Departamento de Física da Faculdade de iências da Universidade de Lisboa Electromagnetismo 2007/08 IRUITOS DE ORRENTE ONTÍNU 1. Objectivo Verificar as leis fundamentais de conservação da energia e da carga eléctrica em alguns circuitos eléctricos simples funcionando em regime de correntes estacionárias. Utilizar o osciloscópio como instrumento de medida. 2. Introdução Os circuitos ou redes eléctricas mais simples são geralmente constituídos por elementos dipolares (condutores com duas extremidades) ligados entre si por fios condutores de resistência desprezável. Os elementos dipolares classificam-se, de acordo com a sua natureza, em activos e passivos. Os elementos activos são aqueles que fornecem a energia eléctrica ao circuito: fontes de tensão e fontes de corrente. Os elementos passivos lineares são as resistências, os condensadores e os indutores 1. Nos circuitos eléctricos designam-se por nós os pontos que ligam três ou mais elementos. Designam-se por ramos o conjunto de elementos dipolares compreendidos entre dois nós. Dá-se o nome de malha a um percurso fechado formado por ramos e que não passa mais de uma vez por um mesmo nó. 2.1 Lei dos nós e das malhas Em regime estacionário não existem acumulações de carga nos nós de um circuito eléctrico e portanto a quantidade de carga que chega a um qualquer nó N desse circuito num certo intervalo de tempo é exactamente igual à quantidade de carga que sai desse nó no mesmo intervalo de tempo. Dividindo estas quantidades de carga pelo valor do intervalo de tempo obtêm-se as respectivas intensidade de corrente eléctrica, as quais verificam a mesma identidade. intensidade de corrente que entra num nó (soma de todas as intensidades que entram através dos vários ramos que convergem nesse nó) é igual à intensidade de corrente que sai (soma de todas as intensidades que 1 Estes elementos dizem-se lineares pois apresentam relações lineares algébricas (caso das resistências) ou lineares diferenciais (caso dos condensadores e indutores) entre as tensões aos seus terminais e as correntes que os atravessam.
ircuitos de orrente ontínua saem pelos restantes ramos). igualdade entre estas duas somas pode ser convertida numa relação envolvendo um único somatório que se estende a todos os ramos que convergem no nó N e em que se convenciona considerar como negativo o sentido das correntes que saem do nó e positivo o sentido das correntes que entram. Resulta assim que a conservação da quantidade de carga no nó N do circuito eléctrico considerado é traduzido pela expressão da lei dos nós: i = 0 (1) É a lª lei de Kirchhoff ou lei dos nós: "É nula a soma algébrica das correntes de todos os ramos que concorrem num nó". i 4 i 3 i 1 i 2 Figura 1: No nó do circuito a aplicação da 1ª lei de Kirchhoff conduz a: i 1 -i 2 -i 3 -i 4 =0 onsideremos uma qualquer malha de um circuito eléctrico, formada por ramos podendo conter elementos passivos e activos. O campo eléctrico da corrente estacionária é um campo conservativo, pelo que é possível definir em cada ponto do circuito um potencial V tal que: r E = V O integral de linha desta equação ao longo de um ramo do circuito entre dois pontos e representa o trabalho por unidade de carga eléctrica realizado no transporte de carga entre os dois pontos e é dado pela queda de potencial entre esses pontos: r r E dl = V = V ssim, a circulação do campo eléctrico num determinado sentido ao longo de um percurso fechado como a malha tem um valor nulo: V (2) (3) E r dl r = 0 (4) Por outro lado esta circulação não é mais do que a soma algébrica de todas as quedas de potencial V, que se verificam nos ramos da malha quando percorridos no sentido da circulação. Resulta então que a conservação da energia na malha M do circuito eléctrico considerado é traduzida pela expressão da lei das malhas: 2
