Literacia e numeracia fundamentais para aprender Física

103=1000 Literacia e numeracia fundamentais para aprender Física 102=100 alturas em mm 4 5 6 7 8 Uma gravura antiga que representa o céu como uma grande esfera por cima da Terra. Vê-se também um caminhante que, chegado aos confins do mundo, espreita mais além, para tentar compreender o Universo 9 10.. 3 encia l. 2 expon 1.. linear. escala escala 101=10 100=1 50 Book 1.indb 50 02/03/2008 20:59:56

O mundo à nossa volta é um lugar pouco familiar, ao contrário do que possamos pensar... A escala humana é muito grande, comparada com o mundo dos átomos, e muito pequena, comparada com a escala do nosso planeta. E a escala do nosso planeta é tão pequena, comparada com a escala do Sistema Solar... que por sua vez é um ponto insignificante na Galáxia, que é apenas uma dos muitos milhões de galáxias do Universo. Não é fácil familiarizarmo-nos nem com outras escalas nem com outras perspectivas. Por exemplo, basta olhar para as imagens da Terra, em baixo. Trocando a posição do Pólo Norte com a do Pólo Sul, temos dificuldade em reconhecer onde está a Península Ibérica e a Europa... Não estamos familiarizados com a imagem da esquerda! De facto, a familiarização com as coisas e as ideias é fundamental para compreendermos o mundo. Nas páginas desta secção estão algumas actividades que permitem alguma familiarização com as linguagens das ciências físicas. Números e grandezas físicas, medidas e incertezas, gráficos, cálculo mental e estimativa, ordens de grandeza, visualização e resolução de problemas são os aspectos abordados, a partir de situações concretas e relativamente conhecidas. À direita, um pedacinho do Sol, na mesma escala da Terra, em baixo... Onde está a Península Ibérica? Que está errado nesta imagem da Terra? A altura deste livro está para o diâmetro da Terra, assim como 0,000 000 001 = 1 nanometro está para 1 metro! 51

Os números que nos rodeiam (parte I)... Os símbolos a, b, etc. referem-se aos comprimentos indicados na figura abaixo... a = 5,0 b = 4,0 c = 3,0 d = 2,5 e = 2,0 f = 1,5 g = 1,0 h = 0,4 i = 0,1 c é o dobro de f, portanto c = 2 f ou c = 2 f f é metade de c, portanto f = c/2 a é cinco vezes maior que g, portanto a = g é um quinto de a, portanto g = / b é dez vezes maior que h, portanto = 0 1 2 3 4 5 6 i é dez vezes menor que, portanto = / g é 1/5 de, portanto = / g é 2,5 vezes, portanto = d é 1/2 de, portanto = / d é 1/2 de, portanto 2 d = g é 1/3 de, portanto = / g é 1/3 de, portanto 3 g = a é igual a b + 1,0, portanto a = b + 1,0 Calcular 1/5 de a: 1 1 5 a = 50 10 5, =, Calcular 2/3 de b: 2 2 3 3 40 80, b =, = = 267, 3 (arredondamento às centésimas) a é igual a + 4,0, portanto a = + 4,0 d é igual a 2 g + 0,5, portanto d = + 4,0 a é igual a c + e, portanto, = + a c é igual a e, portanto, = a é igual a 2e + g, portanto, = + Obtenha mais igualdades verdadeiras, utilizando os comprimentos a, b,..., i. Calcular 4/5 de f: 4 4 5 5 15 60, f =, = = 12, 5 Calcular 1/8 de (a + b + h): 1 a+ b+ h 8 ( ) = 50, + 40, + 04, 94, = = 1, 175 8 8 Calcular 1/8 de (a b + h): 52 1 a- b+ h 8 ( ) = 50, - 40, + 04, 14, = = 0, 175 8 8

