SNPTEE SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA GRUPO X GRUPO DE ESTUDO DE SOBRETENSÕES E COORDENAÇÃO DE ISOLAMENTO GSC

SNPTEE SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA GSC 5 14 a 17 Outubro de 27 Rio de Janeiro - RJ GRUPO X GRUPO DE ESTUDO DE SOBRETENSÕES E COORDENAÇÃO DE ISOLAMENTO GSC UM MODELO ANALÍTICO DE LINHA DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA: APLICAÇÕES EM SIMULAÇÕES EM QUE SE NECESSITA DE PASSOS DE CÁLCULOS VARIÁVEIS Sérgio Kurokawa* Denise Janini Charantola Afonso José do Prado José Pissolato Luiz Fernando Bovolato FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA FEIS/UNESP RESUMO Neste trabalho é proposto um modelo analítico para descrever as correntes e tensões ao longo de uma linha de transmissão. A linha será aproximada por uma cascata de circuitos π e as correntes e tensões nesta cascata serão escritas na forma de equações de estado. O modelo proposto consiste na solução analítica das equações de estado que descrevem as correntes e tensões na cascata de circuitos π. O modelo analítico será comparado com um modelo conhecido que pode ser inserido em programas do tipo EMTP. Será mostrado que o modelo proposto é pouco sensível à variação do passo de cálculo. PALAVRAS-CHAVE Linha de Transmissão, Transitórios Eletromagnéticos, Variáveis de Estado, Cascata de Circuitos π 1. - INTRODUÇÃO Na análise de sistemas de energia elétrica freqüentemente surge a necessidade de realizar simulações computacionais considerando os transitórios eletromagnéticos e também os transitórios eletromecânicos. Nestas situações é necessário utilizar um programa que simule o transitório eletromagnético e um outro programa que analise a estabilidade do sistema. O intercâmbio entre programas que simulam transitórios eletromagnéticos, programas que simulam os transitórios eletromecânicos e também com programas que simulam o regime permanente é teoricamente possível mas, no entanto, nem sempre é viável. Esta inviabilidade ocorre porque um determinado componente do sistema a ser simulado possui diferentes representações nos programas de cálculo transitórios eletromagnéticos, nos programas de cálculos de transitórios eletromecânicos e nos programas de simulações em regime permanente. Estas diferenças de modelos de um mesmo componente podem levar a resultados que não correspondem à realidade quando diferentes programas são utilizados de maneira interligada. Um exemplo típico de componente que apresenta diferentes modelos para diferentes situações é a linha de transmissão de energia elétrica. O modelo de linha e o passo de cálculo que geralmente são utilizados em programas de simulações de transitórios eletromecânicos não é adequado para representar a linha em estudos de transitórios eletromagnéticos. Portanto, quando os dois programas são utilizados em conjunto, para simular (*) Avenida Brasil Centro 56, Caixa Postal 31 CEP 15385- Ilha Solteira, SP Brasil Tel: (+55 18) 3743-1129 Fax: (+55 18) 3743-1163 Email: kurokawa@dee.feis.unesp.br

2 transitórios eletromagnéticos e transitórios eletromecânicos, pode haver a ocorrência de oscilações numéricas quando muda-se de um programa para o outro. Para eliminar os problemas de oscilações numéricas devido ao uso de diferentes modelos para os diferentes passos de cálculo, e conseqüentemente diferentes programas, este artigo está propondo um modelo único para representar linhas de transmissão em situações em que seja necessária a simulações de transitórios de origem eletromagnéticas e também de origem eletromecânica. Nestas situações estamos propondo representar a linha de transmissão de energia elétrica por meio de um modelo analítico, que é livre de oscilações numéricas, independentemente do passo de cálculo que é utilizado. Portanto o mesmo pode ser utilizado para representar a linha durante a análise transitória e também durante a análise em regime permanente. O modelo a ser apresentado consiste em utilizar as soluções analíticas das equações de estado que descrevem as correntes e tensões ao longo da linha no domínio do tempo. A