COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS UTILIZADOS NO TRATAMENTO DE DADOS AUTOCORRELACIONADOS NO CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO Fernando de Jesus Moreira Junior (UFSM) fmjunior@smail.ufsm.br Enio Junior Seidel (UFSM) ejrseidel@hotmail.com Luis Felipe Dias Lopes (UFSM) phil.zaz@terra.com.br Este trabalho tem por objetivo apresentar uma comparação entre alguns métodos utilizados no tratamento de processos que apresentam dados autocorrelacionados no Controle Estatístico do Processo. A comparação foi realizada através do desempennho da aplicação dos métodos investigados em duas situações reais apresentadas por Moreira (2005). Os resultados mostraram que os melhores métodos para o tratamento da autocorrelação, nos estudos de caso analisados, foram: o monitoramento dos resíduos, através de Gráfico de Controle, após o ajuste por um Modelo ARIMA nos dados; o método de Gilbert et al. (1997); e o método de Vasilopoulos e Stamboulis (1978) que utiliza o desvio padrão de todas as amostras. Esses métodos onseguiram remover com eficiência o efeito da autocorrelação. Por outro lado, os métodos que não apresentaram bom desempenho nos estudos de caso analisados, foram: o método de Vasilopoulos e Stamboulis (1978) que utiliza o desvio padrão de todos os subgrupos, o método de Wheeler (1995); e o Gráfico de Controle EWMA com linha central móvel, proposto por Montgomery e Mastrangelo (1991). Palavras-chaves: CEP, modelos ARIMA, dados autocorrelacionados
1.1. 1. Introdução O Controle Estatístico do Processo (CEP) tem sido amplamente utilizado no monitoramento de variáveis características de processos. As suposições para a implantação do CEP são que as observações devem ser independentes e normalmente distribuídas (MOREIRA & CATEN, 2004). Entretanto na prática, muitas vezes, a suposição de independência é violada pelo fato de que as observações apresentam autocorrelação. Dessa forma, o CEP não funciona corretamente, pois pode possivelmente resultar em falsos alarmes, isto é, conclusões errôneas quanto a estabilidade do processo. No caso de dados autocorrelacionados, é necessário tratar os dados e depois controlá-los estatisticamente (Moreira, 2005). Este trabalho tem por objetivo apresentar uma comparação entre alguns métodos utilizados no tratamento de processos que apresentam dados autocorrelacionados no Controle Estatístico do Processo. A comparação é realizada através do desempenho da aplicação dos métodos investigados em duas situações reais apresentadas por Moreira (2005). Todos os métodos analisados nesse trabalho pressupõem que os dados possam ser ajustados por algum modelo ARIMA. 2. Métodos Utilizados no Tratamento de Dados Autocorrelacionados no Controle Estatístico do Processo Nessa seção, alguns métodos para o tratamento do problema da autocorrelação, que pressupõem que os dados possam ser ajustados por algum modelo ARIMA, são brevemente apresentados com suas características, vantagens e desvantagens. 2.1. Aplicação de Gráfico de Controle para os Resíduos Montgomery (2004) propõe quatro alternativas para tratar os dados autocorrelacionados: ajuste de um modelo ARIMA (auto-regressivo integrado e de média móvel) e aplicação de um gráfico de controle padrão para resíduos (por exemplo, gráfico de observações, média móvel, CUSUM soma acumulada, ou EWMA média móvel exponencialmente ponderada), os gráficos de controle EWMA com linha central móvel com limites de controle baseados na variância dos erros de predição, uso de uma abordagem livre de modelo, ou uso de um Controlador de Engenharia (EPC Engineering Process Control). Um dos tratamentos sugeridos e um dos mais utilizados é o monitoramento dos resíduos através de um gráfico de controle tradicional de Shewhart após o ajuste por um modelo ARIMA adequado. 2.2. O Método de Vasilopoulos e Stamboulis Vasilopoulos & Stamboulis (1978) estudaram técnicas para adaptar os valores das constantes auxiliares, utilizadas no CEP tradicional, aos casos onde a série possui um comportamento AR(1) ou AR(2). Essas técnicas consistem em utilizar os limites baseados no desvio padrão das amostras e na média do desvio padrão dos subgrupos. Dessa forma, existe uma alteração nos limites de controle dos gráficos de controle tradicionais, de acordo com o nível de autocorrelação detectado. Os valores dessas constantes foram tabulados e podem ser encontrados em Vasilopoulos (1974). 2.3. O Método de Gilbert et al. 2
