UMA EXTENSÏ ½O DA HEURÏ ½STICA DE CLARKE E WRIGHT PARA DESIGNAÏ ½Ï ½O DE ENTREGADORES EXTRAS EM ROTAS DE VEÏ ½CULOS

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1 XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Maturidade e desafios da Engenharia de Produção: competitividade das empresas, condições de trabalho, meio ambiente. São Carlos, SP, Brasil, 12 a15 de outubro de UMA EXTENSÏ ½O DA HEURÏ ½STICA DE CLARKE E WRIGHT PARA DESIGNAÏ ½Ï ½O DE ENTREGADORES EXTRAS EM ROTAS DE VEÏ ½CULOS Vanessa de Oliveira Ferreira (UFSCar) vanoferr@gmail.com Vitória Pureza (UFSCar) vpureza@power.ufscar.br A busca pela excelï ½ncia no atendimento ï ½ demanda de clientes tem feito com que empresas busquem novos procedimentos operacionais. No caso de empresas do setor de bebidas, onde tempos de serviï ½o em cada ponto de demanda sï ½o altos, deeve-se superar a dificuldade em atender aos pedidos diï ½rios dentro da jornada de trabalho estabelecida. Neste trabalho ï ½ tratado o problema de roteamento de veï ½culos com o objetivo de minimizar o nï ½mero de nï ½s de parada de veï ½culos nï ½o atendidos em uma dada jornada de trabalho. Para este problema, propï ½e-se uma extensï ½o da heurï ½stica de Clarke e Wright com designaï ½ï ½o de entregadores extras ï ½s rotas geradas. Os resultados da heurï ½stica sï ½o observados com um pequeno exemplo gerado a partir de uma instï ½ncia da literatura. Palavras-chaves: Roteamento de Veï ½culos. Designaï ½ï ½o de Entregadores Extras. Mï ½todos Heurï ½sticos. Logï ½stica e Distribuiï ½ï ½o.

2 1. Introdução Problemas de roteamento de veículos se resumem a geração de rotas para atendimento de demandas, as quais podem se apresentar na forma tanto de prestação de serviço, como de coleta e/ou entrega de pessoas ou mercadorias em uma determinada região geográfica ou espacial. Um dos principais objetivos encontrados nas aplicações é o de obter rotas que atendam a demanda com o menor custo possível, o qual pode ser descrito pelo número de veículos necessários, distância total percorrida e/ou tempo total dispendido. A grande maioria dos problemas de roteamento de veículos tem natureza combinatória, e é considerada de difícil resolução, o que explica os contínuos esforços de pesquisa e de desenvolvimento de métodos para o seu tratamento. Revisões sobre problemas de roteamento de veículos, métodos e aplicações associados, podem ser encontrados em Bodin et al. (1983), Assad (1988), Ronen (1988), Hall e Partyka (1997) e Laporte et al. (2000). Com o desenvolvimento dos métodos de roteamento e da tecnologia em computadores, sistemas computacionais especializados em roteamento foram criados, permitindo que o planejamento operacional de veículos pudesse ser realizado de forma automática e rápida, e integrado à operação diária. Estes softwares armazenam e disponibilizam, além dos dados e localização dos clientes, informações da malha viária, com sentido, direções possíveis, velocidades permitidas e restrições de tráfego. A partir destes dados, algoritmos fornecem para cada veículo, a sequência de visitas e a programação dos horários de suas atividades. A utilização destes softwares permite que as empresas realizem a distribuição de forma a obter resultados satisfatórios no mercado. Apesar destes esforços, novas situações práticas surgem e definem variações do problema para as quais os métodos existentes podem não ser os mais adequados, como por exemplo, a dificuldade em atender a todas as demandas dentro da jornada de trabalho estabelecida, quando os tempos de serviço existentes em cada ponto de demanda são altos. Uma situação enfrentada por empresas com atividades de entrega de produtos em centros urbanos é aquela em que pontos de demanda próximos entre si têm associado um ponto de parada para o veículo que os irá servir. A entrega das cargas de cada ponto de demanda de um dado ponto de parada é então realizada pelo entregador que visita os clientes a pé. Note que se a quantidade de entregadores em cada rota for maior que um, os tempos