www.cursoanglo.com.br Treinamento para Olimpíadas de Matemática NÍVEL 2 Resoluções Aula 1 Classe 1. Observe que: 14 1 = 14 14 2 = 196 14 par termina em 6 e 14 ímpar termina em 4 14 3 = 2.744 14 4 = 38.416... Assim, 14 15 termina em 4 e 14...4 termina em 6. Resposta: 6 2. O período da sequência (ABAABBAAABBB ABAABBAAABBB...) tem doze elementos e a letra B aparece 6 vezes em cada um. Veja que = 6 334 + 5. Portanto, o º- B ocupa a décima primeira posição no período. Assim, a posição do º- B na sequência é igual a 334 12 + 11 = 4019. Resposta: Ocupa a posição 4019º-. 3. A sequência é igual a (77493618864 24832612 24832612 24832612...). Os primeiros 11 elementos não são periódicos. A partir do décimo segundo termo inicia-se a parte periódica, cujo período é 24832612 e que tem 8 elementos. Veja que 11 = 1998 e que 1998 = 8 249 + 6. Portanto, o º- ocupa a sexta posição do período, ou seja, é igual a 6.. Casa 1. O algarismo da unidade de 42 é o mesmo de 2 e o de 53 é o mesmo de 3. Veja que: 2 1 = 2 2 5 = 32... 3 1 = 3 3 5 = 243 2 2 = 4 2 6 = 64 3 2 = 9 3 6 = 729 2 3 = 8 2 7 = 128 3 3 = 27... 2 4 = 16 2 8 = 256 3 4 = 81 Se considerarmos as sequências das unidades dos números acima, vemos que ambas tem período com 4 elementos. = 4 502 + 1. Assim, 42 e 53 terminam, respectivamente, em 2 e 3. Logo 42 + 53 termina em 5, pois 2 + 3 = 5. Resposta: A soma tem unidade 5. 2. Observe que são 8 fios de apoio que a aranha utiliza, numerados a partir do fio A iniciando com 0. Logo: sobre o fio A aparecem os múltiplos de 8 sobre o fio B aparecem os (múltiplos de 8) + 1 sobre o fio C aparecem os (múltiplos de 8) + 2 sobre o fio D aparecem os (múltiplos de 8) + 3 sobre o fio E aparecem os (múltiplos de 8) + 4 SISTEMA ANGLO DE ENSINO 1 Treinamento para Olimpíadas de Matemática
sobre o fio F aparecem os (múltiplos de 8) + 5 sobre o fio G aparecem os (múltiplos de 8) + 6 sobre o fio H aparecem os (múltiplos de 8) + 7 Na divisão de 118 por 8 encontramos resto 6, o que significa que 118 = (múltiplo de 8) + 6. Portanto, 118 está sobre o fio G. 3. O período da sequência é igual a ABCDEDCBA, tem 9 elementos. = 9 223 + 2, temos que a º- letra é B. 4. Todos os números da primeira coluna deixam resto 1, quando divididos por 4. Como 2200 = 4 500, temos que subtraindo 3 unidades de 2200, teremos um número que dividido por 4 deixa resto 1, de fato, 2197 = 4 549 + 1. Assim, podemos concluir que 2197 é um elemento da primeira coluna e daí, escrevendo os demais elementos da linha em que se encontra esse elemento, temos: 1ª- col. 2ª- col. 3ª- col. 4ª- col. 5ª- col. 2197 2198 2199 2200 E daí concluímos que 2200 está na quarta coluna. Resposta: Quarta coluna. 5. Inicialmente observe que para sair do canal 2 e ir para o canal 42 avançamos 41 posições, ou seja, o período 2,3,4,5,...,42 tem 41 elementos. Como = 41 49, concluímos que a televisão continuará sintonizada no canal 15. Resposta: canal 15. obs: se houvesse avançado 2010 vezes, então a televisão estaria sintonizada no canal 16, pois 2010 = 41 49 + 1. 6. A sequência gerada é (5; 0,25; 0,8; 5; 0,25; 0,8; 5;...), cujo tem período contém três elementos. Como = 3 669 + 2, o número que aparece no visor é 0,25. 