Passagem do Analógico para o Digital

Passagem do Analógico para o Digital Luis Henrique Assumpção Lolis 11 de abril de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 1

Conteúdo 1 Introdução 2 Amostragem 3 Modulação por Amplitude de Pulso PAM 4 Sistema TDM - Time Division Multiplexing 5 Outras modulações - PDM e PPM 6 Quantização 7 Modulação por codificação de pulso PCM Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 2

Sumário 1 Introdução 2 Amostragem 3 Modulação por Amplitude de Pulso PAM 4 Sistema TDM - Time Division Multiplexing 5 Outras modulações - PDM e PPM 6 Quantização 7 Modulação por codificação de pulso PCM Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 3

Introdução Processo da passagem de um sistema analógico para o digital Abordagem dos seguintes tópicos: 1 Amostragem 2 Modulação por amplitude de pulso 3 Quantização 4 Modulação por codificação de pulso 5 Multiplexação por divisão de tempo 6 Multiplexadores digitais Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 4

Sistema de Comunicação Digital Sistema digital no sentido de utilizar uma sequência de símbolos pertencentes a um conjunto finito de símbolos para representar a fonte de informação. Por quê digital? Possibilidades de multiplexação temporal e de codificação para compressão dos dados e para correção de erros. Maior confiabilidade de circuitos digitais. Facilidade de lidar com o compromisso largura de banda-potência para otimizar o uso destes recursos Padronização Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 5

Exemplos de Sistemas de Comunicação Digital Redes sem fio (802.11 a/b/g/n) Telefonia Celular (GSM, 3G) Satélite (TV, Rádio, Dados, DVB-S) Redes sem fio fixas (802.16, Wimax) Radiodifusão de TV digital (ATSC, DVB-T, ISDB-T) Ethernet (10M/100M/1G/10G) ADSL, VDSL Fibra óptica Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 6

Sistema de Comunicação Digital: características desejáveis Baixa taxa de erro de bits (BER: Bit Error Rate) Operar com baixa relação sinal ruído (SNR) Bom desempenho em canais com desvanecimento (fading) Ocupar pouca largura de banda Fácil implementação Baixo custo Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 7

Parâmetros de Desempenho Taxa de Transmissão: Representa a velocidade com que a informação é transmitida Exemplo: R b = 100 bits/s R s = 10 símbolos/s ou bauds Eficiência Espectral: η = R b B bits/s/hz Eficiência em Potência: SNR (9,4 db) BER (10 5 ) Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 8

Processo de Amostragem Ideal g δ (t) = n= g(nt s )δ(t nt s ) Taxa de amostragem suficientemente alta para representar o sinal. Amostras espaçadas uniformemente no tempo. g δ (t) - Sinal amostrado idealmente. Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 10

Processo de Amostragem no Domínio da Frequência Uma multiplicação por uma sequência de Diracs no tempo é uma convolução por uma sequência de Diracs no domínio da frequência. g δ (t) f s m= G(f mf s ) O sinal de origem g(t) pode ser totalmente reproduzido através da interpolação. Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 11

Interpolação G(f) = 1 f s G δ (f), para W < f < W Um produto na frequência por um filtro retangular ideal (convolução pela função sinc) x r (t) = g δ (τ)h r (t τ)dτ h r (t) = sinc(t f s ) x r (t) = g(nt s )δ(τ nt s )h r (t τ)dτ n= A função delta só existe para τ = nt s com integral 1, então: x r (t) = g(nt s )h r (t nt s ) x r (t) = n= g(nt s ) sinc(tf s n) n= Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 12

Interpolação Como g δ (t) é discreto a convolução é um somatório da função sinc deslocada. ( ) t g(t) = g(nt s ) sinc n T s n= Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 13

Teorema da amostragem 1 Um sinal limitado em banda a W Hz, com energia finita, é descrito de maneira completa especificando-se os valores do sinal em instantes de tempo separados por 1/2W segundos. 2 Um sinal limitado em banda a W Hz, com energia finita, pode ser completamente recuperado a partir do conhecimento de suas amostras, tomadas à taxa de 1/2W amostras por segundo. O limite mínimo da taxa de amostragem 2W é chamado de frequência de Nyquist ou Shannon. Se o sistema não respeita Nyquist existe uma sobreposição dos espectros, chamado de aliasing, aonde o sinal interpolado já não é mais o de origem. Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 14

