SÍNTESE DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVO PARA SISTEMAS COMPLEXOS: UM ESTUDO DE CASO EM EPIDEMIOLOGIA Carlos Manuel Viriato Neto, Denise Fonseca Resende, Erivelton Geraldo Nepomuceno Grupo de Controle e Modelagem, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de São João del-rei, Pça. Frei Orlando, 170, Centro, 36307-352 - São João del-rei, MG, Brasil Emails: viriato_ee@hotmail.com, denisesade@gmail.com, nepomuceno@ufsj.edu.br Abstract The study of models that describe the epidemics processes of spread has made such systems known, and yet, able to be controlled, because with this, we re capable to understand its structure. This study has brought great contributions to this area known as mathematical epidemiology. A great contribution of this is the SIR model, which describes the spread of disease through differential equations, another model is the IBM, which is governed by stochastic relations. In this work, two control techniques are incorporated in both models, with small changes in the structures of them. Keywords Complex Systems, Epidemiological Modelling, Individual Based Model, SIR Model. Resumo O estudo de modelos que visam descrever os processos de propagação de epidemias tem tornado estes sistemas passíveis de serem conhecidos, e não obstante capaz de serem controlados, já que, com isso, os mesmos têm sua estrutura entendida. Tal estudo vem trazendo grandes contribuições para essa área conhecida como epidemiologia matemática. Uma das grandes contribuições dessa é o modelo SIR, no qual descreve a propagação de doença por meio de equações diferenciais, outro modelo é o MBI, sendo este regido por relações estocásticas. Neste trabalho, são incorporadas duas técnicas de controle em ambos os modelos através de pequenas alterações nas estruturas dos mesmos. Palavras-chave SIR. Sistemas Complexos, Modelagem Epidemiológica, Modelo Baseado em Indivíduos, Modelo 1 Introdução Um sistema é dito ser um sistema complexo (Bar- Yam, 2003; Mezic e Banaszuk, 2004) quando suas propriedades não são, vistos isoladamente, uma conseqüência natural de seus elementos constituintes. Essas propriedades do sistema complexo decorrem em grande parte da relação não-linear entre as partes. Assim, para caracterizar um sistema é necessário não somente conhecer as partes, mas também os modos de relação entre elas. Isto gera um fluxo de informações não triviais de se investigar, com uma série de conseqüências e propriedades emergentes. A modelagem matemática de sistemas complexos tem contribuído para pesquisas em diversas áreas da ciência. Esses modelos têm auxiliado tanto na análise do comportamento de determinados sistemas como no controle dos mesmos. A epidemia é um caso típico de sistema complexo (Oliveira et al., 2008; Pereira et al., 2006; Keeling e Grenfell, 2002; Hethcote, 2000). A aleatoriedade que é inerente a esses sistemas tem seus efeitos agregados, de larga escala, passíveis de serem entendidos, e portanto passíveis de serem controlados. Este é o projeto da chamada epidemiologia matemática (Anderson e May, 1992), em que se permite uma aproximação da realidade complexa e dinâmica dos sistemas vivos, a fim de que se possa compreender a estrutura dos processos de propagação de epidemias por meio de modelos matemáticos. Uma abordagem utilizada para representar modelos epidemiológicos são os modelos compartimentais (Kermack e McKendrick, 1927), que possibilitam descrever a epidemia como um sistema de equações diferenciais. O modelo SIR é um dos modelos compartimentais mais empregados. Neste modelo, relaciona-se o sistema de três estados, os Susceptíveis, os Infectados e os Recuperados. Contudo, o modelo SIR, não abrange a epidemia como um