OTIMIZAÇÃO DE ROTAS DE DISTRIBUIÇÃO DE PRODUTOS SUJEITAS A RESTRIÇÕES DE LOGÍSTICA URBANA

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1 OTIMIZAÇÃO DE ROTAS DE DISTRIBUIÇÃO DE PRODUTOS SUJEITAS A RESTRIÇÕES DE LOGÍSTICA URBANA José Ferreira de Souza Neto Vitória Pureza Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia de Produção RESUMO Este trabalho aborda um problema rico de roteamento de veículos, contemplando características e restrições presentes em operações de distribuição de produtos em áreas urbanas de alta densidade, tais como janelas de tempo em clientes, limitação de circulação de veículos em áreas centrais de cidades, múltiplas viagens para cada veículo, compatibilidade entre veículos e clientes, e múltiplos entregadores. É revisitado um modelo de programação matemática, resultante de um estudo de caso em uma empresa produtora e distribuidora de bebidas, e proposta sua resolução por meio de abordagens de solução heurística e híbrida. Resultados de instâncias com dados reais e baseadas em informações coletadas in loco demonstram o potencial de aplicação real de alguns dos métodos propostos. ABSTRACT This work addresses a rich vehicle routing problem, aiming at representing some characteristics and constraints that arise in the delivery operations of large volumes of products in dense urban areas, such as time windows in customers, time limitations for the circulation of large vehicles in city centers, multiple daily trips for each vehicle, compatibility of vehicles and customers and multiple deliverymen. We revisit a mathematical programming model resulting from a case study in a drinks producer and distributor, and propose heuristic and hybrid solution approaches. Results with instances based on real data collected in loco and provided by the company highlight the potential of applicability of some of the proposed methods. 1. INTRODUÇÃO Problemas de roteamento de veículos aparecem em diferentes situações práticas, incluindo a entrega de produtos a clientes, a coleta e o transporte de lixo urbano, a determinação de roteiros com paradas em estações de recarregamento para veículos movidos à bateria, e o transporte de pessoas com dificuldades de locomoção. Existem numerosas compilações de métodos de solução e aplicações reais como, por exemplo, Bodin et al. (1983), Desroisiers et al. (1995), Cunha (2000), Bräysy e Gendreau (2005a, 2005b), Laporte (2009), Baldacci et al. (2010), Belfiore e Yoshizaki (2013) e Schneider et al. (2014). Observa-se, assim, um grande esforço da comunidade científica no tratamento desses problemas, tanto por sua relevância prática como por sua dificuldade de resolução. Entretanto, como cada caso estudado pode apresentar características particulares em relação ao já discutido na literatura, novas variações do problema geral continuam a surgir e a requerer tratamentos diferenciados. Neste trabalho é considerada uma variante que representa a situação de empresas que entregam grandes volumes de produtos diariamente, para as quais um grande número de clientes consiste de estabelecimentos comerciais localizados em centros urbanos. Devido às dificuldades de tráfego e de estacionamento, a distribuição é realizada em dois níveis; o veículo se desloca entre agrupamentos (clusters) de clientes próximos entre si, e em cada cluster, a entrega dos produtos é realizada pelo motorista e, possivelmente, alguns ajudantes que visitam os clientes a pé a partir do local de parada do veículo. A necessidade de ajudantes deve-se aos altos tempos de serviço despendidos em cada cluster quando comparados ao tempo de deslocamento dos veículos, de maneira que o uso de ajudantes permite reduzir o tempo de conclusão das entregas e, consequentemente, aumentar o número de clientes atendidos durante a jornada de trabalho diária dos funcionários envolvidos na operação. Como

2 o tempo de serviço nos clusters depende do número de entregadores, além das decisões tradicionais de roteamento e programação de veículos, o planejamento das rotas deve também definir o número de entregadores em cada veículo utilizado. A consideração de múltiplos entregadores foi pela primeira vez tratada em Ferreira e Pureza (2012) com o Problema de Roteamento de Veículos com Múltiplos Entregadores (Vehicle routing problem with multiple deliverymen - VRPMD), e em Pureza et al. (2012) com o Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo e Múltiplos Entregadores (Vehicle routing problem with time windows and multiple deliverymen - VRPTWMD). Em ambos os casos, e também em Grancy e Reimann (2014a), Grancy e Reimann (2014b), Alvarez Diaz (2016) e Munari e Morabito (2016), a modelagem dos problemas manteve aspectos considerados relevantes para a temática tratada, não reportando soluções ou exemplos de situações reais associadas a qualquer empresa em particular. Já em Souza Neto e Pureza (2015), é descrita a operação de entrega de produtos em centros urbanos de uma empresa produtora e distribuidora de bebidas do estado de