ircuitos de orrente ontínua V = 0 (5) Note-se que se adoptou a convenção de somar as quedas de potencial, isto é, as diferenças de potencial entre o ponto inicial e o ponto final V = V V (segundo o sentido adoptado para a circulação): "É nula a soma algébrica de todas as quedas de potencial ao longo de uma malha". ini fin E D Figura 2: malha DE de um circuito onde a seta indica o sentido da circulação na malha escolhido. aplicação da 2ª lei de Kirchhoff a esta malha conduz a: ( V V ) = 0. D D E E 2.2 ondensador Um condensador é um componente de dois terminais constituído por dois condutores (geralmente designados por armaduras) separados por um dieléctrico com uma característica tensão-corrente dada por: V t ( 1 1 = Q( = i (6) com = constante. Esta característica pode apresentar-se na forma diferencial tendo-se: dv i =. (7) constante real e positiva, independente da amplitude e da forma de V ( e de i (t, ) designa-se por capacidade do condensador 2. O modelo indicado na expressão (6) mostra que a tensão aos terminais de um condensador nunca varia bruscamente. Por outro lado, a expressão (7) mostra que um condensador se comporta como um circuito aberto ( i = 0 ), quando a tensão aplicada aos seus terminais é constante no tempo. 2 No Sistema Internacional de Unidades (SI) a capacidade exprime-se em Farad (F). Os condensadores mais utilizados têm valores na gama de 1 pf a 10 mf. 3
ircuitos de orrente ontínua distribuição de carga eléctrica entre as armaduras de um condensador é alterada pela passagem da corrente eléctrica, aumentando a carga de uma delas de enquanto a outra diminui desse mesmo valor. relação entre a tensão V ( aos terminais do condensador e a carga Q numa das armaduras (a outra tem então carga dq Q ) obtém-se de (6), sendo dada por: 1 V = Q( (8) Em regime estacionário de corrente contínua as resistências são os únicos elementos passivos que é necessário considerar já que idealmente os condensadores se comportam, neste regime, como circuitos abertos e os indutores como curto-circuito. Pelo contrário no regime estacionário de corrente alternada sinusoidal todos estes elementos são intervenientes. onvém salientar que os elementos reais que compõem um dado circuito diferem naturalmente dos seus correspondentes ideais. Este facto impede à primeira vista a representação de um circuito real em termos dos parâmetros de elementos ideais: f.e.m., resistência, indutância, capacidade. Existe, contudo, uma forma de representação equivalente dos circuitos reais que se baseia no facto de sob um ponto de vista exterior cada elemento real se comportar aparentemente como uma determinada associação de elementos ideais. Esta representação simplificada mas equivalente dos elementos reais de um circuito tem o nome de "modelo de parâmetros concentrados". s fontes de alimentação reais são representadas neste modelo como possuindo para além do elemento activo ideal, um ou mais elementos passivos ideais associados que constituem a sua resistência ou impedância interna. Para carregar um condensador é necessário despender energia. Essa energia fica armazenada no campo eléctrico estabelecido entre as armaduras. Para um condensador de capacidade que possua uma diferença de potencial V entre as armaduras (obtida por qualquer processo de carga) e em cada uma delas possui uma carga Q, a energia U armazenada é dada por: U 2 1 Q 1 = = QV (9) 2 2 Uma das formas possíveis de se obter a carga de um condensador, consiste em ligá-lo aos terminais de uma fonte de tensão contínua (ε ) através de uma resistência R (fig. 3, com o interruptor na posição ). Por aplicação das leis de Kirchhoff ao circuito e por (6) obtém-se: t i( 1 ε = V R + V = Ri( + (10) 4
ircuitos de orrente ontínua ntes det = 0, ε = 0, isto é não há tensão ε aplicada. Diferenciando a expressão anterior obtém-se: di( i + R = 0 para t > 0 (11) resolução desta equação diferencial permite determinar a corrente que passa no condensador, ou seja: ε t i = e R (12) R Figura 3: ircuito para obter a carga (interruptor na posição ) e a descarga (interruptor na posição ) de um condensador. Então a tensão aos terminais do condensador durante a sua carga: t V = = = R ε VR ε i( R ε 1 e (13) s curvas i ( e Q = V estão ilustradas nas figura 4. Inversamente, se permitirmos que se verifique a descarga do condensador através de uma resistência R, a corrente continua a ser dada pela expressão (12) e a tensão diminuirá segundo a lei: onde V é a tensão inicial no condensador. 0 V t R V e (14) = 0 O estudo da carga ou da descarga de um condensador permite, nestas condições, o cálculo da sua capacidade. onsideremos o momento t = τ = R. τ é designado por constante de tempo do circuito. Durante o processo de carga, a tensão no condensador neste momento tem o valor ( 1 ) 0.632ε Durante o processo de descarga, a tensão no condensador tem o valor V ( τ ) = ε 1 e (15) 5
