Parte II Teoria da Firma

Parte II Teoria da Firma Maximização de Lucro Roberto Guena de Oliveira USP 25 de julho de 2014 Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 1 / 33

Sumário 1 Introdução 2 Abordagem direta 3 Abordagem através da função de custo 4 Exercícios Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 2 / 33

Introdução O que veremos? Colocação do problema Como deve se comportar uma empresa que visa a obtenção de lucro máximo e que não tem poder de afetar os preços de seus insumos e de seu produto? Duas abordagens equivalentes 1 Escolha das quantidades empregadas de cada insumo de modo a fazer com que a diferença entre o valor do total produzido e o custo com a contratação dos insumo seja máxima. 2 Escolha da quantidade produzida de modo a fazer com que a diferença entre o valor do total produzido e a função de custo seja máxima. Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 3 / 33

Abordagem direta Sumário 1 Introdução 2 Abordagem direta 3 Abordagem através da função de custo 4 Exercícios Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 4 / 33

Abordagem direta Formulação matemática Sendo max pf(x 1,...,x n ) x 1,...,x n 0 p= preço do produto e n ω i x i. i=1 ω i = preço do insumo i para i=1,...,n. Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 5 / 33

Abordagem direta Solução Condição de primeira ordem p f(x 1,...,x n ) =0 se xi >0 ω i x i 0 se x i =0 i=1,...,n Condição de segunda ordem A função de produção f(x 1,...,x n ) deve ser localmente côncava. Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 6 / 33

Abordagem direta Ilustração gráfica: 1 insumo de produção $ ωx pf (x)=ω pf(x) pf(x ) ωx ˆx x x Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 7 / 33

Abordagem direta Ilustração gráfica alternativa y linhas de isolucro: py ωx =cte. f(x) inclin.= ω p ˆx x x Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 8 / 33

Abordagem direta Interpretações para a condição de primeira ordem 1 Igualdade entre o valor do produto marginal de um fator de produção e seu preço: p f(x 1,..., x n ) x i =ppmg i =ω i 2 Igualdade entre preço e custo marginal: p= ω i PMg i 3 Igualdade entre remuneração real do fator e seu produto marginal: PMg i = ω i p Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 9 / 33

Abordagem direta Inatividade $ ωx pf(x) y f(x) ω p x x x x Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 10 / 33

Abordagem direta Funções relacionadas à maximização de lucro Demandas pelos insumos de produção A função de demanda do insumo i, x i (p,ω i,...,ω n ), é a função que retorna a quantidade empregada do insumo i quando o lucro da empresa é máximo. Função de oferta A função de oferta de uma empresa y(p,ω 1,...,ω n ) é a função que retorna o valor da função de produção quando o lucro é máximo. Função de lucro A função de lucro de uma empresa π(p,ω i,...,ω n ) é uma função que retorna o valor do lucro máximo dessa empresa dados os preços p,ω i,...,ω n. Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 11 / 33

Abordagem direta Ilustração gráfica: demanda pelo único fator de produção PMg,PM, ω p ω p ω p PM ˆx Demanda de x x PMg x Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 12 / 33

Abordagem direta Propriedades da função de lucro A função de lucro é não decrescente em relação ao preço do produto e não crescente em relação aos preços dos fatores. A função de lucro é convexa em relação ao preço de seu produto e em relação aos preços dos fatores de produção. Lema de Hotelling: π(p,ω 1,...,ω n ) = x i (p,ω 1,...,ω n ) ω i π(p,ω 1,...,ω n ) =y(p,ω 1,...,ω n ) p Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 13 / 33

Abordagem direta Exemplo A função de produção f(x 1,x 2 )=3 3 x 1 x 2 Condições de lucro máximo de 1ª ordem: PMg 1 = ω 1 p 3 PMg 2 = ω 2 p 3 x 2 x 2 1 x 1 x 2 2 = ω 1 p = ω 2 p Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 14 / 33

Abordagem direta Exemplo continuação Funções de demanda pelos insumos x 1 (p,ω 1,ω 2 )= p3 ω 2 1 ω 2 x 2 (p,ω 1,ω 2 )= p3 ω 1 ω 2 2 A função de oferta y(p,ω 1,ω 2 )=f [x 1 (p,ω 1,ω 2 ),x 2 (p,ω 1,ω 2 )] =3 p3 p 3 3 ω 2 1 ω 2ω 1 ω 2 2 y(p,ω 1,ω 2 )=3 p2 ω 1 ω 2 Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 15 / 33

Abordagem direta Exemplo continuação A função de lucro π(p,ω 1,ω 2 )=py(p,ω 1,ω 2 ) ω 1 x 1 (p,ω 1,ω 2 ) ω 2 x 2 (p,ω 1,ω 2 ) π(p,ω 1,ω 2 )= p3 =p 3 p2 ω 1 p3 ω 1 ω 2 ω 2 1 ω ω 2 p3 2 ω 1 ω 2 2 ω 1 ω 2 Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 16 / 33

Abordagem direta Exemplo continuação Lema de Hotelling p π(p,ω 1,ω 2 )= p p 3 ω 1 ω 2 =3 p2 ω 1 ω 2 =y(p,ω 1,ω 2 ) π(p,ω 1,ω 2 )= p3 = p3 ω 1 ω 1 ω 1 ω 2 ω 2 1 ω = x 1 (p,ω 1,ω 2 ) 2 ω 2 π(p,ω 1,ω 2 )= ω 2 p3 ω 1 ω 2 = p3 ω 1 ω 2 2 = x 2 (p,ω 1,ω 2 ) Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 17 / 33