de serviço serão afetados e, portanto, os tempos de conclusão do serviço. E estes, por sua vez, se refletem no número de clientes que podem ser atendidos em um dado dia de serviço. Esta nova realidade incentiva o estudo de um problema pouco ou ainda não explorado na literatura. Com tal objetivo, este trabalho propõe uma extensão da heurística de roteamento de veículos de Clarke e Wright (1964) com designação de entregadores extras às rotas geradas. A heurística proposta é aplicada a um pequeno exemplo gerado a partir de uma instância da literatura. Os resultados obtidos nesta aplicação são comparados aos fornecidos pela heurística original de Clarke e Wright. O restante deste artigo é organizado como se segue. A Seção 2 descreve o problema de roteamento de veículos. A Seção 3 revisa algumas contribuições relevantes da literatura. A Seção 4 discute a aplicação prática que justifica este estudo, e na Seção 5 é apresentada a a extensão da heurística proposta. A Seção 6 apresenta o pequeno modelo desenvolvido para ilustrar a aplicação do problema e os resultados obtidos para a instância gerada, seguida de conclusões e próximos passos da pesquisa na Seção 7. 2

3 2. O problema de roteamento de veículos O problema de roteamento de veículos clássico (PRV) consiste na definição de rotas realizadas por uma frota homogênea e capacitada que parte e retorna a um único depósito. A frota deve satisfazer a demanda por coleta ou entrega de bens de um conjunto de clientes, com localização espacial e demanda conhecidas. Cada cliente (nó) deve ter sua demanda totalmente atendida por um único veículo. A demanda total dos clientes não deve exceder a capacidade total do veículo designado para a rota, assim como o tempo total de cada rota (composto por tempos de deslocamento do veículo e do serviço em cada cliente) não deve exceder um limite pré-estabelecido, correspondente ao fim da jornada de trabalho. Na versão do PRV considerada neste trabalho, os nós a serem roteados correspondem aos pontos de parada dos veículos, de maneira que cada nó representa um grupo de clientes próximos entre si e previamente especificados, e a demanda do nó corresponde ao somatório das demandas destes clientes. A Figura 1 ilustra os nós (pontos de parada) a serem atendidos por um único despósito e as rotas geradas pela aplicação de um PRV. Figura 1 Ilustração da geração de rotas pela aplicação de um PRV. 3. Métodos heurísticos para a solução do problema de roteamento de veículos estático Reeves (1993) define heurística como uma técnica que busca boas soluções, com um custo computacional razoável sem a garantia de otimalidade ou factibilidade e, em muitos casos, incapaz de declarar o quão próxima uma solução factível está da solução ótima. Os métodos heurísticos exploram uma área relativamente limitada do espaço de soluções, porém, quando bem projetados, produzem boas respostas com tempo computacional satisfatório. Ao longo dos anos, diversas heurísticas têm sido propostas para a resolução do PRV. Segundo Laporte et al. (2000) as heurísticas podem ser classificadas em duas classes principais: heurísticas clássicas e metaheurísticas. Alguns trabalhos (MARINAKIS e MIGDALAS, 2002; CORDEAU et al., 2002) classificam as heurísticas clássicas em três tipos: métodos construtivos, métodos de duas fases e métodos de melhoria. Também é comum encontrar trabalhos (GENDREAU et al., 1994) em que consta uma quarta classe, o método de otimização incompleta. Heurísticas construtivas criam rotas através da adição sucessiva de clientes nas rotas em formação, conforme algum critério estabelecido (SIMAS, 2007). Dentre os métodos construtivos, pode-se citar o algoritmo de Clarke e Wright (1964), o algoritmo de varredura 3