7. Os primeiros termos dessa seqüência são: 1, 3, 7, 15, 13, 9, 19, 21, 7, 15,..., de onde vemos que seu período começa do terceiro termo e contém 6 elementos. Assim, a 31 = a 25 = a 19 = a 13 = a 7 = 19 e então a 32 = 21, a 33 = 7, a 34 = 15 e a 35 = 13. A soma tem valor 19 + 21 + 7 + 15 + 13 = 75. 8. Vamos observar o comportamento dos primeiros saltos da pulga: 2 4 1 2 4 1... Observe que o movimento é periódico: 1 primeiro salto: vai até o número 2 segundo salto: vai até o número 4 terceiro salto: vai até o número 1 5 quarto salto: retorna ao número 2 e o processo se repete. Podemos concluir que: saltos posição número 2 : 1º- 4º- 7º- 10º-... 4 posição número 4 : 2º- 5º- 8º- 11º-... posição número 1 : 3º- 6º- 9º- 12º-... = 3 669 + 2. Portanto, a pulga estará no ponto 2. Resposta: ponto 2. 3 2 9. A sequência é (98, 49, 45, 40, 20, 10, 5, 45, 40, 20, 10, 5, 45,...) e a partir do terceiro elemento é periódica. Seu período é (45, 40, 20, 10, 5), formado por 5 elementos. Assim, 2 = 2007 e 2007 = 5 401 + 2. Logo, o º- termo da sequência é o 40. Resposta: 40 SISTEMA ANGLO DE ENSINO 2 Treinamento para Olimpíadas de Matemática
10. Na primeira linha estão os números inteiros que divididos por 8 tem resto 3; na segunda linha os de resto 2 ou 6; na terceira, os de resto 1 ou 5; na quarta, os de resto 0 ou 4 e na quinta, os de resto 7. Como = 7 287, isto é, tem resto 0 quando dividido por 8, o número ocupa a linha 4. Resposta: linha 4. Raciocício lógico: a) Falsa (há 16 do lado direito e 20 do esquerdo) b) Verdadeira (há 9 do lado direito e 6 do esquerdo) c) Falsa (há 45) d) Falsa (há 5 do lado direito e 4 do esquerdo) e) Falsa (há 15). Aula 2 Classe 1. Um número divisível por 198 é divisível por 2, 9 e por 11. Logo, (I) 2/N, N é par e b {0, 2, 4, 6, 8}. (II) Se a539984b é divisível por 9, então a + 5 + 3 + 9 + 9 + 8 + 4 + b = a + b + 38 é múltiplo de 9. Sendo 1 a 9 e 0 b 9, temos que 39 a + b + 38 56. Os possíveis valores para a + b são 7 e 16. (III) Se a539984b é divisível por 11, então (b + 8 + 9 + 5) (4 + 9 + 3 + a) = b a + 6 é múltiplo de 11. Sendo 1 a 9 e 0 b 9, temos que 3 b a + 6 14. Os possíveis valores para b a são 6 e 5. Portanto, de (I), (II) e (III), a + b = 7 e b a = 5, que resulta em a = 1 e b = 6. Observe que, se a + b = 16 e b a = 6 teremos b = 5 que não convém por (I). Assim, N = 15399846 e a soma de seus algarismos 1 + 5 + 3 + 9 + 8 + 4 + 6 = 45. Observação: Lembre-se de que (a + b) e (b a) tem mesma paridade. Desta forma, as opções do sistema nesse exercício são apenas as duas apresentadas. 2. Dado que o produto (2A5) (13B) é divisível por 36, então é divisível por 4 e 9. Como 2A5 é ímpar, 4 tem de ser divisor de 13B. Logo, 3B tem que ser múltiplo de 4, então B = 2 ou B = 6. Se B = 2, 132 é divisível por 3, porém não é por 9. Logo, para que o produto (2A5) (13B) seja divisível por 9, é necessário que 2A5 seja divisível por 3. Assim, 2 + A + 5 é múltiplo de 3, de onde tiramos que A = 2, ou A = 5 ou A = 8. Se B = 6, temos que 3 não divide 136. Logo, para que o produto (2A5) (13B) seja divisível por 9, é necessário que 2A5 seja divisível por 9. Assim, a soma 2 + A + 5 é múltiplo de 9, de onde obtemos que A = 2. Dessa forma, os quatro pares são (2,2), (5,2), (8,2) e (2,6). Casa 1. O número 6a78b é divisível por 5 e 9. Todo número divisível por 5 termina em 0 ou 5. Assim, b = 0 ou b = 5. Todo número divisível por 9 tem como a soma dos seus algarismos um número múltiplo de 9. Logo, temos que 6 + a + 7 + 8 + 0 = 21 + a ou 6 + a + 7 + 8 + 5 = 26 + a são múltiplos de 9. Donde, a = 6 ou a = 1, respectivamente. Daí temos: a + b = 6 + 0 ou a + b = 1 + 5 = 6. 