Muitas vezes os limites de controle superior e inferior para a média são calculados com base na amplitude média. Nesse caso, Gilbert et al. (1997) propõem que o cálculo dos limites de controle seja baseado na amplitude móvel. Para modelos AR(1), os valores obtidos das constantes utilizadas no cálculo dos limites de controle através desse método foram tabulados e apresentados em Gilbert et al. (1997). 2.4. O Método de Wheeler Semelhantemente ao método de Gilbert et al. (1997), Wheeler (1995), apud Young e Winistorfer (2001) propôs uma forma alternativa para calcular os valores das constantes utilizadas nos limites de controle superior e inferior para a média com base na amplitude móvel, utilizando a amplitude móvel, também para o caso dos Modelos AR(1). 2.5. O Gráfico de Controle EWMA com Linha Central Móvel, proposto por Montgomery e Mastrangelo Montgomery & Mastrangelo (1991) propuseram um método chamado de gráfico de controle EWMA com linha central móvel (Moving Centerline EWMA Control Chart), que, segundo eles, possui os mesmos resultados de um gráfico de controle para resíduos resultante de um modelo ajustado em um processo com autocorrelação positiva. Por outro lado, esse método não possui um bom desempenho para autocorrelação negativa. 3. Resultados e discussões Neste item são abordados dois estudos de caso apresentados por Moreira (2005) que tratam de monitorar a variável densidade, medida em gramas por litro (g/l), que é uma variável critica do processo de extrusão pertencente a uma etapa na fabricação de dois produtos de ração para animais de estimação. 3.1. Estudo da Ração A O produto A consiste em quatro variações de um tipo de ração, porém nessa análise não foram consideradas essas variações, devido a pouca quantidade de dados coletados. Foram coletadas 79 amostras de tamanho n = 3, num período de 2 dias. Para a obtenção do gráfico de controle tradicional aplicado aos resíduos, conforme a Figura 1, o melhor modelo ajustado foi um AR(3). Pode-se constatar que existe apenas uma causa especial (amostra 47). 40,0 30,0 20,0 10,0 0,0-10,0-20,0-30,0-40,0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 7173 75 3
Figura 1 Gráfico de Controle para os Resíduos da densidade da Ração A Para dar procedência às análises seguintes, foi necessário ajustar um modelo AR(1) para os dados da densidade da Ração A, pois essas técnicas foram estudadas somente para essa situação. O gráfico de controle da Figura 2 apresenta os limites de controle baseados no cálculo do desvio padrão de todas as amostras, proposto por Vasilopoulos e Stamboulis (1978). Nota-se que há poucas causas especiais na utilização dessa análise. 420,00 410,00 320,00 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 Figura 2 Gráfico de Controle para a densidade da Ração A com os limites de controle baseados no cálculo do desvio padrão de todas as amostras, proposto por Vasilopoulos e Stamboulis (1978) O gráfico de controle da Figura 3 apresenta os limites de controle baseados no cálculo da média dos desvios padrões de todos os subgrupos, proposto por Vasilopoulos e Stamboulis (1978). Nesse caso, percebe-se a presença de diversas causas especiais. 420,00 410,00 320,00 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 4
Figura 3 Gráfico de Controle para a densidade da Ração A com os limites de controle baseados no cálculo da média dos desvios padrões de todos os subgrupos, proposto por Vasilopoulos e Stamboulis (1978) O gráfico de controle da Figura 4 apresenta os limites de controle baseados no cálculo da amplitude móvel, utilizando um passo igual a dois. Esse método, proposto por Gilbert et al. (1997) apresenta apenas uma causa especial. 420,00 410,00 320,00 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 Figura 4 Gráfico de Controle para a densidade da Ração A com os limites de controle baseados no cálculo da amplitude móvel, proposto por Gilbert et al. (1997) O gráfico de controle da Figura 5 apresenta os limites de controle baseados no cálculo da amplitude móvel, utilizando um passo igual a 2. Nesse método, proposto por Wheeler (1995), apud Young e Winistorfer (2001), apresenta algumas causas especiais a mais. 420,00 410,00 320,00 1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 Figura 5 Gráfico de Controle para a densidade da Ração A com os limites de controle baseados no cálculo da amplitude móvel, proposto por Wheeler (1995), apud Young e Winistorfer (2001) 5
