1 Exercício 1 A tabela abaixo mostra o número de meses em que houve aumento do nível de atividade de quinze empresas de tamanho pequeno (P), médio (M) e grande (G), do setor comercial (C) e industrial (I). Empresa 1 3 6 7 8 9 10 11 1 13 1 1 Meses 8 9 3 6 8 6 6 8 6 Setor C C I I I C C I I C C I C I I Tamanho G M G M M P G M P M P P M M G (a) Classifique cada uma das variáveis. (b) Divida as empresas em dois grupos: comércio (C) e indústria (I). Compare os grupos em relação à média e à mediana do número de meses com crescimento. (c) Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação para os dois grupos. Qual dos grupos é mais homogêneo em relação ao número de meses com crescimento? (d) Calcule a média, mediana, desvio padrão e coeficiente de variação do número de meses com crescimento para os três tamanhos de empresas (P,M,G). Compare essas medidas. Com base nessa análise, você diria que existe relação entre o tamanho da empresa e o número de meses com crescimento? Solução a) Variáveis: Tamanho da empresa: Variável qualitativa ordinal, Setor da empresa: Variável qualitativa nominal, Número de meses com crescimento: Variável quantitativa discreta. b) Dividimos as empresas em dois grupos: comércio (C) e indústria (I). Valores ordenados dos meses com crescimento em cada setor, C 6 6 8 8 8 9 I 3 6 6 A média do número de meses com crescimento das empresas dos setor comercial é dada por, 8 + 9 + 6 + 8 + 8 + + 6 7 = 0 7 7, 13. A média do número de meses com crescimento das empresas do setor industrial é, + + 3 + 6 + 6 + + + 8 = 37 8 =, 6.
Observe que no setor comercial existem sete observações, de modo que a mediana é dada pelo valor da quarta observação quando estes valores estão ordenados (posição central). Logo, a mediana do número de meses com crescimento do setor de comércio é 8. Observe que possuimos oito observações no setor industrial, de modo que a mediana é dada pela média da quarta e quinta observação quando estes valores estão ordenados (posição central). Logo, a mediana do número de meses com crescimento do setor de indústria é dado por + =,. Baseados nos valores obtidos concluimos que em média o número de meses com crescimento do setor comercial é maior do que o setor industrial. c) Vamos agora determinar o desvio padrão para cada um dos dois grupos: comércio (C) e indústria (I). Para as empresas do setor comercial temos, (8 0 7 s c = ) + (9 0 7 ) + (6 0 7 ) + (8 0 7 ) + (8 0 7 ) + ( 0 7 ) + (6 0 7 ) 1, 6. 6 Para as empresas do setor industrial temos, (, 6) s i = + (, 6) + (3, 6) + + (, 6) 1.06. 7 De modo que o coeficiente de variação para o grupo das empresas do setor comercial é dado por, cv = 1.6 100 = 0, 9 7, 13 E o coeficiente de variação para o grupo das empresas do setor industrial é, cv = 1.06 100 =, 919, 6 Concluimos baseados no coeficiente de variação que as empresas do setor comercial são mais homogêneas do que as empresas do setor industrial. d) A medida descritiva que nos fornece a informação do número máximo de meses apresentando crescimento para que a empresa receba incentivo fiscal, dado que só % das empresas com menor crescimento (em meses) receberão incentivo, é o primeiro quartil. Os dados ordenados (crescimento em meses) são: 3 6 6 6 6 8 8 8 9. Temos n = 1, de modo que p (n + 1) = 0, (16) =. Logo, o primeiro quartil corresponde ao valor da variável que ocupa a quarta posição dos dados ordenados, ou seja,.
