Energia Potencial e Conservação de Energia Prof. Leandro Neckel ENERGIA POTENCIAL De maneira geral, é a energia armazenada em um sistema. Tecnicamente, é uma energia associada a configuração (arranjo) de um sistema. Mas estas definições são muito formais e pouco explicativas. Vejamos então um exemplo mais prático: Quando se diz que a energia potencial é uma energia armazenada em um sistema, também se assume a possibilidade que esta energia venha a ser utilizada (convertida) para alguma outra modalidade de energia. Em mecânica trabalharemos com dois tipos básicos de energias potenciais ligados ao movimento (uma vez que estamos trabalhando a mecânica de partículas). Uma delas é a energia potencial gravitacional e a outra é a energia potencial elástica. De maneira geral, antes de tudo, temos - Símbolo: U - Definição: () Δ= Interpretando a equação, temos que a variação da energia potencial do sistema é negativa (ou seja, a energia potencial de um sistema diminui) quando o trabalho sobre o mesmo é positivo e é positiva (ou seja, a energia potencial de um sistema aumenta) quando o trabalho sobre o mesmo é negativo. Em se tratando de algumas forças em específico, para algumas é possível encontrar um sentido física para o aumento ou diminuição de energia potencial. Por outro lado, a variação de energia potencial dada pelo trabalho de algumas forças não possui sentido físico nenhum. Trabalharemos com três tipos de energia potencial que possuem sentido físico completo. São elas: Energia potencial gravitacional, Energia potencial elástico e Energia térmica. A energia potencial gravitacional é associada ao trabalho da força peso. A energia potencial elástica é associada ao trabalho da força elástica e a energia térmica é relacionada ao trabalho da força de atrito. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Vamos ao exemplo gravitacional, ou seja, da força gravitacional sobre um objeto, ou da força peso sobre o mesmo: Digamos que um objeto de massa m é lançado para cima. Durante o percurso de subida e de descida a única força que age sobre o mesmo é a força peso (desconsiderando a resistência do ar). Logo, durante todo o percurso: = = = = Para um sistema com a coordenada y crescente para cima. Verificando o trabalho da força peso durante a subida: = = cos ou ainda, sabendo que o vetor P é oposto ao vetor deslocamento = = Δ= Δh sendo h a altura atingida durante o percurso. Repare que o resultado negativo é lógico uma vez que a força peso age no sentido contrário do deslocamento, que neste caso é para cima. Verificando agora a variação de energia potencial: Δ = Δ = Δh Δ = Δh Houve um aumento da energia potencial gravitacional (Δ ) com o lançamento do objeto para cima. Ou seja, houve um armazenamento de energia por conta do aumento de altura, ou um aumento na potencialidade gravitacional de trazer o objeto ao chão. Repare que para um Δh maior, teremos uma variação ainda maior e mais positiva de energia potencial gravitacional. Durante a queda, uma vez que o deslocamento é na mesma direção da força peso, temos que o trabalho da força peso é positivo e a variação de energia potencial é negativa. Observe: = = Δhcos = Δh Δ = Δ = Δh =0º Logo, durante a queda, há uma diminuição de energia potencial gravitacional Δ. É possível observar que, como trata a definição, a variação de energia potencial gravitacional é positiva toda vez que trabalho da força peso é negativo e vice-versa. É importante ter em mente que o trabalho da força peso não depende da trajetória, mas somente da diferença de altura entre dois pontos. Observe. *Força Conservativa: Uma força é dita conservativa quando o seu trabalho é independente da trajetória. Exemplos: Força gravitacional e Força Elástica
