Algoritmo busca tabu para a minimização do tempo de processamento e atrasos de entrega em sistemas de produção flowshop permutacional

Algoritmo busca tabu para a minimização do tempo de processamento e atrasos de entrega em sistemas de produção flowshop permutacional Marcio Leite (UCAM-Campos) mleite@lenep.uenf.br José Elias Cláudio Arroyo (UCAM-Campos) jclaudio@ucam-campos.br Resumo Este artigo aborda o problema de escalonamento de tarefas em um flowshop minimizando simultaneamente atraso máximo das tarefas com relação às datas de entrega e tempo final de processamento das tarefas (makespan). Este problema existe na empresa Boechat Ltda. (www.boechat.com.br) localizada na cidade de Itaperuna, RJ. A empresa fabrica freios para veículos pesados aonde são produzidos vários produtos compostos de um conjunto de operações que são executados em máquinas distintas e em tempos diferentes. A empresa é essencialmente interessada em minimizar os atrasos das entregas e o uso das máquinas. É proposto um algoritmo busca tabu com múltiplos reinícios, usando a heurística de NEH aleatório para gerar as soluções iniciais. O algoritmo é baseado na abordagem a priori, na qual os critérios são combinados definindo uma função ponderada e o decisor pode incluir as preferências dos critérios, antes da busca da solução do problema. A metaheurística é testada em problemas reais e em problemas encontrados na literatura. Os resultados obtidos são comparados com os resultados de uma metaheurística proposto na literatura. Palavras-chave: Flowshop, Metaheurísitca, Otimização multicritério. 1. Introdução Os problemas de escalonamento de tarefas encontram-se intimamente ligados ao planejamento e programação da produção nas indústrias. Estes problemas, além de matematicamente desafiadores, são extremamente difíceis de resolver. A explosão combinatória decorrente da necessidade de se examinar as várias alternativas de escalonamento existentes nesses problemas torna difícil e custosa a obtenção de uma solução ótima ou aproximada. O problema de flowshop tem recebido considerável atenção por muitos pesquisadores durante os últimos 50 anos. Desde o primeiro artigo publicado por Johnson (1954), diferentes métodos exatos e heurísticos têm sido propostos para resolver este problema, minimizando um único critério, tais como: makespan (C max ), tempo de fluxo total (F), atraso máximo (T max ) e atraso total (T) (Nawas et al., 1983; TAILLARD, 1990; ISHIBUCHI et al., 1995; Armentano e Ronconi, 1999). Os critérios C max e F estão relacionados com minimização dos recursos de produção e minimização de estoque em processamento, respectivamente, enquanto T max e T procuram minimizar atrasos relacionadas a datas de entrega. Recentemente, o problema de flowshop tem sido estudado otimizando mais de um critério simultaneamente. T kindt e Billaut (2001) apresenta uma revisão do estado da arte sobre problemas de escalonamento de tarefas em máquinas otimizando múltiplos critérios, incluindo máquinas simples, máquinas paralelas e flowshop. Uma lista de 115 artigos é apresentada, o que mostra o crescente interesse nesta área importante. Em problemas multicritério, em geral, não existe uma única solução que seja a ótima com respeito a todos os critérios. Nestes problemas, a solução esperada é composta por um 1

conjunto de soluções de equilíbrio, denominados eficientes ou Pareto-ótimas, caracterizadas por não serem dominadas por nenhuma outra solução. A literatura, segundo a pespectiva do decisor, classifica os problemas de escalonamento flowshop em dois grupos: Métodos a priori: São caracterizados pela participação do decisor antes do processo de busca de soluções, isto é, antes de resolver o problema. Existem duas abordagens dos métodos a priori. Na primeira abordagem atribuí-se pesos para cada critério e em seguida otimiza-se uma função definida pela combinação dos os critérios (CHAKRAVARTHY e RAJENDRAN, 1999; RAJENDRAN e ZIEGLER; 2003). Na segunda abordagem os critérios são classificados em ordem decrescente de prioridade e sempre se otimiza o critério de menor prioridade respeitando o valor ótimo do critério de maior prioridade (GUPTA et al., 1999). Métodos a posteriori: A busca é feita