O gráfico da Figura 6 apresenta os dados aplicados ao Gráfico de Controle EWMA com linha central móvel, proposto por Montgomery e Mastrangelo (1991). Algumas causas especiais são encontradas, porém uma análise visual do gráfico não permite discernir com clareza quais são exatamente esses pontos. 400 390 380 370 360 Dados 350 340 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 Figura 6 Gráfico de Controle EWMA com linha central móvel para a densidade da Ração A, proposto por Montgomery e Mastrangelo (1991) A Tabela 1 apresenta um comparativo entre as técnicas utilizadas para os dados da densidade da Ração A. Nota-se que o método proposto por Gilbert et al. (1997), apesar de ter sido baseado em um Modelo AR(1), possui um desempenho semelhante ao método do monitorameno dos resíduos, inclusive identificando a mesma causa especial desse. O método de Vasilopoulos e Stamboulis (1978) que utiliza o desvio padrao de todas as amostras também apresentou um resultado razoavelmente bom. Os demais métodos não conseguiram remover todo o efeito da autocorrelação, o que ocasionou uma identificação de muitas supostas causas especiais. Isso se deve pelo fato que esses métodos não foram eficientes na remoção da autocorrelação, no estudo de caso analisado. Método Quantidade de causas especiais identificadas Aplicação de Gráfico de Controle para os Resíduos 1 Método de Vasilopoulos e Stamboulis (1978) utilizando o desvio padrao de todas as amostras Método de Vasilopoulos e Stamboulis (1978) utilizando o desvio padrao de todos os subgrupos Método de Gilbert et al. (1997) 1 Método de Wheeler (1995) 5 Gráfico de Controle EWMA com linha central móvel, proposto por Montgomery e Mastrangelo (1991) 2 49 9 6
3.1. Estudo da Ração B Tabela 1: comparativo entre as técnicas utilizadas Ração A O produto B consiste em quatro variações de um tipo de ração, porém, assim como no caso do produto A, nessa análise não foram consideradas essas variações. Foram coletadas 124 amostras de tamanho n = 3, num período de 3 dias. Para a obtenção do gráfico de controle tradicional aplicado aos resíduos, conforme a Figura 7, o melhor modelo ajustado também foi um AR(3), como no caso anterior. Entretanto, dessa vez não foram identificadas causas especiais. 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0-5,0-10,0-15,0-20,0-25,0 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 Figura 7 Gráfico de Controle para os Resíduos da densidade da Ração B Como no caso da Ração A, para dar procedência às análises seguintes, foi necessário ajustar um modelo AR(1) para os dados da densidade da Ração B, pois essas técnicas foram estudadas somente para essas situação. O gráfico de controle da Figura 8 apresenta os limites de controle baseados no cálculo do desvio padrão de todas as amostras, proposto por Vasilopoulos e Stamboulis (1978). Nota-se que há apenas uma causa especial na utilização dessa análise. 7
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 Figura 8 Gráfico de Controle para a densidade da Ração B com os limites de controle baseados no cálculo do desvio padrão de todas as amostras, proposto por Vasilopoulos e Stamboulis (1978) O gráfico de controle da Figura 9 apresenta os limites de controle baseados no cálculo da média dos desvios padrões de todos os subgrupos, proposto por Vasilopoulos e Stamboulis (1978). Nesse caso, percebe-se a presença de algumas causas especiais. 1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 Figura 9 Gráfico de Controle para a densidade da Ração B com os limites de controle baseados no cálculo da média dos desvios padrões de todos os subgrupos, proposto por Vasilopoulos e Stamboulis (1978) O gráfico de controle da Figura 10 apresenta os limites de controle baseados no cálculo da amplitude móvel, utilizando um passo igual a dois. Esse método, proposto por Gilbert et al. (1997) apresenta apenas uma causa especial. 8