ircuitos de orrente ontínua V ( τ ) = V e 0 1 0.368V 0 (16) Uma vez determinado o valor de τ e conhecido o valor da resistência R, a capacidade do condensador pode ser calculada: = τ (17) R Figura 4: Processo de carga de um condensador. carga no condensador tende exponencialmente para o seu valor máximo com uma constante de tempo τ. corrente decresce exponencialmente com a mesma constante de tempo. 3. Realização experimental Material Duas resistências (e.g. 2.2 Ω e 10 Ω), 2 condensadores (e.g. 4700 µf e 22 nf), 2 multímetros, 1 fonte de alimentação contínua, 1 gerador de sinal, 1 osciloscópio, fios de ligação, pontas de prova. ircuito 1 1. Esquematize e construa um circuito constituído por 2 resistência em série com uma fonte de alimentação contínua. Indique no seu esquema a posição do multímetro a funcionar como amperímetro e as posições que o multímetro toma para medir a diferença de potencial aos extremos das resistências. Meça com os multímetros a corrente no circuito e a diferença de potencial aos extremos das resistências. Verifique a lei de Ohm nas duas resistências. 2. Verifique a lei das malhas na única malha do circuito. ircuito 2 3. Esquematize e construa um circuito constituído por uma resistência e um condensador 6
ircuitos de orrente ontínua ligados a uma fonte de alimentação contínua. Posicione o(s) interruptor(es) de modo a permitir realizar a carga e em seguida a descarga do condensador. Indique no esquema a posição do multímetro para medir a diferença de potencial aos extremos do condensador. 4. Proceda a um processo de carga e descarga do condensador monitorizando no multímetro os valores da tensão e escolha o intervalo de tempo mais adequado para o registo de valores de V. Usando o multímetro e o cronómetro obtenha a tabela ( t,v ) no processo de carga. Que combinação de R e de deverá escolher para esta experiência? 5. Proceda em seguida à descarga do condensador e faça o registo dos pares de valores ( t,v ). 6. Trace num mesmo gráfico as linhas correspondentes aos processos de carga e descarga do condensador. 7. Determine, a partir da linearização e regressão a constante de tempo R do circuito e compare com o valor calculado com base nos valores de R e. ( ircuito 3 Nos trabalhos de laboratório desta série vai utilizar o osciloscópio como importante instrumento de medida. Vai começar por familiarizar-se com os controles do osciloscópio e em seguida vai utilizar o osciloscópio para observar a carga e descarga de um condensador. 8. Ligar o osciloscópio e procurar a imagem do feixe electrónico no alvo (ponto luminoso). Fazer variar a sua intensidade e focalizá-lo. 9. plicar aos pratos de deflexão vertical uma tensão contínua (pilha seca, fonte de tensão contínua) e medir o seu valor. Ter em atenção a escala de amplificação utilizada (no osciloscópio). 10. Regule o osciloscópio de modo que aos pratos de deflexão horizontal fique aplicada uma base de tempo (tensão em dente de serra). 11. Determine algumas velocidades de varrimento do ponto luminoso sobre o alvo, verificando o acordo com a escala de tempos indicada no osciloscópio. 12. Ligue o osciloscópio ao gerador de sinais. Observe e meça com o osciloscópio a amplitude e a frequência de alguns sinais aplicados. 13. Vai agora observar a carga e descarga do condensador com um osciloscópio e utilizar como fonte de alimentação um gerador de sinal. Escolha valores R e de que correspondam a uma constante de tempo demasiado pequena para poder ser medida manualmente. Seleccione uma onda quadrada. Meça a constante de tempo do circuito no ecrã do osciloscópio, como ilustrado na fig. 4. 7