Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 39 4 Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 4.1. Maturity A Maturity ou Maturidade é definida como o prazo para o vencimento de uma operação, independente do pagamento de juros ou de amortizações intermediárias. Consiste na forma mais simples de gestão de risco de mercado para instrumentos pré-fixados. A importância da Maturity em ativos de renda-fixa está no fato de o descasamento de prazos ser o principal risco que envolve taxa de juros. 4.. Duration O conceito da duração foi introduzido primeiramente por Frederick Macaulay em 1938 ao tentar definir a medida correta da vida de um investimento de renda-fixa. Dado que a maturidade ignora os montantes e os períodos de todo o fluxo de caixa exceto o fluxo final, Macaulay definiu como vida de um investimento de renda-fixa considerando cada pagamento como um bond de cupom zero (desconto puro). A Duration, Duração ou Duração de Macaulay é definida como o prazo médio das operações ponderado pelos fluxos de caixa. A Duration originalmente foi desenvolvida para taxas contínuas. Ao se tratarem de taxas discretas, como taxas anuais, por exemplo, a sensibilidade da carteira pode ser aproximada em primeira ordem pela Duration Modificada. Enquanto a Maturity considera apenas o prazo para o vencimento do principal, a Duration leva em conta, além do principal, os pagamentos intermediários de juros e amortizações, representando, portanto, uma melhor ferramenta de avaliação de descasamento de prazo.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 40 A Duration pode ser calculada assim: D = n i= 1 n i= 1 VP t i VP i i (16) onde: VP i é o valor presente do i-ésimo fluxo de caixa; t i é o prazo decorrente i-ésimo fluxo de caixa; D é a Duration. A Duration pode ser interpretada também como indicador de elasticidade à taxa de juros. Ela pode ser calculada a partir da derivada primeira da função preço em relação à taxa de juros: P = FC 1 + FC FC t1 t ( 1+ r) ( 1+ r) ( 1+ r) tn + n K + (17) onde FC i é o i-ésimo fluxo de caixa da carteira; r é a taxa de juros; P é o valor presente da carteira. Derivando a eq.(17) em relação a r e realizando algum algebrismo, obtémse: D = dp P dr r ( 1+ ) (18) A eq.(18) mostra que a Duration corresponde a sensibilidade do preço da carteira frente a pequenas oscilações da taxa de juros. A maneira como é obtida a eq.(18) a partir da eq.(17) está descrita no Apêndice A.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 41 Pode-se melhorar a Duração através da expansão de Taylor do termo dp, obtendo-se a eq.(19) 7 : dp P D 1 = dr + Cdr (19) ( 1+ r) Onde: C = 1 d P P dr A Convexity ou Convexidade, correspondente ao parâmetro C da eq.(19), representa um fator de ajuste para a Duration. A Convexity mede a curvatura da relação entre preço e taxa de juros. A Duration fornece uma medida aproximada da sensibilidade do valor de instrumentos de renda-fixa em função da variação da taxa de juros. A Convexity, por sua vez, representa uma ferramenta auxiliar utilizada para aumentar a precisão e melhorar a acuidade da Duração, além de ser um indicador secundário do grau de proteção a movimentos relevantes da curva de juros. Portfólios comprados em papéis de renda-fixa de alta convexidade em geral pagam um prêmio adicional pela assimetria positiva de sensibilidade de sua carteira. A seguir encontra-se um gráfico (figura ) mostrando a variação do preço de um bond em função da variação da taxa de juros associada, para uma aproximação de primeira (curva D) e de segunda ordem (curva C). Analisando as curvas, percebe-se que a inclinação da reta D corresponde a Duration, enquanto que a concavidade de C equivale a um meio da Convexidade. Pode-se inclusive notar o erro associado à aproximação de primeira ordem, em detrimento a de segunda ordem. 7 A descrição dos passos para a obtenção da eq.(19) encontram-se no Apêndice B.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 4 Erro Figura - Variação do preço de um bond em função da variação da taxa e juros associada, para uma aproximação de primeira ordem (curva D) e de segunda ordem (curva C). A duração de Macaulay pode ser modificada a fim determinar a variação do preço do bond para variações pequenas nas taxas de juros. O termo Duração Modificada (D*) é dado pela duração de Macaulay (Eq.(16)), dividido por (1+r): * D D = 1+ r (0) Substituindo na eq.(19), tem-se: dp P * 1 = D dr + Cdr Para pequenas variações, pode-se considerar dr 0, como conseqüência: dp = D * dr (1) P