linha será representada por meio de uma cascata de circuitos π e as correntes e tensões ao longo da linha serão escritas sob a forma de equações de estado. A representação de linhas de transmissão por meio de uma cascata de circuitos π já é reconhecida como um bom modelo para simular transitórios eletromagnéticos resultantes das operações de manobras e chaveamentos em linhas de transmissão, sendo que trabalhos já publicados mostram que este modelo pode ser inserido em programas do tipo EMTP que utiliza métodos numéricos de integração. Neste artigo, pretendemos representar a linha por meio de uma cascata de circuitos π. No entanto, diferentemente do que ocorre nos programas do tipo EMTP, pretendemos obter as soluções analíticas das equações diferenciais que descrevem as correntes e tensões ao longo da linha. Deste modo, o modelo torna-se menos sensível a variação do passo de cálculo. Inicialmente será mostrada a representação da linha de transmissão por meio de uma cascata de circuitos π. Em seguida será mostrada a representação da linha por meio de equações de estado. Em uma próxima etapa, o trabalho mostra a solução analítica das equações de estado que descrevem as correntes e tensões ao longo da cascata de circuitos π. Para validar o modelo que toma como base as soluções analíticas obtidas, uma linha monofásica será representada por meio de uma cascata de circuitos π e as correntes e tensões ao longo da cascata, durante a ocorrência de um distúrbio na linha, serão obtidas com auxílio do EMTP e também por meio das equações analíticas desenvolvidas para a cascata. Para finalizar, será mostrado que o modelo analítico não é fortemente influenciado pelo passo de cálculo utilizado. 2. - MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO Os modelos de linhas de transmissão de energia elétrica podem ser desenvolvidos no domínio do tempo ou no domínio da freqüência, sendo que a mesma é mais facilmente representada no domínio da freqüência. No entanto o sistema elétrico, no qual as linhas de transmissão estão inseridas, possui diversos elementos não lineares que são de difícil representação no domínio da freqüência. Deste modo dá-se preferência por modelos de linha que são desenvolvidos diretamente no domínio do tempo (1). Um outro fato que faz com que os modelos de linhas desenvolvidos diretamente no domínio do tempo serem mais utilizados, é que a maioria dos programas que realizam simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas elétricos requerem que os componentes do sistema estejam representados no domínio do tempo. Um dos primeiros modelos a representar a linha de transmissão diretamente no domínio do tempo foi desenvolvido por H. W. Dommel e baseou-se no método das características ou método de Bergeron e consiste em combinar o método das características com o método numérico de integração trapezoidal, resultando em um algoritmo que é capaz de simular transitórios eletromagnéticos em redes cujos parâmetros são discretos ou distribuídos (2). Este algoritmo sofreu sucessivas evoluções e atualmente é conhecido como Eletromagnetic Transients Program, ou simplesmente EMTP (3). Em situações em que se deseja simular a propagação de ondas eletromagnéticas resultantes de operações de manobras e chaveamento realizadas nas linhas de transmissão, pode-se representar a mesma como sendo uma cascata de circuitos π. Nesse modelo cada segmento é constituído de uma associação série e paralela de resistores e indutores que resultam em uma resistência e uma indutância, variáveis em função da freqüência, que representam o efeito solo e o efeito pelicular (4). Este modelo, que é desenvolvido diretamente no domínio do tempo, pode então implementado em softwares do tipo EMTP. Devido ao fato de que programas do tipo EMTP não são de fácil utilização, diversos trabalhos (4)-(8) sugerem descrever as correntes e tensões na cascata de circuitos π por meio de variáveis de estado. As equações de estado são então transformadas em equações de diferenças e podem ser resolvidas utilizando qualquer linguagem computacional.