São Paulo, e proposto um modelo de programação matemática com vistas à obtenção de rotas de mínimo custo. A formulação incorpora grande parte das características e restrições existentes na prática, tais como frota heterogênea, janelas de tempo, limitações de horários de circulação de tipos de caminhões, a possibilidade de contratação de caminhões fretados (charter) e a possibilidade de múltiplas viagens (multi-trip) no período para um mesmo caminhão de entrega. A operação é caracterizada como uma variante do VRPTWMD, especificamente, um Problema de roteamento de veículos multi-viagem com janelas de tempo e múltiplos entregadores (Multitrip vehicle routing problem with time windows multiple deliverymen - MTVRPTWMD) com frota heterogênea. No presente trabalho, dá-se continuidade ao estudo de Souza Neto e Pureza, desta vez com a proposição de abordagens de solução heurística e híbrida. Assim como a maioria dos problemas de roteamento de interesse, o VRPMD e suas variantes VRPTWMD e MTVRPTWMD pertencem à classe NP-hard, sendo, portanto, considerados de difícil resolução. A relevância prática e teórica do impacto de múltiplos entregadores no tempo de realização da operação é também evidenciada na taxonomia de problemas de roteamento de veículos recentemente proposta em Braekers et al. (2015). A estruturação do restante deste artigo é descrita como se segue. Na Seção 2 faz-se um breve resumo sobre a empresa de bebidas e os principais aspectos de sua logística de distribuição. A definição do problema e a modelagem matemática apresentada em Souza Neto e Pureza (2015) são revistas na Seção 3. Na Seção 4 é descrita a abordagem heurística proposta. A Seção 5 apresenta os resultados e análises dos resultados computacionais com 14 instâncias geradas com base em dados reais. Finalmente, a Seção 6 apresenta as conclusões e algumas perspectivas de pesquisa futura. 2. A LOGÍSTICA DE DISTRIBUIÇÃO DA EMPRESA Localizada no Estado de São Paulo, e com atuação também no estado de Minas Gerais, a empresa estudada atua no mercado de bebidas de forma a atender os processos básicos de produção de refrigerantes, bebidas à base de frutas, águas e chás, assim como na comercialização e distribuição de refrigerantes, sucos, águas, chás, cervejas, chopp, energéticos e hidrotônicos. A empresa atende em torno de clientes semanalmente, distribuídos por 131 municípios, e sua frota heterogênea é classificada em 6 grupos, diferenciados principalmente pela capacidade de armazenamento e peso da carga.

3 Em 2014 sua frota contabilizava 355 veículos, dos quais 222 correspondiam a caminhões para entrega de produtos aos clientes. Adicionalmente à frota própria, a empresa contrata veículos de terceiros (veículos fretados) em épocas do ano em que a demanda dos clientes aumenta ao ponto da frota própria não ser suficiente para atendê-la. O período de maior contratação desses veículos ocorre no verão, e são geralmente utilizados no atendimento de clientes com maior demanda, tais como supermercados e hipermercados. Diferentes tipos de restrições estão presentes na elaboração das rotas, alguns surgem da adoção de alguma política interna da empresa (como a duração da jornada, o número máximo de rotas diárias, entre outras), e outros são típicos da logística urbana, atingindo, portanto, outras empresas distribuidoras. As principais restrições observadas se referem à: (i) circulação de veículos em áreas centrais em atendimento às leis municipais presentes em cidades de médio e grande porte, que restringem os horários de circulação em áreas centrais em função do porte do veículo, geralmente até às 09:00 ou 10:00 hs, e em atendimento à restrição da própria empresa, que proíbe o tráfego de seus maiores caminhões em áreas centrais em qualquer horário devido à dificuldade de circulação destes em ruas estreitas ou com grande volume de tráfego, comuns nos centros das cidades; (ii) compatibilidade entre caminhões e clientes, dado que grandes supermercados aceitam apenas caminhões equipados com uma plataforma de elevação; e (iii) janelas de tempo de clientes, considerado apenas para o segmento dos clientes restaurantes, os quais requerem que o início do serviço ocorra entre o início da jornada de trabalho dos entregadores e finalize até às 09:00 hs. Este limite superior leva em conta o tempo requerido de resfriamento de alguns produtos antes do horário de abertura desses estabelecimentos ao público. Como tripulação padrão, a empresa utiliza dois entregadores (o motorista e seu ajudante) em cada caminhão. Devido às dificuldades de tráfego e de estacionamento dos veículos em regiões centrais das cidades, clientes próximos entre si são, na prática, agrupados, e para cada agrupamento se associa um único ponto de parada para o veículo designado para servir esses clientes. A entrega dos produtos aos clientes de um dado agrupamento (cluster) é então realizada pelo motorista e pelo ajudante que visitam os clientes a pé a partir do local de parada (até um limite de 150 metros de