Informá(ca para as Ciências e Engenharias Versão : C (Engenharia Civil) Pedro Barahona 2016 / 17

Transcrição

1 Informá(ca para as Ciências e Engenharias Versão : C (Engenharia Civil) Pedro Barahona 2016 / 17

2 Sumário Vetores. Ciclos FOR. Percursos em vetores. Exemplos 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 2

3 Problema da Cerâmica Foram analisadas 50 amostras de argila de uma mina com o obje(vo de avaliar a sua qualidade para a indústria cerâmica. Um dos parâmetros estudados foi a absorção de água, tendose ob(do os seguintes valores (em percentagem): v 1, v 2,..., v 50. Faça um programa para calcular a média daqueles valores. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 3

4 Resolução Problema [1] 1. Compreender totalmente o problema descrito no enunciado. 2. Caracterizar o problema. Problema: Cálculo de uma média. Entrada: reais v 1,..., v 50. µ = v i i=1 v = [ v 1 v 2 v 3 v 50 ] Saída: a média de v 1,..., v Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 4

5 Resolução Problema [2] 3. Generalizar o problema (sempre que possível) Problema: Média de n valores. Entrada: reais v 1,..., v n (n > 1). µ = 1 n n v i i=1 v = [ v 1 v 2 v 3 v n ] Saída: a média de v 1,..., v n. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 5

6 Resolução Algoritmo[1] 4. Desenhar o algoritmo para resolver o problema. a) Conceber o algoritmo, decompondo o problema em subproblemas (se necessário). Como calcular a média de v 1,..., v n? «Somando os valores v 1,..., v n e dividindo pelo seu número. b) Iden(ficar, caracterizar e generalizar cada sub-problema. Não há sub-problemas. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 6

7 Resolução Algoritmo [2] c) Conceber o algoritmo, assumindo que os sub-problemas estão resolvidos. Média (v 1,..., v n ) : 1 n n i=1 v i Ideia base: implementa-se uma soma de n parcelas como uma sequência de n somas de duas parcelas, usando-se sempre o resultado anterior. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 7

8 Resolução Algoritmo [3] Cálculo do somatório Exemplo para n = 5: soma = 0 soma = soma + v1 soma = soma + v2 soma = soma + v3 soma = soma + v4 soma = soma + v5 n v i = v 1 + v v n i=1 % soma tem v1 % soma tem (v1) + v2 % soma tem (v1+v2) + v3 % soma tem (v1+v2+v3) + v4 % soma tem (v1+v2+v3+v4) + v5 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 8

9 Resolução Programa 5. Para cada sub-problema, desenhar o algoritmo para o resolver. Não há sub-problemas. 6. Para cada sub-problema (começando pelos mais simples), implementar o respe(vo algoritmo e testar o subprograma. Não há sub-problemas. 7. Implementar o algoritmo que resolve o problema e testar o programa pedido. Média (v1,..., vn) 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 9

10 Implementação Que questões? 1. Como é que se guarda um número (finito mas) arbitrário de valores (do mesmo (po)? No problema: os reais v 1,..., v n para qualquer n 2. Como é que se pode executar uma instrução um número arbitrário (mas finito) de vezes? No problema: a atribuição no cálculo de um somatório, para qualquer n. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 10

12 Implementação Que questões? 1. Como é que se guarda um número arbitrário (mas finito) de valores (do mesmo (po)? No problema: os reais v 1,..., v n para qualquer n Resposta: Num vetor : [ v1 v2... vn ] Mais geral: como usar vetores em Matlab? 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 12

13 Vetores em Informá(ca Um vetor é uma estrutura de dados que guarda um número pré-definido de dados do mesmo (po. Um vetor corresponde a uma sequência de posições de memória. A sequência tem um comprimento fixo. Acede-se a uma posição do vetor através de um índice, que é um inteiro posi(vo (1, 2,..., comprimento ). V: Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 13