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 43 A eq.(1) mostra que uma variação do preço de um bond pode ser aproximada para o produto negativo da duração modificada e da variação da taxa de juros. Assim há uma relação negativa entre a duração modificada e a variação aproximada do preço do bond para uma dada variação da taxa de juros, que é consistente com o princípio de que os preços de um bond movem-se no sentido oposto ao das taxas de juros. A Duration Modificada sozinha não possibilita estimativas adequadas, pois não modela precisamente a curvatura existente entre a variação percentual do valor ou preço de um título pré-fixado e a variação percentual da taxa de juros de mercado. Apesar desta restrição, a Duration Modificada é confiável principalmente quando o nível e a volatilidade das taxas de juros são baixos. Além disso, possibilita rápidas estimativas da sensibilidade da carteira de títulos de renda-fixa sem ser necessário trazer todos os fluxos de caixa a valor presente. Note que, em certas situações, dependendo da quantidade de operações de uma instituição financeira, o recálculo através do valor presente pode demandar bastante tempo e esforço computacional. Neste caso, uma estimativa através da Duration pode ser extremamente viável. Outra restrição da Duration Modificada é a suposição de que as taxas de juros de mercado são flat, ou seja, para qualquer prazo as taxas de juros são as mesmas (constantes). Fluxos de caixa que vencem no curto prazo, por exemplo, são trazidos a valor presente pela mesma taxa que os fluxos de caixa com vencimentos mais distantes (Figura 3). taxa de juros r Estrutura temporal de taxa de juros(flat) tempo Figura 3 - Hipótese da Duration Modificada: Estrutura Temporal da Taxa de Juros é Flat.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 44 4.3. Value at Risk O Value at Risk foi concebido para medir a exposição de uma carteira ao risco de mercado. Trata-se da estimação da quantia em que uma posição assumida por uma instituição pode vir a declinar devido ao movimento do mercado, durante um período de tempo. Do ponto de vista de uma instituição financeira, o VaR pode ser definido como a perda máxima da posição financeira durante um determinado período de tempo e com uma certa probabilidade. O VaR de uma posição comprada ao longo do horizonte de tempo l e com probabilidade p pode ser definido como: [ V ( ) VaR] p = P l () onde: V (l) é a mudança sofrida no valor dos ativos da posição financeira durante o período l. Como se está comprado na posição financeira, a perda ocorre quando V ( l) < 0 e o VaR da eq.() assume valor negativo. Caso fosse utilizada uma posição vendida, isto se inverteria e o VaR seria definido assim: [ V ( l) VaR] = 1 P[ V ( ) VaR] p = P l As definições vistas até o momento mostram que em posições compradas, a cauda esquerda é importante no cálculo do Value at Risk, já em posições vendidas, a cauda direita é que deve ser levada em conta.