distância). Outra importante característica consiste na possibilidade dos caminhões realizarem múltiplas viagens em um mesmo dia de trabalho. Ou seja, o caminhão realiza uma primeira viagem, retorna ao depósito, é então recarregado para atender outros clientes em uma viagem seguinte. Na prática da empresa, o número de viagens não é superior a dois, e a segunda viagem ocorre quando não é possível atender a demanda dos clientes na primeira viagem, seja devido a restrições de circulação de tipos de caminhões em certos períodos do dia, ou devido à demanda exceder a capacidade da frota. Um requerimento para a segunda viagem é que a demanda atendida corresponda a pelo menos 83% da capacidade do veículo. Outro conceito diferenciado na operação da empresa é o de rotas perigosas, ou seja, rotas com clientes localizados em bairros ou regiões controladas pelo comando do tráfico de drogas. Em rotas com essas características a tripulação do caminhão passa a contar com um segurança que, por sua vez, não participa do processo de entrega dos produtos aos clientes; sua função é garantir a segurança dos tripulantes, da carga e do caminhão. As rotas dos caminhões são elaboradas por meio de um software comercial e respeita a setorização geográfica definida em cada cliente e outras restrições parametrizadas, agilizando

4 o processo de planejamento das rotas. No entanto, os operadores do sistema (roteirizadores) têm liberdade de realizar trocas de clientes em uma mesma rota e também de uma rota para outra, mesmo que esses clientes estejam em setores logísticos diferentes. O tempo de readequação de uma rota dura, em média, 180 segundos (3 minutos). O tempo de serviço em cada cliente é estimado para a tripulação padrão como 5 minutos para atendimento inicial e 20 segundos para cada caixa (fardo) no caso de supermercados e hipermercados, e 30 segundos para cada caixa no caso dos demais segmentos de mercado. Os roteirizadores têm, em média, 2 horas e 45 minutos para finalizarem a geração das rotas. Cabe ressaltar que as rotas geradas pelos roteirizadores consideram cada cliente como um ponto de entrega do caminhão que o irá servir, ou seja, nessa etapa do roteamento, clientes próximos entre si não são agrupados em clusters. O agrupamento de clientes próximos é, na verdade, decidido pelos entregadores e em tempo real, durante a realização da rota. Uma vez que as rotas são geradas, os entregadores as avaliam no início de sua jornada de trabalho, e podem alterar seu sequenciamento na tentativa de aumentar o nível de serviço aos clientes, atendendo suas preferências individuais, ou ainda priorizando as entregas de maior demanda de forma a liberar espaço no caminhão nos primeiros clientes servidos e facilitar o manuseio dos produtos dos clientes seguintes. Além dessas razões, outras se apresentam em tempo real, como a existência de vias em manutenção ou estabelecimento fechado por luto. 3. DEFINIÇÃO E MODELAGEM DO PROBLEMA O problema consiste em definir rotas diárias para uma frota de caminhões heterogênea que parte e retorna ao depósito central da empresa, com vistas à entrega de produtos a clientes localizados em centros urbanos. A frota consiste de caminhões próprios e fretados, e para cada uma dessas categorias, incorrem-se custos específicos. Para os caminhões próprios, temse apenas custos variáveis de deslocamento (combustível e manutenção), enquanto apenas custos de contratação (fixos) incidem nos caminhões fretados. A elaboração das rotas visa otimizar três objetivos segundo a seguinte hierarquia: (1) maximizar o número de clientes servidos; (2) minimizar o custo com frota própria e veículos fretados; e (3) minimizar o número de entregadores utilizados. Cada nó visitado em uma dada rota representa o depósito ou uma parada do caminhão, seja para atender um único cliente ou um cluster de clientes geograficamente próximos entre si. Admite-se que a definição dos clusters de clientes tenha sido feita previamente pelo usuário, seja manualmente a partir de informações das ruas, demanda e proximidade dos clientes, ou por um algoritmo de agrupamento. De igual forma, admite-se que os pontos de parada sejam a exata localização do cliente único ou fornecidos pelo usuário no caso de clusters de clientes. Janelas de tempo podem incorrer em alguns clusters, e correspondem a um período previamente acordado pela empresa e os clientes do cluster em questão. A rota de cada caminhão, aqui definida como o trajeto que realiza entre sua partida do depósito no início da jornada de trabalho e seu retorno ao depósito quando suas atividades foram completadas, pode contemplar até duas viagens, desde que o tempo total de rota não viole a duração da jornada de trabalho decrementada da duração estimada das atividades administrativas e da duração do intervalo de almoço. A segunda viagem ocorre quando o caminhão, após finalizar as entregas da primeira viagem, retorna ao depósito para um novo carregamento de produtos, partindo então para realizar novas entregas.