14 Vetores Criação V: Sintaxe: [ lista de valores ] Os valores na lista podem ser separados por vírgulas [-5, 18, 8, -3.5, -5, 0, 9]... ou por espaços [ ] Normalmente, o vetor é atribuído a uma variável quando é criado (o nome da variável é o nome do vetor) V = [ ] 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 14

15 Vetores Acesso a uma posição Os elementos do vetor podem ser acedidos individualmente Sintaxe: nomevetor( expressão ) O valor da expressão deve ser um inteiro posi(vo, inferior ou igual ao comprimento do vetor. A função length permite obter o comprimento de um vetor Exemplos: >> V = [-5, 18, 8, -3.5, -5, 0, 9]; >> V(3) ans = 8 >> length(v) ans = 7 >> 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 15

16 Vetores Acesso a uma posição Os acessos podem ser feitos não só para para leitura dos elementos de um vetor, mas também para atribuição de novos valores a esses elementos Exemplos: >> V = [-5, 18, 8, -3.5, -5, 0, 9] >> V(6) = >> p = 1; >> V(p+2) = V( length(v) ) % A posição 3 fica com >> V(p) = V(p+4)^2; % A posição 1 fica com 25. >> V(1) ans = 25 >> 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 16

17 Vetores Erros Típico de Acesso Quando o índice indicado não é um inteiro posi(vo, inferior ou igual ao comprimento do vetor, o interpretador reporta um erro. >> V(20) % indice maior que o comprimento??? error: A(I): index out of bounds; value 20 out of bound 7 >> V(-4) % indice negativo??? error: subscript indices must be either positive integers less than 2^31 or logicals >> V(sqrt(2)) % indice não inteiro??? error: subscript indices must be either positive integers less than 2^31 or logicals 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 17

18 Vetores Erros Típico de Acesso Em Matlab, apesar de não ser possível ler um elemento de uma posição de um vetor que não esteja definida, é possível fazer crescer um vetor e escrever um elemento numa posição ainda não definida. Em Matlab, são assim válidas as atribuições da forma: V(pos) = valor, com pos > length(v). 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 18

19 Matlab Escrita numa posição Dada uma atribuição V(pos) = valor (pos > length(v)) o Matlab 1. Cria um novo vetor com comprimento pos. 2. Copia os elementos de V para esse novo vetor, preservando as suas posições. 3. Escreve o valor na posição pos. 4. Escreve zero nas posições {length(v)+1,..., pos 1} do novo vetor. 5. O vetor V é destruído. 6. O novo vetor passa a chamar-se V. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 19

20 REGRA DE PROGRAMAÇÃO O código deve ser eficiente. Os vetores devem ser criados com o comprimento máximo necessário, para que não se escreva numa posição inexistente (o que obriga a refazer o vetor) Todas as exceções à regra anterior têm de ser muito bem jus(ficadas. Para esse efeito podem ser usadas funções predefinidas para a criação de vetores com o comprimento desejado. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 20

21 Vetores Funções de criação V = zeros(1, nºposições) V é um vetor com comprimento nºposições, com zero em todas as posições. V = ones(1, nºposições) V é um vetor com comprimento nºposições, com um em todas as posições. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 21

22 Sequências de números [1] Sequências de inteiros podem ser representadas de forma mais compacta: Exemplo: 2, 3, 4, 5 pode ser representada por: 2:5 Em Matlab, uma sequência é um vetor, e pode ser definida compactamente com a seguinte Sintaxe: primeiroelemento : úl(moelempossível; ou primeiroelemento : passo : úl(moelempossível O vetor é cons(tuido por todos os valores da série aritmé(ca, com razão igual ao passo começada pelo primeiroelemento e cujo úl(mo elemento não ultrapasse o úl(moelempossível. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 22

23 Sequências de números [1] Exemplos: >> 1:5 % caso mais comum com passo = 1 ans = >> 1:2:9 % passo maior que 1 ans = >> 1:1.5:7 % passo não inteiro (elementos não inteiros) ans = >> 1:2:6 % ultimo elemento não atinge o limite ans = >> 12:-2:6 % passo negativo ans = >> 12:-2:-3 % igual mas ultimo elemento não atinge o limite ans = >> 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 23

