UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSIUO DE INFORMÁICA DEPARAMENO DE INFORMÁICA APLICADA INF054 - Redes de Computadores N Utilização de ferramentas analíticas e gráficas na representação e avaliação de um canal. Capacidade máxima de um canal segundo Nyquist e Shannon. Objetivos Obter e manipular expressões analíticas que definam a capacidade e a eficiência de um canal. Obter curvas de desempenho de canais em função de seus parâmetros físicos. Determinar a banda passante B de uma linha de comunicação através de simulação. Determinar a capacidade máxima de um canal segundo o teorema de Nyquist. Representar graficamente o eorema de Nyquist em função do número de bits associados aos símbolos elétricos. 2. Revisão eórica Serão revisados, a seguir, os principais conceitos relacionados como (i) a banda (B) associada a um meio físico e a capacidade máxima (C) de sinalização através deste meio segundo o teorema de Nyquist/Hartley, (ii) esquemas de associação de dígitos binários aos símbolos elétricos e (iii) taxa de transmissão e taxa efetiva de transmissão de informação através de um meio. 2.. axa de ransmissão de um Sistema de Comunicações Por definição, axa de ransmissão de um Sistema, é igual ao número de bits que o Sistema transmite por unidade de tempo ( segundo) medido em unidade de bit/s. axa de transmissão ou bit rate; R = Número de bits segundo [bit/s]* () A taxa de transmissão R de um canal pode ser variável em relação ao tempo e neste caso podemos distinguir entre três tipos de taxas axa de bit constante (CBR - Constant Bit Rate), ex canal de voz da telefonia digital de 64 kbit/s (G.7); axa de bit variável (VBR - Variable Bit Rate), ex saída de uma câmara de vídeo digital; axa de bit disponível (ABR - Available Bit Rate), ex. tipo de tráfego de redes AM, onde a rede oferece uma largura de banda mínima, e aumenta essa largura caso a rede tenha banda disponível. A figura mostra gráficos típicos associados a taxas CBR e VBR. A unidade de taxa de transmissão adotada pela ABN é o bit/s. As unidades BPS ou bps (bits per second) são as unidades equivalentes americanas.
r(t) CBR Constant r(t) VBR Variable r(t) Bit Rate Bit Rate ABR Avaiable Bit Rate R=R m Rm Rm 2.2. axa de Sinalização empo empo empo Fig. - axas de bit tipo CBR e VBR Por definição, a axa de Sinalização (R s ) é igual ao número de símbolos elétricos (também chamados de bauds ) que são transmitidos pelo canal por unidade de tempo, sendo medida em símbolos por segundo. N R = s s t (2) R s é a taxa de sinalização, N s é o número de símbolos elétricos e t é o tempo do símbolo. Os bits de informação podem ser associados aos símbolos elétricos de diferentes maneiras. Em comunicação de dados é usual utilizar um conjunto de arranjos, obtido a partir dos dois elementos binários tomados m a m. O número total de arranjos (símbolos) assim obtidos é dado por N=2 m, em que m representa o número de bits associados a cada um dos N símbolos. O número de bits m associados a cada um dos N símbolos será dado então por m = log 2 N (3) Nesta expressão, m muitas vezes é chamado de variabilidade do alfabeto de símbolos. A taxa R, em bits/s, pode ser obtida multiplicando-se a taxa R s por m, ou seja R = R s m [bit/s] (4) Levando-se em conta a expressão (3) podemos escrever também R = R s log 2 N [bit/s] (5) Na abela, por exemplo, mostra-se como os bits de informação podem ser associados a símbolos elétricos definidos a partir de níveis discretos de amplitude de um sinal elétrico constante. Neste caso, supondo um esquema com N níveis (portanto N símbolos distintos), a relação entre R e Rs será dada pela expressão (5). 2