3 A representação da linha por meio de variáveis de estado pode ser utilizada no ensino de conceitos básicos de propagação de ondas em linhas de transmissão (5), na análise da distribuição de correntes e tensões ao longo da linha (7) e na simulação de transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão que tenham elementos não lineares (6). 3. - REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA MONOFÁSICA POR MEIO DE UMA CASCATA DE CIRCUITOS π Sabe-se que uma linha de transmissão, cujos parâmetros possam ser considerados independentes da freqüência, pode ser representada, de maneira aproximada e obedecendo a uma série de restrições, como sendo uma cascata de circuitos π (4-8). A Figura 1 mostra uma linha de transmissão monofásica de comprimento d representada através de n circuitos π conectados em cascata. R L R L R L G/2 C/2 G C G C G C G/2 C/2 FIGURA 1 Linha representada por meio de uma cascata de circuitos π Na Figura 1 os parâmetros R e L são, respectivamente, a resistência e a indutância longitudinais do segmento de linha representado por um único circuito π enquanto que os parâmetros G e C são, respectivamente, a condutância e a capacitância transversais deste segmento de linha. Estes parâmetros são escritos como sendo: d d R = R' ; L = L' (1) n n d d G = G' ; C = C' (2) n n Nas equações (1) e (2) os termos R, L, G e C são os parâmetros, da linha, por unidade de comprimento. A representação da linha por meio de uma cascata de circuitos π, conforme mostrado na figura 1, consiste em um modelo de linha que permite a simulação de transitórios eletromagnéticos diretamente no domínio do tempo e que pode ser inserido em programas do tipo EMTP. No modelo mostrado na Figura 1, considerou-se que os parâmetros longitudinais da linha não variam em função da freqüência. No entanto o efeito da freqüência sobre os parâmetros longitudinais pode ser representado, em cada um dos circuitos π que representam a cascata, por meio da associação série e paralela de resistores e indutores (4). 4. - REPRESENTAÇÃO DA LINHA DE TRANSMISSÃO POR MEIO DE EQUAÇÕES DE ESTADO A representação de linhas de transmissão por meio de uma cascata de cirucitos π geralmente é utilizada como um modelo de linha descrito diretamente no domínio do tempo e que pode ser implementado em programas do tipo EMTP. No entanto, os programas do tipo EMTP possuem um custo relativamente alto e a utilização do mesmo requer por parte do usuário um vasto conhecimento referente a análise de sistemas de potência. Um outro inconveniente dos programas do tipo EMTP é que os mesmos limitam a quantidade de circuitos π que podem ser inseridos no mesmo. Deste modo, dependendo do comprimento da linha a ser representada, a qualidade dos resultados obtidos a partir das simulações pode ficar comprometida. Para contornar as dificuldades mencionandas no parágrafo anterior, alguns autores sugerem descrever a cascata de circuitos π mostrada na Figura 1 por meio de variáveis de estado (5-8). Considere então uma linha monofásica, cujo terminal receptor está aberto, representada por meio de uma cascata com n circuitos π conforme mostra a Figura 2. Na Figura 2, v 1 (t), v 2 (t), v n-1 (t) e v n (t) são as tensões transversais ao longo da linha enquanto que i 1 (t), i 2 (t) e i n (t) são as correntes longitudinais da linha. O termo u(t) é a tensão aplicada ao terminal emisor da linha.