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 45 Analisando a definição de VaR, percebe-se que este é simplesmente o p-ésimo quantil da distribuição de retornos da carteira. Na prática, o cálculo do VaR envolve: 1. A probabilidade de interesse p, como por exemplo, p = 0,01 ou p = 0,05;. O horizonte de tempo l (por exemplo, 1 dia, 10 dias); 3. A freqüência dos dados (normalmente são diários, podendo ser diferente de l ); 4. A função de distribuição cumulativa ou seus quantis, dependendo do tipo de abordagem; 5. A quantia da posição assumida. O VaR pode ser medido de forma relativa, consistido na perda em relação a média, ou de forma absoluta, onde a perda não é calculada usando-se uma referência a valor esperado. Segundo Jorion (003), o VaR relativo é o mais aconselhável, porém, quando o horizonte é pequeno, o retorno médio pode ser pequeno, o que acarretaria o VaR relativo e o VaR absoluto estimarem aproximadamente o mesmo valor. Considerando Wo como o investimento inicial, r a taxa de retorno e W valor da carteira no final do horizonte, o VaR relativo pode ser obtido da seguinte forma: VaR rel = E(W) W* (3) Onde W* representa o menor valor da carteira para um nível de confiança c. Só que: W = Wo (1 + r) e W* = Wo (1 + r*) Onde r* representa o menor retorno para o nível de confiança c. Tem-se, então: VaR rel = E(W) W* = E[ Wo (1 + r)] Wo (1 + r*) VaR rel = Wo E[(1 + r)] Wo (1 + r*) = Wo (1 + E[r]) Wo (1 + r*)
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 46 Chamando de µ o retorno esperado de r: VaR rel = Wo (1 + µ) Wo (1 + r*) VaR rel = Wo + Wo µ Wo Wo r* = Wo (r* µ) (4) O VaR absoluto fica: VaR abs = Wo W* = Wo Wo (1 + r*) = Wo Wo Wo r* VaR abs = Wo r* (5) 4.4. Metodologias para o Cálculo do VaR Jorion (003) classifica os modelos de cálculo de valor em risco em dois grupos: o paramétrico, que compreende o método da matriz de variânciacovariância e o baseado em avaliação plena, que compreende a Simulação histórica, Simulação de Monte-Carlo e teste de stress. Este trabalho irá dividir os métodos de cálculo de VaR em quatro grupos: Método da Matriz de Variância- Covariância, que compreende a metodologia inicialmente desenvolvida pela RiskMetrics, Método da Simulação Histórica, Método da Simulação de Monte- Carlo e Teoria dos Valores Extremos, que será abordada no próximo capítulo. 4.4.1. RiskMetrics: Matriz de Variância-Covariância O banco J.P. Morgan foi quem primeiro desenvolveu a metodologia RiskMetrics para o cálculo do VaR. Na sua forma simples, a metodologia RiskMetrics assume que os retornos diários de um portfólio seguem uma distribuição normal condicional às informações passadas:
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 47 rt Ft 1 ~ N( µ t, σ t ) (6) onde µ t é a média condicional; σ t é a variância condicional; r t é o retorno logaritmo diário. O método assume ainda que µ = 0 e que a variância segue o modelo de alisamento exponencial, abordado anteriormente. t Na metodologia adotada pelo RiskMetrics, tem-se que rt [ k] ~ N(0, kσ t+1 ) onde k é o horizonte de tempo em que se deseja obter o VaR. Isso implica que o desvio padrão de r t [k] seja kσ t+ 1. Como resultado, para um horizonte de um dia e de k dias, o cálculo do VaR com confiança de 95% fica: VaR(1 dia) = Quantidade na Posição 1,65σ t+ 1 VaR( + k) = Quantidade na Posição 1,65σ t 1 k Onde 1,65σ t+ 1 representa o quantil de 5%. Conseqüentemente, na metodologia do RiskMetrics, tem-se: VaR( k) = VaR(1 dia) k Isto é conhecido como a regra da raiz quadrada do tempo.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 48 4.4.1.1. Posições Múltiplas Em algumas aplicações, o investidor pode assumir posições múltiplas e precisar do cálculo do VaR de tais posições em conjunto. Mais uma vez, a metodologia RiskMetrics facilita e muito os cálculos, pois através desta, basta que saibam-se as correlações( ρ ) entre os ativos em questão e seus VaRs individuais. A forma generalizada fica: VaR = m i= 1 VaR i + m i< j ρ VaR ij i VaR j (7) onde ρ ij é o coeficiente de correlação entre os retornos dos instrumentos i e j. Uma alternativa de cálculo é fazer uma análise matricial para levantar a variância da carteira e a partir daí realizar o cálculo do VaR. Para calcular a variância ( σ ) da carteira em questão, utiliza-se a seguinte equação: ' = Wt Σ W t σ (8) onde: Σ é a matriz de variância e covariância dos ativos que compõe a carteira; W t é o vetor com os pesos dos ativos dentro da carteira. De posse da variância e da média dos retornos da carteira pode-se calcular o valor em risco.