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 Figura 10 Gráfico de Controle para a densidade da Ração B com os limites de controle baseados no cálculo da amplitude móvel, proposto por Gilbert et al. (1997) O gráfico de controle da Figura 11 apresenta os limites de controle baseados no cálculo da amplitude móvel, utilizando um passo igual a 2. Nesse método, proposto por Wheeler (1995), apud Young e Winistorfer (2001), apresenta mais causas especiais. 1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 Figura 11 Gráfico de Controle para a densidade da Ração B com os limites de controle baseados no cálculo da amplitude móvel, proposto por Wheeler (1995), apud Young e Winistorfer (2001) O gráfico da Figura 12 apresenta os dados aplicados ao Gráfico de Controle EWMA com linha central móvel, proposto por Montgomery e Mastrangelo (1991). Algumas causas especiais são encontradas principalmente até a metade da série, porém uma análise visual do gráfico não permite discernir com clareza quais são exatamente esses pontos. 9
400 390 380 370 360 350 Dados 340 330 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109 115 121 Figura 12 Gráfico de Controle EWMA com linha central móvel para a densidade da Ração B, proposto por Montgomery e Mastrangelo (1991) A Tabela 2 apresenta um comparativo entre as técnicas utilizadas para os dados da densidade da Ração B. Nota-se que o método do monitorameno dos resíduos foi o único que não registrou nenhuma causa especial, ou seja, a remoção da autocorrelação foi satisfatória. Os métodos de Gilbert et al. (1997) e de Vasilopoulos e Stamboulis (1978) que utiliza o desvio padrao de todas as amostras também apresentaram um resultado razoavelmente bom, assinalando apenas uma causa especial. Os demais métodos não conseguiram remover todo o efeito da autocorrelação, o que ocasionou uma identificação de muitas supostas causas especiais. Isso se deve pelo fato que esses métodos não foram eficientes na remoção da autocorrelação, no estudo de caso analisado. Os resultados obitidos no estudo de caso da Ração B foram condizentes com os resultados obitidos no estudo de caso da Ração A. Método Quantidade de causas especiais identificadas Aplicação de Gráfico de Controle para os Resíduos 0 Método de Vasilopoulos e Stamboulis (1978) utilizando o desvio padrao de todas as amostras Método de Vasilopoulos e Stamboulis (1978) utilizando o desvio padrao de todos os subgrupos Método de Gilbert et al. (1997) 1 Método de Wheeler (1995) 11 Gráfico de Controle EWMA com linha central móvel, proposto por Montgomery e Mastrangelo (1991) Tabela 2: comparativo entre as técnicas utilizadas Ração B 1 8 13 10
5. Conclusões Os resultados mostraram que os melhores métodos para o tratamento da autocorrelação, nos estudos de caso analisados, foram: o monitoramento dos resíduos, através de Gráfico de Controle, após o ajuste por um Modelo ARIMA nos dados; o método de Gilbert et al. (1997); e o método de Vasilopoulos e Stamboulis (1978) que utiliza o desvio padrao de todas as amostras. Esses métodos onseguiram remover com eficiência o efeito da autocorrelação. Por outro lado, os métodos que não apresentaram bom desempenho nos estudos de caso analisados, foram: o método de Vasilopoulos e Stamboulis (1978) que utiliza o desvio padrao de todos os subgrupos, o método de Wheeler (1995); e o Gráfico de Controle EWMA com linha central móvel, proposto por Montgomery e Mastrangelo (1991). Esses métodos não conseguiram remover com eficiência o efeito da autocorrelação nos estudos de caso analisados. Referências GILBERT, K. C.; KIRBY, K.; HILD, C. R. Charting Autocorrelated Data: Guidelines for Practitioners. Quality Engineering, 9(3), p. 367-382, 1997. MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 4ª Edição. LTC, 2004. MONTGOMERY, D. C.; MASTRAGELO, C. M. Some Statistical Process Control Methods for Autocorrelated Data. Journal of Quality Technology, v. 23, n. 3, p. 179-193, 1991. MOREIRA, F. J. J. Proposta de um Método para Controle Estatístico de Processo para Observações Autocorrelacionadas. Porto Alegre, 2005. Dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção Escola de Engenharia, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. MOREIRA, F. J. J.; CATEN, C. S. T. Proposta de uma carta de controle estatístico de dados autocorrelacionados. In XXIV ENEGEP. Florianópolis. Anais, Rio de Janeiro, 2004. VASILOPOULOS, A. V.; STAMBOULIS, A. P. Modification of Control Chart Limits in the Presence of Data Correlation. Journal of Quality Technology, v. 10, n. 1, p. 20-30, 1978. YOUNG, T. M.; WINISTORFER, P. M. The Effects of Autocorrelation on Real-Time Statistical Process Control with Solutions for Forest Products Manufacturers. Forest Products Journal, v. 51, n. 11/12, p. 70-77, 2001. 11