A London Eye é uma roda gigante no centro de Londres. Demora 30 min a dar uma volta completa e tem um perímetro de 424 m. O diâmetro da roda é, pois, tal que perímetro diâmetro 424 m diâmetro = p = 314, 424 m = diâmetro 314, Portanto, o diâmetro da roda vale 135 m. perímetro diâmetro = 3,141 592 653 589 793 238... diâmetro perímetro 3,00 mm 9,42 mm 6,00 mm 9,00 mm 12,00 mm 15,00 mm 18,00 mm 21,00 mm 18,85 mm 28,27 mm 37,70 mm 47,12 mm 56,55 mm 65,97 mm 9,42 mm 3,00 mm 18,85 mm 6,00 mm 28,27 mm 9,00 mm 37,70 mm 12,00 mm 47,12 mm 15,00 mm 56,55 mm 18,00 mm 65,97 mm 21,00 mm = 3,14 = 3,14 = 3,14 = 3,14 = 3,14 = 3,14 = 3,14 1 Quantos segundos demora a dar uma volta completa? 2 Quantos metros percorre cada cabine da roda num segundo? 3 E quantos metros percorre cada cabine da roda num minuto? 4 Quantos graus roda cada raio da London Eye num segundo? 5 E quantos graus roda cada raio da London Eye num minuto? 6 Qual é a equação que relaciona o perímetro com o raio da roda? O número p ( pi ) é um número irracional: não há nenhuma razão (fracção) que seja igual a p! Noutros tempos, usaram-se fracções cujo valor se aproxima de p, como, por exemplo, 22 7 e 355 113 No século XVIII mostrou-se, finalmente, 24,00 mm 27,00 mm 75,40 mm 84,82 mm 75,40 mm 24,00 mm 84,82 mm 27,00 mm = 3,14 = 3,14 que p era irracional. Hoje em dia a palavra irracional tem outros significados mas inicialmente significava apenas que era um número que não se podia exprimir na forma de fracção ou razão. E, como p é o quociente entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência, não se compreendia como é que este quociente não podia ser expresso por uma razão ou fracção. 53

Os números que nos rodeiam (parte II)... 1 dia tem 24 horas... 1 hora tem 60 minutos... 1 minuto tem 60 segundos... 1 hora tem 60 = 3600 segundos 1 dia tem 60 = 1440 minutos... 1 dia tem = segundos... 1 hora é 1/24 do dia... 1 minuto é 1/60 da hora... 1 minuto é 1/(24 60) = 1/2400 do dia... 1 segundo é 1/(24 ) = 1/ do dia... A idade do Universo está estimada em 15 milhares de milhões de anos... 1 milhão de anos são 1 000 000 = 10 10 10 10 10 10 = 10 6 anos... 1 milhar de anos são 1 000 anos = 10 10 10 = 10 3 anos... 1 milhar de milhão de anos são 10 3 10 6 = 10 9 anos... 15 milhares de milhões de anos são 15 anos... Se um computador conseguir contar até 100 num segundo... Num dia conta 24 60 60 100 = 8 640 000 = 8,64 Num ano conta 365,25 24 60 60 100 = 3 155 760 000 3,2 A nossa Galáxia (Via Láctea) tem 400 milhares de milhões de estrelas... Isto é, tem 400 estrelas... O computador demoraria (400 )/(3,2 ) = 125 anos a contar as estrelas da nossa Galáxia... Os cientistas do Hubble Space Telescope estimaram que há 125 billion of galaxies no Universo (nos EUA e noutros países, billion refere-se ao milhar de milhão). Se todas as galáxias tivessem tantas estrelas quantas tem a Via Láctea, quanto tempo demoraria o computador a contar todas as estrelas do Universo? 54

À esquerda: imagem (em cores falsas) de átomos de ouro, obtida com um STM (Scanning Tunneling Microscope), funcionando a uma temperatura de 265ºC. A distância d entre os centros de dois átomos consecutivos está estimada em 0,3 nanometros... Um nanómetro vale 0,000 000 001 m = (1/1 000 000 000) m, isto é, vale 1/10 9 do metro = 10 9 m. Portanto, a distância d vale 10 9 m. Este valor também pode ser escrito como 300 10 12 m = pm ( picometros). Um glóbulo vermelho do sangue tem aproximadamente 7 micrometros de diâmetro... Ou seja, tem um diâmetro de 10 6 m. Este valor também pode ser escrito como 700 10 9 m = 700. Ou como 7 10 3 10 3 m = 7 10 3 mm = 0,007 mm, isto é, 7 milésimas de. 1 = 10 0 10 = 10 1 (dezena) 100 = 10 2 (centena) 1 000 = 10 3 (milhar) 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5 1 000 000 = 10 6 (milhão) 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8 1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11 1 000 000 000 000 = 10 12 0,1 = 1/10 = 10-1 (décima) 0,01 = 1/10 2 = 10-2 (centésima) 0,001 = 1/10 3 = 10-3 (milésima) 0,000 1 = 1/10 4 = 10-4 0,000 01 = 1/10 5 = 10-5 0,000 001 = 1/10 6 = 10-6 (milionésima) 0,000 000 1 = 1/10 7 = 10-7 0,000 000 01 = 1/10 8 = 10-8 0,000 000 001 = 1/10 9 = 10-9 0,000 000 000 1 = 1/10 10 = 10-10 0,000 000 000 01 = 1/10 11 = 10-11 0,000 000 000 001 = 1/10 12 = 10-12 prefixos... k = kilo- = 1 000 = 10 3 M = mega- = 1 000 000 = 10 6 G = giga- = 1 000 000 000 = 10 9 d = deci- = 0,1 = 1/10 = 10-1 c = centi- = 0,01 = 1/10 2 = 10-2 m = mili- = 0,001 = 1/10 3 = 10-3 = micro- = 0,000 001 = 1/10 6 = 10-6 n = nano- = 0,000 000 001 = 1/10 9 = 10-9 p = pico- = 0,000 000 000 001 = 1/10 12 = 10-12 55