sistema complexo, pois ele considera a distribuição de indivíduos espacial e temporalmente homogênea. Uma forma mais realista utilizada na representação de modelos epidemiológicos é o Modelo Baseado em Indivíduos, MBI (ou IBM, do inglês Individual Based Model) (Lacerda et al., 2010), neste modelo cada indivíduo possui características distintas, tornando a população heterogênea, podendo assim modificar o processo de propagação de uma epidemia ao longo do ciclo da vida. É importante a incorporação da vacinação nos modelos compartimentais e no MBI, sendo este o principal mecanismo através do qual pode ser realizada uma ação de controle em sistemas epidemiológicos, de forma que se possa analisar a influência do controle no comportamento dos mesmos. Entretanto, modelos estocásticos como o MBI não permitem determinadas análises que são possíveis em modelos matemáticos com equações diferenciais. Como o modelo MBI é desenvolvido a partir de premissas epidemiológicas de forma a coincidir com aquelas explicitadas para o modelo SIR clássico, existe assim uma equivalência entre ISSN: 2175-8905 - Vol. X 641
os mesmos. Uma estratégia utilizada, a partir desta equivalência, é a implementação no SIR e, posteriormente, a aplicação no MBI seguindo a mesma premissa. Uma vantagem dessa metodologia é que há ferramentas analíticas e métodos de otimização relativamente mais simples para o modelo SIR. Há poucos trabalhos na literatura que relacionam a abordagem de controladores clássicos em sistemas complexos, particularmente em epidemiologia. Em (Ghezzi e Piccardi, 1997), os autores apresentam uma metodologia de síntese de controladores PID para sistemas epidemiológicos, mas limitam-se em modelos determinísticos. Uma alternativa apresentada neste artigo é o projeto de controladores pautados na estabilidade dos pontos fixos de modelos compartimentais, no caso o SIR, e sua consequente aplicação no MBI, partindo do pressuposto da equivalência entre SIR e MBI. O restante do artigo está organizado da seguinte forma. Os conceitos preliminares são descritos na Seção 2. A Seção 3 apresenta a metodologia do presente trabalho. A Seção 4 apresenta os resultados obtidos. A conclusão é apresentada na Seção 5. 2 Conceitos Preliminares 2.1 Modelo SIR Original Kermack e McKendrick (1927) propuseram um modelo, formulado em termos de equações diferenciais, para estudar as consequências de uma doença contagiosa que se espalha rapidamente numa população. Nesse modelo, divide-se a população em três classes: a classe dos suscetíveis S, composta por indivíduos que podem contrair a doença através de contatos com infectados; a classe dos infectados I, formada pelos indivíduos que têm a doença e podem transmiti-la; e a classe dos recuperados R, que passaram pela doença e não são mais suscetíveis a mesma. Sejam S(t), I(t) e R(t) os números de indivíduos em cada classe no instante t. O modelo SIR original pode ser escrito como o conjunto de equações diferenciais: ds dt = µn µs βis N di di = βis γi µi (1) N dr = γi µr. dt em que S(t) + I(t) + R(t) = N, S = proporção de susceptíveis; I = proporção de infectados; R = proporção de recuperados; β = taxa de infecção; γ = taxa de recuperação; µ = taxa de mortalidade; d = taxa de nascimento; Considera-se ainda que a população é constante, isto é, existe um balanço entre a taxa de mortalidade e nascimento, o que equivale a afirmar que d=µ. Epidemiologicamente, β > γ + µ significa que a taxa de transmissão de infectados é suficientemente alta para manter a população de infectados acima de zero. Por outro lado, para β < γ + µ a taxa de novos indivíduos infectados é menor que a mortalidade dos indivíduos infectados, fazendo com que em um determinado instante a