4 R L i 1 (t) R L i 2 (t) R L i n (t) u(t) G/2 C/2 G C v 1 (t) G C v G C G/2 2 (t) v n-1 (t) C/2 v n (t) FIGURA 2 Correntes e tensões em uma linha representada por meio de uma cascata de circuitos π Considerando como variáveis de estado as correntes longitudinais e as tensões transversais em cada um dos circuitos π da cascata mostrada na Figura 2, pode-se descrever a mesma por meio de esquações de estado, ou seja: d[x(t)] = [A][X(t)] + [B] u(t) (3) dt Na equação (3), a matriz [A] é uma matriz quadrada denominada matriz de estado do sistema enquanto que [X] é o vetor de variáveis de estado. Para a linha mostrada na figura 2 têm-se (5): d dt i1(t) R / L v (t) 1 1/ C i 2 (t) v 2 (t) = i n (t) v n (t) L G / C 1/ L C R / L 1/ C L G / C C 1/ L R / L 1/ C i1(t) 1/ L v (t) 1 i 2 (t) v 2 (t) + u(t) L i n (t) G / C v n (t) (4) Na equação (4) observa-se que a matriz [A] possui dimensão (2n x 2n). Os vetores [X] e [B] possuem dimensão 2n. A partir da solução da equação (4) é possível determinar as correntes e tensões ao longo da linha. Geralmente a solução da equação (4) é obtida por meio do método de integração trapezoidal, que é um método numérico de integração bastante utilizado em estudos de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência (3). 5. - SOLUÇÃO ANALÍTICA DAS EQUAÇÕES DE ESTADO O modelo analítico para uma linha monofásica, proposto incialmente, consiste em obter as soluções analíticas da equação (4). A solução analítica deste conjunto de equações será obtido por meio do método de diagonalização da matriz [A]. O método da diagonalização consiste em desacoplar o sistema descrito pela equação (4), transformando-o em um sistema de 2n equações diferenciais desacopladas (9), do tipo: d[y(t)] = [λ][y(t)] + [G] (5) dt sendo 1 [λ] = [T] [A][T] (6) 1 [G] = [T] [B] u(t) (7) [ X] = [T][Y] (8)

5 Nas equações (5)-(8) [λ] é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os autovalores da matriz [A], enquanto que [T] é uma matriz cujas colunas são autovetores associados aos autovalores da matriz [A]. Utilizando o método da diagonalização para obter a solução da equação (4), mostra-se que a tensão no terminal da linha é dada por (9): = 2n n k k k k k k k k ) k= 1 a k t v (t) e [(c + d )cos(b t) + (c d )sen(b t) (c + d ] (9) sendo a k = real(λ kk ) (1) b k = imag(λ kk ) (11) g k c k = real T2n,k (12) λ kk g k d k = imag T2n,k (13) λ kk Nas equações (1)-(13) λ kk é o elemento λ(k,k) da matriz [λ], g k é o k-ésimo elemento do vetor [G] e T 2n,1 é elemento T(2n,k) da matriz [T]. 6. - RESULTADOS OBTIDOS Para verificar a performance do modelo analítico proposto, o mesmo será utilizado para simular a energização de uma linha monofásica, de 1 km de comprimento, cujos parâmetros longitudinais são considerados constantes. Considerou-se que o terminal receptor da linha está conectada a um transformador sem carga. A linha será energizada por uma fonte de tensão constante de 2 kv, conforme mostra a Figura 3. S Linha de transmissão 2 kv Transformador solo FIGURA 3 Energização de uma linha monofásica cujos parâmetros são considerados constantes Para a linha mostrada na Figura 3 considerou-se que os parâmetros longitudinais da linha, por unidade de comprimento, são R=,5 Ω/km e L=1 mh/km, sendo R a resistência e L a indutância da linha. Quanto aos parâmetros transversais, considerou-se G=,556 µs/km e C=11,11 ηf/km, onde G e C são, respectivamente, a condutância e a capacitância da linha. O transformador conectado no terminal receptor da linha está representado por uma capacitância, entre a linha e o solo, cujo valor é C T =6 ηf (5). A chave S é fechada no tempo t=. A linha mostrada na Figura 3 foi representada por meio de uma cascata de 1 circuitos π. Em seguida as correntes e tensões ao longo da linha foram escritas na forma de equações de estado. Utilizando estas equações de estado, foi possível calcular a tensão no terminal da linha, sendo que a mesma foi obtida por meio da solução numérica das equações de estado (modelo 1) e por meio da solução analítica (modelo 2) mostrada na equação (9). A cascata de circuitos π foi também inserida no Microtan (que é um programa do tipo EMTP), para que fosse possível obter um resultado que pudesse ser utilizado como referência, sendo então possível comparar a performance dos modelos 1 e 2 com os resultados obtidos com um programa do tipo EMTP. Os modelos 1 e 2 forma simulados no ambiente Matlab. Foi feito também um teste referente ao efeito que a variação do passo de cálculo exerce sobre o desempenho do modelo. Neste teste, os modelo baseado na solução numérica das equações de estado (modelo 1) foi utilizado para simular a linha mostrada na figura 3, considerando dois passos de cálculo distintos. O mesmo teste foi também realizado no modelo baseado na solução analítica das equações de estado (modelo 2).