Quantidades físicas e ordem de grandeza... um meridiano que passa por Portugal continental Pólo Norte O metro foi definido em 1799 (http://www.mel.nist.gov/div821/museum/timeline.htm) como sendo a décima milionésima parte de 1/4 do meridiano terreste... 1 Portanto, 1 m 1 = 10 000 000 de 4 do meridiano terreste Ou seja: Oeste (W) Norte (N) Este (E) 1 1 1 m = do meridiano terreste 10 000 000 4 1 = do meridiano terreste 40 000 000 Pólo Sul Sul (S) Quer dizer, o meridiano terreste vale 40 000 000 m... Ou seja, 40 m = 40 km. O perímetro de uma circunferência é dado por 2 p r, em que r é o raio da circunferência e p = 3,14159... Assim, pode escrever-se 2 3,14 r = 40 10 6 O que é equivalente a 1 2 3 14 2 3 14 1, r = 40 106, 2 3, 14 Donde: 2 3, 14 40 10 r = 2 3, 14 2 3, 14 6 6 40 10 r = 2 3, 14 40 = 2 3 14 10, = 63, 69 10 = 637, 10 6 6 6 Portanto, o raio r da Terra é 6,37 m = 6,37 km. A área de uma esfera é dada por 4p r 2, em que r é o raio da esfera. Assim, a área A da superfície terreste vale 6 ( m) A = 4 3, 14 637, 10 2 6 = 4 3, 14 637, ( 10 m) = 4 3, 14 40, 5769 10 = 509, 646 10 = 510 10 12 m 12 2 2 12 = 510, 10 10 = 5,10 10 14 m 2 m 2 m 2 2 2 2 6 2 m O volume de uma esfera é dado por (4/3)p r 3. Verifique que o volume V da Terra é V = 1,08 10 21 m 3... 56

Desde 1983 que o metro é definido como sendo a distância percorrida pela luz no vácuo num intervalo de tempo de 1/299 792 458 do segundo. A velocidade da luz no vácuo, que se representa por c, é, pois, c = 299 792 458 m/s 3,0 10 8 m/s Qual é a distância da Lua à Terra se um feixe de luz emitido na Terra demorar 2,568 s a ser recebido na Terra após ser reflectido na Lua? (Para informação sobre estas experiências, ver http://en.wikipedia.org/wiki/ Lunar_laser_ranging_experiment; ou http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/ SEhelp/ApolloLaser.html). Comecemos por fazer um esquema... Terra distância d Lua tempo de ida e volta da luz = 2,568 s 2568, s tempo de ida 1284, s 2 Se a velocidade for constante, tem-se v = d/t. Logo, vem: d v = t v t = d d = 299 792 458 m 1, 284 s s = 3,849 10 8 m Portanto, a distância da Terra à Lua é igual a centenas de milhares de quilómetros. milhões de metros, o que é Qual é a ordem de grandeza da distância Terra-Lua, em metros? E em quilómetros? Qual é a ordem de grandeza da velocidade da luz, em m/s? E em km/s? ordens de grandeza perímetro da Terra = 40 000 000 m = 4 10 7 m = 40 000 km ordem de grandeza do perímetro da Terra, em metros perímetro da Terra = 40 000 000 m = 40 000 km = 4 10 4 km ordem de grandeza do perímetro da Terra, em quilómetros área da superfície da Terra = 5,10 10 14 m 2 ordem de grandeza da área da superfície da Terra, em metros quadrados 57

Como exprimir o resultado de uma medição? Algarismos significativos e incerteza absoluta e relativa Este comprimento vale 30 mm ou 30,0 mm? Qual destas medidas tem mais informação? Porquê? 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Este comprimento vale 35 mm e um pouco mais.... Podemos estimar que vale 35,5 mm... Estas 5 décimas de milímetro são lidas por aproximação... Nesta medida, não é possível estimar 35,51 mm... nem 35,52 mm, nem 35,49 mm, etc. A incerteza da leitura com uma régua deste tipo pode ser estimada como sendo 0,5 mm, isto é, metade da menor divisão. Quer dizer, no máximo, por aproximação, pode cometer se um erro de 0,5 mm. Algarismos que se tem a certeza que estão correctos, nesta medida: o 3 das dezenas de milímetros e o 5 das unidades... Algarismo aproximado, nesta medida: o 5 das décimas de milímetro. 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Este comprimento vale quase 47 mm. Podemos estimar que vale 47,0 mm... porque 46,5 mm estava demasiado longe. Nesta medida, não é possível estimar 46,99 mm... nem 46,98 mm, nem 46,95 mm, etc. Para exprimir o resultado de uma medida, deve utilizar-se todos os algarismos que têm informação, incluindo os algarismos obtidos por aproximação. Os algarismos que têm informação sobre a medida chamam-se algarismos significativos: são todos os que estão correctos mais o primeiro aproximado (ou os dois últimos aproximados se se fez um arredondamento). 0 1 2 3 4 5 6 2,3? Como exprimir este comprimento, com o máximo de informação possível (isto é, com os algarismos significativos adequados...)? Porquê? 23 mm? 23,5 mm? 24 mm? 2,4? 23,52 mm? 23,524 mm? 58