4 (Gillet e Miller, 1974), algoritmo de pétalas (BALINSKI e QUANDT, 1964), e o algoritmo cluster-first, route second de Fisher e Jaikumar (1981). Heurísticas de melhoria, por sua vez, visam aprimorar uma solução inicial através da troca ou exportação de clientes entre as rotas. Este método pode ser usado para melhoria de uma única rota (intra-rota) ou de várias rotas (entre-rotas) (SIMAS, 2007). Segundo Laporte et al. (2000), a maioria dos métodos de melhoria intra-rotas podem ser descritos a partir dos mecanismos k-opt de Lin (1965). Referências de heurísticas de melhoria podem ser encontradas em Osman (1993), Thompson e Psaraftis (1993), Breedam (1994), Kinderwater e Savelsbergh (1997), entre outros. 4. Motivação O problema de roteamento de veículos aqui tratado é motivado por uma situação real de uma empresa de grande porte do setor de bebidas. Um dos maiores problemas da empresa em relação à comercialização dos produtos é devido aos tempos de serviço relativamente longos nos nós de parada e que geralmente resultam na violação da jornada de trabalho. A elaboração das rotas é realizada por um sistema de roteamento comercial. Os pedidos de vendas são gerados no dia anterior à entrega dos produtos (até as 18:00 h), sendo então, processados e validados pelo setor de faturamento. Com a validação, uma consulta no estoque é realizada para verificar se é possível atender a todos os produtos solicitados pelos clientes. Com estes dados, os responsáveis pela geração das rotas especificam os clientes e a demanda de cada um deles. As principais restrições presentes na elaboração das rotas são: Disponibilidade de veículos da frota para cada período de entrega; Capacidade de carga dos veículos disponíveis; Disponibilidade no estoque dos produtos solicitados pelos clientes (quantidade e mix de produtos); Disponibilidade de tempo para o entregador realizar as entregas dos produtos; Prioridade de entrega (alguns clientes devem ser os primeiros a serem atendidos na rota); Janelas de tempo (alguns clientes especificam faixas de horários para atendimento). Os dados dos veículos utilizados na distribuição também são conhecidos e cadastrados no sistema, incluindo características como capacidade de carga, capacidade de transporte, entre outras. Na elaboração das rotas, são considerados: o tempo para estacionamento no ponto de parada, os tempos de deslocamento do ponto de parada até cada cliente atendido, o tempo de contato inicial com o cliente, tempo para recebimento da nota fiscal referente à venda efetuada no dia anterior e o tempo de saída do cliente. Esses valores de tempo são somados ao tempo total da rota, incluindo o tempo de atendimento ao cliente que é variável e dependente da demanda. Após o processo de roteamento, uma ordem de carregamento é emitida e inicia-se a separação das cargas com o mix dos produtos e o carregamento da frota. No dia seguinte, a distribuição dos produtos é realizada, ressaltando que o pedido de cliente é atendido por um único veículo. Na maioria das vezes, o tempo total de execução da rota excede o tempo máximo estabelecido devido à política da empresa pelo atendimento de todas as ordens emitidas, isto é, o atendimento de todos os clientes. Essa violação viola um aspecto importante que é a jornada de trabalho das equipes que realizam a distribuição. 4

5 Com o levantamento desta dificuldade e a fim de reduzir o tempo de serviço nos pontos de demanda, e conseqüentemente, o tempo total de rota, é proposta uma metodologia heurística para a designação sistemática do número de entregadores em cada rota. O método leva em conta que o número mínimo de entregadores necessários para cada rota é dependente, dentre outros fatores, das demandas totais dos clientes associados a cada ponto de parada. O objetivo do método é, dentro de um conjunto de clientes, atender o maior número de clientes sem violar o tempo máximo de rota estabelecido. A minimização do número de veículos, entregadores extras designados, e da distância percorrida é desejável. 