considerando que todos os critérios possuem a mesma importância, cabendo ao decisor ao final do processo de busca selecionar dentre o conjunto de soluções Pareto-ótimas, a solução de melhor compromisso (DANIELS e CHAMBERS, 1990;ARROYO e ARMENTANO 2005; VARANDHARAJAN e REJENDRAN, 2005). O problema de flowshop é considerado um problema NP-Difícil visto que não é conhecido nenhum algoritmo exato de tempo polinomial (LAWLER et al., 1993). Por isso métodos aproximativos ou heurísticos são comumente utilizados neste tipo de problemas. Para resolver o problema de flowshop com dois critérios, é proposta uma metaheurística composta de duas fases, denominada GRASP - Busca Tabu (G-BT). Na primeira fase é gerada uma solução inicial usando o algoritmo GRASP proposto por Feo e Resende (1995). Na segunda fase a solução inicial é refinada usando um algoritmo Busca Tabu, proposto por Glover (1989, 1990). A metaheurística proposta G-BT é baseada na abordagem a priori, na qual os pesos ou preferências dos critérios são parâmetros de entrada da metaheurística. O método é testado em problemas reais de flowshop existentes na empresa Boechat Ltda. e em problemas gerados de forma aleatória. Na empresa Boechat Ltda. são fabricadas diversas famílias de produtos, tais como: kits de freios, suportes de câmara, câmaras spring-brake, sapatas de freio e eixos tipo S, etc. Neste trabalho são considerados somente os produtos da família dos eixos tipo S. Cada produto desta família é composto de um conjunto de operações: cortar, laminar, temperar, lavar e pintar. Estas operações são processadas utilizando máquinas especificas e em tempos diferentes. Para a empresa é desejável minimizar os atrasos das entregas e o uso das máquinas (makespan), no entanto, o segundo critério possui maior importância em relação ao primeiro. As preferências pelos critérios atraso e makespan tem respectivamente os seguintes pesos: 0,15 e 0,85. O Artigo está organizado da seguinte forma: Seção 2, formulação de um problema de otimização e do problema de flowshop abordado. Seção 3, detalhes da metaheurística proposta. Seção 4, resultado computacionais. Seção 5, conclusões do trabalho. 2. Problema de Flowshop Multicritério Dado um vetor de funções com r componentes f = (f 1,, f r ) definido em um conjunto discreto de soluções X. Considere o seguinte problema de otimização multicritério: Minimizar (maximizar) Sujeito a z = f (x) = (f 1 (x) = z 1,..., f r (x) = z r ), z Z x X 2

onde x é o vetor decisão, z é o vetor de critérios, X denota o espaço de soluções factíveis e Z = f(x) = {z = f(x) x X} é a imagem de X denominado espaço objetivo factível. Note que, a imagem de uma solução x = (x 1, x 2,..., x n ) X no espaço objetivo é um ponto z = (z 1, z 2,..., z r ) = f (x), tal que z j = f j (x), j = 1,..., r (r é o número de critérios). Neste trabalho considera-se um problema de minimização com r critérios. No caso de otimizar um único critério, a comparação entre duas soluções x e y é imediato. Se f(x) < f(y) então x é melhor que y. Em problemas de otimização multicritério, a comparação de duas soluções x e y é mais complexo, pois nesse caso existe uma relação de ordem parcial denominado relação de dominância de Pareto. Definição 1. Uma solução x domina a solução y se e somente se: f i (x) f i (y) i {1,...,r} e f i (x) f i (y) para algum i {1,...,r}. Definição 2. Uma solução x é Pareto-ótima ou eficiente se ela não é dominada por nenhuma solução do espaço de soluções factíveis. Considere o problema de programação em um flowshop com n tarefas disponíveis para processamento no instante t = 0 e que requerem uma única operação em cada uma das m máquinas ordenadas. A cada tarefa i está associado um tempo de processamento, p ij, na máquina j e uma data de entrega d i. A seqüência de processamento das tarefas é idêntica para todas as máquinas. Para uma dada seqüência, seja C i o instante de término de processamento da tarefa i, e T i = max{c i d i, 0} o atraso da tarefa i. Os critérios a serem minimizados são: tempo final de processamento (makespan) C max = max i {C i } e atraso máximo T max = max i {T i }. 