Aliasing Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 15

Filtragem anti-aliasing Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 16

Modulação PAM Sample and Hold Para um pulso retangular, a portadora é uma sequência de pulsos com duração T e repetição T s Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 18

s(t) = m(nt s )h(t nt s ) n= h(t) é o pulso retangular de largura T e amplitude unitária. Se a amostra instantânea é m delta (t) = m(nt s )δ(t nt s ) n= O sinal PAM é a convolução do sinal amostrado com a janela retangular h(t): = = m δ(t) h(t) = n= n= m(nt s ) m delta (t) = m δ (τ)h(t τ)dτ m(nt s )δ(τ nt s )h(t τ)dτ δ(τ nt s )h(t τ)dτ m(nt s )δ(t nt s ) n= Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 19

PAM Na frequência S(f) = M δ (f)h(f) M δ (f) = f s k= S(f) = f s k= M(f kf s ) M(f kf s )H(f) H(f) = T sinc(ft )e jπft Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 20

PAM - reconstrução Não basta um filtro passa-baixa por ainda haver a função sinc da janela em cima do espectro do sinal. Aplica-se um filtro de equalização sendo o inverso do ganho do sinc. Eq(f) = 1 H(f) Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 21

Sistema TDM (Time Division Multiplexing) Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 23

Problema 3.8 Haykin 4a. edição Vinte e quatro sinais de voz são amostrados e depois multiplexados por divisão de tempo. O sinal multiplexado usa pulsos de topo plano com duração de 1 µs. A operação de multiplexação inclui provisão para sincronização adicionando um pulso extra de de 1 µs de duração. A componente de frequência mais elevada de cada sinal de voz é 3,4 khz. a) Supondo uma taxa de amostragem de 8 khz, calcule o espaçamento entre pulsos sucessivos do sinal multiplexado. b) Repita seu cálculo supondo o uso da amostragem pela taxa de Nyquist. Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 24

Modulações PDM e PPM PDM / PWM - Modulação por duração de pulso No PDM uma longa duração gasta energia sem transportar muita informação PPM - Modulação por posição de pulso Uma passagem instantânea do pulso faria dele completamente imune ao ruído (banda infinita). O tempo de subida que defina a sensibilidade ao ruído. Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 26

Processo de Quantização O sinal amostrado pode conter todas as amplitudes. Discretizar no tempo e na amplitude. Transformar a amplitude da amostra m(nt s ) de um sinal de mensagem m(t) no tempo t = nt s, para uma amplitude discreta v[nt s ] tomada de um conjunto finito de amplitudes possíveis Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 28

Quantização Uniforme meio piso (midtread) meio degrau (midrise) Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 29

Ruído de Quantização Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 30

= 0.5 Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 31

Para vários níveis Q tende a uma distribuição uniforme: { 1 f Q (q) =, 2 < q 2 0, caso contrário A potência de ruído de quantização será então o valor esperado quadrático: E[Q 2 ] = E[Q 2 ] = /2 /2 q 2 f Q (q)dq q 2 1 dq E[Q 2 ] = σ 2 Q = 2 12 Como o depende do número de níveis L, que depende do número de bits, temos: Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 34

Como o depende do número de níveis L, que depende do número de bits, temos: L = 2 R = 2m max 2 R σq 2 = 1 m 2 max 3 2 2R SNR 0 = P ( 3P σq 2 = m 2 max ) 2 2R Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 35

Relação Sinal Sobre Ruído Sinal Senoidal Ruído pode ser considerado uma distribuição uniforme de variância σ 2 = 2 12 é o menor intervalo de comparação do ADC. O sinal é considerado um seno de amplitude Am, P s(t) = Am2 2. Considerando que a escala do ADC é de Am até Am, mostre que a relação sinal ruído do ADC em função do número de bits Nb é: SNR ADC (db) 1.76 + 6.02Nb Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 36

Quantização Não Uniforme Lei µ Lei A log(1 + µ m ) v = sgn(m) log(1 + µ) sgn(m) v = A m 1 + log A, 0 m 1 A 1 + log(a m ) 1 + log A, 1 A m 1

Introdução Sinal discreto no tempo e na amplitude. Amostragem / Quantização / Codificação. Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 39

Codificação Número do nível de representação Número em binário 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 40

Codificação Um evento é um elemento do código ou símbolo Para cada símbolo Um arranjo particular de símbolos é uma palavra código ou caracter Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 41