Como a potencial é definida por uma variação, ainda temos como interpretar: Δ = +, Na demonstração acima, vamos calcular o trabalho da força peso que faz com que o bloco desça o plano inclinado uma distância sobre o plano. Descendo esta distância, o bloco desce verticalmente a altura h também marcada na figura. Repare que cos=. O trabalho da força peso, neste caso é calculada por: = cos Entretanto é impossível determinar uma energia potencial gravitacional em determinado ponto. Pela definição, só é possível determinar a variação da potencial gravitacional. Para trabalhar com esta definição em termos finais e inicias, é necessário fixar uma potencial gravitacional como zero (normalmente no ponto mais baixo de uma trajetória) e calcular a outra como: = h No exemplo da montanha russa, fixando a potencial como zero no ponto =0, podemos calcular as potenciais no ponto A, B e C respectivamente como - = h ' = h = h Positivo pois o ângulo é menor que 90º. No caso do mesmo objeto subindo temos a mesma representação porém com o ângulo entre as forças maior que 90º. E, no ponto D,. = h ( / = h * 0 =0 h =0 Em geral, esta apresentação basicamente demostra que o trabalho da força gravitacional (ou força peso) depende somente da diferença de altura entre dois pontos e, também, se é um movimento de subida ( <0) ou e descida ( >0). Para o caso da montanha russa (caso clássico) temos: ENERGIA POTENCIAL ELASTICA Observemos agora o caso da energia potencial elástica Δ : Imagine que uma mola com constante elástica 3 seja comprimida até uma posição 4 5 a partir da sua posição de equilíbrio (4 6 =0 ). Sabendo a força que a mola exerce conforme o deslocamento é dada por = 3 4, chamada força restauradora, calcula-se o trabalho desta força durante a compressão da mola como: com 4 6 =0, temos 7 = 34 6 8 3 4 8 5 O trabalho da força peso no carrinho entre os pontos A e B é dada por: # %=+ h ' h ( Enquanto do ponto B para o ponto C é dado por % )= h * h ( A variação da potencial gravitacional, oposta ao trabalho da força peso, então: Δ # %= h ' h ( Δ % )=+ h * h ( 7 = 34 5 8 o que é um resultado plausível uma vez que o deslocamento de compressão é contra a direção da força restauradora, que força a mola a sempre voltar para sua posição de equilíbrio: =4 5 : 7 = 3 4 5 : = Assim, a variação de energia potencial elástica neste caso será: Δ 7 = 7 Δ 7 = > 34 5 8? Δ 7 = 3 4 5 8
que é um resultado que permite a compreensão de que houve aumento de energia potencial elástica. Em uma outra intepretação, pode-se dizer que a potencialidade da mola voltar ao lugar aumentou a medida que ela era comprimida. Novamente é importante reparar que a energia potencial elástica toma como base um referencial em x, onde a posição de equilíbrio da mola é em 4=0. Da mesma forma que para a potencial gravitacional, para a energia potencial elástica, segundo a equação (4) 7 = @ 8 3 48 Δ 7 = 7+ 7, Δ 7 = 7+ 7, Δ 7 = 34 5 8 3 4 8 6 para uma mola que tem o ponto de equilíbrio em 4=0. - exemplo Exercício 3, Capítulo 8 (Halliday) Na Fig. 8-3 um floco de gelo de.00 g é liberado na borda ele uma taça hemisférica com.0 cm de raio. Não há atrito no contato do floco com a taça. (a) Qual é o trabalho realizado sobre o floco pela força gravitacional durante a sua descida até o fundo da taça? (b) Qual é a variação da energia potencial do sistema floco Terra durante a descida? (c) Se essa energia potencial é tomada como sendo nula no fundo da taça, qual é seu valor quando o floco é solto? (d) Se, em vez disso. a energia potencial é tomada como sendo nula no ponto onde o floco é solto, qual é o seu valor quando o floco atinge o fundo da taça? (e) Se a massa do floco fosse duplicada. os valores das respostas dos itens de (a) a (d) aumentariam diminuiriam ou permaneceriam os mesmos? também aponta nesta direção, definimos o trabalho simplesmente como = Δ= A=0.00 9.8 0. =0.0043IJ4.3 0 KL I (b) Para calcular a variação da energia potencial gravitacional durante a descida é necessário tomar um referencial. Tomemos o fundo da tigela como sendo o ponto onde a altura é zero. Assim, podemos definir integralmente que Δ = Δ = 4.3 0 KL I que é um resultado plausível visto que a altura do floco de gelo diminui, diminuindo sua potencialidade de descer. (c) Tomando a energia potencial como nula (igual a zero) no fundo da tigela, entende-se que consideramos o ponto em que =0 no fundo da tigela. Assim, a potencial gravitacional final do movimento é nula, Δ = 5 6 4,3 0 KL =0 6 6 =4,3 0 KL I (d) Se tomarmos a energia potencial como nula no ponto onde o floco foi solto, estaremos assumindo que a potencial gravitacional no início do movimento é nula, Δ = 5 6 4,3 0 KL = 5 0 5 = 4,3 