5. Abordagem de resolução Esta seção descreve o Algoritmo de Savings, ou Algoritmos das Economias, proposto por Clarke e Wright (1964), o qual baseia-se na noção de economias com a combinação, ou união, de duas rotas existentes. Mais formalmente, trata-se de uma heurística iterativa de construção baseada numa função gulosa de inserção de nós. A cada passo da heurística procura-se efetuar uma união de duas rotas que não viole restrições do problema e que proporcione a maior economia, a qual é composta por: Redução do número de veículos em uma unidade; Redução da distância total. A descrição dos passos do algoritmo de Clarke e Wright (CW) é apresentada na Figura 2. Dados de entrada: Constantes n: número de nós de parada a serem visitados NV: número de veículos disponíveis (tamanho de frota) T: tempo máximo de rota C: capacidade de cada veículo Índices i, j: nós de parada ou depósito (onde i, j = 0 corresponde ao depósito, e i, j = 1...n corresponde a nós de parada) Dados de entrada: Vetores e Matrizes d i : demanda do nó de parada i l(i,j): distância entre os nós i e j t s (i): tempo de serviço no nó de parada i t ij : tempo de deslocamento entre os nós i e j Incógnitas: Variáveis e Matrizes r: número de rotas correntes (onde r = 1...n) Sav(i,j): economia em distância ao unir i e j na mesma rota Inicialização: Leitura dos dados de entrada. 1. Seja U a solução composta de n rotas, cada qual servindo um nó de parada. 2. Calcule todas as economias em distância ao se servir o par de nós i e j (i, j N, i j) na 5

6 mesma rota por meio da equação Sav(i,j) = l(0,i) + l(0,j) - l(i,j). Armazene os valores resultantes em uma lista L. 3. Ordene em valor decrescente as economias Sav(i,j) calculadas no passo anterior. 4. Enquanto L, faça: 4.1. Percorra L a partir de seu primeiro elemento, verificando se o par de nós i e j associado ao elemento em questão pode ser servido na mesma rota. Ou seja: (a) Se i e j pertencem a rotas diferentes compostas apenas por eles, ou (b) Se a rota de apenas um dos nós (i ou j) é composta apenas por ele, e se o outro nó está na extremidade da rota composta por outros nós, ou (c) Se i e j pertencem a rotas diferentes composta por outros nós e estão nas extremidades das rotas Se o par de nós i e j associado ao elemento de L em questão satisfaz alguma das condições (a)-(c), faça (a) Se a condição (a) é satisfeita, forme uma rota com os nós i e j. (b) Se a condição (b) é satisfeita, adicione o nó da rota composta apenas por ele à rota do outro nó. Seja i o nó cuja rota é composta apenas por ele; adicione i ao fim (início) da rota de j se este for o último (primeiro) nó da rota, eliminando o arco entre j e o depósito e um arco entre i e o depósito. (c) Se a condição (c) é satisfeita, una as rotas, eliminando os arcos entre i e o depósito e entre j e o depósito, e adicionando um arco entre i e j Caso a configuração de rotas obtida com o movimento selecionado não viole restrições de capacidade e de tempo máximo de rota, implemente o movimento, decremente o número de rotas em uma unidade (r = r-1), e elimine o elemento de L associado. 5. Se r > NV, selecione as NV rotas com o maior número de nós de parada para compor a solução final U*. Os nós de parada das (r-nv) rotas restantes não são atendidos durante a jornada de trabalho. Figura 2 Passos do algoritmo CW. O PRV com designação de entregadores extras visa a definição de rotas de atendimento de n nós de parada dispersos em determinada região, em situações em que um único entregador provocaria a violação do tempo máximo de uma ou mais rotas. Na heurística proposta, o atendimento é realizado por uma frota homogênea de tamanho limitado que parte e retorna a um único depósito. Além disso, para cada veículo, a equipe escalada para efetuar as entregas é também de tamanho limitado a fim de considerar restrições de espaço na cabine do veículo. O objetivo do problema é o de minimizar o número de nós de parada planejados e não atendidos durante a jornada de trabalho. Assim, a partir das características acima, pretende-se reduzir o tempo de atendimento em cada rota através da designação de entregadores à rota. Primeiramente, a criação das rotas é efetuada pelo algoritmo de Clarke e Wright (CW). Se o número de veículos requeridos for superior ao tamanho da frota (existem nós não atendidos