3. Metaheuristica Proposta A metaheurística proposta consiste de duas etapas. Na primeira etapa, uma solução inicial x é determinada usando um algoritmo GRASP (FEO e RESENDE, 1995). Na segunda etapa é executado um algoritmo Busca Tabu (GLOVER, 1989, 1990) que inicia com a solução x gerada pela primeira etapa e obtendo uma solução x melhorada. A metaheurística proposta será denominada G-BT. A seguir apresenta-se o pseudocódigo da metaheurística G-BT. Procedimento G-BT Entrada: Pesos λ = (λ 1, λ 2 ) dos critérios C max e T max ; Critério de parada dos algoritmos GRASP e Buca Tabu. Saída: uma solução x que minimize a função ponderada f(x) = λ 1 C max (x) + λ 2 T max (x). Inicio x = GRASP(λ); x = BUSCA TABU (x, λ); Fim. Note que, a metaheurística G-BT possui como entrada os pesos ou preferências dos critérios e as respectivas condições de parada do algoritmo GRASP e Busca Tabu. O algoritmo GRASP possui duas fases: construtiva e busca local. Na fase construtiva é usada a heurística gulosa de enumeração parcial NEH, proposta por Nawaz et al. (1983), que constrói uma seqüência x baseada na inserção de tarefas numa ordem determinada. A heurística foi originalmente proposta para a minimização do makespan usando a regra de prioridade LPT (longest processing time), na qual as tarefas são ordenadas de forma decrescente com o tempo total de processamento sobre as máquinas, j p ij. Na fase construtiva do algoritmo GRASP proposto, a lista de candidatos (LC) é formada pelas 3

tarefas ordenadas segundo a regra de prioridade TLB (tardiness lower bound) proposta por Armentano e Ronconi (1999). Na regra TLB as tarefas são ordenadas de forma nãodecrescente com o limitante inferior do atraso de cada tarefa i: d i j p ij. As tarefas a serem inseridas na seqüência x são escolhidas aleatoriamente a partir de um subconjunto LRC de LC. A lista restrita de candidatos LRC é formada pelas max(1, LC ) primeiras tarefas de LC, onde [0, 1] é o parâmetro que determina a taxa de aleatoriedade e LC denota a cardinalidade da lista LC. Note que, se = 0, as tarefas sempre serão escolhidas na ordem determinada pela regra TLB (escolha gulosa). Se = 0, a escolha de tarefas será completamente aleatória. A seguir é apresentado o pseudocódigo da fase construtiva do algoritmo GRASP. Procedimento NEH_Aleatório ( ) Inicio Seja LC = {J 1, J 2,..., J n } a lista de tarefas ordenadas de acordo á regra de prioridade TLB. Escolha uma tarefa J k aleatoriamente de {J 1,..., J t }onde t = max(1, LC ). Seja x = (J k ) a seqüência parcial formada pela primeira tarefa escolhida. Remova a tarefa J k de LC. Para i = 2 até n faça Escolha uma tarefa J k aleatoriamente de LCR, onde LCR é formada pelas t = max(1, LC ) primeiras tarefas de LC. Insira a tarefa J i em cada uma das posições de x, obtendo i seqüências parciais com i tarefas. Calcule o valor de f = λ 1 C max + λ 2 T max para cada seqüência parcial. Remova a tarefa J k de LC. Seja x a seqüência com menor valor de f = λ 1 C max + λ 2 T max, onde λ 1 e λ 2 são os pesos atribuídos aos critérios. Fim Para. Retorne a seqüência x com n tarefas e com menor valor de f. Fim. A fase da busca local do algoritmo GRASP consiste em melhorar a solução x obtida pela fase construtiva. Através da busca local gera-se um conjunto de soluções vizinhas de x e dentre estas soluções determina-se a solução x com o menor valor da função ponderada f = λ 1 C max + λ 2 T max. Se f(x ) < f(x), o processo é repetido a partir da solução x até a obtenção de uma solução sem nenhum vizinho melhor, denominada ótimo local. A geração de soluções vizinhas é feita através da troca de tarefas que gera um total de n(n 1)/2 soluções vizinhas. Os pseudocódigos da fase de busca local e do algoritmo GRASP são apresentados a seguir. Procedimento busca local (x) Inicio Melhora = Verdade; Enquanto Melhora faça Gere a vizinhança de x: N(x). Determine o melhor vizinho x N(x) Se f(x ) < f(x) então Faça x = x ; Melhora = Verdade; Senão Melhora = Falso; Fim Enquanto; Procedimento GRASP Inicio f(x*) = infinito; Sejam 1,..., 11, parâmetros de aleatoriedade diferentes. Para i = 1 até 11 faça x = NEH_Aleatório ( i ); x = Busca Local (x); Se f(x ) < f(x*) então x* = x; Fim Para; 4