0 KL I Tanto na letra (c) quanto na (d), é importante ter em mente que a variação da potencial gravitacional é constante independente de onde tomarmos a potencial como nula. A potencial em determinado ponto é arbitrária, enquanto a variação da potencial é fixa e depende inteiramente do trabalho da força peso. (e) Os valores positivos aumentariam e os valores negativos diminuiriam. (a) O trabalho realizado pela força peso é dado como: = Porém, o peso, apontado integralmente para baixo, contribui somente pela mudança vertical de posição. A curvatura sofrida pelo floco de gelo ao deslizar pela tigela é ação do contato entre a tigela e o floco,, o deslocamento sofrido pelo floco é do ponto mais alto da tigela até o ponto mais baixo, que possuem uma distância vertical de A (raio da tigela) entre eles. Como o deslocamento é de cima para baixo e a força peso (*) Resolver exercício 7 Pêndulo simples - A Fig. 8-34 mostra uma haste fina, de comprimento N =.00 e massa desprezível, que pode girar em torno de uma das extremidades para descrever uma circunferência vertical. Uma bola de massa = 5.00 3 está presa na outra extremidade. A haste é puxada lateralmente até fazer um ângulo P = 30.0º com a vertical e liberada com velocidade inicial Q P =0. Quando a bola desce até o ponto mais baixo da circunferência, (a) qual é o trabalho realizado sobre ela pela força gravitacional e (b) qual é a variação da energia potencial do sistema bola-terra? (c) Se a energia potencial gravitacional é tomada como sendo zero no
ponto mais baixo da circunferência, qual é seu valor no momento em que a bola é liberada? É importante frisar que forças conservativas são forças que dentro de um circuito fechado não realizam trabalho. A força peso e a força elástica são forças deste tipo. Faça dois experimentos mentais e verifique: Calcular o trabalho da força peso em um lançamento vertical pleno de subida e descida, desde o momento em que o objeto de massa m é lançado para cima até quando é recebido novamente na mão. Calcular o trabalho de uma mola ideal em uma oscilação completa, ou seja, 4 6 =4 5. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA MECÂNICA A energia mecânica em um sistema mecânica é dada pela soma da energia potencial e cinética - Definição (5) R STU =V+ Em um sistema com ausência de forças dissipadoras (forças de atrito, arrasto, etc.) ou externas a energia se conserva. Observe uma constatação simples disto: - exemplo: exercício 9, capítulo 8 (Halliday) - Na Fig. 8-36 um caminhão perdeu os freios quando estava descendo uma ladeira a 30 7S e o motorista dirigiu o veículo para uma rampa de emergência sem atrito com uma inclinação =5º. A massa do caminhão é. 0 Y 3. (a) Qual é o menor comprimento L que a rampa deve ter para que o caminhão pare (momentaneamente) antes de chegar ao final? (Suponha que o caminhão pode ser tratado como uma partícula e justifique essa suposição.) O comprimento mínimo L aumenta, diminui ou permanece o mesmo (b) se a massa do caminhão for menor e (c) se a velocidade for menor? Sabe-se que e que ΔV= temos que (6) ΔV= Δ que pode ser reescrito como Δ= V 5 V 6 = W 5 6 X V 5 V 6 = 5 + 6 (7) V 5 + 5 =V 6 + 6 que demonstra que, para um sistema onde não há forças dissipadoras ou externas, que a soma de V e de em qualquer estado do sistema é igual. Segundo o próprio Halliday temos: Em um sistema isolado, onde apenas foças conservativas causam variações de energia, a energia cinética e a energia potencial podem variar, mas sua soma, a energia mecânica, R STU do sistema, não pode variar. Isto é conhecido como conservação de energia, que pode ser escrita, ainda as seguinte forma: (a) Para problemas envolvendo conservação de energia uma das táticas mais úteis é definir estados inicial e final da situação estudada. Aqui podemos definir como inicial a base da subida e a final como sendo o ponto mais alto da rampa que o caminhão alcança. Definamos, então, para a energia potencial como ponto de altura h 6 =0 a base da subida. Logo, no ponto mais alto teremos altura h 5 =h. Porém, é necessário encontrar uma relação de h com N, e isso se dá observando o triangulo formado na rampa, onde temos, para o ângulo, a altura h como o cateto oposto e N como hipotenusa, : Z[\= h h=n Z[\ N Para os estados inicial e final definimos as velocidades: Q 6 =30 3 h =36. Z Q 5 =0 Z (8) ΔR STU =0 ΔV+Δ=0