população de indivíduos infectados seja reduzida a zero. 2.2 Modelo MBI O modelo clássico SIR não é satisfatório em situações que heterogeneidade da população é relevante. A principal razão para isso é que o modelo SIR considera que a distribuição de indivíduos é espacial e temporalmente homogênea, não levando em conta importantes fatores associadas aos indivíduos, como as diferenças entre idades, localização geográfica, fatores sociais e culturais, características genéticas, entre outros, ao contrário do modelo baseado em indivíduos (MBI), que necessita de fatores como os citados para sua formulação. No modelo MBI a população é considerada heterogênea, os indivíduos possuem características distintas, nos levando a formular algumas premissas de forma a coincidir com aquelas explicitadas para o modelo SIR. 1. População constante. A taxa de mortalidade é igual a taxa de nascimento, o que equivale a afirmar que d = µ. 2. Características do indivíduo. Um indivíduo é caracterizado por um conjunto de n características. 3. Categoria do indivíduo. Há três categorias para um indivíduo: 0 (susceptível), 1 (infectado) e 2 (recuperado). 4. Distribuição estatística. Para a mortalidade (e conseqüentemente nascimento) adotou-se a distribuição exponencial. 5. Processo de infecção. Adotou-se que cada contato entre um indivíduo suscetível e um indivíduo infectado pode provocar um novo indivíduo infectado seguindo uma distribuição uniforme. 6. Mudança de categoria. (a) 0,1,2 para 0. Isso significa que o indivíduo morreu e um outro nasceu; (b) 0 para 1. Um indivíduo suscetível passa a ser infectado; (c) 1 para 2. Um indivíduo infectado recupera-se. As probabilidades de ocorrência de transições são determinadas por parâmetros iguais as do modelo SIR. O modelo MBI assume um tempo discreto, desta forma resulta em um modelo discreto. A cada intervalo de tempo ocorrem encontros aleatórios entre os indivíduos. A taxa de transmissão β é interpretada como o número médio de encontros de cada indivíduo no intervalo de tempo. Um indivíduo é representado por: I m,t = [C 1 C 2 C n ], ISSN: 2175-8905 - Vol. X 642
em que m é o tamanho da população, t é o instante em que o indivíduo apresenta um conjunto específico de características e C n é uma característica do indivíduo. Em cada iteração do modelo, o estado de cada indivíduo pode ser alterado a partir das probabilidades de transição, dadas pelas taxas β,µ,γ,v p e v d, onde v p é o controle proporcional e v d o derivativo. A população num determinado instante de tempo t é representada por: P t = [I 1,t I 2,t I 3,t... I m,t ], em que I i,t representa o indivíduo i no instante t e P t é um vetor de m elementos. 3 Metodologia 3.1 Estabilidade de ponto fixo Neste artigo foram utilizados dois mecanismos, por meio dos quais podem realizar uma ação de controle (vacinação) em processos epidêmicos. Estes mecanismos são conhecidos como controladores proporcionais (v p ) e derivativos (v d ).O presente trabalho faz a simulação do controle da epidemia, através da vacinação de uma parcela da população que nasce (v p µn), e também o controle de uma parcela da população dos susceptíveis (v d S) passando diretamente deste estado para o estado de recuperado (ou seja, imune). Isso significa uma parcela da população sendo vacinada, comumente com a eficiência da vacina, gera imunidade em uma proporção dos indivíduos. Com isso, o presente controle descrito neste artigo pode ser visto como um controle por realimentação linear de estados (state feedback). Logo, com as respectivas inserções no modelo SIR Original, obtém-se este na forma a seguir: ds dt = µn µs βis N v pµn v d S, di di = βis γi µi, (2) N dr dt = γi µr + v pµn + v d S. A estabilidade local