Pretende-se medir o intervalo de tempo de queda de uma bola, a partir de uma certa altura h = 2,0 m (repare bem no número de algarismos significativos no valor desta altura...). 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 200 tempo de queda, t =? Utiliza-se um cronómetro que mede até às centésimas de segundo. O cronometrista tem bons reflexos, está bem treinado e o colaborador não comete erros sistemáticos do tipo deixar cair a bola de diferentes alturas (as diferenças nunca são superiores a 0,05 m...), ou empurrar a bola... Deixa se cair a bola e mede-se 0,61 s. Será este o valor verdadeiro do intervalo de tempo? Repetindo várias vezes, obtém sucessivamente 0,72 s; 0,54 s; 0,55 s; 0,58 s; 0,58 s, 0,69 s; 0,35 s; 0,53 s. Qual é, então, o valor verdadeiro do intervalo de tempo de queda? Um dos valores está muito afastado dos restantes... Nessa medida, deve ter havido alguma distracção. O melhor é eliminá-lo... No quadro seguinte mostra-se um modo de apresentar o cálculo da medida do intervalo de tempo de queda: O valor médio foi obtido somando todas as medidas e dividindo pelo número de medidas. A incerteza absoluta (também designada por erro absoluto) é o módulo da diferença máxima para o valor médio (neste caso, 0,72 s - 0,60 s = 0,12 s). A incerteza relativa (ou erro relativo) é o desvio máximo, em percentagem, face ao valor médio: 012, 100 = 20% 060, O intervalo de tempo t da queda da bola deve ser expresso como t = (0,60 ± 0,12) s porque o seu valor deve estar entre 0,60 s 0,12 s = 0,48 s e 0,60 s + 0,12 s = 0,72 s. Usualmente diz-se que o valor médio, 0,60 s, é o valor mais provável. Se se usasse um processo automático, por exemplo com sensores que detectassem o início da queda e a chegada ao solo, certamente seria possível diminuir a incerteza... mas haveria sempre incerteza! De facto, se, por exemplo, o sistema de medida nos desse como resultado (0,632 ± 0,001) s, ainda desconheceríamos quantas décimas milésimas de segundo, quantas centésimas milésimas de segundo, etc. 59

Contas fáceis : uma técnica simples... Há muitas técnicas que facilitam cálculos relativamente complicados... Por exemplo, para calcular a média destes 8 valores, pode-se escolher um valor intermédio, que se estima ser próximo da média. Por exemplo, 0,60 s, neste caso. Em seguida, calcula-se a diferença de cada valor para esse valor intermédio e somam se essas diferenças... 0,61 0,72 0,54 0,55 0,58 0,58 0,69 0,53 diferença para 0,60 em centésimas... +1 +12-6 -5-2 -2 +9-7 valor estimado para a média... somando sucessivamente... + 1 + 12 = + 13 + 13-6 = + 7 + 7-5 = + 2 + 2-2 = 0 0-2 = - 2-2 + 9 = + 7 + 7-7 = 0 dividindo pelo número de valores... Dividindo a soma das diferenças por 8, obtém-se o que há que acrescentar a 0,60 s para se obter a média dos 8 valores. somando a 0,60... 0 8 = 0 0,60 + 0,00 = 0,60 0 centésimas... = 0,00 unidades... 0,60 s arredondando para as centésimas... média destes 8 valores... Outro exemplo, com outro conjunto de 8 valores... 0,65 0,71 0,57 0,71 0,65 0,58 0,69 0,53 diferença para 0,60 em centésimas... +5 +11-3 +11 +5-2 +9-7 somando sucessivamente... + 5 + 11 = + 16 + 16-3 = + 13 + 13 + 11 = + 24 + 24 + 5 = + 29 + 29-2 = + 27 + 27 + 9 = + 36 + 36-7 = + 29 Nesta forma de calcular a média, o facto de se utilizar centésimas como números inteiros, também facilita as contas... dividindo pelo número de valores... somando a 0,60... + 29 = 3,625 0,60 + 0,03625 = 0,63625 8 3,625 centésimas... 0,64 s = 0,03625 unidades... arredondando para as centésimas... média destes 8 valores... 60

