MODELOS DE FISSURAÇÃO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

CMNE/CILAMCE 2007 Porto, 13 a 15 de Junho, 2007 APMTAC, Portugal 2007 MODELOS DE FISSURAÇÃO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Marcelo Augusto da Silva Machado 1 *, Leandro Mouta Trautwein 2, Américo Campos Filho 3 e Túlio Nogueira Bittencourt 4 1: Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica Escola Politécnica Universidade de São Paulo Av. Professor Almeida Prado, trav 2, 83, Cidade Universitária, São Paulo/SP-Brasil, 05508-900 e-mail: marceloasmachado@gmail.com 2: Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica Escola Politécnica Universidade de São Paulo Av. Professor Almeida Prado, trav 2, 83, Cidade Universitária, São Paulo/SP-Brasil, 05508-900 e-mail: leadromt@gmail.com 3: Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil Escola de Engenharia Universidade Federal do Rio Grande do Sul Av. Osvaldo Aranha, 99, 3 andar, Porto Alegre/RS-Brasil, 90035-190 e-mail: americo@ufrgs.br 4: Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica Escola Politécnica Universidade de São Paulo Av. Professor Almeida Prado, trav 2, 83, Cidade Universitária, São Paulo/SP-Brasil, 05508-900 e-mail: tulio.bittencourt@poli.usp.br Palavras-chave: Concreto Armado, Elementos Finitos, Cisalhamento, Fissuração Resumo. O trabalho realizado por Bresler e Scordelis [1] definiu conceitos seguidos na análise não-linear de estruturas de concreto armado. Em tal trabalho, estão os ensaios clássicos de doze vigas de concreto armado com o objetivo preliminar de investigar o comportamento crítico de vigas ao cisalhamento. Três destas vigas foram reproduzidas numericamente a fim de se validar a plataforma desenvolvida em elementos finitos para análise não-linear de estruturas de concreto armado sob estados planos de tensões. Os resultados obtidos numericamente de deslocamentos e modos de fissuração foram comparados com os resultados obtidos experimentalmente e também pelos softwares DIANA e FEMOOP, este último desenvolvido por Gamino [2].

1. INTRODUÇÃO Este trabalho apresenta um sistema computacional, desenvolvido no software MATLAB por Machado [3], referenciado neste trabalho por MATLAB - Machado [3], utilizando o método dos elementos finitos, para análise não-linear de estruturas de concreto armado submetidas a estados planos de tensões. Considera-se o comportamento distinto do concreto à tração ao seu comportamento à compressão. Para a fissuração do concreto sob tração, utiliza-se um modelo de fissuras distribuidas, que leva em conta a contribuição do concreto entre fissuras. Já para o concreto comprimido, utiliza-se uma regra de endurecimento de acordo com o Código Modelo CEB- FIP 1990 [4]. Introduz-se a armadura no modelo como um material mais rígido, com comportamento elastoplástico, no elemento de concreto. Assim, a matriz de rigidez da armadura tem as mesmas dimensões a matriz de rigidez do elemento de concreto e os deslocamentos da armadura são referenciados aos deslocamentos dos nós do elemento de concreto, somando-se diretamente as diversas matrizes de rigidez. Para validação do sistema computacional, comparam-se os resultados numéricos com os clássicos resultados experimentais produzidos por Bresler e Scordelis [1], com o objetivo de se investigar o comportamento de vigas ao cisalhamento. Também se comparam com os resultados numéricos produzidos pelos softwares DIANA e FEMOOP, este último desenvolvido por Gamino [2]. 2. MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS DOS MATERIAIS Para se modelar o concreto sob estado plano de tensões, utiliza-se um elemento finito isoparamétrico quadrangular de oito nós de família Serendipity, de acordo com Hinton e Owen [5]. Tal elemento possui dois graus de liberdade por nó, deslocamentos na direções X e Y, com campos de deslocamentos variando de forma quadrática e campos de deformações variando de forma linear. Já para se modelar as barras de armadura, utiliza-se um elemento finito também isoparamétrico mas unidimensional, permitindo-se modelar tanto barras retas, definidas por dois nós, ou curvas, definidas por três nós. Considera-se a armadura como sendo uma linha ou um elemento unidimensional mais rigido dentro do elemento de concreto, que resiste apenas a esforços axiais, de acordo com o modelo incorporado de Elwi e Hudrey [6]. Este modelo Supõe-se, também, aderência perfeita entre o concreto e o aço. Assim, considera-se que ocorra a mesma deformação e deslocamento em nós da armadura e do concreto localizados na mesma posição. As matrizes de rigidez da armadura e do concreto possuem as mesmas dimensões, sendo a matriz de rigidez total de um elemento de concreto armado a soma das duas parcelas. Utiliza-se também o procedimento desenvolvido por Elwi e Hudrey [6] para a localização automática dos segmentos de armadura, dispostos de forma aleatória no interior da malha de elementos finitos de concreto. 2

3. MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS Provavelmente, a principal característica do concreto é a sua baixa resistência à tração, quando comparada a sua resistência à compressão. Para tanto, utilizam-se dois modelos disitintos para descrever este comportamento. 3.1. Concreto Comprimido Considera-se que o concreto comprimido tenha um comportamento elastoplástico com endurecimento, utilizando-se um modelo composto por um critério de ruptura, um critério de plastificação e uma regra de endurecimento. O critério de ruptura adotado é aquele proposto por Ottosen [7], sendo o mesmo adotado pelo Código Modelo CEB-FIP 1990 [4]. Quanto ao critério de plastificação, considera-se que o concreto não fissurado tenha endurecimento isotrópico, cuja superfície de plastificação seja àquela de Von Mises, sendo esta um caso particular à de Ottosen [7]. Já para a regra de endurecimento, a qual define a maneira pela qual as superfícies de plastificação se movimentam (superfícies de carregamento), durante a deformação plástica, adota-se a relação tensão-deformação definida pelo Código Modelo CEB-FIP 1990 [4]. No modelo implementado, considera-se plasticidade associada, por motivos práticos, já que há poucas evidências experimentais disponíveis para este fato, segundo Hinton e Owen [5]. Desta forma, dentro do domínio plástico, na relação tensão-deformação, o vetor de fluxo plástico é normal à superfície de plastificação. 3.2. Concreto Tracionado O fato de o concreto possuir baixa resistência à tração resulta na sua fissuração, para baixos níveis de tensão, se comparados com as tensões de falha à compressão. Considera-se que o concreto fissurado segue o modelo de fissuras distribuídas. A vantagem deste modelo é que necessita-se apenas que se atualize a relação tensão-deformação após a ocorrência da fissura, sem modificar-se a topologia da malha de elementos finitos durante a análise, como ocorre em outros modelos. No presente trabalho, o concreto sob tração é modelado como sendo um material elástico com amolecimento ( strain-softening ) e emprega-se o critério de ruptura de Ottosen para se distinguir o comportamento elástico da fratura à tração. Para um ponto, no interior do elemento, previamente não-fissurado, as tensões principais e suas direções são avaliadas. Conforme o critério estabelecido pelo Código Modelo CEB-FIP 1990 [4], para um ponto de integração cujo estado de tensão atingiu a superfície de ruptura, tem-se que: - se σ1 ftm/2, o ponto de integração fissurou; - se σ1 < ftm/2, o ponto de integração esmagou. A fissura é formada no plano ortogonal à tensão principal máxima σ 1. Após isso, considera-se o concreto ortotrópico, sendo desprezado o efeito de Poisson, conforme Hinton [8], e os eixos materiais locais coincidem com as direções das tensões principais. A direção da fissura é 3