Retorne a solução x; Fim Retorne a solução x*; Fim. O algoritmo GRASP é executado onze iterações e a cada iteração é usado um valor diferente do parâmetro. Os valores usados para são: 0; 0,1; 0,2; ;1. A metaheurística Busca Tabu (BT) é um processo iterativo baseado em busca em vizinhnaça, proposta por Glover (1989, 1990). Ela procura explorar o espaço de soluções do problema, movendo-se sucessivamente de uma solução x para outra solução x, dentre sua vizinhança N(x). Os movimentos são realizados com a finalidade de encontrar soluções de boa qualidade, segundo a avaliação de alguma função objetivo f(x) a ser otimizada. No entanto, em cada iteração o valor da função f(x ) não necessariamente é melhor que f(x), isto é, a busca tabu pode aceitar soluções que não sejam melhores que a solução atual x (soluções de piora). A característica principal do algoritmo BT é que, no processo da busca, ela incorpora uma memória adaptativa e estratégias de busca baseadas em memória. A memória adaptativa pode ser de curto prazo ou de longo prazo. A idéia de utilizar memória de curto prazo é de restringir a busca através da proibição de certos movimentos permitindo superar ótimos locais, prevenir ciclagem e direcionar a busca para regiões não exploradas. A proibição ocorre através do armazenamento dos atributos dos movimentos já realizados em uma lista denominada tabu que é consultada cada vez que se realiza um novo movimento. Caso os atributos deste movimento estejam presentes na lista tabu, este movimento é proibido de ser executado e, portanto, é considerado um movimento tabu. Uma maneira de retirar a condição tabu de um movimento é pelo critério de aspiração que libera um movimento considerado suficientemente importante naquele momento da busca. Neste trabalho é implementado um algoritmo BT com memória de curto prazo e critério de aspiração. O algoritmo é baseado na minimização da função ponderada f = λ 1 C max + λ 2 T max, onde os pesos são definidos a priori. A solução inicial para algoritmo BT é gerada pelo algoritmo GRASP descrito na seção anterior. Os componentes do algoritmo BT incluem: estratégia de geração de vizinhança e regras de proibição, duração tabu e critério de parada. Estes componentes determinam o desempenho do algoritmo e são dependentes do problema a ser resolvido. Neste trabalho foram testadas duas estratégias de geração de vizinhança: Inserção de tarefas: A vizinhança de x, N(x) é construída, inserindo-se cada uma das tarefas J i, i = 1,...,n, em todas as outras posições da seqüência. Esta estratégia gera uma vizinhança de tamanho (n-1) 2. Troca de tarefas: A vizinhança de x, N(x) é gerada através da troca de posições de duas tarefas J i e J j, i, j com i j. A regra de proibição usada para o movimento de inserção é: se a tarefa J i é inserida em alguma posição da seqüência, esta tarefa é adicionada na lista tabu e, portanto, a tarefa J i não pode ser escolhida para inserção enquanto a duração tabu esteja ativa. Para o movimento de troca, considerou-se a seguinte regra de proibição: se as tarefas J i e J j forem trocadas de posições, estas tarefas são adicionadas na lista tabu. Portanto, as tarefas J i e J j não poderão ser escolhidas para trocar posições com outras tarefas enquanto a duração tabu esteja ativa. Para o problema de flowshop permutacional abordado neste trabalho, a vizinhança troca de tarefas gerou as melhores soluções. 5

A duração tabu é um parâmetro muito importante do algoritmo BT. Durações tabus muito pequenas podem causar ciclagem da busca, enquanto altas durações tabus podem restringir a exploração do espaço de busca. A duração tabu de um movimento é feita de forma dinâmica. Para cada combinação movimento-regra de proibição, a duração tabu dt é gerada aleatoriamente dentro de um intervalo [dt min, dt max ] definido em função do número de tarefas n. Foram testados e analisados diferentes valores para dt min e dt max, e os valores que geraram os melhores resultados são mostrados na Tabela 1. Intervalo da duração tabu Movimento n < 50 n = 50 n = 80 Inserção [n/4, 3n/4] [n/5, 5n/8] [n/6, n/2] Troca [n/4, n/2] [n/5, n/3] [n/6, n/4] Tabela 1: Intervalos de geração da duração tabu Como critério de parada é usado pelo algoritmo o tempo computacional, foram usados os mesmos tempos computacionais apresentados no trabalho de Arroyo e Armentano (2005). 