Corrente elétrica e Resistência

Capítulo 9 Corrente elétrica e Resistência 9.1 Transporte de Carga e Densidade de Corrente As correntes elétricas são causadas pelo movimento de portadores de carga. A corrente elétrica num fio é a medida da quantidade de carga que passa por um ponto do fio por unidade de tempo. I = dq dt [I] = A (Ampere) 9.1.1 Conceito De Densidade De Corrente Consideremos uma área a. Perguntamos: Quantas partículas carregadas passam por unidade de tempo? Consideremos inicialmente que cada partícula possui carga q e velocidade u e temos n partículas por m 3. 121

122 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.1 Para o intervalo de tempo t temos que a resposta será: todas as partículas dentro de um volume de prisma. V olume = base altura V olume =a u t = au t cos θ Densidade de partículas = n, então o número de partículas, N, que passa pela área a no intervalo t é: N = na u t Considerando que cada partícula possui carga q: Q = nqa u t Caso geral: corrente = Q t = nqa u = I (a)

9.1. TRANSPORTE DE CARGA E DENSIDADE DE CORRENTE 123 Consideremos que há partículas diferentes com cargas diferentes, velocidades diferentes em número diferente. Então a corrente será dada por: I (a) = n 1 q 1 a u 1 + n 2 q 2 a u 2 +... + n N q N a u N I (a) = N n i q i a u i = i=1 N I (a) = a n i q i u i i=1 Chamamos N n i q i u i de densidade de corrente J. i=1 N n i q i u i = Densidade de corrente i=1 N J = n i q i u i i=1 J = A m 2 I (a) = a J Examinemos agora a contribuição da densidade de corrente para o caso de elétrons que podem ter diferentes velocidades. q i = e N J = e n i u i i=1 A velocidade média dos elétrons é dada por:

124 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA u e = 1 n i u i N e N e = Numero de eletrons por unidade de volume i J e = en e u e A corrente de elétrons que passará através da área a dependerá somente da velocidade média dos portadores (lembrando que esta de trata de uma média vetorial). A corrente I que atravessa qualquer superfície S é exatamente igual à integral de superfície: I = J ds I é o fluxo associado ao vetor J S 9.2 Equação da Continuidade da Carga elétrica Figura 9.2 V. Consideremos uma superfície fechada qualquer S, que delimita um volume Dentro do volume V temos uma quantidade de carga total igual a:

9.2. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DA CARGA ELÉTRICA 125 ρdv V Como S J ds é igual à vazão instantânea de carga para fora do volume. J ds = d dt ρdv Usando o Teorema de Gauss temos: S V V Jdv = d dt V ρdv Mas como ρ = ρ (x, y, z, t) e a superfície que limita o volume permanece no mesmo lugar: Então: V d dt ρdv = Jdv = V ρ t dv ρ dv t Como a equação é válida para qualquer V : J = ρ t Equaç~ao da Continuidade da carga Portanto, O Princípio da Conservação da Carga é traduzidos pelas equações: S J ds = d dt V ρdv (9.1)

126 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA e J = ρ t (9.2) 9.2.1 Caso De Corrente Estacionária Corrente não varia com o tempo!!! Figura 9.3 Suponha que temos um fio por onde passa uma corrente estacionária (não varia com o tempo). Se considerarmos o volume V, a quantidade de carga Q que entra num intervalo de tempo t deve ser igual à que sai no mesmo intervalo. Q t dentro do volume = 0 ρ t = 0 J = 0 Esta equação nada mais é do que a 1 a Lei de Kirchoff, também conhecida como Lei dos Nós, da teoria de circuitos elétricos. Figura 9.4