5 Em cada viagem, a carga total transportada não deve exceder a capacidade do caminhão, e o tamanho da tripulação (motorista, entregadores e segurança) está limitado à capacidade da cabine do veículo. O número de entregadores pode variar da primeira para a segunda viagem de um caminhão. Em caso de rotas que exigem a presença de um segurança, o número máximo de entregadores se reduz em uma unidade. Clientes servidos em uma dada rota devem ser compatíveis com o tipo de caminhão, e caminhões de grande porte estão limitados a trafegar em alguns bairros, em especial regiões centrais, em determinados períodos do dia. O problema combina características do VRPTWMD tratado em Pureza et al. (2012) e do Problema de Roteamento de Veículos com Janelas de Tempo e Múltiplas Viagens em Seixas e Mendes (2013), além de várias restrições adicionais. A rede de fluxo (Figura 1) apresentada por Souza Neto e Pureza (2015) é representada por um grafo G( 2, A), com -1 pontos de parada e 3 pontos de origem e/ou destino das viagens. O depósito é tanto origem como destino das viagens, de maneira que é representado por outras duas cópias, o nó (origem da primeira viagem) e (destino da primeira viagem e origem da segunda viagem). Figura 1: Rede de fluxo e rota de um caminhão. Para efeitos de formulação matemática, uma rota consiste de exatas duas viagens, as quais podem representar três possíveis situações: i) a ociosidade do caminhão se os trajetos da primeira e da segunda viagem forem e, respectivamente; ii) uma viagem de entrega seguida da ociosidade do caminhão se o trajeto da primeira viagem for diferente de e o trajeto da segunda viagem for ; e iii) duas viagens de entrega se o trajeto da primeira e da segunda viagem forem diferentes de e, respectivamente (a Figura 1 ilustra a situação ii). Seja a seguinte notação: Índices,,, Pontos de parada, depósito e suas cópias. Se é ponto de parada, =,,,. Se é o depósito ou suas cópias, então =,,, ;, Caminhões da frota (, = 1,.., ); l, g Tamanho da tripulação (motorista, ajudantes e segurança) designada a um veículo (l, g = 1,..., L). Se o tamanho da tripulação é l, diz-se que o veículo viaja em modo l; Viagens ( = 1,.., ). Conjuntos Nós pontos de parada; Nó depósito e suas cópias; Caminhões próprios;

6 Caminhões fretados; Pontos de parada localizados na zona central da cidade; Pontos de parada localizados em bairros perigosos; Caminhões com restrições de circulação na zona central da cidade; Caminhões compatíveis com o ponto de parada ; Parâmetros Custo unitário de deslocamento de um caminhão da frota própria (R$/km); Custo fixo diário de contratação de um caminhão fretado (R$); Prêmio pelo atendimento dos clientes associados ao ponto de parada (R$); Custo unitário de alocação de funcionários a um caminhão (R$/funcionário); Distância do nó ao nó (km); Distância do nó B até a fronteira da zona central dado que o veículo ao sair de se dirige a um nó (km); Velocidade média do caminhão (km/h); Capacidade do caminhão (cubos); Demanda no nó (cubos). A demanda em é igual a zero;, Instante de tempo mais cedo e mais tarde para início do serviço no cluster i; Tempo de serviço no nó com entregadores (min); Tempo de carregamento de um caminhão para a segunda viagem do dia (min); Instante de tempo máximo para circulação de caminhões na zona central da cidade (min); Duração da jornada de trabalho (min); Pmin Percentual mínimo de utilização da capacidade de caminhões na segunda viagem; Variáveis de decisão 1 se o caminhão visita o nó imediatamente após o nó no modo na viagem 0, caso contrário, ; = 1,.., ; = 1,, ; = 1,.., ); Carga do caminhão após servir o nó em modo na viagem (, ; = 1,.., ; = 1,, ; = 1,.., ); Instante de início de serviço no nó pelo caminhão no modo na viagem (, ; = 1,.., ; = 1,, ; = 1,.., ). Para é também o instante de chegada em. O problema é formulado em Souza Neto e Pureza (2015) como um modelo de programação inteira mista, descrito a seguir. Considera-se também que algumas variáveis de decisão são previamente fixadas. Por exemplo, fixa-se = 0 se = ou ou ou (ou ) e =, dentre outras condições. ou = 1, 1, (1) (2) (3)