admitida permanecer fixa, sendo isto conhecido como aproximação da fissura fixa. Como se trata de estado plano de tensão, permite-se apenas uma única fissura, para cada ponto no interior do elemento de concreto. Para um ponto já fissurado, verifica-se a formação de uma segunda fissura, que, por simplicidade, seria ortogonal à primeira fissura. Se ocorrerem duas fissuras, supõe-se que o concreto não colabora mais na resistência da estrutura, tendo suas tensões anuladas no ponto em questão. Calcula-se a direção da fissura, resolvendo-se um problema de autovetores. Calculam-se também os co-senos diretores dos ângulos formados entre o autovalor equivalente à tensão principal máxima, σ 1 e o estado de tensão que originou a fissura. Após a fissuração, adota-se que o concreto tracionado segue uma curva exponencial de amolecimento de deformações ( strain-softening ), de acordo com Hinton [8]. Essa curva de amolecimento é aplicável somente ao concreto e desconsidera-se o efeito de rigidez à tração pela presença da armadura. Assim como a tensão normal ao plano da fissura, a tensão paralela ao plano da fissura também sofre uma modificação. Duas situações possíveis podem acontecer: a deformação nesta direção ser de compressão, onde, para este caso, sugere-se que a tensão correspondente se comporte de acordo com o diagrama de um ensaio uniaxial à compressão, segundo o Código Modelo CEB-FIP 1990 [4]. Por outro lado, se a deformação, na direção analisada, for de tração, adota-se uma relação tensão-deformação linear. O limite superior desta relação é a resistência à tração do concreto. Se este limite for atingido, supõe-se que o concreto esteja fissurado nas duas direções e as tensões, no ponto, passam a serem nulas. Em ambos os casos, desconta-se a deformação considerada da deformação de fissuração. 3.3. Rigidez Transversal do Concreto Fissurado Como uma regra geral, as primeiras fissuras que aparecem no concreto sob tração são perpendiculares à direção da mais alta tensão principal de tração do concreto, σ 1. As direções principais se modificam, por mudanças no carregamento ou por não-linearidades da estrutura, produzindo deslocamentos relativos das faces rugosas da fissura. Isto causa o surgimento de tensões de corte no plano da fissura. O valor destas tensões de corte depende das condições locais na fissura. O principal mecanismo de transferência de esforços transversais é o engrenamento dos agregados e as principais variáveis envolvidas são o tipo e a granulometria dos mesmos. Além disso, o efeito de pino da armadura que cruza a fissura ( dowell effect ) tem também importância na transferência de esforços. Neste caso, as principais variáveis envolvidas são o diâmetro das barras, a taxa de armadura e a inclinação das barras em relação ao plano da fissura. Ambos mecanismos são controlados pela abertura da fissura, que, quando aumenta, faz com que se reduza a capacidade de transferência de corte ( shear transfer ). Não se pode incluir diretamente os mecanismos acima mencionados no modelo de fissuras distribuídas. Nos modelos de fissura fixa, tais mecanismos podem ser aproximados, conforme sugere Cervenka [9], reduzindo-se o valor do módulo de elasticidade transversal do concreto, G, através de um fator β que varia entre 0 e 1. Para tanto, adota-se a fórmula para β dada por Cervenka [9], também utilizada por Hinton [8]. 4