9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM 127 Figura 9.5 9.3 Condutividade Elétrica e a Lei de Ohm Consideremos que a corrente elétrica é produzida pela presença de um campo elétrico. E produz uma força no portador de carga se movimenta corrente elétrica Se há corrente elétrica ou não, depende da natureza física do sistema em que o campo atua, ou seja, o meio. Uma das mais antigas descobertas experimentais sobre a corrente elétrica na matéria foi feita por G. S. Ohm, em um trabalho publicado em 1827 intitulado: Die Galvanische Ketle Mattematisch Bearbeitet, e é expressa através da Lei de Ohm: V = RI Observação 9.1. ( OBSERVAÇÃO IMPORTANTE ) Esta equação provém da observação experimental do comportamento de muitas substâncias familiares, nós não a deduzimos das leis fundamentais do eletromagnetismo. 9.3.1 Um Modelo Para a Condução Elétrica Modelo De Drude = Modelo Clássico Linha do tempo:

128 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA 1827 - Ohm 1897 - J.J. Thompson descoberta do elétron. Impacto imediato nas teorias da estrutura da matéria e sugeriu um mecanismo para a condução em metais. 1900 - Drude construiu sua teoria para a condutividade elétrica utilizando a teoria cinética dos gases para um metal, considerando um gás de elétrons livres. (Annalen der Phynik 1, 566 (1900) e Annalen der Phynik 3, 369 (1900)) Suposições: Figura 9.6 Cada átomo contribui com z elétrons para a condução carga = -ez Na ausência de campo elétrico os elétrons se movem em todas as direções, ao acaso, com velocidades que são determinadas pela temperatura. O elétron deverá se mover em linha reta até que sofra uma colisão. As colisões no modelo de Drude, como na teoria cinética, são eventos instantâneos que alteram abruptamente a velocidade do elétron. Não há relação (tanto em módulo quanto em direção e sentido) entre a velocidade u do elétron em t = 0 e sua velocidade depois da passagem de um certo intervalo de tempo. Isto corresponde a dizer que após um tempo t o vetor velocidade do

9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM 129 elétron poderá ser encontrado apontando em qualquer direção independente da direção que tinha em t = 0. A probabilidade de um elétron sofrer uma colisão em um intervalo de tempo dt é dt, onde τ = tempo médio entre as colisões. τ Agora vamos aplicar um campo elétrico uniforme E ao sistema. Com a presença de um campo elétrico, o elétron ficará sujeito a uma força elétrica. Figura 9.7 a: Seja: u = velocidade imediatamente após a colisão. Após um determinado t, o elétron sofre um incremento de momento igual p t = e Et Momento original logo após a colisão era: m e = massa do elétron p o = m e u Então, momento total após um determinado tempo t deve ser:

130 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA p = m e u e Et Com isso, o momento total do sistema será: p = m e u i + i i O momento médio de todos os elétrons: ee t i Mas: 1 N e i p = 1 N e p p = 1 m e u i e N Et i e i 1 p = m e u i ee N 1 t i e N e i u i = velocidade média dos elétrons imediatamente após a colisão deve ser igual a zero, pois u i tem as direções distribuídas totalmente ao acaso e, portanto, tem contribuição nula para a média. 1 N e i t i = tempo médio entre as colisões = τ p = e Eτ u = eτ m e E = velocidade média = velocidade de drift ou de arrasto. Já vimos que a densidade de corrente pode ser escrita como: i J = N e e u Seja: J = N ee 2 τ m e E

9.3. CONDUTIVIDADE ELÉTRICA E A LEI DE OHM 131 Então: Lei de Ohm σ = e2 N e τ m e J = σ E onde σ = condutividade elétrica. Vejamos que escrever J = σ E é equivalente a escrever V = RI. Consideremos um fio de secção transversal A: Figura 9.8 V = El e I = JA J = σe = σ V l Então: I A = σ V l V = l I σa R

132 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA V = Ri Definimos resistividade como sendo o inverso da condutividade: Temos: ρ = 1 σ R = ρl A De fato a resistência deve ser diretamente proporcional a l e inversamente proporcional a A. R = comprimento resistividade areadasecaotransversal Na realidade a resistividade de um material varia com a temperatura T. ρ = ρ o [1 + α (T T o )] α = coeficiente de temperatura da resistividade α > 0 para metais α < 0 para semicondutores Figura 9.9