Número de bits por símbolo ab. - Associação entre símbolos elétricos e bits de informação Símbolo elétrico Número de níveis discretos correspondente do sinal elétrico Relação entre Rs [baud] e R [bits/s] N bit bit sinal binário (2 níveis) Rs = R 2 bit dibit sinal quaternário (4 níveis) 2Rs = R 3 bits tribit sinal de 8 níveis 3Rs = R 4 bits quadribit sinal de 6 níveis 4Rs = R log 2 N bits multibit sinal de N níveis log 2 N Rs = R A expressão (5) vale também quando for utilizada uma portadora senoidal na transmissão. 2.3. A Portadora de Informação Senoidal Em comunicação de dados muitas vezes é utilizada uma tensão senoidal como portadora de informação. A tensão senoidal pode se propagar através de diversos meios, desde um par de fios, ou cabo coaxial, ou como uma onda eletromagnética através do éter. A expressão geral de uma função de tensão do tipo senoidal pode ser dada pela seguinte relação e( t ) = V p sen( ω t + φ ) (6) Os principais parâmetros desta função senoidal de tensão, e suas respectivas unidades de medida são ω velocidade angular (ω = 2πf), medida em radianos por segundo; φ ângulo de fase inicial expresso em graus; período (=/f), medido segundos [s]; F freqüência (f=/), medida em Herz [Hz]; V p tensão de pico em volts [V]; V pp tensão pico a pico (V pp = 2V p ), em volts [V]; valor médio quadrático ou valor eficaz (V rms =V p /,4), em volts. V rms A figura 2 apresenta uma gráfica desta função identificando os diferentes parâmetros. Fig. 2 - Representação gráfica de uma portadora senoidal de tensão 3
Pode-se definir símbolos elétricos a partir de distintos segmentos desta portadora. A diferenciação dos segmentos pode ser feita em relação à amplitude, fase e/ou freqüência de cada segmento. Quando associamos os bits de informação a símbolos definidos a partir de valores discretos de Vp, falamos em modulação de amplitude, quando em relação a ω, estamos diante de uma modulação em freqüência, e quando em relação a fase φ, temos uma modulação em fase. Os bits de informação podem ser associados a cada símbolo de acordo com a relação (3). As técnicas modernas de modulação, hoje em dia, utilizam modulação mista, ou seja, os símbolos elétricos são caracterizados por mais de um parâmetro. Por exemplo, um sistema que utiliza símbolos elétricos definidos a partir de segmentos de uma portadora com diferentes valores de fase e amplitude caracteriza um sistema de transmissão com modulação QAM (Quadrature Amplitude Modulation), muito utilizada em modens. Na figura 3 é mostrado, como exemplo, num diagrama de fase e amplitude, a constelação de símbolos elétricos de uma modulação QAM. Neste caso, são definidos 6 símbolos elétricos a partir de 2 valores de amplitude (A e A 2 ) e 8 valores de fase (0 o, 45 o, 90 o, 35 o, 80 o, 225 o, 270 o ), de modo que a cada símbolo são associados 4 bits. 90 o 80 o A 000 00 A 00 2 0 000 00 0 00 000 000 0000 0 o 360 o 00 0 0 00 270 o Fig. 3 - Exemplo de uma constelação de 6 símbolos elétricos de uma modulação QAM com 2 amplitudes (A, A 2 ) e 8 fases. 2.4. axa Média de ransmissão e axa Média Efetiva de ransmissão de Informação Quando a taxa de transmissão através de um canal é variável (VBR), podemos representá-la por uma função de tempo r(t). Neste caso faz mais sentido falar em uma taxa de transmissão média Rm. A taxa de transmissão média Rm de um canal, durante um período de tempo, pode ser calculada por 4
R m = r( t ) dt (7) 0 A maioria das aplicações em Informática, no entanto, envolve taxas de bit do tipo VBR, ou seja, são transmitidos blocos de informação de forma aleatória no tempo. Os blocos de informação (ou pacotes) possuem uma estrutura genérica como é mostrado na figura 4. Possuem no início um cabeçalho (header), de tamanho fixo, a seguir um campo com a informação útil transportada (payload), de tamanho variável, e finalizam com um campo fixo chamado de finalizador (trailer). Os bits dos campos H e contêm as informações que são utilizadas pelo protocolo de comunicação, enquanto o payload contém a informação útil que é repassada ao sistema remoto. O cabeçalho H tipicamente contém informação sobre o endereço de origem e destino do bloco, além de informações sobre a própria estrutura do bloco de dados. Já o finalizador contém informação sobre a consistência do bloco, que é utilizada pelo mecanismo de controle de erro. H Payload H Header ou cabeçalho de tamanho fixo Payload Campo de informação útil de tamanho variável railer ou finalizador de tamanho fixo B B2.... Bn H H H Fig. 4 - Sistema de transmissão segundo blocos de dados endo em vista o caráter aleatório na emissão dos blocos de dados, podemos caracterizar o fluxo de blocos de dados por uma taxa média de bits R m, que pode ser calculada genericamente por n R = (8) m B i i= em que é o período considerado e n o número total de blocos B de informação contidos neste período. Para calcular a taxa efetiva de informação (R inf ) transferida no período considerado, podemos escrever R (9) n inf = [ Bi ( H + )] i= 5