Complete os quadros seguintes, utilizando a técnica descrita na página anterior. Escolha como valor intermédio um valor adequado a cada conjunto de valores... 61

Gráficos por todo o lado (parte I)... Os gráficos destas páginas foram obtidos com um sensor de movimento. Em todos, com excepção de um, é representada a distância ao sensor do objecto que se move. O movimento foi sempre segundo uma trajectória rectilínea. Quanto vale a menor divisão no eixo do tempo? E no eixo da distância ao sensor? A que distância do sensor estava o objecto quando se iniciou o registo (tempo t = 0 s)? Aproximou-se ou afastou-se do sensor? De t = 0,0 s até t = 1,5 s, que distância andou? Quanto vale a menor divisão no eixo do tempo? E no eixo da distância ao sensor? A que distância do sensor estava o objecto quando se iniciou o registo (tempo t = 0 s)? Aproximou-se ou afastou-se do sensor? De t = 0,0 s até t = 0,5 s, que distância andou? De t = 0,5 s até t = 1,0 s, que distância andou? De t = 1,0 s até t = 1,5 s, que distância andou? Que se pode concluir acerca da velocidade do objecto? Quanto vale a menor divisão no eixo do tempo? E no eixo da distância ao sensor? A que distância do sensor estava o objecto quando se iniciou o registo (tempo t = 0 s)? Aproximou-se ou afastou-se do sensor? De t = 0,0 s até t = 2,0 s, que distância andou? De t = 2,0 s até t = 4,0 s, que distância andou? De t = 4,0 s até t = 5,0 s, que distância andou? De t = 5,0 s até t = 6,0 s, que distância andou? 62 Quanto vale a menor divisão no eixo do tempo? E no eixo da distância ao sensor? A que distância do sensor estava o objecto quando se iniciou o registo (tempo t = 0 s)? Aproximou-se ou afastou-se do sensor? De t = 0,0 s até t = 1,0 s, que distância andou? De t = 1,0 s até t = 4,5 s, que distância andou? De t = 4,5 s até t = 6,0 s, que distância andou? Que velocidade tinha quando t = 5,0?

O gráfico de cima representa a distância ao sensor e o de baixo a magnitude da velocidade, em m/s. Quanto vale a menor divisão no eixo do tempo? E no eixo da distância ao sensor? E no eixo da velocidade? A que distância do sensor estava o objecto quando se iniciou o registo (tempo t = 0 s)? Aproximou-se ou afastou-se do sensor? De t = 0,0 s até t = 1,5 s, que distância andou? De t = 1,5 s até t = 5,0 s, que distância andou? Quando t = 1,0 s, que velocidade tinha? Quando t = 3,0 s, que velocidade tinha? Quanto vale a menor divisão no eixo do tempo? E no eixo da distância ao sensor? A que distância do sensor estava o objecto quando se iniciou o registo (tempo t = 0 s)? De t = 1,2 s até t = 4,0 s, que distância andou? Aproximou-se ou afastou-se do sensor? De t = 4,0 s até t = 7,2 s, que distância andou? Aproximou-se ou afastou-se do sensor? Após t = 7,2 s, que velocidade tinha? Porquê? Quanto vale a menor divisão no eixo do tempo? E no eixo da distância ao sensor? A que distância do sensor estava o objecto quando se iniciou o registo (tempo t = 0 s)? De t = 0,0 s até t = 1,5 s, que distância andou? Aproximou-se ou afastou-se do sensor? De t = 1,5 s até t = 4,5 s, que distância andou? Aproximou-se ou afastou-se do sensor? Que sucedeu após t = 4,5 s? Colocou-se um objecto a oscilar numa mola vertical... Quanto vale a menor divisão no eixo do tempo? E no eixo da distância ao sensor? A que distância do sensor estava o objecto quando se iniciou o registo (tempo t = 0 s)? Que sucede ao objecto? Quanto tempo demora, aproximadamente, a voltar a passa na posição de partida? 63