9.4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 133 9.4 Associação de Resistores 9.4.1 Associação em Paralelo Figura 9.10 V = R eq I eq R eq = V I 1 + I 2 + I 3 1 R eq = I 1 V + I 2 V + I 3 V = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 1 R eq = 9.4.2 Associação em Série N i=1 1 R i V = V 1 + V 2 = R 1 I + R 2 I V = (R 1 + R 2 ) I R eq = (R 1 + R 2 )

134 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.11 R eq = Exercício 9.1. Um material condutor possui condutividade dada por: onde σ a e σ b são constantes. N i=1 R i σ(x) = σ a + (σ b σ a ) x l O condutor possui comprimento l e área de secção transversal constante. Determine a resistência entre as faces A e B do condutor. Figura 9.12 R = ρl A R(x) = l σ(x)a

9.4. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 135 Figura 9.13 l R eq = Σ n R i R = i=1 0 dx σ(x)a = 1 l A 0 σb dx σ a + σ b σ a l x l R = A(σ b σ a ) ln σ a Exercício 9.2. Um material condutor é moldado na forma de um tronco de cone. O raio da base menor é a e o raio da base maior é b. O comprimento é l e a resistividade é uniforme. Determine a resistência entre as bases. Figura 9.14 R = dr dr = ρdx πr 2 (x) b a r (x) = a + x l R = ρ π l 0 dx a + b a 2 R = ρ l x π R = ρl πab se l b a a = b R = ρl πa 2 1 b + 1 a

136 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Exercício 9.3. Um material é moldado na forma de uma cunha, como ilustra a figura abaixo. O material possui uma resistividade ρ R. Determine a resistência entre as faces A e B Figura 9.15 R = dr dr = ρdx a + (b a) l x w R = ρ w l 0 dx a + R = ρ b a l x w l (b a) ln b a se b a, (b a) 0 ln b a = ln b a + 1 b a a a R = ρl (b a) = ρl w (b a) a aw 9.5 Força Eletromotriz É necessário se gastar energia elétrica para manter uma corrente constante em um circuito fechado. eletromotriz (fem - símbolo ε ). Exemplos: baterias, células solares, etc A fonte de energia é chamada de fonte de força Matematicamente: ε dw dq Ou seja, o trabalho para mover uma unidade de carga na direção do potencial mais alto.

9.5. FORÇA ELETROMOTRIZ 137 Considere o circuito: [ε] = V (volt) Figura 9.16 Assumindo que a bateria não possui resistência interna, então a diferença de potencial V A V B = V = ε Corrente: I = ε R No entanto, uma bateria real sempre possui um resistência interna r. Neste caso, a diferença de potencial nos terminais da bateria é: V c V a = V = ε ri Figura 9.17 No circuito todo: ε ri RI = 0 I = ε r + R

138 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.18. Voltagem cai ao passar por cada resistor.. Nos fios é constante. 9.5.1 Potência A potência é dada por: dw dt Taxa de Transferência de Energia Como P = V I é sempre válido: Usando a Lei de Ohm: = V dq dt A potência gasta pela bateria: P = I 2 R P = Iε = I (IR + Ir) = I 2 R + I 2 r Potência da fonte é igual a Potência dissipada em R + Potência dissipada em r. 9.5.2 Potência Máxima Transmitida P = RI 2

9.6. LEIS DE KIRCHOFF 139 Figura 9.19 I = P = ε R + r Rε2 (R + r) 2 dp dr = 0 dp dr = ε 2 (R + r) 2 2Rε2 (R + r) 3 = 0 R + r = 2R R = r 9.6 Leis de Kirchoff As leis de Kirchoff: 1- Dos nós: ΣI entram = ΣI saem 2- Das malhas: Σ V = 0 circuito fechado Nos circuitos temos: V a > V b V = V b V a = RI

140 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.20 Figura 9.21 V a < V b V = V b V a = +ε Exercício 9.4. Qual o valor de I 1, I 2 e I 3? Figura 9.22 Consideremos que o sentido das correntes são como mostrados na figura. Pela lei das malhas: Começando em A: Começando em B: V 1 R 1 I 1 R 3 I 1 + R 3 I 2 = 0 R 3 I 2 + R 3 I 1 R 2 I 2 + V 2 = 0