Finalmente, para calcular a eficiência na transferência de informação do protocolo de comunicação podemos utilizar Rinf η = (x00) (0) R m que expressa o percentual do número de bits de informação para o total de bits transmitidos pelo sistema. 2.5. Capacidade Máxima de um Canal segundo Nyquist A capacidade máxima C de um canal é um limite teórico máximo de transmissão por este canal, imposto por suas características físicas como largura de banda (ou banda passante) B deste canal. Quem primeiro estabeleceu uma relação entre a capacidade máxima C de um canal e sua largura de banda B [Hz] foi Nyquist e Hartley, de forma independente um do outro. Esta relação, para uma sinalização segundo um conjunto de símbolos elétricos para a comunicação, é expressa por C = 2B [Baud] () Nesta expressão, C representa a capacidade máxima do canal expressa em símbolos por segundo [Baud] e B, a largura da banda passante do canal medida em Herz. Pode-se mostrar que a expressão (), para uma sinalização utilizando um conjunto de N símbolos elétricos distintos e supondo que estejam associados a cada símbolo m bits, pode ser reescrita com base nas relações (3) e (4) como C = 2B log2 N [bits/s] (2) Esta expressão representa uma extensão ao teorema de Nyquist, na aplicação a sistemas de comunicação que utilizam um conjunto de símbolos elétricos e a cada símbolo está associado um número m de bits de acordo com o número de arranjos possíveis desses m bits tomados m a m. Na figura 5, apresenta-se, como exemplo, um sinal com quatro níveis (N=4), e cada nível representa um símbolo, portanto podemos associar 2 bits (m=2) a cada símbolo. Como o número de níveis (N) deste sinal, de acordo com a relação (2), pode ser aumentado teoricamente até infinito, a capacidade máxima de um canal, nestas condições, tenderia a infinito, o que evidentemente não corresponde à realidade. O número de níveis discretos de um sinal, na prática, é limitado, principalmente pela presença do ruído no canal. O fato da expressão de Nyquist/Hartley não levar em conta o ruído torna a sua aplicação restrita a canais sem ruído (ou, pelo menos, com um baixo nível de ruído). 6
Níveis Fluxo de bits 0 0 0 0 0 0 0 0 00 empo de um símbolo Fig. 5 - Exemplo de uma sinalização dibit (sinal de quatro níveis) 2.6. Capacidade Máxima de um Canal segundo Shannon Em 948 o cientista francês Claude Shannon lançou as bases da eoria da Informação e, entre outras coisas, definiu a capacidade máxima de transmissão através de um canal físico com uma determinada largura de banda [B] e uma determinada relação sinal ruído [S/N Signal to Noise], que pode ser escrita como C = B log2 ( + S/N) [bit/s] (3) A expressão acima pode ser derivada a partir do próprio teorema de Nyquist maximizando o número de níveis (N max ) C = 2B log 2 N max (4) Vamos tentar obter o número máximo de níveis (N max ) possíveis de serem transmitidos por um canal, dada uma determinada relação sinal ruído do mesmo. Supondo um sinal com uma determinada amplitude s e o ruído com uma determinada amplitude n, podemos dizer que o numero máximo de níveis possíveis será dado por N max =(s+n)/n. ransformando-se esta expressão em uma relação de potências, em vez de amplitudes, e lembrando que a potência do sinal será dada por S= s 2 e do ruído por i N= n 2, temos que n max = S + N e, portanto, C = 2B log 2 i N obtém-se S + N N. Finalmente, C = B log 2 ( + S/N) [bit/s] (5) Esta expressão constitui o chamado eorema de Shannon para a capacidade máxima de transmissão em um canal (em bits/s), caracterizado por uma largura de banda B e uma relação entre a potência do sinal e a potência do ruído dada por S/N. 7