durante a jornada de trabalho), são realizados testes de designação de um entregador extra a cada rota, reaplicando o algoritmo CW, e selecionando a designação com o menor número de nós não atendidos. A designação de entregadores extras diminui o tempo de serviço nos nós de cada rota, favorecendo o aumento do número de uniões de rotas no algoritmo CW. A maior quantidade de rotas unidas reduz o número dos veículos necessários, ocasionando o aumento do número de nós atendidos. Caso um ou mais nós de parada não forem atendidos após a aplicação do algoritmo, é possível permitir violação do tempo máximo de rota para sua inclusão, desde que as demais restrições não sejam violadas. 6

7 A descrição dos passos da extensão do algoritmo CW (CW ext ) é apresentada na Figura 3. Dados de entrada: Constantes n: número de nós de parada a serem visitados NV: número de veículos disponíveis (tamanho de frota) T: tempo máximo de rota C: capacidade de cada veículo NS: número máximo de entregadores em cada rota (tripulação máxima) Índices i, j: nós de parada ou depósito (onde i, j = 0 corresponde ao depósito, e i, j = 1...n corresponde a nós de parada) k: número de rotas (onde k = 1...n) Dados de entrada: Vetores e Matrizes d i : demanda do nó de parada i l(i,j): distância entre os nós i e j t s (i): tempo de serviço no nó de parada i t ij : tempo de deslocamento entre os nós i e j Incógnitas: Variáveis e Matrizes r: número de rotas correntes (onde r = 1...n) Sav(i,j): economia em distância ao unir os nós i e j na mesma rota server[k]: número de entregadores designados à rota k em soluções tentativa, onde server[k] = 1...NS server_s(k): número de entregadores designados à rota k na solução corrente, onde server_s[k] = 1...NS tentativa[k]: último número de entregadores testado para designação à rota k 1. Faça r = N, tentativa[k] = 0 e server[k] = 0 (k = 1..r). Seja S o conjunto de rotas resultante, onde cada rota é designada a um único nó. 2. Enquanto (r > NV) e (tentativa[k] < NS para algum k = 1..r) e (server(k) < NS para algum k = 1..r): 2.1. Faça server_s[k] = server[k], ou seja, armazene o número de entregadores da solução corrente S Para cada k = 1..r: Faça server[k] = server[k] + 1, ou seja, designe um entregador adicional à rota k Calcule a programação e o tempo total da rota Aplique o algoritmo CW do passo 2 ao passo 4 daquele algoritmo, obtendo a solução tentativa S t. Se na união de 2 rotas, estas possuírem valores diferentes de entregadores, adote o número de ajudantes da rota com maior valor à rota resultante Seja R j o conjunto de rotas resultante da união de rotas de S Se Rj =, faça tentativa[k] = se 7

8 ajudantes em todas as rotas for igual a um, faça S igual a St Se Rj ou se o número de ajudantes em alguma rota for maior que um, selecione de Rj, a rota R* que atende o maior número de nós. Desfaça as demais uniões (recupere as demais rotas de S) e restabeleça o número de entregadores anterior destas rotas (server[k] = server_s[k], k = 1...r, e k R*). Aceite a rota R* e o número de ajudantes a ela designado. Com isso, obtenha uma nova solução corrente S. 3. Se r > NV, selecione as NV rotas com o maior número de nós de parada para compor a solução final S*. Os nós de parada das (r-nv) rotas restantes não são atendidos durante a jornada de trabalho. Passos Opcionais: Aplicados caso hajam clientes não atendidos e o sistema permita alguma violação do tempo de rota: 4. Para cada cliente i não atendido e para cada rota k (k = 1...NV): Se a inserção de i não viola a capacidade do veículo: Calcule o aumento no tempo de rota com a inserção de i em cada posição p (de inserção) da rota k. 5. Selecione o cliente i* não atendido e sua posição de inserção p* que apresenta o menor aumento do tempo de rota. Com isso, obtenha a solução final S*. Figura 3 Passos do algoritmo CW ext. 6. Exemplo de aplicação de CW ext A fim de ilustrar o funcionamento do algoritmo CW ext, gerou-se um pequeno exemplo a partir de dados geográficos da instância r101, proposta em Solomon (1987). O