4. Testes Computacionais A metaheurística G-BT foi implementada na linguagem C++ e os testes computacionais foram realizados num computador com processador Pentium IV 2.4 Mhz. O desempenho da metaheurística foi testado usando dois conjuntos de problemas testes: Conjunto 1: Os problemas são reais e foram obtidas da empresa Boechat Ltda. Todos envolvem m = 5 máquinas e o número de tarefas n {22, 24, 25, 28, 30}. Foram considerados dois problemas para cada combinação de n e m, obtendo um total de 10 problemas. Conjunto 2: É formado pelos mesmos problemas usados por Arroyo e Armentano (2005), onde o número de máquinas m {10, 20} e o número de tarefas n {20, 50, 80}. Para cada combinação n e m são considerados 40 problemas, totalizando 240 problemas. O desempenho da metaheurística G-BT é comparado com o Algoritmo Genético com busca local proposto por Arroyo e Armentano (2005). Esta metaheurística é denotada por MOGLS. O MOGLS gera uma aproximação do conjunto de soluções Pareto ótimas para o problema de flowshop bi-critério, onde são minimizados o makespan (C max ) e o atraso máximo (T max ). Como critério de parada foram usados o mesmos tempos médios de execução apresentados pela metaheurística MOGLS (Arroyo e Armentano, 2005), conforme Tabela 2. n m: 20 5 20 10 20 20 50 5 50 10 50 20 80 5 80 10 80 20 Tempo: 6 8 12 86 170 264 354 643 1143 Tabela 2: Tempos de execução em segundos usados como critério de parada. A qualidade da solução x encontrada pela metaheurística G-BT é comparada com a solução y mais próxima pertencente ao conjunto de Pareto obtida pela metaheurística MOGLS. É usada como distância, entre duas soluções x e y, a seguinte métrica: d(x, y) = max{ C max (x) C max (y), T max (x) T max (y) }. Para cada solução x encontrada pelo método G-BT são verificados os seguintes estados: x é idêntica a y; x é não-comparável com y; x domina a y ou x é dominada por y, onde y é uma solução obtida pelo método MOGLS mais próxima de x. Para determinar esses estados é 6

utilizado o conceito de dominância de Pareto, resumido na Tabela 3. T max C max Estado < < x domina y > > x é dominado por y Solução x comparada com solução y < > x e y, são não-comparáveis > < x e y, são não-comparáveis = = x e y, são idênticos Tabela 3: Comparação das soluções de G-BT com as soluções de MOGLS. Nos testes realizados sobre os problemas reais do Conjunto 1, todas as soluções obtidas pelo método G-BT foram idênticas às soluções geradas pela metaheurística MOGLS. Vale ressaltar que, a metaheurística MOGLS foi executada, para estes problemas, usando os mesmos parâmetros apresentados em (ARROYO e ARMENTANO, 2005). Os resultados obtidos para os problemas aleatórios do Conjunto 2 são apresentados na Tabela 4. Nesta Tabela são mostrados o número de soluções obtidas pela metaheurística G-BT, que são idênticas, não-comparáveis, dominantes e dominadas com relação às soluções obtidas pelo método MOGLS. Observa-se que, dos 240 problemas testados, as soluções obtidas pela metaheurística proposta G-BT foram dominantes em 79 problemas. O método MOGLS obteve a dominância em 53 problemas. Nos outros 108 problemas as soluções obtidas pelo método G-BT foram idênticas ou não-comparáveis com as soluções do método MOGLS. Observa-se que a metaheurística G-BT é capaz de encontrar soluções de boa qualidade em problemas de tamanho 20 10, 20 20, 50 20 e 80 20. Problemas G-BT n m Número de soluções obtidas Distâncias médias Idênticos Não comparáveis Dominantes Dominadas G-TS MOGLS 20 10 16 4 18 2 0,32 5,17 20 20 14 9 15 2 0,32 3,62 50 10 2 14 8 16 24,55 8,62 50 20 0 15 22 3 4,42 26,80 80 10 5 10 6 19 61,05 12,92 80 20 0 19 10 11 30,15 15,62 Total 37 71 79 53 Tabela 4: Desempenho da metaheurística G-BT em problemas gerados aleatoriamente Na Tabela 4 também são mostradas as médias das distâncias produzidas pelas soluções das metaheurísticas G-BT e MOGLS. Se a solução x domina à solução y, calcula-se a distância de y para x; se x é dominado por y, determina-se a distância de x para y; se x e y são nãocomparáveis, a distância é a mesma para ambas as soluções. Esta maneira de comparar soluções, através da medida de distância, permite determinar quanto distante encontra-se uma solução em relação uma solução de referência (a melhor solução). Note que as médias das distâncias correspondentes ao método G-BT foram menores para os problemas 20 10, 20 20 e 50 20. É importante mencionar que a metaheurística MOGLS possui um bom desempenho devido a que ela trabalha com uma população de soluções dominantes (varias direções de busca), isto permite diversificar a busca de soluções e escapar de ótimos locais. 5. Conclusões Neste artigo foi proposta uma metaheurística Busca Tabu com múltiplos reinícios para resolver o problema de escalonamento de tarefas em um ambiente flowshop. Foram 7