24 Vetores Acesso & criação Em Matlab, um sub-vetor pode ser ob(do de outro através de um terceiro vetor usado para indexar o anterior. Em par(cular, é muito comum usarem-se sequências para indexação de vetores Nota: O iden(ficador end representa até ao fim >> V = 11:2:24 % criacao de vetor V = >> V(3:5) % indexacao por vetor/sequencia ans = >> V(5:end) % indexacao por vetor/sequencia ans = >> I = [1,4,6]; X = V(I) % vetor de indices >> X = >> 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 24

25 Questão 1 1. Como é que se guarda um número (finito mas) arbitrário de valores (do mesmo (po)? No problema: os reais v 1,..., v n. Resposta: Os valores v 1,..., v n estão num vetor. A solução do problema será implementada pela função function res = media( valores )! em que o parâmetro valores receberá um vetor como argumento 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 25

27 Implementação Que questões? 2. Como é que se pode executar uma instrução um número (finito mas) arbitrário de vezes? No problema: a atribuição no cálculo de um somatório. n v i = v 1 + v v n i=1 Ideia base: implementa-se uma soma de n parcelas como uma sequência de n somas de duas parcelas, usando-se sempre o resultado anterior. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 27

28 Implementação Que questões? soma = 0 n v i = v 1 + v v n i=1 soma = soma + v1 soma = soma + v2 soma = soma + v3 etc % soma tem v1 % soma tem (v1) + v2 % soma tem (v1+v2) + v3 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 28

29 Ciclo FOR Sintaxe: for variável = sequência... instruções end Operacionalmente: Se a variável não existe, é criada. Para cada elemento E da sequência (pela ordem por que os elementos ocorrem): 1. variável = E; 2. executam-se as instruções. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 29

30 Ciclo FOR Exemplo [1] Exemplos: >> V = [4 9 8, 2, 5] >> for i = 1:4 i end % mostra os indices i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 >> for i = [1,4,2] V(i) end % mostra os valores de V ans = 4 ans = 2 ans = 9 >> 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 30

31 Ciclo FOR Exemplo [2] Exemplos: Cálculo de somas (e produtos) de vetores >> V = [4 9 8, 2, 5] >> soma = 0, for i = 1:3 soma = soma + V(i) end soma = 0 soma = 0 soma = 4 soma = soma + v1 % soma tem v1 soma = 13 soma = soma + v2 % soma tem (v1) + v2 soma = 21 soma = soma + v3 % soma tem (v1+v2) + v3 >> 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 31

32 Ciclo FOR Exemplo [2] Exemplos: Cálculo de somas (e produtos) de vetores >> V = [4 9 8, 2, 5] >> prod = 1, for i = 1:length(V) prod = prod * V(i) end prod = 1 prod = 1 prod = 4 prod = prod * v1 % prod tem v1 prod = 36 prod = prod * v2 % prod tem (v1) * v2 prod = 288 prod = prod * v3 % prod tem (v1*v2) * v3 prod = 576 etc prod = 2880 >> soma = 0; for i = 1:length(V) soma = soma + V(i); end >> soma soma = Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 32

33 Função Média Exemplo: Definição da função média function res = media( valores )! % res = media(valores)! % Calcula a media dos elementos do vetor valores.! end! soma = 0;! n = length(valores)! for i = 1 : n! end! soma = soma + valores(i);! res = soma / n;! 1 n n v i i=1 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 33

34 Função Média Geométrica Exemplo: Definição da função média geométrica function res = media_geometrica( valores )! % res = media(valores)! % Calcula a media geometrica dos elementos! % do vetor valores.! end! prod = 1;! n = length(valores)! for i = 1 : n! prod = prod * valores(i);! end! res = prod ^ (1/n);! n i=1 V(i) 1 n 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 34

35 % res = media(valores) Função Média % Calcula a media dos elementos do vetor valores. func(on res = media( valores ) end soma = 0; for i = 1 : length(valores) end soma = soma + valores(i); res = soma / length(valores); 1 n i valores(i) soma (antes) n 6 n v i i=1 soma (depois) 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 35