é avaliada, utilizando-se a matriz Jacobiana e os autovalores correspondentes a cada ponto fixo (Monteiro, 2002), para a Eq. (2). Para que em um determinado instante a população de indivíduos infectados seja reduzida a zero é necessário que: β < µvd + µγ + µ2 + µγv d µ(1 v p ) (3) Caso (3) não seja atendida, não ocorre a erradicação da doença. Através desta análise da nova dinâmica do modelo SIR, é possível estimar o valores de v p e v d para que se possa controlar a epidemia, ou seja, conduzi-la a erradicação. A incorporação da vacinação no MBI ocorre seguindo a mesma estratégia do modelo SIR, ou seja, uma parcela v p dos indivíduos que nascem e uma parcela dos susceptíveis v d, são vacinados. Assim, tem-se: A incorporação da vacinação no MBI ocorre seguindo a mesma estratégia do modelo SIR, ou seja, uma parcela v p dos indivíduos que nascem e uma parcela dos susceptíveis v d, são vacinados. 3.2 Casos de estudos Foram estudados casos com dois conjuntos de parâmetros dinâmicos. No primeiro conjunto, utilizou-se β 1 = 0,02, γ = 0,001, µ = 0,003, para os casos de 1 a 3, sendo que no caso 2 incorporou-se o parâmetro v p = 0,2 e no caso 3 acrescentou-se também, v d = 0,3. Já para o segundo conjunto com uma situação mais crítica (β 2 > β 1 ) foram utilizados β 2 = 0,4, γ = 0,01, µ = 0,03, nos casos de 4 a 6, sendo que no caso 5 incorporou-se o parâmetro v p = 0,6 e no caso 6 acrescentou-se também, v d = 0,2. Em ambos os casos os parâmetros de controle foram obtidos de forma a satisfazerem a inequação (3). Também para ambos considerou-se uma população N = 1000. Cada um dos casos é explicitado a seguir: Caso 1 : Modelo SIR e MBI - Sem Controle - Foi implementada para efeito de comparação; Caso 2 : Modelo SIR e MBI- Com Controle Proporcional; Caso 3 : Modelo SIR e MBI - Com Controle Proporcional e Derivativo; Caso 4 : Modelo SIR e MBI - Sem Controle - Foi implementada para efeito de comparação; Caso 5 : Modelo SIR e MBI - Com Controle Proporcional; Caso 6 : Modelo SIR e MBI - Com Controle Proporcional e Derivativo; 4 Resultados 4.1 Comparação dos cenários e discussão dos resultados A seguir serão apresentados os resultados dos casos estudados neste artigo, no qual as figuras de 1 a 12 representam esses. Para cada combinação de parâmetros dinâmicos, o MBI foi simulado 100 vezes. As figuras 1 e 2 correspondem respectivamente aos modelos SIR e MBI para o caso 1, no qual pode-se observar que não há erradicação. As figuras 3 e 4 retratam os modelos SIR e MBI para ISSN: 2175-8905 - Vol. X 643
o caso 2, sendo neste, observado uma queda considerável no número final de infectados quando comparado ao caso 1, mas ainda não havendo erradicação. Já as figuras 5 e 6 ilustram os modelos SIR e MBI para o caso 3, em que, pode-se visualizar que há a erradicação,observando-se com isso, a eficácia do controle proporcional-derivativo neste tipo de sistema. As figuras 7 e 8 correspondem respectivamente aos modelos SIR e MBI para o caso 4, no qual observa-se que não há erradicação e a força da infecção é maior quando comparada ao caso 1. As figuras 9 e 10 retratam os modelos SIR e MBI para o caso 5, sendo neste, observado uma queda considerável no número final de infectados quando comparado ao caso 4, mas ainda não havendo erradicação. Já as figuras 11 e 12 ilustram os modelos SIR e MBI para o caso 6, em que, pode-se visualizar que há a erradicação mesmo com um forte infecção, logo evidencia-se a eficácia do controle proporcional-derivativo neste tipo de sistema. Figura 3: Caso 2 - Modelo SIR - A representação Figura 1: Caso 1 - Modelo SIR - A representação Figura 4: Caso 2 - Modelo MBI - A representação Figura 2: Caso 1 - Modelo MBI - A representação Figura 5: Caso 3 - Modelo SIR - A representação ISSN: 2175-8905 - Vol. X 644