3 P 6 6 M 3 6 6 8 9 G 8 8 e) Dividimos as empresas em três grupos: pequeno (P), média (M) e grande (G). Valores ordenados dos meses com crescimento para cada tamanho de empresa, A média do número de meses com crescimento das pequenas empresas é dada por, + + 6 + 6 =, A média do número de meses com crescimento das médias empresas é, 3 + + + 6 + 6 + 8 + 9 7 = 1 7 =.87. A média do número de meses com crescimento das grandes empresas é, + + 8 + 8 Observe que nas pequenas empresas (grandes empresas) existem quatro observações, de modo que a mediana é dada pela média da terceira e quarta observação quando estes valores estão ordenados (posição central). Logo, a mediana do número de meses com crescimento das pequenas empresas é, (das grandes empresas é 6). Observe que possuimos sete observações entre as médias empresas, de modo que a mediana é dada pela quarta observação quando estes valores estão ordenados (posição central). Logo, a mediana do número de meses com crescimento das médias empresas é 6. O desvio padrão do número de meses com crescimento das pequenas empresas é, (, ) + (, ) + (6, ) + (6, ) 0.77 3 O desvio padrão do número de meses com crescimento das médias empresas é, (3 1 7 ) + ( 1 7 ) + (9 1 7 ), 116. 6 O desvio padrão do número de meses com crescimento das grandes empresas é, ( 6) + ( 6) + (8 6) + (8 6).309 3 = 6. O coeficiente de variação para o grupo das pequenas empresas é dado por, cv = 0.77, 100 = 10, 9
O coeficiente de variação para o grupo das médias empresas é dado por, cv =.116 100 = 36, 18.87 O coeficiente de variação para o grupo das grandes empresas é dado por, cv =.309 6 100 = 38, 83 Tabela 1: Média, Mediana, desvio padrão e coeficiente de variação da variável número de meses com crescimento para cada tamanho de empresa. Tamanho da empresa Média Mediana Desvio padrão Coeficiente de variação P.. 0.77 10,9 M.87 6.116 36,18 G 6 6.309 38,83 O número médio de meses com crescimento parece aumentar muito pouco conforme o tamanho da empresa aumenta. A mediana do número de meses com crescimento entre as grandes e médias empresas são iguais e levemente superiores as pequenas empresas. Diante da medida de coeficiente de variação e desvio padrão podemos dizer que as pequenas empresas representam um grupo mais homogêneo do que as médias e grandes empresas. Baseados nas observações acima não concluiriamos que existe relação entre o tamanho da empresa e o número de meses com crescimento, uma vez que a diferença do número médio de meses com crescimento em cada grupo não parece ser significativa. E é válido salientar que a média não parece ter a mesma representatividade em cada grupo. Exercício O peso (em Kg) de 30 mulheres de 168 cm de altura, segundo a idade (em anos) é apresentado abaixo Idade Peso 0 0 68 6 6 8 6 6 6 63 0 60 7 70 78 76 77 78 70 7 80 60 70 76 7 83 8 6 6 8 7 8 80
(a) Calcule a média, mediana, desvio padrão e coeficiente de variação para o peso dos seis grupos de idade analisados. (b) Com base nas medidas obtidas no item (a), tire conclusão sobre o comportamento do peso com o aumento da idade. Solução a) O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 0 anos é dado por, x 1 = + 0 + 68 + 6 + 6 = 60 O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e anos é dado por, x = 8 + 6 + 6 + 6 + 63 = 60.8 O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 0 anos é dado por, x 3 = 60 + 7 + 70 + 78 + 76 = 71, 6 O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e anos é dado por, x = 77 + 78 + 70 + 7 + 80 = 7, O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 60 anos é dado por, x = 70 + 76 + 7 + 83 + 8 = 77, 6 O peso médio do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 6 anos é dado por, x 6 = 6 + 8 + 7 + 8 + 80 = 76, Como cada grupo possui cinco observações a mediana é dada pela terceira observação quando estes valores estão ordenadas em cada grupo. Temos desta forma, Para o grupo de mulheres com 0 anos a mediana é dada por 6 kg. Para o grupo de mulheres com anos a mediana é dada por 6 kg. Para o grupo de mulheres com 0 anos a mediana é dada por 7 kg. Para o grupo de mulheres com anos a mediana é dada por 77 kg. Para o grupo de mulheres com 60 anos a mediana é dada por 76 kg. Para o grupo de mulheres com 6 anos a mediana é dada por 80 kg.