Códigos em linha Transmissão dos bits ou símbolos (sendo uma combinação de bits também) em uma tensão que varia no tempo em relação ao valores 0 e 1 binários. Fluxo binário que assume uma representação elétrica. Essa tensão pode ser considera um sinal na banda base. O pulso podendo tomar diferentes formas Telefonia digital Redes de computadores Interfaces de comunicação via cabo Características desejadas Ocupar pouca largura de banda Pequeno conteúdo espectral nas baixas frequências Assegurar suficientes transições (sincronismo) Sinas sem nível DC (acoplamento AC) Detecção de erros Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 42

NRZ unipolar O símbolo 1 representado por A. O símbolo 0 desligamento. Gasto de potência com o nível DC transmitido que não carrega informação. NRZ polar O símbolo 1 representado por A. O símbolo 0 representado por -A. Mais eficiente em potência. Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 43

RZ unipolar O símbolo 1 representado por A com largura de meio símbolo. O símbolo 0 desligamento. Apresenta no espectro o Dirac em T b que permite sincronismo. É 3dB menos eficiente que o RZ polar para uma mesma probabilidade de erro. RZ polar, BRZ. Os pulsos se alternam entre A e -A para cada vez que o 1 aparece. O pulso dura metade do período e retorna a 0 No bit 0 não há atividade. Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 44

Manchester O pulso dura T/2 com o valor A e -A. Para cada 0 a sequência do pulso alterna. O 1 não alterna a sequência. Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 45

Espectro de potência NRZ NRZ unipolar NRZ polar Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 46

Espectro de potência RZ RZ unipolar RZ polar Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 47

Espectro de potência Manchester Manchester Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 48

Codificação diferencial Melhor para o ruído. Somente as transições importam e não o nível em si. Na recepção, quando um estado muda em relação ao anterior, um 0 havia sido enviado. Quando não muda um 1 foi enviado. O inverso também pode ser usado. Para codificar: Partindo de um bit de origem (digamos igual a 1), se na sequência a decodificar for igual ao bit de comparação, o segundo bit codificado é 0, se não houver inversão, o bit seguinte é 1. Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 49

Recebendo o sinal Regeneração Equalização, temporização e Tomada de Decisão. Limiares de decisão Ou variação de níveis para a codificação diferencial. Erros de amplitude (ruído) e no tempo (jitter / delay / fase) podem ocorrer. Decodificação Mapeamento inverso do código de linha em símbolos. Os códigos de linha podem ser multiníveis. Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 50

Ruído em sistemas PCM Ruído do canal Ruído do receptor Ruído de quantização Taxa de erro binário - BER E b /N 0 - Energia bit em Joule e N 0 em W/Hz. Limiar PCM Eb/N 0 = 11dB. Áudio de qualidade SNR = 60 70dB Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 51

Exemplo: Geração de um Sinal PCM Considere um sinal de áudio com componentes espectrais limitadas à faixa de frequências de 300 Hz a 3300 Hz. Considere o sinal de audio com P = A 2 m/2, 2A m a máxima dinâmica do CAD. Suponha que o período de amostragem utilizado para gerar o sinal PCM é 125 µs. Deseja-se que a relação sinal-ruído de quantização seja de, no mínimo, 40 db. a) Qual o número de bits por amostra que deve ser utilizado? b) Qual o número de níveis de quantização (uniformes) a ser utilizado? c) Qual a taxa de bits do sinal PCM? d) Que capacidade de memória (em bits) será necessária para armazenar 5 min deste sinal de áudio? Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 52

Ex: TDMA, PCM e o sistema T1 Sistema I1 - Bell Labs (1960) TDMA com 24 canais de voz. Sinal banda base limitado de 300Hz a 3.1KHz. Sinal é filtrado com f c = 3.1KHz e sobre-amostrado em 8KHz. A amostragem da voz segue a lei µ aproximada por parte lineares com a constante µ = 255 Com µ = 255, temos 8 bits por amostra. O sistema TDMA é implementado considerando 8 bits de cada canal e mais um bit de sincronização. Isso constitui um frame de 193 bits. Calcular a taxa de transmissão em bits/s do sistema. Uma rede mais atual é a SONTE, cujo o quadro básico tem 6.480bits, aplicando a mesma frequência de amostragem inicial. Qual taxa mínima para o sistema SONET Quantos canais em paralelo podem ser transmitidos por TDMA? Luis Henrique Assumpção Lolis Passagem do Analógico para o Digital 53