Repare que Q 5 =0 S^, pois é o ponto mais alto da subida de emergência, onde o caminhão para momentaneamente. Aplicando a conservação de energia teremos: (7) V 5 + 5 =V 6 + 6 V 5 =0 (9-) N= _,` 8a ^Tbc N= 6 = h 6 =0 V 6 = 5 Q 8 6 = h 5 Q 6 8 = h Q 6 8 = N Z[\ 36. 8 9.8 sin5º J57 (b) verifique que a massa não influencia em nada segunda a equação (9-) (c) se a velocidade for menor, segundo a equação (9-), o comprimento necessário será significativamente menor devido ao quadrado da velocidade. (*) Resolver exercício capítulo 8 (Halliday) - Um bloco de massa =.03 é deixado cair de uma altura h = 40 g sobre uma mola de constante elástica 3 = 960 h (Fig. 8-38). S Determine a variação máxima de comprimento da mola ao ser comprimida. A força de atrito, como já visto no capítulo anterior, é uma força que é sempre contrária ao movimento e, por esta natureza, exerce sempre um trabalho negativo, ou seja, contra o sistema. Vamos definir a variação de energia térmica, associada ao aquecimento das superfícies como o negativo do trabalho do atrito: (9) ΔR itj = 5U Desta forma, quanto mais negativo o trabalho da força de atrito (ou seja, quanto mais a força de atrito cinético se opõe ao movimento), maior será a variação da energia térmica, ou ainda, maior o aumento da temperatura. Assim temos: 5U =k U 5U =k U cos =80º 5U = l U = ΔR itj = l U = (0) ΔR itj =l U = Em um sistema em que há atrito entre as superfícies, a energia mecânica do sistema vai sendo dispersada em energia térmica por meio da força de atrito. Assim, visto que há decrescimento de uma e crescimento de outra, podemos definir a conservação geral de energia, para nosso estudo, como () ΔR STU = ΔR itj - exemplo: capítulo 8, exercício 53 (Halliday) - Na Fig. 8-53 um bloco desliza ao longo de uma pista, de um nível para outro mais elevado, passando por um vale intermediário. A pista não possui atrito até o bloco atingir o nível mais alto, onde uma força de atrito pára o bloco em uma distância d. A velocidade inicial Q P do bloco é de 6.0 m/s, a diferença de altura h é.m e l 7 é 0.60. Determine d. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Em sistemas mais próximos da realidade, normalmente não há conservação de energia mecânica. Em sistemas mecânicos, em especial, normalmente existe dispersão da energia mecânica em alguma outra forma de energia. Quando se trabalha com objetos em contato e que deslizam sobre si com atrito, de uma maneira simples associa-se a variação da energia mecânica (ΔR STU ) ao consumo da mesma pelo aumento de temperatura do sistema, afinal de contas, o atrito gera algum aquecimento das superfícies, mesmo que imperceptível. Trabalharemos aqui com esta concepção. Durante a primeira parte do movimento, antes da área com atrito, há conservação plena da energia mecânica. Após o atrito não há. Para a parte com conservação definamos o estado inicial em que o bloco foi lançado e o estado final em que o bloco entra na área com atrito. Segundo a equação () ΔR STU = ΔR itj ΔV+Δ= W 5m X V 5 V 6 + 5 6 = 5m
Aqui se torna necessário definir um referencial para a energia potencial que é exclusivamente gravitacional. É suficiente considerar o ponto de partida como energia potencial zero, isso torna 6 =0, Qk 8 Q 6 8 + h= k U Sabendo que quando o bloco entrar na região com atrito necessitará de uma distância para parar, temos que Q 5 =0, Q 6 8 + h= l U = Repare que == para o tempo em que o bloco desliza sobre a região com atrito, Q 6 8 + h= l U Q 6 8 + h= l U Assim temos: Q 6 8 + h= l U = Q 6 8 h l U = 68 9.8. 0.6 9.8 =. (*) Resolver exercício 55, capítulo 8 - Na Fig.8-54,um bloco de 3.5 kg é acelerado a partir do repouso por uma mola comprimida de constante elástica 640 h S. O bloco deixa a mola no seu comprimento relaxado e se desloca em um piso horizontal com um coeficiente de atrito cinético l 7 = 0.5. A força de atrito para o bloco em uma distância n = 7.8. Determine (a) o aumento de energia térmica do sistema blocopiso, (b) a energia cinética máxima do bloco e (c) o comprimento da mola quando estava comprimida.