36 % res = media(valores) Função Média % Calcula a media dos elementos do vetor valores. func(on res = media( valores ) end soma = 0; for i = 1 : length(valores) end soma = soma + valores(i); res = soma / length(valores); i valores(i) soma (antes) soma (depois) n 6 1 n n v i i=1 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 36

39 % res = media(valores) Função Média % Calcula a media dos elementos do vetor valores. func(on res = media( valores ) end soma = 0; for i = 1 : length(valores) end soma = soma + valores(i); res = soma / length(valores); 1 n i valores(i) soma (antes) n v i i=1 soma (depois) n Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 39

40 Média Exemplos de execução Alguns exemplos de execução da função media O que acontece quando o vetor é vazio??? >> V = [4 9 8, 2, 5] >> m = media(v) m = 5.6 >> X = [4] X = 4 >> m = media(x) m = 4 >> Z = [] >> m = media(z) warning: division by zero m = NaN 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 40

41 Problema da Cerâmica (2) Em geral a média de um conjunto de valores não nos fornece toda a informação ú(l para descrever esse conjunto. Nomeadamente não nos dá ideia da variabilidade dos valores do conjunto A média de 0 e 10 é a mesma de 5 e 5, mas a úl(ma é equilibrada. Para medir a variação é vulgar u(lizar-se o desvio padrão, e portanto pode reformular-se o problema anterior para:... Faça um programa para calcular a média e o desvio padrão daqueles valores. 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 41

42 Problema da Cerâmica (2) Este problema mais complexo é naturalmente decomposto em dois subproblemas: Cálculo da média já feito Cálculo do desvio padrão a implementar tendo em conta a sua definição σ = Nota-se imediatamente que para este cálculo é conveniente dispor da média do vetor V, µ. n (V(i) µ) i=1 n 2 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 42

43 Problema da Cerâmica (2) Vamos pois resolver este problema com 3 funções com assinaturas function res = estatistica(v) function res = media (V)! function res = desviopadrao(v, med)! sendo a primeira função implementada a par(r das duas úl(mas. A função média já foi definida, pelo que podemos passar para a implementação do função desviopadrao, que é muito semelhante 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 43

44 Função Média Geométrica Exemplo: Definição da função desvio padrão function res = desviopadrao(v, med)! % res = desviopadrao(v, med)! % Calcula o desvio padrao de um vetor! % dada a sua media, med.! n num = 0;! n = length(v)! σ = for i = 1 : n! num = num +(V(i)-med)^2;! end! res = sqrt(num / n);! end! (V(i) µ) i=1 n 2 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 44

45 Problema da Cerâmica (2) FIM Uma vez implementadas as funções mais simples, a função esta}s(ca é implementada através da combinação das outras. function res = estatistica(v)! % [med,dvp] = estatistica(v, med)! % Calcula a media e o desvio padrao do vetor V! med = media(v);! dvp = desviopadrao(v,med)! end! res = [med,dvp]! De notar que o resultado desta função é um vetor, já que a função retorna dois valores (a média e o desvio padrão). 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 45

47 Função Quadrado de um Vetor A função que calcula o quadrado de um vetor pode ser implementada percorrendo os seus elementos num ciclo FOR function U = quadrado(v)! % U = quadrado(v)! % U é o vetor como o quadrado dos elementos de V! n = length(v);!!u = zeros(1,n);! for i = 1:length(V)! U(i) = V(i)^2;! end! end! Nota: Para evitar a criação de n vetores U, o vetor deve ser inicializado com a função zeros (ou ones) 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 47

48 Média Exemplos de execução De notar que as variáveis n e U são locais e desaparecem após a execução da função. >> V = [4 9 8] >> quadrado(v) ans = >> U error: 'U' undefined near line 1 column 1 >> Q = quadrado(v) Q = >> V V = >> V = quadrado(v) V = function U = quadrado(v)! n = length(v);!!u = zeros(1,n);! for i = 1:length(V)! U(i) = V(i)^2;! end! end! 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 48