exemplo consiste dos 13 primeiros nós (que incluem o depósito), e dois veículos com capacidade igual a 250 kg. O tempo máximo de rota (T v ) foi fixado em 480 minutos e o número máximo de entregadores em cada rota (NS) é definido como 3. Note que neste número está incluso o motorista, uma vez que ele também participa das entregas. Além disso, admite-se que a velocidade de deslocamento de todos os veículos é constante e igual a 60 km horários. Para o cálculo dos tempos de serviço em cada nó i (ponto de parada), utilizou-se a seguinte função: t s (i) = mínimo(tempo máximo de rota 2*l[0,i], φ*d i ) Em que φ é uma contante com dimensão tempo/unidade de demanda. Para o exemplo considerado, foi utilizado φ = 2 min/kg. Note que, a princípio, o tempo de serviço calculado é proporcional à demanda (d i ) do ponto de parada i. Em outras palavras, quanto maior a demanda, maior o tempo de serviço. Entretanto, o tempo de serviço é também limitado pelo tempo necessário para o deslocamento do veículo a partir do depósito e seu retorno, de forma a garantir que qualquer nó possa ser servido com um veículo exclusivo sem violar a restrição de tempo máximo de rota. É importante ressaltar que a função acima é válida para pontos de parada servidos em rotas com um único entregador, ou seja, somente com o motorista. Se o número de entregadores em uma rota for maior que um, o valor de t s (i) é simplesmente dividido pelo número de entregadores. A Tabela 1 apresenta as coordenadas cartesianas x e y, a demanda, e tempos de serviços de cada nó i. A demanda total dos nós excede a soma das capacidades dos dois veículos, o que 8

9 implica que alguns nós não serão atendidos. A Tabela 2, por sua vez, mostra as distâncias (ou tempos de deslocamento) computadas entre quaisquer pares de nós do exemplo. i x i y i d i (kg) ts i (min) Tabela 1 Dados dos nós utilizados no exemplo ilustrativo. j i Tabela 2 Distância ou tempo de viagem entre pares de nós i e j utilizados no exemplo ilustrativo. A Figura 4 apresenta o conjunto de rotas geradas após a aplicação do algoritmo CW. Como a frota consiste de 2 veículos, as rotas 3 a 5 são, na prática, rotas fantasmas que contêm o menor número de nós de parada não atendidos. A Figura 5, por sua vez, apresenta o conjunto de rotas geradas e um nó de parada não atendido após a aplicação do algoritmo CW ext. Para cada uma das rotas, foram designados 2 entregadores. Não foi possível inserir o nó 12 em nenhuma rota utilizando os passos adicionais de CW ext pois isso implicaria em violação da capacidade máxima dos veículos. 9

10 Figura 4 Solução do algoritmo CW. Figura 5 Solução do algoritmo CW ext. Os resultados obtidos pelos algoritmos CW e CW ext para o exemplo estudado são sumarizados na Tabela 3. Algoritmo Número de veículos utilizados (r) Número de nós atendidos Número de nós não atendidos Número médio de entregadores designados Distância média por rota (km/r) Tempo médio de rota (min/r) 10

11 CW ,58 319,18 CW ext ,13 342,13 Tabela 3 Distância ou tempo de viagem entre pares de nós i e j no exemplo ilustrativo. Mostra-se, assim, que a designação de entregadores extras pode viabilizar o atendimento de um maior número de nós de parada. No exemplo ilustrativo, o algoritmo CW obteve uma porcentagem de atendimentos realizados de 58,3%, enquanto sua extensão (CW ext ) apresentou uma solução com 91,7% dos nós atendidos. Os valores médios de distância e tempo de rota tiveram um aumento de aproximadamente 82 e 7%, respectivamente, em função do aumento no número de nós atendidos. O aumento médio no número de entregadores designados às rotas foi de 100%. 