Sumário Abordagem através da função de custo 1 Introdução 2 Abordagem direta 3 Abordagem através da função de custo 4 Exercícios Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 18 / 33

Abordagem através da função de custo Maximização de lucro Nova colocação do problema max y Condição de primeira ordem dc(y) py c(y) dy =p CMg=p Condição de segunda ordem d 2 c(y) dy 2 0 dcmg dy 0 Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 19 / 33

Abordagem através da função de custo Solução gráfica I custo total c(y) py p π(p) ŷ y produto Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 20 / 33

Abordagem através da função de custo Solução gráfica II Custos unit. CMg p CM CVM ŷ y y Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 21 / 33

Abordagem através da função de custo Condição de máximo global Seja um produto positivo y que satisfaça às condições de primeira e segunda ordem do problema de maximização de lucro, isto é, tal que CMg(y )=p e, supondo que a função de custo seja duplamente diferenciável, que CMg (y )>0. Nesse caso y maximiza localmente o lucro da empresa. Para que y maximize globalmente o lucro da empresa é, em adição, necessário que, em adição, 1 Caso haja qualquer outro nível de produção ŷ que satisfaça as duas condições de lucro máximo, py c(y ) pŷ c(ŷ), e 2 O lucro obtido ao se produzir y seja superior ao lucro obtido ao não se produzir nada, ou seja, py CV(y ) CF CF py CV(y ) p CVM(y ) Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 22 / 33

Abordagem através da função de custo produção com prejuízo custo total c(y) CV(y) py Custos unit. CMg CM p CVM y produto y y Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 23 / 33

Abordagem através da função de custo Encerramento de atividades custo total c(y) CV(y) Custos unit. CMg CM py p CVM y ỹ produto y ỹ y Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 24 / 33

Abordagem através da função de custo A curva de oferta da firma individual Custos unit., p y(p) CMg CM CVM y Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 25 / 33

Abordagem através da função de custo Medidas de ganho do produtor Lucro π(p)=py(p) c(y(p)) Excedente do produtor (EP) EP=py(p) CV(y(p)) Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 26 / 33

Abordagem através da função de custo Medidas de ganho do produtor representações gráficas I C. unit. CMg C. unit., p CMg ˆp π(ˆp) CM CVM ˆp EP CM CVM y y y y Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 27 / 33

Abordagem através da função de custo Medidas de ganho do produtor representações gráficas II C. unit., p CMg C. unit., p CMg ˆp CM ˆp CM EP CVM EP CVM y y y y Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 28 / 33

Exercícios Questão 03 ANPEC 2013 Suponha que a função de produção de para um dado produto tem a seguinte forma funcional: q=f(x 1 )=2x 1 0,03x 2 1. Considere também que o preço de uma unidade do bem final é p(q)=r$10,00 e o preço unitário do insumo, praticado pelo mercado, é p(x 1 )=R$8,00. Dadas essas informações, é correto afirmar que: 0 O nível de utilização do insumo que maximiza o nível de produção é x 1 =33,33. 1 O nível de utilização do insumo que maximiza o lucro da firma é x 1 =19,5. 2 O nível de produção economicamente ótimo é q=28. V 3 O lucro máximo (π) obtenível pela firma é π(q)=r$120. V 4 A produtividade marginal do fator é crescente. F V F Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 29 / 33

Exercícios Questão 03 ANPEC 2011 Sobre a Teoria da Produção analise as afirmativas abaixo: 0 A função de produção que exibe retornos constantes de escala é uma função homogênea do grau 0. 1 Suponha uma função de produção do tipo Cobb-Douglas, sendo os coeficientes técnicos a e b, tal que a+b>1. A elasticidade de substituição desta função de produção também é superior à unidade. F 2 Suponha uma função de produção do tipo CES, definida da seguinte forma: q=f(k,l)=[k ρ +l ρ ] γ ρ. A elasticidade de substituição referente a essa função é definida por σ = 1 1 γ. F F Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 30 / 33

Exercícios Questão 03 ANPEC 2011 (continuação) Sobre a Teoria da Produção analise as afirmativas abaixo: 3 Suponha que π( ) é a função lucro do conjunto de produção Y e que y( ) é a correspondência de oferta associada. Suponha também que Y é fechado e satisfaz a propriedade de free disposal (livre descarte). Nesse contexto, segundo o Lema de Hotelling: se y(p) consiste de um único ponto, então π( ) é diferenciável em p e D p π(p)=y(p). V 4 A função de lucro atende às propriedades de ser homogênea de grau 1 em preços e convexa nos preços. V Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 31 / 33

Exercícios Questão 06 ANPEC 2005 Considere um mercado em concorrência perfeita, avalie as afirmativas: 0 A igualdade entre preço e custo marginal é condição necessária, mas não suficiente para a maximização dos lucros da firma. 1 No curto prazo, se o lucro econômico do produtor é positivo, a produção se faz com custo marginal superior ao custo médio. 2 Se a função de custo total da firma for C(q)=q 3 9q 2 +42q, então, a função de oferta será p(q)=3q 2 18q+42, para valores de q maiores que 3. F V V Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 32 / 33

Exercícios Questão 06 ANPEC 2005 (cont.) Considere um mercado em concorrência perfeita, avalie as afirmativas: 3 Se a função de custo total de uma firma for C(q)=q 3 9q 2 +42q e se o preço de mercado for igual a 42, a elasticidade-preço da oferta deste produtor será igual a 18 7. F 4 O valor do excedente do produtor iguala-se aos lucros totais da firma mais o valor do custo fixo. V Roberto Guena de Oliveira (USP) Produção 25 de julho de 2014 33 / 33