7 =, = 1,, ; ; = 1,, ; = 1,, (4) = 1, = 1,, ; = 1,, (5) = 1, = 1,, ; = 1,, (6) = (), = 1 = 1,, 1; = 1,, = 1,, ; = 1,, (8) = 1,, ; ; ; = 1,, ; = 1,, 1 = 1,, ; ; ; = 1,, ; = 1,, = 1,, ; = 1,, (11) 1 = 1,, ; ; ; ; = 1,, (7) (9) (10) (12) () 2 () (13) () = 2,, ; = 1,, ;, = 1,, = 1,, 1 (14) (1 ) = 2,, ; = 1,, ; = 1,, = 0,1, = 1,, ;, ; = 1,, ; = 1,, (16) 0, = 1,, ;, ; = 1,, ; = 1,, (17), = 1,, ;, ; = 1,, ; = 1,, (18) O objetivo do modelo (1) consiste em minimizar os custos associados à frota própria e à frota terceirizada (charter) e também o número de entregadores, decrementados pelo valor de prioridade agregada dos clientes associados aos pontos de parada atendidos. Os valores dos parâmetros,, e devem garantir a ordem lexicográfica dos objetivos <número de clientes atendidos, custo com caminhões próprios e fretados, número de entregadores utilizados>. As restrições (2) e (3) garantem que no máximo um caminhão em um único modo chegue e parta de cada ponto de parada. As restrições (4) são equações de conservação de fluxo de caminhões em pontos de parada. As restrições (5) e (6) garantem a chegada e a partida de cada caminhão nos depósitos de destino e origem de cada viagem. As restrições (7) asseguram que cada caminhão possa mudar de modo de uma viagem para a seguinte. As restrições (8) definem a carga de cada veículo no nó origem de cada viagem. As restrições (9) computam carga no caminhão após a visita a cada nó. As restrições (10) definem os instantes (15)

8 de início de serviço de cada nó. As restrições (11) prescrevem que o tempo total de rota não exceda o tempo máximo que garante a observância da jornada de trabalho dos entregadores. As restrições (12) garantem a ausência de caminhões com restrições de circulação na zona central da cidade em períodos em que sua circulação é vedada. Isso é feito impondo-se que se um veículo com restrições de circulação parte de um nó localizado na zona central para visitar um nó fora dessa zona (dentre os quais, o nó de destino de cada viagem), então ele precisa cruzar a fronteira do centro até o instante máximo de circulação. O ponto de cruzamento da fronteira corresponde ao local (rua ou nó) que o caminhão certamente (ou provavelmente) cruzaria ao se dirigir de i para j, podendo ser identificado, por exemplo, a partir da análise do caminho mais curto entre e. Assim, para cada par de nós (i,j) ( ; ) um único ponto de cruzamento da fronteira do centro é identificado em uma etapa de pré-processamento. As restrições (13) expressam a relação entre o instante de chegada de cada veículo no nó de destino de uma viagem e o instante de partida do mesmo veículo do nó de origem da viagem seguinte, caso esta ocorra. Note que pode haver mudança de modo e que é contabilizado o tempo de recarregamento do caminhão. As restrições (14) garantem que a viagem r + 1 não seja realizada sem que r tenha sido. As restrições (15) garantem que a viagem r + 1 ocorra apenas se a utilização da capacidade do veículo atingir o valor mínimo requerido. Finalmente, as restrições (16) a (18) definem o domínio das variáveis de decisão. 4. A ABORDAGEM HEURÍSTICA Devidos às dificuldades intrínsecas de resolução exata do modelo (1)-(18), é proposto um algoritmo baseado na metaheurística GRASP (FEO; RESENDE, 1995), cujos passos são descritos na Figura 2. GRASP é um procedimento iterativo probabilístico em que cada iteração consiste de uma fase de construção de uma solução inicial seguida de uma fase de melhoria. Na fase de construção do algoritmo proposto (passo 2.1), o conjunto de clusters a serem servidos é listado em ordem de atendimento mais restrito, priorizando aqueles com janelas de tempo e menor número de veículos compatíveis. A frota de veículos disponíveis é inicialmente duplicada, de forma que cada veículo é designado para realizar a primeira viagem enquanto sua cópia realiza a segunda viagem (se houver). O conjunto de veículos duplicados é então listado em ordem de custo e atendimento mais restrito, priorizando aqueles da frota própria, com menor número de clusters compatíveis, com restrições de circulação e com menor capacidade. A partir dessas duas listas ordenadas, o algoritmo seleciona, iterativa e aleatoriamente, clusters dentre aqueles com maior prioridade para iniciar viagens ou sua inserção em viagens correntes, até que todos os clusters sejam incluídos na solução ou que não haja inclusões factíveis. No caso de inicialização de viagens, o veículo selecionado é aquele com maior prioridade dentre os compatíveis com o cluster. Este procedimento garante a geração de soluções factíveis, exceto pela restrição de carga mínima na segunda viagem. Caso essa restrição seja violada, um procedimento de factiblização é aplicado com a transferência de clusters de viagens factíveis para infactíveis. A fase de melhoria (passo 2.2), por sua vez, consiste de três buscas locais, que procuram reduzir o número de viagens/rotas, seguido da redução da distância percorrida, e finalmente, da redução do número de entregadores. Reduções do número de viagens se dão por movimentos factíveis de transferência de um cluster para uma rota distinta, enquanto a redução da distância inclui também troca de arcos intra-rota 2-opt e troca de dois clusters em rotas distintas. A melhor solução gerada (e melhorada) dentre todas as iterações do GRASP (passo 3) é, portanto, a solução fornecida pelo método. Estas soluções foram também