2. Para ser divisível por 6, o número deve ser par. Logo, devemos ocupar o último quadrado com o número 8. Se o número deve ser divisível por 6, então ele também é divisível por 3, assim como a soma de seus digítos. Dessa forma, o próximo número a ser colocado só pode ser o 5, pois 9 + 4 + 1 + 6 + 3 + 8 = 31 não é divisível por 3, enquanto que 5 + 4 + 1 + 6 + 3 + 8 = 27 é. Para formar o maior número possível, o 5 deve ser colocado no primeiro quadrado, obtendo-se assim o número 541638. Resposta: 541638 SISTEMA ANGLO DE ENSINO 3 Treinamento para Olimpíadas de Matemática
3. O número é da forma N = abcd. Pela observação do primeiro estudante, a = c. De acordo com o segundo, o algarismo a (que é igual a c) só pode ser 3 ou 8. Mas, como N 4000, temos que a = 8. Como N é divisível por 2 e 5, temos que d = 0. Sendo o número divisível por 3, temos as três possibilidades: N = 8280 ou N = 8580 ou N = 8880. Logo, o menor é 8280, e a soma dos algarismos desse número é 18. 4. Os algarismos apagados serão representados por a e b, assim o número é igual a 273a49b5. Um número divisível por 99 é divisível por 9 e por 11. Logo, (I) Se 273a49b5 é divisível por 9, então 2 + 7 + 3 + a + 4 + 9 + b + 5 = a + b + 30 é múltiplo de 9. Sendo 0 a 9 e 0 b 9, temos que 30 a + b + 30 48. Os possiveis valores para a + b são 6 e 15. (II) Se 273a49b5 é divisível por 11, então (5 + 9 + a + 7) (b + 4 + 3 + 2) = a b + 12 é múltiplo de 11. Sendo 0 a 9 e 0 b 9, temos que 3 a b + 12 21. O único valor que a b pode assumir é 1. Portanto, de (I) e (II) temos que a + b = 15 e a b = 1, logo a = 7 e b = 8. Resposta: a = 7 e b = 8 Observação: como a b = 1 é ímpar, obrigatoriamente a + b também é ímpar. 5. A idade de um deles é dada por um número de dois dígitos ab tal que ab = 3 (a + b) + 1, de onde obtemos 10a + b = 3a + 3b + 1, ou seja, 7a = 2b + 1. Como a e b são algarismos, então 2b + 1 19 é ímpar e múltiplo de 7. Daí, segue que 7a = 2b + 1 = 7, e então que a = 1 e b = 3. Logo, a idade de um dos filhos é 13 anos. A idade de cada um dos outros é dada por um número cd tal que cd = 3 (c + d) + 3, ou seja, 10c + d = 3c + 3d+ 3, o que nos dá 7c = 2d + 3. As únicas soluções desta equação para os dígitos c e d são c = 1, d = 2 ou c = 3 e d = 9. Supondo que o homem não tem filhos gêmeos, ele terá três filhos, com 13, 12 e 29 anos, cada um. 6. (Solução oficial) Temos que 10x + 25y = 1000 x = (1000 25y)/10, onde x e y são, respectivamente, as quantidade de moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Para que x seja um valor inteiro positivo basta que y seja qualquer numero par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes. Alternativa E 7. Veja que a67,9b reais é o mesmo que a679b centavos, que é um número inteiro. Sendo x o preço unitário do caderno, temos que a679b = 72 x = 8 9 x. Logo: (I) 8/a679b, então 8/79b e 790 = 8 98 + 6, assim b = 2. (II) 9/a679b, então a + 6 + 7 + 9 + 2 = a + 24 é múltiplo de 9 e 1 a 9 é múltiplo de 9, assim a = 3. Portanto de (I) e (II), 72 x = 36792. Logo, x = 511 centavos. Resposta: 511 centavos ou 5 reais e 11 centavos. 