Figura 6: Caso 3 - Modelo MBI - A representação Figura 9: Caso 5 - Modelo SIR - A representação Figura 7: Caso 4 - Modelo SIR - A representação Figura 10: Caso 5 - Modelo MBI - A representação Figura 8: Caso 4 - Modelo MBI - A representação Figura 11: Caso 6 - Modelo SIR - A representação ISSN: 2175-8905 - Vol. X 645
O presente trabalho evidenciou a importância da análise da dinâmica do controle proporcionalderivativo, aplicado a um processo de propagação de epidemia. Através dessa análise, pode-se obter uma relação entre os parâmetros que regem este processo, possibilitando, com isso, estimar os valores para as constantes de controle que tornem o sistema estável e conduza-o a erradicação. O ponto central do artigo foi apresentar uma estratégia de projeto de controlador a partir de um modelo determinístico que apresenta resultados satisfatórios quando aplicada nos modelos estocásticos. Pretende-se em trabalhos futuros avaliar a possibilidade de projetar controles que se atentam para incertezas paramétricas. 6 Agradecimentos Os autores agradecem o apoio financeiro da CA- PES, FAPEMIG, CNPq e UFSJ. Referências Anderson, R. M. e May, R. M. (1992). Infectious Diseases of Humans: Dynamics and Control, Oxford: Oxford University Press. Figura 12: Caso 6 - Modelo MBI - A representação A Tabela 1 sintetiza os casos estudados, em relação ao tempo de estabilização do processo de infecção (regime permanente). Evidenciou-se que a estabilidade ocorre com um tempo considerável, enquanto que os indivíduos infectados sofrem uma queda brusca, quando aplicado uma ação de controle. Para o controle PD essa estabilidade ocorre com o número de indivíduos tendendo a zero. Tabela 1: Síntese dos Resultados - Número de indivíduos infectados I e Tempo de Estabilização corresponde ao tempo, em unidades arbitrárias de tempo, para que o sistema atinja a o regime permanente. Casos N o de I Tempo de Estabilização 1 620 900 2 460 950 3 0 750 4 680 150 5 230 170 6 0 250 5 Conclusões Bar-Yam, Y. (2003). Dynamics of Complex Systems, Westview Press. Ghezzi, L. L. e Piccardi, C. (1997). PID control of a chaotic system: an application to an epidemiological model, Automatica pp. 181 191. Hethcote, H. W. (2000). The mathematics of infectious diseases, SIAM Review 42(4): 599 653. Keeling, M. J. e Grenfell, B. T. (2002). Understanding the persistence of measles: reconciling theory, simulation and observation, Proceedings of the Royal Society of London Series B-Biological Sciences 269: 335 343. Kermack, W. e McKendrick, A. (1927). A contribution to the mathematical theory of epidemics, Proceedings of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences A115: 700 721. Lacerda, M. J., Teixeira, W. W. M. e Nepomuceno, E. G. (2010). Alocação de agentes para controle de epidemias utilizando algorítimos genéticos, Biomatemática (UNI- CAMP) 20: 79 92. Mezic, I. e Banaszuk, A. (2004). Comparison of systems with complex behavior, Physica D- Nonlinear Phenomena 197(1-2): 101 133. Monteiro, L. H. A. (2002). Sistemas Dinâmicos, São Paulo: Editora Livraria da Física. Oliveira, E., Lacerda, M. J., Barbosa, A. M. e Nepomuceno, E. G. (2008). Desenvolvimento de estratégia de controle epidemiológico: Análise espacial e vacinação a partir do foco da doença, Anais do XVII Congresso Brasileiro de Automática, Juiz de Fora MG Brasil, pp. 1 6. Pereira, E., Lamperti, R., Barbosa, A., Melotti, G. e Nepomuceno, E. (2006). Controle epidemiológico: obtenção do valor crítico de vacinação a partir da variação do número de infectados com taxa de infecção desconhecida, Anais do XVI Congresso Brasileiro de Automática, Salvador BA Brasil, pp. 1 6. ISSN: 2175-8905 - Vol. X 646