9 utilizadas como soluções iniciais para o software de programação matemática GAMS/CPLEX, definindo assim, um método híbrido simples. 1. Seja o tempo total de aplicação do procedimento. Faça t (tempo computacional decorrido) = 0, (çã ) = (çã ) =, e o valor da solução incumbente ( ) =. 2. Enquanto faça 2.1. Fase de construção: Para o conjunto de nós clientes e o conjunto de veículos duplicados, obtenha uma solução inicial por meio da heurística de inserção. Se a solução apresenta uma ou mais segundas viagens com violação da restrição de carga mínima, aplique o procedimento de factibilização Fase de melhoria: Aplique os procedimentos de redução de rotas, seguido do procedimento de redução de distância percorrida, e por fim, o procedimento de redução de entregadores à solução obtida no passo anterior, obtendo a solução S. Se () ( ), faça =. 3. Retorne a solução. Figura 2: Passos do algoritmo GRASP. 5. EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS Com o propósito de verificar a representatividade e aplicabilidade do modelo (1)-(18) à situação real da empresa, dados de entregas foram utilizados tanto para definir cinco classes de instâncias do problema (total de 14 instâncias), como para comparar as soluções praticadas com as obtidas com os métodos de solução propostos. O Quadro 1 apresenta características das classes tratadas. A primeira coluna informa a região ou tipo dos clusters da classe (Central, Periférica, Bairros perigosos, segmento Supermercados, Todos os tipos), enquanto a quinta coluna indica a quantidade média de clusters definidos a priori para resolução do modelo. A definição dos clusters utilizou os seguintes critérios: (i) clientes com janela de tempo (se existirem) foram agrupados apenas com outros clientes na mesma condição. O mesmo foi considerado para os clientes que não possuem janela de tempo; (ii) clientes separados por uma distância máxima de até 150 metros; (iii) a demanda agregada de clientes em um dado cluster deve ser menor ou igual à capacidade do menor veículo que atende a região correspondente (central, periférica, bairro perigoso). Quadro 1 Características das classes de instâncias. Classe Nº de instâncias Nº médio de clientes Tamanho médio da frota Número médio de clusters C P B S T Uma dificuldade encontrada em se apresentar as distâncias nas soluções da empresa (e, por conseguinte, obter seus custos) é a inexistência de informações sobre a criação dos clusters. Da mesma forma, o tempo total das rotas também não foi fornecido. Assim sendo, as distâncias foram estimadas considerando clusters prováveis de clientes (respeitando a distância máxima entre clientes de 150 metros), definidos a posteriori a partir da análise da sequência das visitas efetivamente realizadas na rota de cada caminhão. O tempo total de rota, por sua vez, foi calculado com base na demanda de cada cluster, velocidade média (60 km/h), tempo de carregamento para a segunda viagem (60 min) e tripulação padrão.

10 As instâncias foram resolvidas via programação matemática por meio da linguagem de modelagem GAMS e software CPLEX com valores padrão de parâmetros, exceto pelas opções fpheur = 1, heurfreq = 100, lbheur = 1, threads = 4, e tempo máximo de execução de segundos (5 horas). O algoritmo GRASP foi implementado com o banco de dados Oracle 11g e a linguagem de programação PL/SQL (mesmo ambiente tecnológico da empresa). O algoritmo seleciona clusters dentre os 30% com maior prioridade, e o tempo máximo de processamento foi definido como o tamanho da frota disponível da instância multiplicado por 180 segundos (tempo máximo praticado pela empresa no planejamento de cada rota). A fim de demonstrar o impacto da utilização de métodos híbridos, as instâncias foram resolvidas com o GAMS/CPLEX a partir da solução gerada pelo GRASP. O tempo disponibilizado ao GRASP é igual a 0,4 (nº de veículos x 180) segundos e para o GAMS/CPLEX é a 0,6 (nº de veículos x 180), ou seja, o tempo total utilizado pelo método híbrido se mantém igual ao tempo praticado pela empresa. Todos os experimentos foram realizados em um computador Dell, modelo Optiplex 9010, com processador Intel i7 com 3,4 GHz, 