4. PROGRAMA COMPUTACIONAL DIANA DIANA (DIsplacement Method ANAlyser) é um programa de elementos finitos utilizado para a análise não-linear de estruturas, desenvolvido pela TNO Building and Construction Research na Holanda. O DIANA oferece a possibilidade de se trabalhar com o modelo de fissuração discreta (discrete crack model) e com o modelo de fissuração distribuída (smeared crack model). As simulações numéricas realizadas neste trabalho utilizaram apenas o modelo de fissuração distribuída. Neste trabalho, adota-se o modelo Multi Directional Fixed Crack Model para se controlar a abertura e a orientação das fissuras em um determinado ponto. O modelo incremental Multi-Directional Fixed Crack Model é caracterizado por combinar o modelo de fissuração distribuída para a tração e um modelo plástico para a compressão. Esse modelo permite abrir várias fissuras em um mesmo ponto. Para representar o comportamento do concreto armado fissurado na tração, utiliza-se o tension stiffening. Na literatura o termo tension stiffening é a contribuição do concreto à tração nos trechos contidos entre fissuras, e está relacionado diretamente com a taxa e diâmetro da armadura e com espaçamento entre as fissuras. Após o surgimento da primeira fissura, em um certo estágio de carregamento a abertura da fissura irá se estabilizar por efeito da armadura, e mesmo com o aumento da carga esta fissura não se propagará, apenas a respectiva abertura aumentará. O concreto armado fissurado é capaz de transmitir tensões entre duas fissuras adjacentes, através da armadura, conferindo asssim uma certa rigidez adicional. A curva tensão x deformação para simular este efeito do tension stiffening é ilustrada na Figura 1. Os parâmetros deste modelo são α t e ε m, como se observam na Figura 1, onde ε m é a deformação máxima do concreto na tração e α t o fator que reduz a tensão de tração após a formação da primeira fissura. Figura 1. Diagrama tension stiffening disponível no Diana[10]. Para o tratamento da compressão do concreto utiliza-se o modelo clássico de ruptura de Mohr- Coulomb. Com relação ao efeito da redução da rigidez ao cisalhamento (β) nas análises realizadas o parâmetro β foi igual a 0,2. 5

Para representar as armaduras utilizam-se elementos do tipo embedded reinforcement, permitindo simular a armadura como incorporada ao concreto. Adota-se o modelo de ruptura de Von Mises, com a equação constitutiva do material seguindo um modelo elasto-plástico perfeito para representar o comportamento do aço. Os elementos finitos utilizados para o concreto são os do tipo QU8 (oito nós) quadráticos para análises em estado plano de tensões. Aplica-se o carregamento através de incrementos de deslocamentos até que se atinja a ruptura da viga. Adota-se uma tolerância para o critério de convergência na ordem de 10-4, fazendo-se equilíbrio de energia. 5. DETALHES DAS VIGAS DE BRESLER E SCORDELIS[1] Bresler e Scordelis [1] ensairam doze vigas divididas em quatro grupos contendo três vigas cada. Neste trabalho, analisam-se o grupo de vigas OA (sem armaduras de cisalhamento), utilizando-se o MATLAB-Machado [3], o DIANA, e o FEMOOP de Gamino [2]. A Tabela 1 e 2 apresentam respectivamente o resumo das vigas ensaiadas e as propriedades físicas e mecânicas dos materiais aço e concreto utilizados. Os detalhes da seção transversal das vigas são ilustrados na Figura 2. Viga b w(mm) h(mm) d(mm) L(mm) Vão(mm) A s OA1 310 556 461 4100 3660 4 n o 9 OA2 305 561 466 5010 4570 5 n o 9 OA3 307 556 462 6840 6400 6 n o 9 Tabela 1. Detalhes das vigas ensaiadas por Bresler e Scordelis[1]. Aço Barra Diâmetro(mm) Área(mm 2 ) f y(mpa) f u(mpa) E s(mpa) n o 9 28,7 645 555 933 218.000 n o 4 12,7 127 345 542 201.000 n o 2 6,4 32,2 325 430 190.000 Concreto Viga f c(mpa) f t(mpa) Ec (Mpa) OA1 22,6 3,97 36.500 OA2 23,7 4,34 32.900 OA3 37,6 4,14 34.300 Tabela 2. Propriedades dos materiais utilizados nas vigas ensaiadas por Bresler e Scordelis[1]. 6