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 49 4.4.1.. Renda-fixa: Mapeamento de Fluxos de Caixa À primeira vista, o cálculo de VaR utilizando matriz de variância e covariância parece simples. Entretanto, para carteiras de instrumentos de rendafixa, seria preciso calcular as volatilidades e correlações de cada taxa de juros. Assim, carteiras contendo fluxos de caixa com vencimentos muito longos dariam origem a esforços computacionais muito grandes no levantamento do valor em risco. Para evitar um crescimento exagerado do número de volatilidades e correlações a serem calculadas, define-se um número fixo de vértices onde os fluxos de caixa devem ser mapeados. Como um fluxo de caixa estará situado, necessariamente, entre dois vértices adjacentes, mapeá-lo significa transformar o fluxo original em dois fluxos, um em cada vértice e rearranjar a carteira original, composta de um número qualquer de fluxos com diversos vencimentos, numa carteira padronizada contendo fluxos localizados em um número fixo de vértices. Na metodologia de mapeamento de fluxos de caixa propostos pela RiskMetrics, três premissas devem ser cumpridas: O fluxo de caixa original deve ser preservado, ou seja, os fluxos resultantes do mapeamento devem resultar em valor igual ao fluxo mapeado; O risco de mercado associado ao fluxo de caixa deve ser mantido após o mapeamento; O sinal do fluxo de caixa não deve ser alterado. Para que as premissas sejam válidas, a metodologia RiskMetrics propõe uma equação simplificada para efetuar o mapeamento. Consiste em decompor o fluxo de caixa em dois fluxos de caixa pertencentes a vértices básicos (um com prazo anterior e outro com prazo posterior ao fluxo de caixa em questão). Seguindo as premissas propostas, tem-se:
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 50 σ = ασ 1 + ( 1 α) σ 1 + ( 1 α) σ + α (1 α) σ1 σ ρ1, σ = α σ α σ1 + σ ασ + α σ + α σ1 σ ρ1, α σ1 σ ρ1, σ = 0 α ( σ1 + σ σ 1 σ ρ1, ) + α(σ 1 σ ρ1, σ ) + σ σ = 0 aα + bα + c = 0 (9) Com: 1 + σ σ 1 σ ρ1, a = σ b = σ 1 σ ρ1, σ σ c = σ onde: σ 1 é a volatilidade da taxa de prazo igual ao vértice imediatamente anterior; posterior; σ é a volatilidade da taxa de prazo igual ao vértice imediatamente σ é a volatilidade da taxa de prazo igual ao fluxo de caixa mapeado; ρ 1, é o coeficiente de correlação entre as taxas de prazos imediatamente anterior e imediatamente posterior. Portanto, para se obter o α, basta resolver a eq.(9). O α nada mas é do que o peso a ser multiplicado pelo fluxo mapeado, dando origem ao fluxo no vértice imediatamente anterior. O valor do fluxo no vértice imediatamente posterior pode ser obtido multiplicando-se o fluxo mapeado por ( 1 α ). Note que 0 α 1.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 51 O procedimento anterior funciona bem para a maioria dos casos, porém apresenta inconsistência sob algumas circunstâncias. No Brasil, o Banco Central propôs uma modificação no mapeamento dos fluxos de caixa com a introdução da Circular n o 07, onde se passou a adotar o mapeamento linear. Segundo Arcoverde (001), testes empíricos mostram que esta modificação introduziu melhora na estimação do VaR quando comparada com a proposta pela RiskMetrics, não se tratando portanto de mera simplificação da metodologia. O Banco Central do Brasil adotou como vértices padrão os de valores 1, 4, 63, 16, 5, 504 e 756 dias úteis. Os fluxos de caixa com prazo inferior a 1 dias úteis devem ser alocados no vértice 1 dias com peso T / 1 (onde T é o prazo do fluxo). Caso os fluxos sejam superiores a 756, estes devem ser alocados no vértice 756 com valor equivalente ao peso T / 756 multiplicado pelo valor de mercado do vértice de 756 dias úteis Os fluxos entre 1 e 756 dias úteis devem seguir a metodologia a seguir: Valor alocado no vértice anterior: P P j j T P j 1 VM Valor alocado no vértice posterior: T P P j P j 1 j 1 VM Onde: T é o prazo do fluxo de caixa; P j é o prazo do vértice imediatamente posterior; P j 1 é o prazo do vértice imediatamente anterior; VM é o valor de mercado do fluxo de caixa. O Banco Central fornece diariamente as volatilidades e correlações entre os vértices, não havendo necessidade do cálculo de tais fatores.