16 GB de memória RAM e sistema operacional Windows 7 Professional de 64 bits. 5.1 Resultados As soluções estimadas da empresa foram comparadas às soluções obtidas pela resolução do modelo (1)-(18) com o GAMS/CPLEX, o algoritmo GRASP e o método híbrido. A Tabela 1 apresenta, para cada classe, o percentual médio de clusters não atendidos e do valor do gap. Para as soluções estimadas da empresa, é informado o número de soluções factíveis segundo as restrições do modelo. As medidas médias das soluções são apresentadas na Tabela 2. Como mostrado na coluna 2 da Tabela 1, com exceção de uma instância da classe S, as soluções da empresa são infactíveis por violarem o tempo máximo de rota, janelas de tempo, a capacidade de caminhão ou a carga mínima na segunda viagem. Embora sejam soluções estimadas, operadores logísticos da empresa confirmam que tais violações são muito comuns. Suspeita-se, portanto, que algumas das instâncias em si são infactíveis para o modelo (1)-(18), justificando os clusters não atendidos. Como exemplo, a solução estimada da empresa em uma das instâncias da classe C exibe violação de janela de tempo em três clusters de restaurantes, que variam de 47 a 110 minutos além do limite máximo de 120. Entretanto, se aumentarmos o limite superior da janela de tempo do único cluster não servido para 180 minutos, o cluster é atendido na solução do CPLEX, resultando em uma opção menos infactível que a solução da empresa. Também se verifica na coluna 3 que o tempo computacional disponibilizado para o CPLEX ( segundos) foi insuficiente, resultando em clusters não atendidos em instâncias das classes C, P e T. Além disso, em 10 das 14 instâncias, as melhores soluções foram encontradas após segundos, ou seja, em um tempo muito superior ao requerido pelo planejamento de rotas da empresa. O algoritmo GRASP (coluna 5), por sua vez, reduziu o número de clusters não atendidos de 2,79% para 1,17%, o que sugere que a abordagem heurística produz em média soluções de maior qualidade, respeitando o tempo de planejamento praticado. Finalmente, o método híbrido (coluna 7) trouxe melhorias no número de clusters atendidos (em média, 99,4% do total).

11 Tabela 1: Indicadores das soluções estimadas da empresa e das soluções do modelo (1)-(18) obtidas com GAMS/CPLEX, GRASP e método híbrido. Classe Soluções estimadas da Empresa Número de soluções factíveis GAMS/CPLEX τmax = s % clusters não atendidos Gap (%) GRASP τmax = nº de veículos x 180 s % clusters não atendidos Gap (%) Híbrido τmax = nº de veículos x 180 s % clusters não atendidos C 0 3,2 4,2 0,0 0,2 0,0 0,2 P 0 0,5 1,2 0,0 0,1 0,0 0,1 B 0 0,0 0,1 2,9 3,2 0,8 1,0 S 1 0,0 0,2 0,0 0,4 0,0 0,2 T 0 6,6 7,4 0,4 1,6 0,4 1,6 Gap (%) A Tabela 2 mostra que o método híbrido tem um desempenho superior aos demais. Em relação às soluções estimadas da empresa, foram obtidas diminuições no número de veículos e na distância percorrida de 5% e 35%, respectivamente, o que representa 38% de redução de custo, redução esta alcançada no tempo de planejamento de rotas praticado. As melhorias foram obtidas frente à redução de 2% no número de entregadores, indicando que definir o tamanho da tripulação com base nas especificidades de cada viagem pode trazer benefícios. Tabela 2: Medidas médias das soluções estimadas da empresa e das soluções do modelo (1)- (18) obtidas com GAMS/CPLEX, GRASP e método híbrido. Classe Soluções estimadas da Veículos Empresa Dist. (km) Nº de entreg. Veículos GAMS/CPLEX τ max = seg Dist. (km) Nº de entreg. GRASP τ max = nº de veículos x 180 s. Veículos Dist. (km) Nº de entreg. Híbrido τ max = nº de veículos x 180 s. Veículos C 3,0 89,8 6,0 3,0 72,9 7,7 3,0 73,9 5,7 3,0 73,4 5,7 P 2,7 139,3 5,3 2,7 76,9 6,7 2,7 74,1 7,0 2,7 71,6 6,7 D 2,0 142,3 4,0 2,0 60,4 4,0 2,0 76,3 4,0 2,0 63,7 4,0 S 8,5 158,7 17,0 7,5 131,0 13,0 9,0 151,3 22,0 7,0 129,8 12,5 T 7,7 372,4 15,3 7,7 273,5 15,7 7,7 291,3 16,3 7,7 255,7 16,3 Soma da maior tripulação nas duas possíveis viagens de cada veículo. Dist. (km) Nº de entreg. 6. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS DE PESQUISA FUTURA Este artigo abordou a operação de distribuição de grandes volumes de produtos em áreas urbanas densas. Foi revisitado um modelo matemático que incorpora a maioria das condições impostas à frota de veículos de um grande produtor e distribuidor de bebidas brasileiro, revelando a complexidade desta atividade logística, e propostas abordagens de solução. O método híbrido proposto foi capaz de gerar soluções factíveis de alta qualidade para a maioria dos casos, apresentando uma expressiva redução de custos de 38% em relação às soluções estimadas da empresa, e utilizando somente o período de planejamento praticado. Ressalta-se ainda que as soluções obtidas foram analisadas e validadas pelos operadores logísticos da empresa, indicando o potencial da aplicação de técnicas de pesquisa de operações em ambientes reais. Casos em que os métodos falharam em servir todos os clusters