3. Atividades 3.. Exercícios a. Um fabricante fornece um modem segundo o padrão de transmissão V.34 do IU-, com capacidade de 33.600 bit/s, que será conseguida quando a relação sinal ruído do canal de voz for 40 db. Determine, em percentual, o quanto este modem se aproxima do limite de Shannon. Segundo Nyquist, quantos bits devem estar associados, no mínimo, a cada símbolo elétrico (baud), e qual a taxa de baud do sistema. Considere o canal de voz com uma largura de banda nominal de 3, khz. b. Suponha um enlace com capacidade de transmitir de forma constante a 0 Mbps. Assuma, ainda, que neste enlace trafegam blocos de informação com tamanho médio de.024 bits, dos quais 26 octetos constituem o cabeçalho e o finalizador. Se em um intervalo de hora foram transmitidos 500.000 pacotes, determine taxa média de transmissão do enlace; taxa média efetiva de transmissão de informação do enlace; eficiência na transferência de informação; tempo médio entre a chegada dos blocos de informação; utilização média do enlace. c. Usando uma ferramenta para desenho de gráficos, obtenha uma curva R/R s versus N (equação 5). O que você pode concluir a partir do gráfico resultante? d. Um sistema de comunicação com modulação QAM usa uma constelação de símbolos de acordo com a figura 3 e uma portadora de.800 Hz que associa um símbolo a cada período da portadora. Determine a taxa de símbolos e a taxa de bits/s deste sistema. Determine a duração de cada símbolo e de cada bit. Sugira uma maneira de dobrar a capacidade do sistema sem alterar a taxa de baud. e. Obtenha uma curva C versus N para a equação 2 considerando um meio com largura de banda B igual a 3.000 Hz. O que você pode concluir a partir do gráfico resultante? f. Apresente o teorema de Shannon (equação 5) de forma gráfica. Obtenha um gráfico C versus B, supondo os seguintes valores para a relação sinal ruído 90 db, 50 db, 30 db e 0 db (Nota [db]=0logs/n). Considere C variando entre a 00.000 bit/s e a banda passante de 0 a 5.000 Hz. Obtenha os valores da capacidade máxima de um canal de voz telefônico que possui uma largura de banda de 4 khz. Obtenha um gráfico C /B versus S/N. Como pode ser interpretado o fator C /B? (Considere uma variação de C /B entre a 50 e uma variação de a 0.000 para S/N). 8
3.2. Experiências a. O software NetLab foi desenvolvido por alunos da PUC-RS e visa apoiar o ensino relativo à transmissão de sinais. Instale-o em seu computador, siga o roteiro abaixo e, posteriormente, responda às questões. Execute o programa e selecione a opção Conversão Digital-Analógico. No campo Função, selecione Onda Quadrada (5x5). No campo Componentes da Série, selecione a componente número. Em seguida, vá selecionado as componentes número 2, 3, 4, uma a uma, e observe os resultados intermediários na janela ao lado. Por fim, selecione todas as componentes através do botão odas e observe o resultado. Que relação existe entre as componentes que foram acrescentadas ao sinal resultante (somatório das componentes) com relação à freqüência e à amplitude? O que você observou no sinal resultante à medida em que foi acrescentando mais componentes a ele? Para representar um pulso digital perfeito, seria necessário um número infinito de componentes de freqüências crescentes e amplitudes cada vez menores. Quais as implicações desta necessidade para um sistema de transmissão digital real? Você já pôde observar o sinal resultante da soma de algumas componentes principais (de baixa freqüência) no item anterior. Qual o efeito, no sinal, se eliminarmos algumas das freqüências baixas e mantivermos apenas algumas freqüências altas? Experimente no NetLab e comente os resultados. b. Explore, agora, o applet Fourier Series disponível em http//falstad.com/fourier/ e responda as questões. Qual a diferença em termos de componentes para gerar uma onda quadrada (Square), uma onda dente de serra (Sawtooth) e uma onda triângulo (riangle)? Qual das ondas acima exige um número menor de componentes para convergir à forma perfeita? Por quê? 9