Gráficos por todo o lado (parte II)... Os dados desta página e da seguinte referem-se ao movimento de um carro, registado por um GPS (sistema de posicionamento global que regista as coordenadas de um objecto à superfície da Terra ao longo do tempo). O percurso do carro, visível na foto de baixo (obtida com o Google Earth, http:// earth.google.com) inclui uma recta e uma rotunda. O primeiro registo (1) corresponde ao instante em que se começou a medir o tempo. O último registo (49) indica a posição em que se acabou de registar o movimento. Nos pontos 10, 30, 31 e 40 está indicada a velocidade do carro, em km/h e apontando para onde apontava o carro, medida pelo GPS. A velocidade nesses pontos é indicada usando uma escala de 1 mm para 1 km/h. A direcção é indicada pelo ângulo, de 0º a 360º, que a velocidade faz com o norte (ver esquema em baixo). A cor da trajectória está relacionada com a magnitude da velocidade do carro: quando mais vermelho, maior a velocidade do carro... Após partir do ponto 1, o carro andou rectilineamente, apontando para o ponto cardeal leste (ou este, ângulo 90º). Em seguida deu duas voltas à rotunda... No regresso, o carro voltou a andar rectilineamente, apontando para oeste (ângulo 270º). 1 Durante quanto tempo se registou o movimento do carro? 315º NW 270º W 0º N 45º NE E 90º 2 A velocidade do carro teve sempre a mesma direcção? 3 O carro deu duas voltas à rotunda. Qual das voltas foi dada mais rapidamente: a primeira ou a segunda? Fundamente a resposta... SW 225º S 180º SE 135º 4 A primeira volta na rotunda teve um raio maior ou menor que a segunda volta? Fundamente a resposta... 5 Em que parte do percurdo rectilíneo foi maior a velocidade do carro: no início, quando apontava para leste, ou no regresso, quando apontava para oeste? Fundamente a resposta. 64

6 A distância percorrida pelo carro foi de 643 m. E qual dos seguintes valores pode ser a distância entre a posição em que se iniciou o registo e a posição em que se terminou o registo: 4 m, 100 m ou 200 m? Porquê? 7 Na rotunda, observa-se que a velocidade é tangente/perpendicular à trajectória (risque a palavra errada). 8 O comprimento de um meridiano terrestre entre o Equador e o Pólo é aproximadamente 10000 km. A quantos quilómetros corresponde 1º de latitude (note que entre o Equador e o Pólo a latitude varia de 0º a 90º)? 9 A quantos metros corresponde 1 (1 minuto de grau = 1/60 do grau) de latitude (note 1º são 60 )? 10 O GPS indica valores até 0.001 de latitude (milésima de minuto de grau). Qual é a resolução aproximada deste GPS, isto é, qual é a distância mínima que ele consegue detectar? velocidade do carro, em função do tempo v (km/h) 50,0 40,0 30,0 20,0 10,0 0,0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 t (s) distância percorrida pelo carro, em função do tempo d (km) 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 t (s) 65

Gráficos por todo o lado (parte III)... Os gráficos são uma das várias formas de visualiação de dados e ideias da Ciência. Saber ver gráficos é cada vez mais importante. Note-se que ver é muito diferente de olhar: ver implica interpretação... enquanto olhar é sempre uma atitude mais superficial, que em geral só regista os aspectos irrelevantes e facilmente origina confusões na mente... níveis actuais Um gráfico que mostra como evoluiu a concentração de 4 concentração de CO 2 na atmosfera 300 250 dióxido de carbono na atmosfera e a temperatura média da Terra (veriação em relação à temperatura média actual) nos últimos 160 milhares de anos. 2 Que relação há entre estas duas grandezas? 0-2 variação de temperatura em ºC em relação à temperatura média actual 200 Qual tem sido a tendência de evolução destas grandezas nos últimos anos? -4-6 Que é possível prever se continuar a aumentar a concentração de dióxido de carbono na atmosfera? 150 100 50 0 milhares de anos atrás y A verde: trajectória de um projéctil, obtida com um modelo matemático num computador. De 0,2 s em 0,2 s indica-se a posição do projéctil, após ter sido lançado. x Em baixo: tabela com as coordenadas x e y do projéctil, de 0,2 s em 0,2 s, e gráficos dessas coordenadas em função do tempo. A coordenada horizontal x aumentou de modo constante... A coordenada vertical y aumentou até o projéctil atingir a altura máxima... e em seguida diminuiu até 0 m. Ao fim de quanto tempo é que o projéctil atingiu a altura máxima? Quais são as coordenadas x e y da altura máxima? A trajectória do projéctil é um curva semelhante à curva que representa a ordenada y em função do tempo. Mas é importante não esquecer que são curvas de natureza completamente diferente! A trajectória representa os pontos do espaço em que o projéctil passou e o gráfico de y em função do tempo representa apenas que valores teve y em cada instante... 66