12 seguem como motivação para o desenvolvimento de metaheurísticas e métodos híbridos mais sofisticados. Outra possibilidade de investigação é a formação de clusters no momento da geração das rotas, dada sua estreita relação com a qualidade do roteamento. Finalmente, o problema integrado de carregamento e roteamento revela-se como uma oportunidade de obtenção de melhorias da operação logística. Agradecimentos: Os autores agradecem o apoio do CNPq (processo /2013-8), assim como os comentários e sugestões dos dois revisores anônimos. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Alvarez Diaz, A. A. Métodos híbridos para o problema de roteamento de veículos com janelas de tempo e múltiplos entregadores. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção). Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, Baldacci, R.; Toth, P.; Vigo, P. Exact algorithms for routing problems under vehicle capacity constraints. Annals of Operation Research, vol. 175, pp , Belfiore, P.; Yoshizaki, H. T. Y. Heuristic methods for the fleet size and mix vehicle routing problem with time windows and split deliveries. Computers & Industrial Engineering, vol. 63, pp , Bodin, L.; Golden, B.; Assad, A; Ball, M. Special Issue Routing and scheduling of vehicles and crews the state of the art. Computers & Operations Research, vol. 10, Braekers, K.; Ramaekers, K.; Nieuwenhuyse, I. V. The vehicle routing problem: State of the art classification and review. Computers & Industrial Engineering, Bräysy, O.; Gendreau, M. Vehicle routing problem with time windows, part I: Route construction and local search algorithms. Transportation Science, vol. 39, n. 1, pp , 2005a. Bräysy, O.; Gendreau, M. Vehicle routing problem with time windows, part II: Metaheuristics. Transportation Science, vol. 39, pp , 2005b. Cunha, C. B. Aspectos Práticos da Aplicação de Modelos de Roteirização de Veículos a Problemas Reais. Transportes, Rio de Janeiro, vol. 8, n. 2, pp , Desroisiers, J.; Dumas, Y.; Solomon, M. W. P.; Soumis, F. Time constrained routing and scheduling. In: Ball, M. T.; Magnanti, L.; Monma, C. L.; Nemhauser, G. L. (eds.) Network Routing, Handbooks in Operations Research and Management Science. North-Holland, Amsterdam, pp , Feo, T. A.; Resende, M. G. C. Greedy Randomized Adaptive Search Procedures. Journal of Global Optimization, vol. 6, pp , Ferreira, V. O.; Pureza, V. Some experiments with a savings heuristic and a tabu search approach for the vehicle routing problem with multiple deliverymen. Pesquisa Operacional, 32, , Grancy, G. S.; Reimann, M. Vehicle routing problems with time windows and multiple service workers: a systematic comparison between ACO and GRASP. Central European Journal of Operations Research, 2014a. Grancy, G. S.; Reimann, M. Evaluating two new heuristics for constructing customer clusters in a WRPTW with multiple service workers. Central European Journal of Operations Research, 2014b. Laporte, G. Fifty years of vehicle routing. Transportation Science, vol. 43, pp , Munari, P.; Morabito, R. The vehicle routing problem with time windows and multiple deliverymen: exact solution approaches. São Carlos - SP: [s.n.]. Disponível em: < Schneider, M.; Stenger, A.; Goeke, D. The Electric Vehicle-Routing Problem with Time Windows and Recharging Stations. Logistics Planning and Information Systems, vol. 48, n. 4, pp , Seixas, M. P.; Mendes, A. B. Column generation for a multitrip vehicle routing problem with time windows, driver work hours, and heterogeneous fleet. Mathematical Problems in Engineering, Souza Neto; J. F.; Pureza, V. Um modelo matemático para um problema real de roteamento de veículos em áreas urbanas. XLVII SBPO Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, pp , Pureza, V.; Morabito, R.; Reimann, M. Vehicle routing with multiple deliverymen: Modeling and heuristic approaches for the VRPTW. European Journal of Operational Research, vol. 218, pp , José Ferreira de Souza Neto (josefneto@yahoo.com.br) Vitória Pureza (vpureza@dep.ufscar.br) Departamento de Engenharia de Produção, Universidade Federal de São Carlos Rodovia Washington Luís, km 235, s/n - São Carlos, SP, Brasil