3 (FACT (Y FACT) 2) = vezes 3 ((λf.λn.se (zero? n) 1 (vezes n (f (pred n)))) (Y FACT) 2) vezes 3 (λn.se (zero? n) 1 (vezes n ((Y FACT) (pred n))) 2) vezes 3 (se (zero? 2) 1 (vezes 2 ((Y FACT) (pred 2)))) * vezes 3 (vezes 2 ((Y FACT) 1)) Nova iteração: vezes 3 (vezes 2 (FACT (Y FACT) 1) = vezes 3 (vezes 2 ((λf.λn.se (zero? n) 1 (vezes n (f (pred n)))) (Y FACT) 1) vezes 3 (vezes 2 (λn.se (zero? n) 1 (vezes n ((Y FACT) (pred n))) 1) vezes 3 (vezes 2 (se (zero? 1) 1 (vezes 1 ((Y FACT) (pred 1)))) * vezes 3 (vezes 2 (vezes 1 ((Y FACT) 0)) E mais uma: vezes 3 (vezes 2 (vezes 1 (FACT (Y FACT) 0) = vezes 3 (vezes 2 (vezes 1 ((λf.λn.se (zero? n)1(vezes n(f(pred n)))) (Y FACT)0) vezes 3 (vezes 2 (vezes 1 (λn.se (zero? n) 1 (vezes n ((Y FACT) (pred n))) 0) vezes 3 (vezes 2 (vezes 1 (se (zero? 0) 1 (vezes 0 ((Y FACT) (pred 0)))) * vezes 3 (vezes 2 (vezes 1 1)) No Problema 3 já verificámos que: vezes 3 (vezes 2 (vezes 1 1)) = 6

PLF - Programação Funcional (Linguagem Lambda) - Exercícios resolvidos 15 Problema 16 - Numerais (predecessor) (a) pred 3 = 2??? (b) pred 2 = 1??? (c) pred 1 = 0???