8. Seja N = abcabc, podemos escrever N = 1000 abc + abc = abc (1000 + 1) = 1001 abc. Mas, 1001 = 7 143. Logo, N = 7 143 abc e 143/N. 9. Inicialmente observe que 126 = 9 14 e que 1988 = 142 14, ou seja, 1988 e, portanto, todos os números da sequência são múltiplos de 14. Logo, para aparecer um múltiplo de 126, basta que apareça um múltiplo de 9. Como 1 + 9 + 8 + 8 = 26 deixa resto 8 quando dividido por 9, pelo critério de divisibilidade por 9, o número que possui o 1988 repetido k vezes, deixará resto 8 k quando dividido por 9. O menor valor de k tal que 8 k seja divisível por 9 é k = 9. Logo, só após o nono passo aparecerá um múltiplo de 9 e, portanto, de 126 na sequência. 10. a) Temos 2 4 + 1408200 = 1408208; 2 8 + 140836 = 140836; 2 6 + 14083 = 14095; 2 5 + 1409 = 1419; 2 9 + 141 = 159; 2 9 + 15 = 33, que não é divisível por 19. Logo, 14082004 não é divisível por 19. b) Utilizando o critério de divisibilidade por 19, 8444...44455 (o algarismo 4 se repete 2004 vezes) é divisível por 19 se, e somente se, 2 5 + 8444...4445 = 8444...4455 (o algarismo 4 se repete 2003 vezes) é divisível por 19. Repetindo esse procedimento mais 2003 vezes, temos que 8444...44455 é divisível por 19 se,e somente se, 85 = 5 19 é divisível por 19, o que é verdade. Assim 8444...44455 é divisível por 19. Raciocício lógico: A face 1 estará, no início, voltada para Leste e, a seguir, voltada para baixo. Quando o 2 estiver para baixo, 1 estará a Oeste. Quando o 3 estiver para baixo, 1 continua a Oeste. Quando o 5 estiver para baixo (face oposta ao 2), o 1 permanece a Oeste e assim termina após os movimentos. SISTEMA ANGLO DE ENSINO 4 Treinamento para Olimpíadas de Matemática
Aula 3 Classe 1. a) Um número natural possui um número ímpar de divisores se, e somente se, é um quadrado perfeito. Temos 44 quadrados perfeitos menores do que, 44 2 = 1936 e 45 2 = 2025. b) Fatorando em primos, obtemos 7 2 41. Logo, tem (2 + 1) (1 + 1) = 6 divisores naturais. Os números que têm 6 divisores naturais podem ter as seguintes fatorações em primos: p 5 ou p 2 q, sendo p e q primos distintos. Os menores números de cada uma destas formas são os seguintes: 25 = 32 e 22. 3 = 12. Portanto, o número procurado é o 12. Resposta: a) 44 números b) o número 12 2. Fatorando em primos 90.000 obtemos 2 4 3 2 5 4. Para obter um par que cumpra a condição basta repartir os fatores primos de 90.000 em dois números de tal maneira que o 2 e o 5 não fiquem juntos, pois do contrário o produto terminará em zero. Assim um número terá todos os 2 e o outro, todos os 5. A quantidade de pares depende unicamente das formas distintas de repartir o número 3. Há três maneiras de fazer essa repartição, observe: 2 4 3 2 e 5 4 ou 2 4 3 e 5 4 3 ou 2 4 e 5 4 3 2. Os pares são: (144,625), (625,144), (48,1875), (1875,48), (16,5625) e (5625,16) 3. Como a + f + d é par e b + f + d também é par, temos que a e b têm mesma paridade, ou seja, ambos são pares ou ímpares. Usando o mesmo argumento, concluímos que a, b, c, d e e têm mesma paridade. Assim, f é par, pois a + f + d é par e a + d é par (eles têm a mesma paridade). Logo, a, b, c, d e e têm que ser ímpares porque a soma das áreas é 31. Então, a, b, c, d e