6 6.1 Comparações com o Microtran A Figura 4 mostra a tensão no terminal da linha, obtida com os modelos 1 e 2 e obtidas também a partir da inserção da cascata de circuitos π no Microtran. As curvas 1 e 2 foram obtidas com um passo de cálculo h=,5 µs enquanto que o passo de cálculo utilizado para obter a curva 3 foi ajustada automaticamente pelo Microtran. A escolha do passo de cálculo h=,5 µs foi tomada com base em informações fornecidas pelo manual do Microtran (3). 6 5 Tensão (kv) 4 3 2 1 (1) (2) (3) -1-2 1 2 3 4 5 Tempo (us) FIGURA 4 Tensão no terminal receptor da linha: Solução numérica (1), solução analítica (2) e solução com o Microtran (3) A Figura 4 mostra que os resultados obtidos a partir das soluções numéricas e analíticas das equações de estado são idênticas à solução obtida com o Microtran. Portanto, com base na comparação com os resultados obtidos com o Microtran, conclui-se que as soluções numéricas e analíticas obtidas para as equações de estado estão corretas. 6.2 Influência do passo de cálculo na solução numérica Para mostrar a sensibilidade do modelo baseado na solução numérica das equações de estado, o mesmo foi utilizado para simular a linha, mostrada na Figura 3, considerando os passos de cálculo h=,5 µs e h=2 µs. A Figura 4 mostra a tensão, no terminal da linha, obtida com o modelo baseado na solução numérica das equações de estado. A curva 1 mostra o resultado considerando um passo de cálculo h=,5 µs enquanto que a curva 2 mostra o resultado obtido com um passo de cálculo h=2 µs. 6 5 (2) 4 (1) Tensão (kv) 3 2 1-1 -2 1 2 3 4 5 Tempo (us) FIGURA 5 Resultados obtidos com a solução numérica das equações de estado: h=,5 µs (curva 1) e h=2 µs (curva 2)

7 A Figura 5 mostra que quando se altera o passo de cálculo de h=,5 µs para h=2 µs a resposta obtida não corresponde à resposta esperada, que é dada pela curva 1. Portanto, este modelo de linha não é recomendável em situações em que o passo de cálculo deve ser alterado durante as simulações. Caso este modelo seja utilizado para simular transitórios eletromagnéticos e eletromecânicos, provavelmente ocorrerá oscilações numéricas quando houver a mudança do programa que simula transitórios eletromagnéticos para o programa que simula transitórios eletromecânicos, pois estes programas trabalham com passos de cálculo distintos (1). 6.3 Influência do passo de cálculo na solução analítica Para mostrar a sensibilidade do modelo baseado na solução analítica das equações de estado, o mesmo foi utilizado para simular a linha mostrada na Figura 3 considerando os passos de cálculo h=,5 µs e h=5 µs. A Figura 6 mostra a tensão no terminal da linha obtida com o modelo baseado na solução analítica das equações de estado. A curva 1 mostra o resultado obtido com um passo de cálculo h=,5 µs enquanto que a curva 2 mostra resultados obtidos com um passo de cálculo h=5 µs. 6 5 Tensão (kv) 4 3 2 1 (2) (1) -1-2 1 2 3 4 5 Tempo (us) FIGURA 6 Resultados obtidos com a solução analítica das equações de estado: h=,5 µs (curva 1) e h=5 µs (curva 2) A Figura 6 mostra que o resultado obtido com modelo baseado na solução analítica das equações de estado praticamente não é alterado quando o passo de cálculo é aumentado 1 vezes em relação ao passo de cálculo recomendado pelo manual do Microtran. Este resultado mostra que o modelo baseado na solução analítica apresenta um bom potencial para ser utilizado em simulações em que se necessite de um passo de cálculo variável. 