Figura 2 Detalhes da seção transversal das vigas de Bresler e Scordelis[1]. 5. RESULTADOS OBTIDOS Neste item compara-se os resultados numéricos produzidos pelo MATLAB - Machado [3] e também pelos softwares DIANA e FEMOOP [2] com os cássicos resultados experimentais produzidos por Bresler e Scordelis [1]. Para a validação da análise numérica realizada serão utilizadas a curvas do tipo carga-deslocamento, as tensões no concreto e o padrão de fissuração comparado com a resposta experimental. A Tabela 3 ilustra os resultados obtidos em termos de carga de ruptura e deslocamentos na ruptura obtidos pelos três programas utilizados nas modelagens. As curvas forçadeslocamento obtidas encontram-se na Figuras 3, 4 e 5. P u(kn) δ u(mm) Viga Exp. Machado [3] DIANA Femoop [2] Exp. Machado [3] DIANA Femoop [2] OA1 334 347 358 368 6,6 7,9 7,5 6,4 OA2 356 338 363 365 11,7 12,2 12,4 12,1 OA3 378 374 367 380 27,9 28,5 24,6 32,4 Tabela 3 Resultados obtidos nas modelagens das vigas ensaiadas por Bresler e Scordelis[1]. De um modo geral obteve-se boa correlação entre as respostas numéricas e os resultados experimentais de Bresler e Scordelis. Com relação aos deslocamentos calculados com o MATLAB - Machado [3] estes foram em média 4% superiores para as vigas OA2 e OA3 e cerca de 17% superior para a viga OA1 em comparação aos resultados experimentais. Os deslocamentos obtidos pelo programa DIANA foram em média 6% superiores em relação aos obtidos experimentalmente para as vigas OA1 e OA2. Porém a viga OA3 apresentou um comportamento mais rígido no DIANA em relação ao MATLAB - Machado [3] também ao experimental. As cargas de ruptura obtidas nas modelagens numéricas ficaram muito próximos das respostas experimentais. A Tabela 4 apresenta a relação entre a carga e os deslocamentos de ruptura experimental e as cargas e os deslocamentos alcançadas a partir das modelagens realizadas. 7

400 350 Força (kn) 300 250 200 150 100 50 Experimental FEMOOP [2] MATLAB - Machado [3] DIANA 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Deslocamento (mm) Figura 3. Resultados obtidos para a viga OA1. Força (kn) 400 350 300 250 200 150 100 50 Experimental FEMOOP[2] MATLAB - Machado[3] DIANA 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Deslocamento (mm) Figura 4. Resultados obtidos para a viga OA2. 8

400 350 300 Força (kn) 250 200 150 100 50 Experimental FEMOOP[2] MATLAB - Machado [3] DIANA 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Deslocamento (mm) Figura 5. Resultados obtidos para a viga OA3. P u(kn) δ u(mm) Viga V exp. /V num Machado [3] V exp. /V num DIANA V exp. /V num Femoop [2] δ u exp. / δ u num Machado [3] δ u exp. / δ u num DIANA δ u exp. / δ u num Femoop [2] OA1 0,96 0,93 0,91 0,84 0,88 1,03 OA2 1,05 0,98 0,97 0,96 0,94 0,97 OA3 1,01 1,03 0,99 0,98 1,13 0,86 Tabela 4 Relação entre as cargas de ruptura e os deslocamentos experimentais com os obtidos numericamente. Com o objetivo de validar e verificar os modelos numéricos adotados as Figuras 6, 7 e 8 apresentam respectivamente o padrão de fissuração obtido experimentalmente e numericamente nas vigas OA1, OA2 e OA3. As fissuras no modelo experimental e nos modelos numéricos foram muito semelhantes. As primeiras fissuras surgiram próximas a região, na qual o carregamento foi aplicado desenvolvendo-se em direção ao apoio da viga. Este processo foi verificado em todas as análises realizadas. 9

Padrão de fissuração obtido experimentalmente. (*) fissuras nas duas direções Padrão de fissuração obtido pelo MATLAB - Machado [3]. Padrão de fissuração obtido pelo DIANA Figura 6. Padrão de fissuração obtido para a viga OA1. 10