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 5 4.4.1.3. Discussão sobre a metodologia RiskMetrics As proposições adotadas pelo RiskMetrics na sua metodologia para cálculo de VaR simplificam muito os cálculos necessários no levantamento do valor em risco de uma posição financeira, porém muitas vezes não correspondem a realidade. Por exemplo, considerar que o retorno dos ativos avaliados segue uma distribuição normal não é uma das melhores aproximações possíveis, pois nota-se que a distribuição de tais retornos freqüentemente possui caudas pesadas (fat tails). Ao assumir-se a distribuição como normal, subestima-se o Value at Risk. Além disso, a regra da raiz quadrada para a variância agregada no tempo só é válida quando se assume que os retornos possuem média zero. Como vantagens dessa metodologia, pode-se citar sua concisão computacional e flexibilidade de manipulação, além de ser considerada modelo padrão para cálculo de risco pelos órgãos reguladores de mercado. 4.4.. Simulação Histórica Este método consiste em voltar no tempo, considerando a composição da carteira e o histórico dos retornos, montar um histograma de variações da carteira e obter a medida do VaR para um intervalo de confiança desejado. As distribuições de ganhos e perdas são construídas a partir do portfólio atual, analisando as variações nos preços dos fatores de mercado durante cada um dos n dias passados. Trata-se de um modelo não paramétrico, ou seja, não há a necessidade de cálculo de parâmetros como, por exemplo, a variância. Nenhuma suposição quanto ao tipo de distribuição dos retornos dos ativos é feita na aplicação da metodologia.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 53 Os procedimentos necessários para o cálculo do VaR utilizando a Simulação Histórica são os seguintes: Identificar os fatores de risco de mercado no portfólio; Obter os valores históricos dos fatores de risco de mercado para os últimos n períodos; Sujeitar o portfólio às variações nas taxas e preços observados em cada um dos n dias passados, calculando os ganhos e perdas diários que ocorreriam caso este portfólio existisse no passado; Ordenar ganhos e perdas; Selecionar a perda que iguala ou excede (1- α)% das vezes; este será o VaR do portfólio. Dentre as vantagens do modelo estão a facilidade de cálculo, o baixo custo operacional e computacional e o fato do modelo incorporar não-linearidades e distribuições não normais. As desvantagens são: o modelo assume que o passado representa bem o futuro, em períodos de grande volatilidade o modelo perde eficiência e a escolha do tamanho da amostra influencia muito na qualidade dos resultados obtidos. 4.4.3. Simulação de Monte Carlo O processo de Monte Carlo é utilizado para simular uma série de cenários distintos para uma carteira em uma certa data. A partir disto, o VaR poderá ser determinado diretamente da distribuição de valores simulados. Devido a sua flexibilidade, este modelo é considerado o mais poderoso no cálculo do VaR, uma vez que é capaz de captar de forma mais adequada a não linearidade dos contratos, se aproximando mais da realidade. O conceito básico da Simulação de Monte Carlo é simular, repetidamente, um processo estocástico para as variáveis financeiras de interesse, cobrindo grande quantidade de situações possíveis.