considerados a otimização de dois critérios importantes na programação da produção: tempo final de processamento (makespan) e atraso máximo em relação às datas de entrega. Foram feitos testes priliminares em problemas reais fornecidas pela Boechat Ltda. Vale mencionar que as empresas têm procurado métodos eficientes de otimização com a finalidade de aumentar sua produtividade e consequentemente sua eficácia. Deste ponto de vista, o uso de problemas reais é de grande importância para demonstrar a aderência dos métodos científicos nas empresas. A metaheurística proposta também foi testada em uma grande quantidade de problemas gerados aleatoriamente. Os resultados obtidos foram comparados com os resultados de um algoritmo genético para otimização multicritério (MOGLS) da literatura. Pode-se concluir que a metaheurística proposta GRASP é simples de implementar e é bastante competitiva quando comparada com o método MOGLS. Agradecimentos: Os autores agradecem à Boechat Ltda. pelo financiamento parcial e pelo fornecimento de informações (dados de problemas). Referências ARMENTANO, V. A., RONCONI, D.P., 1999. Tabu search for total tardiness minimization in flowshop scheduling problems. Computers and Operations Research, 26, p. 219-235. ARMENTANO, V.A., ARROYO, J.E.C., 2004. An Application of a Multi-Objective Tabu Search Algorithm to a Bicriteria Flowshop Problem. Journal of Heuristics, 5, p. 463-481. ARROYO, J.E.C., ARMENTANO, V.A., 2005. Genetic Local Search for Multi-Objective Flowshop Scheduling Problems. European Journal of Operational Research, 167, 3, p. 717-738. CHAKRAVARTHY, K., RAJENDRAN, C., 1999. A heuristic for scheduling in a flowshop with the bicreteria of makespan and maximum tardiness minimization. Production Planning and Control, 10, p. 707-714. DANIELS, R.L., CHAMBERS, R.J., 1990. Multiobjective flow-shop scheduling. Naval Research Logistics, 37:, p. 981-995. EHRGOTT, M., GANDIBLEUX, X., 2000. A survey and annotated bibliography of multicriteria combinatorial optimization. OR Spektrum, 22, p. 425-460. FEO, T.A., RESENDE, M.G.C., 1995. Greedy randomized adaptive search procedures. Journal of Global Optimization, 6, p. 109-133. GLOVER, F.W., 1989. Tabu search, Part I. ORSA Journal on Computing, 1, p. 190-206. GLOVER, F.W., 1990. Tabu search, Part II. ORSA Journal on Computing, 2, p. 4-32. GUPTA, J.N.D., PALANIMUTHU, N., CHEN, C.L., 1999. Designing a tabu search algorithm for the twostage flow shop problem with secondary criterion. Production Planning and Control, 10:, p. 251-265. ISHIBUSHI, H., MISAKI, S., TANAKA, H., 1995. Modified simulated annealing algorithms for the flowshop sequencing problems. European Journal of Operational Research, 81, p. 388 398. JOHNSON, S.M., 1954. Optimal two and three-stage production schedules with set-up times included. Naval Research Logistics Quarterly,1, p. 61 68. JONES, D.F., S. K. MIRRAZAVI S.K., TAMIZ, M., 2002. Multi-Objective Meta-Heuristics: An Overview of the Current State-of-the-Art. European Journal of Operational Research, 137, p. 1-9. LAWLER, E.L., LENSTRA, J.K., RINNOOY KAN, A.H.G., SHMOYS, D.B., 1993. Sequencing and scheduling: Algorithms and complexity. In: Graves, S.C. (Ed.), Handbooks in Operations Research and Management Science, Vol. 4. Elsevier Science Publishers, Amsterdam, pp. 445 552. NAWAZ, M., ENSCORE, Jr., E.E., HAM, I., 1983. A heuristic algorithm for the m-machine, n-job flowshop sequencing problem. OMEGA, 11, p. 91 95. RAJENDRAN. C., ZIEGLER, H., 2003. Scheduling to minimize the sum of weighted flowtime and weighted 8

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