intensidade da luz (unidades relativas) Este gráfico mostra a composição de um certo feixe de luz branca... Qual é, aproximadamente, o comprimento de onda mais intenso? Qual dos seguintes comprimentos de onda, 500 nm ou 900 nm, é mais intenso nessa luz? Abaixo dos 400 nm, deve-se esperar encontrar luz muito intensa? comprimento de onda, em nm sensibilidade cones tipo A cones tipo B cones tipo C Este gráfico mostra a sensibilidade de três tipos de células do olho humano (cones), à luz. Qual é o tipo de cones que tem maior sensibilidade à luz de menor comprimento de onda? Qual é o tipo de cones que tem maior sensibilidade à luz de maior comprimento de onda? Qual é o tipo de cones que tem maior sensibilidade às cores vermelhas? 400 500 600 700 comprimento de onda, em nanometros Há cones com sensibilidade à luz de comprimento de onda acima dos 800 nm? Este gráfico mostra a reflectância (percentagem da luz incidente que é reflectida) de quatro tipos de materiais. Qual dos materiais tem maior reflectância, em todos os comprimentos de onda indicados? Qual dos materiais tem menor reflectância para luz de 400 nm? Qual dos materiais tem 30% de reflectância para luz de 800 nm? Qual é o valor máximo da reflectância nos quatro materiais? Em que material e para que comprimento de onda se observa esse valor? 67

Cálculo mental e estimativa... A foto e o gráfico ao lado referem-se ao teste de um sensor de temperatura. Inicialmente à temperatura ambiente, o sensor é colocado em água quente e, ao fim de algum tempo, em água fria. Observe o gráfico com muita atenção... e responda às questões sem utilizar máquina de calcular... 1 Que grandeza está representado no eixo horizontal? Em que unidades? 2 Que grandeza está representada no eixo vertical? Em que unidades? 3 Qual é o valor da menor divisão no eixo horizontal? 4 Qual é o valor da menor divisão no eixo vertical? 5 Qual era a temperatura ambiente? 6 Qual era a temperatura da água quente? 7 Qual era a temperatura da água fria? 8 Quanto tempo demorou aproximadamente o sensor a atingir a temperatura da água quente? 9 Quanto tempo demorou aproximadamente o sensor a atingir a temperatura da água fria? 10 Em média, quantos graus aumentou em cada segundo a temperatura do sensor desde a temperatura ambiente até à temperatura da água quente? 11 Esse aumento foi constante ou cada vez mais lento? Fundamente a resposta. 12 Em média, quantos graus diminuiu em cada segundo a temperatura do sensor desde a temperatura da água quente até à temperatura da água fria? 13 Essa diminuição foi constante ou cada vez mais lenta? Fundamente a resposta. 14 Utilizando o que já conhece deste sensor, faça uma estimativa razoável de quanto tempo é que o sensor demora a atingir a temperatura da água em ebulição (100 ºC), a partir da temperatura ambiente. Fundamente a estimativa que fez. 15 Utilizando o que já conhece deste sensor, faça uma estimativa razoável de quanto tempo é que o sensor demora a medir novamente a temperatura ambiente, uma vez retirado da água em ebulição. Fundamente a estimativa que fez. Verifique se é capaz de fazer as seguintes contas, de cabeça, sem máquina de calcular... 1,5 + 2,08 = 2,5-2,08 = 1,5 0,5 = 1,5 2 = 1,5 0,5 = 1 3 + = 2 2 1 3 + = 2 4 1 3 + = 10 4 1 25 100 + = 8 2 - = 10 5 1 15 10 = 1 1,5 10 = 1 2,5 100 = 2 25 10 = 2 8 = 3 4 2 2 3 = 2 1 = 3 2 2 50 æ ç 25 - ö = 10 çè 2 ø 2 æ80 ö ç - 25 = 3 çè 4 ø 68

A foto ao lado mostra um carrinho de laboratório que pode acelerar devido ao movimento de uma ventoinha. A ventoinha pode ser colocada perpendicularmente ao carro ou obliquamente. Quanto mais oblíqua for a posição da ventoinha, mais difícil é mover o carro... Os três gráficos mostram a velocidade do carro em função do tempo, para três ângulos (0º, 30º e 60º) entre a ventoinha e a direcção do movimento do carro. Observe os gráficos com muita atenção... e responda às questões sem utilizar máquina de calcular... 1 Que grandeza está representado no eixo horizontal? Em que unidades? 2 Que grandeza está representada no eixo vertical? Em que unidades? 3 Qual é o valor da menor divisão no eixo horizontal? 4 Qual é o valor da menor divisão no eixo vertical? 5 A que ângulos entre a ventoinha e a direcção do movimento do carro corresponde cada uma das linhas do gráfico? Fundamente a resposta. Para a linha a vermelho... 6 Qual foi o aumento de velocidade entre 0,40 s e 1,40 s? Em quanto tempo? 7 Em média, quanto aumentou a velocidade em cada segundo? Esse aumento foi constante ou variável? Fundamente a resposta. 8 Estime que velocidade teve o carrinho quando o tempo decorrido atingiu 2,40 s. Fundamente a resposta e indique em que condições é que o valor que indicou é válido. Para a linha a verde... 9 Qual foi o aumento de velocidade entre 0,40 s e 1,40 s? Em quanto tempo? 10 Em média, quanto aumentou a velocidade em cada segundo? Esse aumento foi constante ou variável? Fundamente a resposta. 11 Estime que velocidade teve o carrinho quando o tempo decorrido atingiu 2,40 s. Fundamente a resposta e indique em que condições é que o valor que indicou é válido. 69