e têm os números de 1 a 9 em alguma ordem e f = 31 1 3 5 7 9 = 6. Casa 1. Sabe-se que p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, etc. Assim, temos que: N = 2 3 5 7... p Observe que 2 e 5 são fatores de N, o que torna N um múltiplo de10 e, portanto, tenha algarismo das unidades igual a zero. 2. Temos que a + b é par, portanto a e b têm mesma paridade. Mas não existem dois números naturais que são pares e primos, logo a e b são ímpares. Sabemos que a + c é ímpar, logo um deles é par. Como a é ímpar, c é par e primo, portanto c = 2. Dessa forma, a + b + c = 34 + 2 = 36 Solução oficial: a + b = 34 e a + c = 33, logo b c = 1. Como b e c são primos, concluímos que b = 3 e c = 2. Dessa forma a = 34 b = 34 3 = 31, de onde vem a + b + c = 31 + 2 + 3 = 36. 3. Os primos entre 10 e 20 são 11, 13, 17 e 19. Somando 18 a cada um deles obtemos os respectivos valores 29, 31, 35 e 37. Eliminamos 17, pois 17 + 18 = 35 que não é primo. A idade do irmão mais velho é um número primo uma unidade superior a soma das idades dos outros dois irmãos, assim as possibilidade são: 11 + 13 + 1 = 25 (não é primo) 11 + 19 + 1 = 31 (é primo) 13 + 19 + 1 = 33 (não é primo) Portanto, a idade procurada é 19 anos. Resposta: 19 anos 4. Um número natural possui 3 divisores naturais se, e somente se, é o quadrado de um número primo. De fato, seja p um número primo, então os divisores de p 2 são 1, p e p 2. Veja que, os primos, cujos quadrados são menores do que 100 são: 3, 5, 7 e 9. SISTEMA ANGLO DE ENSINO 5 Treinamento para Olimpíadas de Matemática
5. Ao substituir duas parcelas pela sua soma, estamos efetuando somas parciais que, ao serem somadas resultarão na soma total: 1 + 2 + 3 +... + (composta por 1004 parcelas pares e 1005 ímpares). Portanto, o número da ficha final será ímpar, já que a soma total é ímpar. Assim, o vencedor será Zé da Álgebra. Resposta: Zé da Álgebra. 6. Solução oficial: Sejam p,q números primos. Então para que o número de divisores inteiros e positivos seja exatamente 15, os número precisam ser da seguinte forma: p 14 e p 2 q 4. Assim teremos as seguintes possibilidades: 2 2 3 4 = 324, 3 2 2 4 = 144 e 5 2 2 4 = 400. 7. Solução oficial: Entre os números 1 e 100 o algarismo 2 aparece dez vezes como dígito das dezenas e dez vezes como dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4, 6 e 8. Portanto, a soma pedida é 20 (2 + 4 + 6 + 8) = 400. 8. Solução oficial: O único número primo de dois algarismos iguais é 11. Neste caso, a = 1. Usando agora a definicão do sistema decimal: 11 + 10b + c + 10c + b = 121 11(b + c) = 110 b + c = 10. Como os numeros citados são primos, temos que b e c devem ser ímpares e diferentes de 5. Além disso, 91 é multiplo de 7. Portanto, os valores para b e c são 3 e 7 respectivamente. 9. Solução oficial: Se a, b, c, d, e são cinco inteiros maiores que um, então a, b, c, d, e 2, e com isso, a soma de quaisquer quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação b(a + c + d + e) = 155 = 5 31, onde 5 e 31 são primos, temos que b = 5 e a + c + d + e = 31. Da mesma maneira, c(a + b + d + e) = 203, então c = 7 e a + b + d + e = 29. Baseado nos resultados encontrados, concluímos que a + d + e = 24, a + b + c + d + e = 36 e da equação a(b + c + d + e) = 128, obtemos que a (36 a) = 128, ou seja, a = 4 ou a = 32. Porém, a = 32 não poderá ser solução pois, caso fosse, teríamos a + b + c + d + e 40. Portanto, a + b + c = 16 e a equação e(a + b + c + d) = 275 será a mesma que e(16 + d) = 275, onde d + e = 36 a b c = 20. Como 275 = 11 25 e 16 + d 18, temos que e = 11 e d = 25 16 = 9. Observe que outra fatoração de 275 = 5 55 faria d = 39, que é muito grande. Portanto, a + b + c + d + e = 4 + 5 + 7 + 9 +11 = 36. 