Uma abordagem heurística para o Team Orienteering Problem

Transcrição

1 Uma abordagem heurística para o Team Orienteering Problem Francisco Henrique de Freitas Viana 1, Marcus Vinícius Soledade Poggi de Aragão 1 1 Departamento de Informática Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) Rio de Janeiro, Brasil fviana@inf.puc-rio.br, poggi@inf.puc-rio.br Resumo. O Team Orienteering Problem é uma variante do Vehicle Routing Problem em que um conjunto de rotas de veículos são construídas de tal forma que o lucro total obtido pela visitação de um subconjunto dos clientes é maximizada. Cada ponto representa um cliente e cada cliente tem um lucro associado. Todas as rotas tem que terminar dentro de um dado limite de tempo. Cada cliente pode ser visitado por no máximo um veículo. Este trabalho propõe uma abordagem heurística para resolver esse problema. Esse algoritmo é subdividido em duas partes. Primeiramente, executa-se uma Busca Tabu que utiliza operadores tais como troca, inserção e movimentação. Soluções viáveis e inviáveis são exploradas nesse processo. Em segundo lugar, é executada uma busca local para melhorar essa solução. Experimentos computacionais foram realizados com instˆancias padrão. Os resultados mostram que a abordagem obtém soluções que, em média, tḙm um desvio de 10.86% em comparação com as melhores soluções conhecidas. PALAVRAS CHAVE. Metaheurísticas. Team Orienteering Problem. Busca Tabu. Área de Classificação Principal (Metaheurísticas) Abstract. O Team Orienteering Problem is a variant of the Vehicle Routing Problem in which a set of vehicles routes is constructed such that the total collected reward received from visiting a subset of customers is maximized. Each point represents a customer and each customer has a associated profit. All of routes has to finish within a given time limit. Each customer can be visited by one vehicle at most. We propose an heuristic approach to solve this problem. This algorithm is subdivided in two parts. Firstly, we execute a tabu search that utilizes operators like swap, insertion and 1-move. Feasible and infeasible solutions are explored in this process. Secondly, we run a local search to improve this solution. Computational experiments were made on standard instances. The results show that the our approach gets solutions that are 10.86% (on the average) below comparing with the best known solutions. KEYWORDS. Metaheuristics. Team Orienteering Problem. Tabu Search. Main Area (Metaheuristics) XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2169

2 1. Introdução Os problemas de roteamento de veículos têm sido amplamente estudados.essa classe de problemas geralmente considera a obrigatoriedade de se visitar um dado conjunto de clientes, utilizando uma frota de veículos de modo a minimizar o custo total do roteamento. Existem alguns problemas de roteamento que não se enquadram nessa regra. Tais problemas, associam um lucro à visitação de um cliente. Nessa linha, existem problemas que lidam apenas com um veículo, os chamados Traveling Salesman Problem with profits, bem como os problemas que consideram múltiplos veículos. Dentre os problemas que consideram múltiplos veículos, pode-se enquadrar o TOP, no qual o objetivo é maximizar o lucro total obtido pela visita dos clientes, considerando que se tem um número fixo de veículos na frota e que, cada rota, não pode eceder um limite de tempo máximo determinado a priori. Devido à essa restrição que limita o tempo final das rotas, evidentemente, em uma solução do TOP, todos os pontos não tem que ser necessariamente visitados. Figura 1. À esquerda uma solução do VRP e à direita uma solução do TOP. O Team Orienteering Problem - TOP foi proposto no artigo de Butt and Cavalier (1994) ainda com o nome de Multiple Tour Maximum Collection Problem. Posteriormente, Chao et al. (1996) introduziram formalmente esse problema. O TOP é uma versão do Orienteering Problem considerando-se que existem múltiplos veículos. No Orienteering Problem considera-se que as visitas são realizadas por um único veículo. Como referência do Orienteering Problem pode-se citar o algoritmo exato proposto por Fischetti et al. (1998). O primeiro trabalho experimental sobre o TOP foi realizado por Chao et al. (1996). Este trabalho também propôs as instâncias que ainda são utilizadas atualmente. Nesse trabalho, é apresentado um algoritmo conhecido como heurística de cinco passos para o Orienteering Problem. Mais tarde, Tang and Miller-Hooks (2005) propuseram uma Busca Tabu combinada com um procedimento de memória adaptativa. Presentemente, os resultados mais relevantes são encontrados em Archetti et al. (2005). Nesse trabalho, são apresentadas duas variantes de Busca Tabu, bem como uma rápida e uma lenta Variable Neighbourhood Search - VNS. A primeira variação da Busca Tabu percorre apenas o espaço de soluções viáveis, enquanto que, a segunda variação, aceita soluções inviáveis no decorrer da busca. A VNS, por sua vez, considera somente soluções viáveis. O ponto forte desse algorimo está no fato de que pontos não visitados pela solução corrente são também agrupados em rotas, ao passo que, nas outras abordagens, somente os pontos vistados estão alocados às rotas. Vansteenwegen et al. (2009) apresentaram uma VNS para o TOP que obtém resultados comparáveis com os encontrados em Archetti et al. (2005) em um tempo computacional muito reduzido (inferior a um minuto). Todavia, em geral, a qualidade das soluções apresentadas Archetti et al. (2005) é ainda superior. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2170