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 54 Analogamente aos outros modelos, sua modelagem consiste em primeiro identificar os fatores de risco que influenciam os ativos que compõem a carteira, depois cada ativo é descrito como uma função destes fatores de risco identificados. A partir daí, pode-se simular as variações de cada um dos fatores de risco que influenciam a carteira analisada de forma a calcular a variação resultante no valor do portfólio. Desta forma, após a realização de um número suficiente de possíveis variações no valor da carteira, pode-se construir uma curva de probabilidade para a carteira, dado um nível de confiança definido, e observar a perda potencial no valor do portfólio causado pela variação nos fatores de risco encontrados nos ativos, ou seja, o VaR. Dentre as vantagens da Simulação de Monte Carlo estão sua robustez para o cálculo de risco e conseguir captar a não-linearidade de determinados ativos. Como desvantagens estão a demanda computacional alta e a atribuição a priori de uma dada distribuição para os ativos, como no modelo paramétrico da matriz de variância-covariância. Uma solução para a problemática da adoção antecipada de uma distribuição de retornos do ativo analisado é o uso da técnica Bootstrap, que consiste no sorteio de dados históricos com reposição. Uma grande vantagem de tal metodologia é a de que a distribuição de valores obtida pode conter saltos ou caudas pesadas, o que não ocorreria se distribuições de probabilidades, como a distribuição normal, fossem adotadas. 4.5. Backtesting Verificar se os modelos de cálculo de VaR estão perto da realidade é tarefa necessária quando se desejam respostas consistentes de estimativas de valor em risco. O instrumento mais utilizado para realizar a validação dos modelos de Value at Risk é conhecido como Backtesting.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 55 O Backtesting é uma ferramenta estatística que tem por objetivo verificar a consistência entre as perdas observadas e as perdas estimadas pelos modelos. Resumindo, isto implica em comparar o histórico das perdas estimadas pelo VaR com os retornos observados da carteira. Ele será muito útil no capítulo 7, quando se estiver avaliando se os modelos de VaR testados estão bem ajustados e qual deles possibilita uma melhor estimativa das perdas. Neste capítulo, serão descritos os procedimentos adotados para a realização do Backtesting. 4.5.1. Backtesting Hipotético É o mais útil dos métodos de Backtesting. Consiste em congelar a carteira analisada para um determinado dia e aplicar variações históricas nos preços de fechamento dos ativos que a compõe, gerando uma série com perdas e ganhos hipotéticos. O cálculo do VaR é realizado diariamente, possibilitando a determinação do número e percentual de exceções por meio da comparação entre as estimativas diárias de VaR e os resultados do dia posterior. 4.5.. Backtesting Utilizando Retornos Depurados O retorno depurado consiste no retorno atual subtraído de valores que não são marcados a mercado. É a metodologia mais utilizada por instituições financeiras, porém apresenta menor significado estatístico que o Backtesting hipotético, porque os ganhos e perdas apurados estão contaminados com outras grandezas além das alterações nos preços dos ativos, incluindo comissões, taxas e corretagem, resultados de intra-day trading (resultados de compra e venda de ativos durante um mesmo dia), etc. 4.5.3. Validação de um Modelo de VaR Utilizando a Taxa de Exceções Na prática, dificilmente o número de exceções encontrado empiricamente é exatamente o estimado. As estimativas deverão estar num intervalo descrito por uma distribuição binomial, que descreve a probabilidade de um determinado número de exceções ocorrer numa amostra.
Modelos de Mensuração de Risco de Mercado 56 O método mais popular e de maior poder para validar-se o Backtesting é o desenvolvido por Kupiec baseado na teoria binomial e onde a taxa de falhas é decorrente da diferença entre o VaR e o histórico de perdas. Kupiec (1995) gerou regiões de confiança usando a razão de log-verossimilhança: [ T N N p) p ] N LR ln (1 + ln 1 T T N = N T N Onde: p é o intervalo de confiança utilizado no VaR; N é o número de violações ocorridas no Backtesting; T é o número de dias em que se realizou o Backtesting. A razão de log-verossimilhança possui distribuição assintótica quiquadrado com um grau de liberdade. Portanto, realizando um teste de hipótese com confiança de 95%, rejeita-se o modelo onde LR > χ 5%,1, ou seja, onde LR > 3,84.