Padrão de fissuração obtido experimentalmente. (*) fissuras nas duas direções Padrão de fissuração obtido pelo MATLAB - Machado [3]. Padrão de fissuração obtido pelo DIANA. Figura 7. Padrão de fissuração obtido para a viga OA2. 11

Padrão de fissuração obtido experimentalmente. (*) fissuras nas duas direções Padrão de fissuração obtido pelo MATLAB - Machado [3]. Padrão de fissuração obtido pelo DIANA. Figura 8. Padrão de fissuração obtido para a viga OA3. As Figuras 9, 10 e 11 apresentam respectivamente as tensões de cisalhamento no concreto obtidas pelo MATLAB - Machado [3] e pelo programa DIANA. As tensões de cisalhamento obtidas eram elevadas na região próxima ao apoio e ao local de aplicação do carregamento. 12

DIANA: Valores em kn/cm 2 MATLAB - Machado [3]: Valores em kn/cm 2 Figura 9. Tensões de cisalhamento τxy no concreto obtidas para a viga OA1. 13

DIANA: Valores em kn/cm 2 MATLAB - Machado [3]: Valores em kn/cm 2 Figura 10. Tensões de cisalhamento τxy no concreto obtidas para a viga OA2. 14

DIANA: Valores em kn/cm 2 MATLAB - Machado [3]: Valores em kn/cm 2 Figura 11. Tensões de cisalhamento τxy no concreto obtidas para a viga OA3. De uma maneira geral os resultados encontrados foram satisfatórios e capazes de prever o comportamento das vigas OA1, OA2 e OA3 que romperam por cisalhamento. 6. CONCLUSÕES Este trabalho procurou reproduzir numericamente os ensaios clássicos de vigas de concreto armado a fim de validar um programa de elementos finitos desenvolvido por Machado [3], MATLAB - Machado [3]. Os resultados obtidos por este programa também foram comparados com as respostas produzidas pelo FEMOOP, desenvolvido por Gamino [2] e pelo software DIANA. Após a realização destes trabalhos pode-se concluir que: a) De um modo geral obteve-se boa correlação entre as respostas numéricas e os resultados experimentais de Bresler e Scordelis; b) Os deslocamentos determinados numericamente ficaram muito próximos das respostas experimentais, para as vigas OA1, OA2 e OA3; c) Em termos de carga de ruptura, os valores obtidos nas análises numéricas comparadas com os resultados experimentais apresentaram boa aproximação. 15

REFERÊNCIAS [1] B. Bresler e A. C. Scordelis, Shear strength of reinforced concrete beams, Journal of American Concrete Institute, n. 60, v.1, pp.51-72, (1963). [2] A. L. Gamino, Modelagem computacional de estruturas de concreto armado reforçadas com FRP, Tese de Doutorado, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, p.275, (2007). [3] M. A. S. Machado, Aplicação do método dos elementos finitos para análise elasto-viscoplástica de peças de concreto armado e protendido, Dissertação de Mestrado, PPGEC Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 150p., (2002). [4] Comité Euro-International du Beton, CEB-FIP model code 1990, Lausanne, 1993. (Bulletin d Information, 213/214). [5] E. Hinton e D. R. J. Owen, Finite element in plasticity: theory and practice, Swansea, Pineridge Press, 594p., (1980). [6] A. E. Elwi e T. M. Hudrey, Finite element model for curved embedded reinforcement, Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, v. 115, n. 4, pp. 740-745, Abril, (1989). [7] N. S. Ottosen, A failure criterion of concrete, Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, v. 103, n. 4, pp. 527-535, Agosto, (1977). [8] E. Hinton, Numerical Methods and software for dynamic analysis of plates and shells, Swansea: Pineridge Press, 550p., (1988). [9] V. Cervenka, Constitutive model for cracked reinforced concrete, Journal of the American Concrete Institute, v.82, n.6, pp. 877-882, (1985). [10] TNO Building and Construction Research. Diana User s Manual Release 8.1. Delft, Netherlands, 2001. 16