3 Esse artigo está organizado da seguinte forma. Na seção 2, o problema é definido formalmente. A seção 3 explica a abordagem heurística proposta para o TOP. A seção 4 descreve os cenários de teste, relata acerca dos experimentos computacionais e faz uma comparação dos resultados com as melhores soluções reportadas na literatura para o problema. A seção 5 traz as conclusões e tendências de trabalhos futuros. 2. Team Orienteering Problem (TOP) - Definição Seja um grafo completo G(V,E), no qual V = {0,...,n} representa o conjunto de vértices e E = {(i,j) i,j V } representa o conjunto de arestas. O vértice 0 representa o ponto de partida das rotas e o vértice n representa o ponto final de todas as rotas e os demais vértices representam clientes em potencial. A cada cliente é associado um lucro não negativo e o peso das arestas representa o tempo de viagem entre as duas localidades conectadas. Uma frota contendo m veículos está disponível para visitar os clientes. Cada veículo deve efetuar uma rota visitando um subconjunto dos clientes, sendo que a duração total da rota não pode ultrapassar um limite de tempo pré-estabelecido. O objetivo do problema abordado é, portanto, maximizar o lucro total coletado pelos veículos, satisfazendo a duração limite (T max ) em cada rota. 3. Abordagem heurística para o TOP A heurística aqui proposta é subdividida em duas partes: A parte I consiste em uma Busca Tabu que relaxa um pouco a restrição da duração máxima das rotas. Ao término dessa fase, utiliza-se um procedimento para tornar viável a solução que menos tiver violado a restrição da duração limite das rotas. A parte II é composta por três fases. Na primeira fase, uma busca local com o objetivo de minimizar o tempo final da menor rota da solução. Essa busca local utiliza operadores de troca e de movimentação. Na segunda fase, procura-se inserir novos clientes à solução. Quando a inserção não é mais possível, devido à restrição do tempo máximo das rotas, executa-se a terceira fase que consiste em remover pontos de modo a reduzir as rotas. Isso permite que o algoritmo volte à primeira fase. Esse ciclo se repete até que termine o tempo definido para a execução da heurística Parte I - Busca Tabu A Busca Tabu utiliza operadores de inserção, remoção, troca, movimentação e de troca de clientes visitados. Esta busca parte de uma solução inicial trivial com todas as rotas vazias e, portanto, com nenhum ponto visitado. A função de avaliação da Busca Tabu é dada pela seguinte expressão: 1 w l lucro total + w d distancia total + w i tempo excedido total (1) onde: lucro total = r s(r) c r p(c), onde s(r) é o conjunto de rotas da solução s e p(c) é o lucro obtido pela visitação do cliente c. O lucro está multiplicado por -1 para que possamos trabalhar com a minimização da função objetivo. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2171