Resolver problemas: muito mais do que usar fórmulas... Uma das tarefas mais frequentes nas Ciências Físicas e na Engenharia é a de resolver problemas. Um problema não é mais do que uma questão da qual, à partida, não se conhece a resposta; não se sabe, sequer, se existe resposta, ou, até, se é possível dar a resposta. Em geral, quando estamos perante um problema, não dispomos de todos os elementos necessários para a sua resolução. A arte de resolver problemas é, fundamentalmente, a arte de descobrir os elementos necessários para a sua resolução e o modo de utilizar esses elementos. Trata-se de uma arte que exige intuição e se aperfeiçoa com o treino. Assim como não é possível aprender a andar de bicicleta lendo um texto sobre como se anda de bicicleta, também não é possível aprender a resolver problemas lendo textos sobre resolução de problemas. Mas, tal como para aprender a andar de bicicleta, pode fazer se uma lista de sugestões úteis. Sugestões: 1 Sublinhar as palavras no enunciado do problema que ajudem a identificar de que problema se trata e quais os dados importantes; 2 Antes de se tentar resolver um problema, deve-se esquematizá-lo com «bonecos», gráficos, relações entre palavras utilizando setas, etc; 3 Utilizar o esquema para ter uma visão de conjunto do problema; 4 Verificar se o problema é semelhante a problemas que já se conhece; 5 Não ter uma preocupação excessiva com as «fórmulas» que permitem resolver o problema!; pensar nas «fórmulas» só depois de ter uma visão global do problema; 6 Antes de resolver o problema, fazer uma ou várias estimativas do resultado; 7 Se o problema for complexo, acrescentar no esquema as fases necessárias para o resolver; 8 Se possível, utilizar mais de um caminho para resolver ou analisar o problema; 9 Confrontar os resultados com os dados e as estimativas e verificar se «fazem sentido». A visualização de dados e quantidades físicas é um auxiliar cada vez mais importante na actividade científica e ba resolução de problemas. Para tal, cientistas e engenheiros usam potentes computadores, que permitem fazer milhões de cálculos em pouco tempo. Mas não é apenas com computadores que se pode visualizar ideias e dados para resolver problemas... Papel, lápis, régua e esquadro são ainda muito úteis! Por isso, sempre que possível, faça esquemas das situações que analisar, com todo o rigor possível. Em baixo, à esquerda, James Watson e Francis Crick observam o modelo da molécula de ADN, a molécula que armazena a informação sobre os seres vivos, construída com pequenos objectos metálicos. A construção desse modelo foi essencial para fazer sentido dos dados experimentais de que dispunham. Na altura, não havia computadores... Em baixo, à direita, modelo computacional da molécula de ADN, onde é possível observar a dupla hélice, descoberta por Watson e Crick. 70

As ondas de calor têm sido cada vez mais frequentes nos últimos anos. A visualização de imensas quantidades de dados, como no caso da imagem ao lado onde se visualiza a temperatura à superfície, é fundamental para analisar esse e outros fenómenos meteorológicos. Na imagem, referente a 1 de Julho de 2004, obtida a partir de dados recolhidos por satélite, podem ver-se as zonas de temperatura mais elevada num certo instante. Nesse dia, as temperaturas nessas zonas mais quentes ultrapassaram 40 ºC e o uso excessivo de ar condicionado e da refrigeração provocou quebras de energia em alguns locais. A temperatura do solo em alguns locais atingiu 59 ºC! As tecnologias de satélite estão a auxiliar imensos processos de visualização. Até os necessários para aprender Física básica... Na imagem ao lado vê-se a trajectória de um carro que fez uma inversão de marcha numa auto-estrada. Um GPS, ligado a um sistema de aquisição de dados e, posteriormente, a um excelente programa de visualização da superfície terreste (http://earth.google.com) permite não só analisar a trajectória mas também representar a velocidade e a aceleração. Na trajectória, a espessura do risco indica-nos a magnitude da velocidade do carro. Em que zonas é maior a velocidade do carro? Faz sentido ser aí maior a velocidade? Na trajectória, a cor do risco indica-nos a magnitude da aceleração do carro, isto é, a rapidez com que a velocidade está a variar. Em que zonas é maior a aceleração do carro? Faz sentido ser aí maior a aceleração? Já reparou que as zonas da trajectória em que a velocidade é menor a aceleração é maior? Porque será que tal acontece? 71