7. - CONCLUSÃO Este informe técnico propôs um modelo de linha de transmissão que não apresenta grande sensibilidade à variação do passo de cálculo. Para obter este modelo considerou-se que a linha pode ser aproximada por uma cascata de circuitos π, que é uma aproximação já feita por alguns especialistas da área. Em seguida, obteve-se as equações de estado que descrevem as correntes e tensões ao longo da cascata de circuitos π. Em uma ultima etapa, obteve-se a solução analítica das equações de estado. Resultados obtidos com o modelo analítico foram comparados com resultados obtidos com o Microtran, sendo que esta comparação mostrou que ambos os resultados são praticamente idênticos, validando assim o modelo proposto. Para mostrar que o modelo proposto é praticamente imune à variação do passo de cálculo, foram realizadas simulações com o mesmo utilizando um passo de cálculo h=,5 µs (que é um passo de cálculo típico em simulações de transitórios eletromagnéticos) e também utilizando um passo de cálculo 1 vezes maior (h=5 µs), sendo que os resultados obtidos foram praticamente idênticos. Portanto, o modelo proposto pode ser utilizado em simulações em que se necessite de um passo de cálculo variáveis.

8 Novos estudos devem ser realizados, pois neste trabalho considerou-se somente o caso de uma linha monofásica cujos parâmetros podem ser considerados independentes da freqüência. 8. - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (1) MARTI, L. - Simulation of Transients in Underground Cables with Frequency-Dependent Modal Transformation Matrices - IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 3, n o 3 (July), 1988, pp. 199-111. (2) DOMMEL, H. W. - Digital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single and Multiphase networks - IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, (April), 1969, pp. 388-399. (3) DOMMEL, H. W. Electromagnetic Transients Program Reference Manual, Department of Electrical Engineering, University of British Columbia, Vancouver, Canada, 1986. (4) TAVARES, M. C. et alii Mode Domain Multiphase Line Model - Use in Transients Studies - IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 14, n o 4 (July), 1999, pp. 1534-1544. (5) NELMS, R. M. et alii Using a Personal Computer to Teach Power System Transients IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 4, n o 3 (August), 1989, pp. 1293-1297. (6) MAMIS, M. S. Computation of Electromagnetic Transients on Transmission Lines with Nonlinear Components IEE Proceedings Generation, Transmission and Distribution, Vol. 15, n o 2 (March), 23, pp. 2-23. (7) MAMIS, M. S., NACAROGLU, A. Transient Voltage and Current Distributions on Transmission Lines IEE Proceedings Generation, Transmission and Distribution, Vol. 149, n o 6 (Nov), 22, pp. 75-712. (8) MACÍAS, J. A. R. et alii A Comparison of Techniques for State-Space Transient Analysis of Transmission Lines, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 2, n o 2 (April), 25, pp. 894-93. (9) BOYCE, W. E., DI PRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno Quinta Edição - Cap. 7 Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem Editora Guanabara Koogan S. A. 1994. (1) HENSCHEL, S. et alii Transmission Line Model for Variable Step Size Simulations Algorithms Electrical Power and Energy System, Vol. 21, 1999, pp. 191-198.