4 distancia total = d(r), onde d(r) é a distância total percorrida pelo veículo que r R realiza a rota r. tempo excedido total = r R pré-estabelecido e final(r) é o tempo final da rota r. T max final(r), onde T max é o tempo limite das rotas Os multiplicadores w l, w d e w i são respectivamente o peso dado ao lucro coletado e as penalizações sobre a distância percorrida e sobre o tempo total que as rotas excedem o valor de T max. O valor de w i varia no decorrer da execução da Busca Tabu. Nas primeiras iterações, penaliza-se pouco a violação da restrição do tempo máximo das rotas. Entretanto, essa penalização tende a aumentar de modo que, nas últimas iterações, o algoritmo possa convergir para uma solução viável ou que não viole demasiadamente essa restrição. As figuras 2, 3, 4, 5 e 6, abaixo, ilustram os operadores utilizados nessa busca. Nessas figuras, os pontos pretos representam os pontos inicial e final das rotas, os pontos em cinza são aqueles ques participam da operação e os pontos em branco são aqueles que não estão diretamente envolvidos na operação. Cada grafo representa uma solução contendo duas rotas. Uma rota tem as arestas em preto e a outra tem as arestas pontilhadas. O grafo da esquerda representa a solução antes da aplicação do operador e o grafo da direita retrata a solução resultante da operação. A seguir, descreve-se formalmente cada um dos operadores Operador de Inserção Esse operador insere em uma rota um cliente que não está sendo visitado por nenhuma rota na solução atual s. Denota-se esse operador pela expressão r + c, onde r é a rota na qual é inserido o cliente c. Assim, a solução resultante após a aplicação desse operador pode ser escrita como s r + c (Figura 2). Figura 2. Operador de inserção Operador de Remoção Esse operador remove um cliente de uma determinada rora r pertencente à solução atual s. A expressão que representa o operador é r c, onde r é a rota da qual é removido o cliente c. Assim, a solução resultante após a aplicação desse operador é denotada por s r c (Figura 3). Figura 3. Operador de remoção XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2172

5 Operador de Troca entre rotas Nesse operador dois clientes c e c trocam de rotas entre si. Formalmente, uma movimentação é definida como a substituição de r c (s) por r c (s) c + c, bem como a substituição de r c (s) por r c (s) c + c. Denota-se a solução resultante por s (r c (s) c + c,r c (s) + c c ) (Figura 4) Figura 4. Operador de troca Operador de Movimentação Nesse operador, um cliente c é movido de sua rota para uma outra rota r r c (s). Assim, r c (s) é substituída por r c (s) c e r, por sua vez é substituída por r + c. Uma movimentação pode ser denotada por uma tupla (c,r c (s),r). Desse modo, a solução resultante após a execução desse operador pode ser definida como s (r c (s) c,r + c), onde s é a solução original (Figura 5). Figura 5. Operador de movimentação Operador de Troca de pontos visitados Dada uma rota r, esse operador remove um cliente c dessa rota e insere na mesma rota um outro cliente c que não estava sendo visitado por nenhuma das rotas pertencentes à solução s. A solução que resulta dessa operação é, portanto, s (r c + c ) (Figura 6). Figura 6. Operador de troca de pontos visitados Após a execução de uma operação, insere-se na lista tabu, para cada ponto envolvido na operacão, o número de iterações que esse ponto não pode participar de nenhuma outra operação. Esse número de iterações tabu é calculado aleatoriamente. Assim, nessa Busca Tabu, quando um ponto participa de uma operação deve permanecer na mesma rota por um número de iterações calculado aleatoriamente. Por exemplo se um cliente c é inserido em uma rota r em uma iteração i, tal ponto não poderá ser removido da rota r as próximas k iterações tabu, onde k é calculado aleatoriamente. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2173