6 O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 0 anos é dado por, ( 60) s 1 = + (0 60) + (68 60) + (6 60) + (6 60) =, = 7.38 O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e anos é dado por, (8 60.8) s = + (6 60.8) + (6 60.8) + (6 60.8) + (63 60.8) = 13, 7 = 3.701 O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 0 anos é dado por, (60 71, 6) s 3 = + (7 71, 6) + (70 71, 6) + (78 71, 6) + (76 71, 6) = 7.17 O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e anos é dado por, (77 7, ) s = + (78 7, ) + (70 7, ) + (7 7, ) + (80 7, ) =.19 O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 60 anos é dado por, (70 77, 6) s = + (76 77, 6) + (7 77, 6) + (83 77, 6) + (8 77, 6) = 6.69 O desvio padrão do peso do grupo de mulheres de 168 cm de altura e 6 anos é dado por, (6 76, ) s 6 = + (8 76, ) + (7 76, ) + (8 76, ) + (80 76, ) = 7.97 cv 1 = 7.381 60 100 = 1, 303 cv = 3.70131 60, 8 100 = 6, 087 cv 3 = 7.171 71, 6 100 = 9, 9 cv =.1900 7, 100 =, 9 cv = 6.68971 77, 6 100 = 8, 079 cv 6 = 7.96666 76, 100 = 9, 838
7 b) Conclusões: Com o aumento da idade de 0 para anos não notamos alterações significativas no peso médio das mulheres. Entretanto, diminuem o desvio padrão e coeficiente de variação, de modo que o peso das mulheres com faixa etária de anos é bem mais homogêneo do que entre as mulheres com 0 anos. Com o aumento da idade de para 0 anos percebemos um aumento significativo no peso médio das mulheres. A variabilidade dos pesos volta a subir. Com o aumento da idade de 0 para anos percebemos um aumento no peso médio das mulheres. O grupo das mulheres de anos é mais homogêneo do que o das mulheres com 0 anos. Com o aumento da idade de para 60 anos percebemos um pequeno aumento no peso médio das mulheres. O grupo das mulheres de anos é mais homogêneo do que o das mulheres com 60 anos. Com o aumento da idade de 60 para 6 anos percebemos uma pequeno diminuição no peso médio das mulheres. Observamos que no geral o peso médio das mulheres parece aumentar conforme a idade aumenta, com poucas exceções.
8 Exercício 3 Os dados representam velocidades do vento (km/h) num determinado aeroporto para os primeiros 1 dias de dezembro de 008. Dia 1 3 6 7 8 9 10 11 1 13 1 1 Veloc, 61,1 13,7 7,8,7 7, 8,7 6,3 0,,6 3, 11,1 13,0 7, 1,8 (a) Calcule a média, a mediana, o desvio padrão e os quartis da velocidade. (b) Note que o dia de dezembro apresenta um valor atípico devido a uma tempestade forte com chuva e vento. Remova esse valor e refaça o item anterior. Comente as diferenças encontradas. Solução a) A velocidade média do vento num determinado aeroporto para os primeiros 1 dias de dezembro é dada por, x 1 =, + 61, 1 + + 3, 0 + 7, + 1, 8 1 = 8. 1 = 19.01333 Como há quinze observações a mediana é dada pela oitava observação quando estes valores estão ordenadas. Os valore ordenados são, de modo que a mediana é dada por, 1.8. 6,3 7, 7, 8,7 11,1 13,0 13,7 1,8 0,,,7 3,,6 7,8 61,1 O desvio padrão é, s 1 = (6.3 19.01333) + + (61.1 19.01333) Temos n = 1 observações, logo, Posição de Q 1 =0,(1+1)=. 1 Posição de Q (mediana)=0,(1+1)=8. Posição de Q 3 =0,7(1+1)=1. = 187.301 = 13.6891 Olhando para os valores ordenados podemos determinar facilmente estes valores em cada caso. Portanto, Q 1 = 8.7, Q = 1.8 e Q 3 = 3. (b) Removemos o valor referente ao dia e obtemos que a velocidade média do vento neste determinado aeroporto é dada por, x =, + 61, 1 + + 3, 0 + 7, + 1, 8 1 =.1 1 = 16.0071.
9 Como agora temos 1 observações a mediana é o valor que está na posição 1+1 = 7, Portanto, Md = 13.7 + 1.8 = 1,. O desvio padrão é, s = (6.3 16.0071) + + (7.8 16.0071) Temos n = 1 observações, logo, 13 Posição de Q 1 =0,(1+1)=3.7. Posição de Q (mediana)=0,(1+1)=8. Posição de Q 3 =0,7(1+1)=11.. =.7687 = 7.603 Por simplicidade tomaremos, Q 1 = 7.+8.7 = 8.0, Q = Md = 1. e Q 3 =.7+3. =.9. Observe que ao removermos o valor referente ao segundo dia as medidas descritivas diminuem. Podemos ver que o desvio padrão decresce consideravelmente e a amostra passa a ser mais homogênea. Isto acontece porque no dia de dezembro o vento apresentou um valor atípico e muito alto que aumenta as medidas descritivas.