10. Lembre-se de que ( 1) n = 1, se n é par ou ( 1) n = 1, se n é ímpar. Assim, podemos associar duas a duas as parcelas consecutivas, (1 2) + (3 4) + (5 6) +... e obtemos uma soma de n/2 parcelas todas iguais a 1 quando n é par e (n 1)/2 parcelas iguais a 1 e uma parcela igual a n quando n for ímpar. Logo: S 1992 = (1 2) + (3 4) + (5 6) +... + (1991 1992) = ( 1) 996 = 996 S 1993 = (1 2) + (3 4) + (5 6) +... + (1991 1992) + 1993 = 996 + 1993 = 997. Assim, S 1992 + S 1993 = 1. 11. Solução oficial: a) F 8 = F 6 + F 7 = 8 + 13 = 21, F 9 = F 7 + F 8 = 13 + 21 = 34, F 10 = F 8 + F 9 = 21 + 34 = 55 e F 11 = F 9 + F 10 = 34 + 55 = 89. b) Analisando a Sequência de Fibobacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... vemos que F 0 é par, F 1 é ímpar, F 2 = F 0 + F 1, ou seja, F 2 é a soma de um par e um ímpar e, portanto, é ímpar. F 3 = F 1 + F 2, ou seja, F 3 é a soma de dois ímpares e, portanto, é par. F 4 = F 2 + F 3, ou seja, F 4 é a soma de um ímpar e um par e, portanto, é ímpar, e assim por diante. Como a partir do segundo termo, cada termo é a soma dos dois anteriores, percebemos a existência de um padrão com relação a paridade dos termos que é a seguinte: par, ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar,..., iniciando em F 0. SISTEMA ANGLO DE ENSINO 6 Treinamento para Olimpíadas de Matemática
Para descobrir se F 2002 é par ou ímpar analisamos a Sequência de Fibonacci da seguinte forma: par ímpar ímpar F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 Como 2002 = 3 667 + 1, F 2002 ocupa a coluna do meio da tabela e, portanto, é ímpar. Resposta: é ímpar Raciocício lógico: Como cada time joga três vezes, podemos concluir que: Dinamarca perdeu todos os jogos. Camarões ganhou um jogo, empatou uma vez e perdeu o outro. Brasil ganhou um jogo e empatou outras duas vezes. Áustria ganhou dois jogos e empatou outro. Assim, Brasil venceu a Dinamarca. Como o Brasil marcou apenas um gol, o único resultado possível para esse jogo é 1 0. Além disso, os outros jogos do Brasil foram empates, logo o resultado foi 0 0 em ambos. Da mesma forma, podemos concluir que o Camarões venceu a Dinamarca por 1 0. Ou seja, o único gol que a Dinamarca marcou deve ter sido contra a Áustria. Por outro lado, sabemos que a Áustria venceu o Camarões e que o Camarões levou apenas um gol. Logo, o resultado desse jogo foi 1 0. Finalmente, como a Áustria marcou três gols, o jogo Áustria contra Dinamarca foi 2 1. SISTEMA ANGLO DE ENSINO Coordenação Geral: Nicolau Marmo; Coordenação do TOM: Marco Antônio Gabriades; Supervisão de Convênios: Helena Serebrinic; Nível 2: CLÁUDIO de Lima VIDAL, FÁBIO Pelicano Borges Vieira, RAUL Cintra de Negreiros Ribeiro; Projeto Gráfico, Arte e Editoração Eletrônica: Gráfica e Editora Anglo Ltda; SISTEMA ANGLO DE ENSINO 7 Treinamento para Olimpíadas de Matemática