49 Vetor Fibonacci Os elementos da série de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... são definidos como a soma dos 2 anteriores. Desta forma a construção de um vetor de Fibonacci com n elementos (n 2) pode ser construido a par(r da função function F = fibonaccivetor(n)! % F = fibonaccivetor(n)! % O vetor F contem os primeiros n elementos da! % série de Fibonacci! F = zeros(1,n)! F(2) = 1;! for i = 3:n! F(i) = F(i-2) + F(i-1);! end! end! 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 49

50 Fibonacci Exemplos de execução >> Fn = fibonnacivetor(5) F = F = F = F = F = Fn = >> Fn Fn = >> F F = zeros(1,n)! F(2) = 1;! for i = 2:n! F(i) = F(i-2) + F(i-1);! end! error: F' undefined near line 1 column 1 >> 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 50

51 Vetor Fibonacci De notar que uma função semelhante calcular o n-ésimo elemento de Fibonacci sem necessitar do vetor. Mas neste caso, terão de ser usadas variáveis auxiliares que se vão actualizando ao longo do ciclo FOR (como as usadas nas prá(cas) function fn = fibonaccielem(n)! % F = fibonaccielem(n)! % fn é o n-esimo elementos da série de Fibonacci! fantant = 0! fant = 1! for i = 3:n! fn = fant+fantant! fantant = fant! fant = fn! end! end! 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 51

52 Fibonacci Exemplos de execução >> f4 = fibonnacielem(4) fantant = 0! fant = 1! fn = 1 fantant = 1! fant = 1! fn = 2 fantant = 1! fant = 2! fn = 3 fantant = 2! fant = 3! f4 = 3! >> fn! fantant = 0! fant = 1! for i = 2:n! fn = fant+fantant! fantant = Fant! fant = fn! end! error: fn' undefined near line 1 column 1 >>!! 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 52

53 Inversão de uma String Em Matlab, uma string é implementada através de um vetor de carateres, em que cada carater é representado pelo seu código (ASCII ou UTF). Apesar de haver várias funções pré-definidas para strings que serão abordadas mais à frente, podemos usar a matéria de ciclos FOR e vetores para inverter uma string (escrevê-la de trás para a frente ). Para esse efeito poderemos escrever como anteriormente uma função com assinatura function inv = inverter(str)! 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 53

54 Inversão de uma String A sua implementação com um ciclo for é semelhnate à anterior Notar que a string inver(da é inicializada com a função blanks, semelhante às funções zeros e ones, mas que cria um vetor de caracteres espaço. function inv = inverte(str)! % inv = inverte(str)! % A string inv é a inversão da string str! n = length(str);! inv = blanks(n)! for i = 1:n! inv(i) = str(n-i+1) % indice complementar! end % 1<-n; 2<-n-1 ;... ; n<-1! end! 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 54

55 Inversão de uma String Tal como anteriormente poderemos testar esta função (de uma forma não exaus(va)! >> inverte( abcd ) inv =! inv = d! inv = dc inv = dcb! inv = dcba! ans = dcba >> inv inv = blanks(n)! for i = 1:n! inv(i) = str(n-i+1)! end! error: inv' undefined near line 1 column 1 >> s = abcd >> s = inverte(s) s = dcba >>!! 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 55

56 Inversão de uma String De notar que a u(lização de indexação apropriada num vetor, neste caso numa string, permite inverter uma string numa só instrução, eleiminando-se a necessidade de usar uma função. >> str = abcd str = abcd >> n = length(str) n = 4 >> inv = str(n:-1:1)! inv = dcba >>!!!?!? 20 Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 56

57 Para Estudar a Aula de Hoje Recomendado Physical Modeling in MATLAB Capítulos 3 e 4 Opcional Manual do Octave Capítulo 4.1 Matrizes «Vetores são matrizes (matéria das próximas aulas) Capítulo 4.2 e Março 2017 ICE-c Aula 3: Vetores; ciclos FOR 57