7. Conclusões e próximos passos da pesquisa Neste trabalho abordou-se uma variação do Problema de Roteamento de Veículos que apesar de representar vários sistemas reais de distribuição, vem sendo negligenciada na literatura acadêmica e em softwares comerciais. Nesta variação, admitiu-se-se a possibilidade de utilizar múltiplos entregadores em cada rota como forma de reduzir tempos de serviço e viabilizar o atendimento de um maior número de nós de parada em uma dada jornada de trabalho. Neste sentido, foi proposta uma extensão da heurística construtiva de Clarke e Wright na qual, de forma iterativa, são testados incrementos no número de entregadores em cada rota, e selecionada a opção com maior ganho em número de nós incorporados. Através de um exemplo ilustrativo, mostrou-se que a abordagem proposta é capaz de reduzir o número de nós não atendidos quando comparada ao algoritmo Clarke e Wright. Como próximos passos deste trabalho, pretende-se implementar computacionalmente a heurística proposta e submetê-la a extensos experimentos com conjuntos de instâncias gerados a partir dos exemplos propostos por Solomon (1987). Dentre estes conjuntos, serão considerados aumentos e diminuições percentuais das demandas dos nós, e do número e capacidade dos veículos. Desta forma, pretende-se delinear as situações em que o algoritmo proposto é mais bem sucedido. Agradecimentos Esta pesquisa teve o apoio do CNPq (processo /2005-2) e CAPES (DS). Referências ASSAD, A. A. Modeling and Implementation Issues in Vehicle Routing. Vehicle Routing: Methods and Studies. B.L.Golden, A.A.Assad (eds), North Holland, Amsterdam, p.7-46, BALINSKI, M. & QUANDT, R. On an Integer Program for a Delivery Problem. Operations Research, Vol. 12, p , BODIN, L.D.; GOLDEN, B.L.; ASSAD, A.A. & BALL, M. Routing and Scheduling of Vehicle and Crews, the State of the Art. Computers and Operational Research. Vol. 10, p , BREEDAM, A. V. An Analysis of the Behavior of Heuristics for the Vehicle Routing Problem for a Selection of Problems with Vehicle-Related. Customer-Related and Time-Related Constraints. Ph.D. dissert, Univ. of Antwerp, CLARKE, G. & WRIGHT, W. J. Scheduling of Vehicle from a Central Depot to a Number of Delivery Points. Operations Research, Vol. 12, p , CORDEAU, J. F.; GENDREAU, M.; LAPORTE, G.; POTVIN, J. Y. & SEMET, F. A Guide to Vehicle Routing Heuristics. Journal of the Operational Research Society, Vol. 53, p ,

12 FISHER, M. L. & JAIKUMAR, R. A Generalized Assignment Heuristic for Vehicle Routing. Networks, Vol.11, p , GENDREAU, M.; HERTZ, A. & LAPORTE, G. A Tabu Search Heuristic for the Vehicle Routing Problem. Management Science, Vol. 40, p , GILLET, B. E. & MILLER, L. R. A Heuristic Algorithm for the Vehicle-dispatch Problem. Operations Research, Vol. 22, n.2, p , HALL, R. W. & PARTYKA, J. On the Road to Efficiency. OR/MS Today, Vol. 24, n.3, Disponível em: KINDERWATER, G. A. P. & SAVELSBERGH, M.W.P. Vehicle Routing: Handling Edge Exchanges. In E.H.L. Aarts and J.K. Lenstra (eds), Local Search in Combinatorial Optimization. Wiley, Chichester, LAPORTE, G.; GENDREAU, M.; POTVIN, J. Y. & SEMET, F. Classical and Modern Heuristics for the Vehicle Routing Problem. Operational Research, Vol. 7, n.4-5, p , LIN, S. Computer Solution of the Tsp. Bell System Technical Journal, Vol. 44, p , MARINAKIS, Y. & MIGDALAS, A. Heuristic Ssolutions of Vehicle Routing Problems in Supply Cchain Management. In: Pardalos, P.M., Migdalas, A., Burkard, R. (Eds.), Combinatorial and global optimization, World Scientific Publishing Co., p , OSMAN, I. H. Metastrategy Simulated Annealing and Tabu Search Algorithms for the Vehicle Routing Problem. Annals of Operations Research, Vol. 41, p , REEVES, C. R. Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems. John Wiley & Sons. Inc. New York, RONEN, D. Perspectives on Practical aspects of Truck Routing and Scheduling. European Journal of Operational Research, Vol. 35, n.2, p , SIMAS, E. P. L. Utilizando a Busca Tabu na Resolução do Problema de Roteamento de Veículos. Dissertação de Mestrado, Universidade do Vale do Rio dos Sinos. São Leopoldo, RS, SOLOMON, M. M. Algorithms for the Vehicle Routing and Scheduling Problems with Time Window Constraints. Operations Research, Vol. 35, n.2, p , THOMPSON, P. M. & PSARAFTIS, H. N. Cyclic Transfer Algorithm for Multivehicle Routing and Scheduling Problems. Operations Research, Vol. 41, n.5, September-October 1993, p ,