9.7. CIRCUITO R-C 141 Temos duas equações e duas incógnitas, I 1 e I 2 I 3 = I 1 I 2 Se I 1 der negativo, então o sentido da corrente é oposto ao que supomos inicialmente, o mesmo para I 2. 9.7 Circuito R-C 9.7.1 Carregando um capacitor Considere o circuito abaixo: Figura 9.23 Bateria com uma fem ε constante e resistência interna nula. Inicialmente o capacitor está completamente descarregado q( t=0 ) = 0 e a chave passa para a posição (1). A corrente começa a circular: I (0) = ε R A medida que o tempo passa ( t 0 ), o capacitor vai carregando até atingir a carga máxima ( t = tf ) Q = Cε Analisemos o que ocorre entre os dois instantes ( 0 t tf ). Pela Lei da Malhas: ε I (t) R q(t) C = 0 Podemos resolver a equação em termos da corrente ou da carga. Escolhendo a carga:

142 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.24 ε RI (t) q (t) C = 0 I (t) = dq (t) dt ε R dq dt q C = 0 dq dt = 1 ε q R C Integrando ambos os lados, temos: dq εc q = dt RC q 0 dq q εc = 1 t q εc dt ln = t RC εc RC 0 q εc = εc e ( t RC ) q (t) = εc 1 e ( t RC ) q (t) = Q 1 e t RC Onde Q é a carga máxima armazenada no capacitor. I (t) = dq dt q (t) = Q 1 e t RC I (t) = Q RC e t RC = εc RC e t RC

9.7. CIRCUITO R-C 143 Figura 9.25 I (t) = ε R e t RC Figura 9.26 τ = RC é uma medida do tempo de decaimento da função exponencial. Depois de t = τ a corrente cai de um fator de 1 = 0, 368. e Tensão no Capacitor V c (t) = q (t) C = Q C 1 e t RC = ε 1 e t RC q (t ) = Cε = Q t V c (t ) = ε I (t ) = 0

144 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.27 Depois de um tempo t = τ a diferença de potencial entre os capacitores aumenta de um valor igual a (1 e 1 ) = 0, 632 do seu valor final. V c (τ) = 0, 632ε 9.7.2 Descarregando um capacitor Considerando que a chave permaneceu por um longo tempo na posição (1), vamos mudar a chave para a posição (2). Figura 9.28 Podemos prever que a corrente terá o mesmo comportamento que o processo anterior, com a diferença que mudará de sentido. Montando a equação: I descarga (t) = I carga (t) = ε R e t RC

9.7. CIRCUITO R-C 145 q (t) C q (t) C RI (t) = 0 I (t) = dq dt (t) Rdq = 0 dt dq (t) dt = q (t) RC dq q = dt q RC Q q ln = t Q RC dq t q = 0 dt RC q (t) = Qe t RC V c (t) = q (t) C = Q C e t RC = εe t RC I (t) = dq dt = ε R e t RC Figura 9.29

146 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA Figura 9.30 Figura 9.31 Figura 9.32 t < 0 R eq = R 1 + R 2

9.7. CIRCUITO R-C 147 τ = R eq C = (R 1 + R 2 ) C q (t) = εc 1 e ( t τ ) Figura 9.33 Figura 9.34 τ = R 2 C q (t) = εce t τ Corrente entre A e B como função do tempo depois que o circuito é fechado.

148 CAPÍTULO 9. CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA ε = R 1 I 1 I 1 = ε R 1 q (t) C R 2I 2 (t) = 0 q (t) C + R dq 2 (t) 2 = 0 dt Figura 9.35 dq 2(t) q 2 = dt R 2 C q 2 (t) = εce t R 2 C I 2 (t) = ε R 2 e t R 2 C I = I 1 + I 2 = ε R 1 + ε R 2 e t R 2 C