6 O Critério de Aspiração é usado para determinar quando um movimento será executado, mesmo sendo classificado como proibido por estar na lista tabu. Na Busca Tabu proposta, se a solução formada a partir de um movimento proibido for melhor que a melhor solução encontrada até o momento, o movimento será realizado. A cada iteração da Busca Tabu é escolhido o melhor dentre os movimentos que não estão na lista tabu, ou seja, aquele movimento que irá implicar a maior melhoria no valor da função de avaliação apresentada em 3.1. Um movimento tabu é executado somente se acarretar uma melhoria no custo da melhor solução global já encontrada. Após a execução de cada operador, executase uma otimização da(s) rota(s) afetada(s) pelo referido operador. Para essa otimização, foi utilizado o algoritmo proposto por [Lin and Kernighan, 1973] para o Traveling Salesman Problem. Ao término desta fase, executa-se um procedimento que torna viável a solução que menos tenha violado a restrição do limite de tempo das rotas. Esse procedimento remove pontos das rotas até que a viabilidade seja alcançada Parte II - Busca Local Ao término da Parte I, tem-se uma solução viável para o TOP. Observa-se que, muitas vezes, as rotas dessa solução viável, terminam um pouco antes do tempo limite das rotas T max. Assim, a difernça δ r = T max final(r), onde final(r) representa a duração da rota r, geralmente nao é suficiente para a inclusão de um novo cliente na rota r. Diante dessa problemática, este trabalho propõe uma busca local visando a concentrar essas sobras de tempo (δ) de cada rota em uma única rota. Em outras palavras, o objetivo dessa busca local é minimizar o tempo final da menor entre as m rotas da solução s gerada pela Parte I. Esta busca local corresponde à fase 1 da Parte II do algoritmo.a intuição que se teve para a utilização dessa busca local foi que, ao término dessa busca, há uma maior probabilidade de ser possível efetuar a inserção de novos clientes na menor de todas as m rotas, implicando assim um aumento no lucro total coletado pela solução, que é o objetivo primordial do problema. A Figura 7 ilustra didaticamente essa idéia. Considere que os dois recipientes representam duas rotas de uma solução. Tais recipiente têm uma capacidade que corresponde à duração máxima das rotas. Cada bloco representa um cliente e o tamanho do bloco dá uma idéia de quanto de tempo o veículo vai gastar para visitar esse cliente. Os blocos que já estão em algum dos recipientes são os clientes que já estão alocados a alguma rota. Repare que, na primeira situação, o bloco de número 5 (cliente 5) não pode ser inserido nem no recipiente 1 (rota 1) nem no recipiente 2 (rota 2), sem ultrapassar a duração máxima das rotas. Todavia, na segunda situação, após a movimentação do bloco 4 do segundo para o primeiro recipiente, tornou-se possível a inserção do bloco 5 no segundo recipiente resultando assim em uma solução viável. Quando não há mais nenhuma possibilidade de troca ou de movimentação que venha a acarretar um decréscimo no tempo final da menor rota, tem início a segunda fase que consiste em executar os operadores de inserção ou de troca de pontos visitados semelhantes aos apresentados na Busca Tabu da Parte I do algoritmo. Quando não houver mais movimentos possíveis dessa natureza, é iniciada a terceira fase na qual efetua-se a remoção de clientes. Procura-se remover o(s) ponto(s) que menos contribue(em) para o lucro total da solução. Inicialmente, busca-se retirar um ponto da solução de modo a permitir que haja novas inserções. Caso não seja possível atingir o objetivo com apenas uma remoção, tenta- XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2174

7 Figura 7. Idéia da Parte II do algoritmo se remover grupos de dois pontos e assim sucessivamente. Os grupos de pontos candidatos a serem removidos são ordenados em ordem ascendente de lucro e os testes de remoção são efetuados nessa ordem. Após esta fase, deve ser possível retornar às fases 1 e 2, repetindo-se esse ciclo até que expire o tempo pré-definido para a execução do algoritmo. Durante a busca local, são armazenadas duas soluções: a melhor solução viável e a solução inviável que viola menos a restrição do tempo limite das rotas. Vale ressaltar que, tanto ao término da Parte I, como ao término da Parte II, executa-se um procedimento que torna viável a solução que menos tenha violado a restrição do limite de tempo das rotas. A melhor solução encontrada pelo algoritmo é, portanto, a que coleta mais lucro entre a melhor solução viável encontrada e a solução menos inviável depois de ser ajustada, através de remoções, para que se tornasse também viável. 4. Experimentos Computacionais Há seis conjuntos de instâncias, propostos por Chao et al.(1996). Essas instâncias foram utilizadas para possibilitar uma comparação da abordagem aqui apresentada com os melhores resultados da literatura, haja vista que, essas foram as instâncias utilizadas por Archetti et al. (2005). Os conjuntos de dados 1, 2, 3,4, 5, 6 e 7 têm, respectivamente, 32,21,33,100,66,64 e 102 clientes por instância de teste. Os experimentos computacionais foram realizados sobre o conjunto de instâncias proposto por Chao et al. (1996). Os resultados foram comparados com o s obtidos por Chao et al. (1996), de agora em diante referidos como CGH, com os resultados de T ang and Miller-Hooks (2005), doravante TMH e com os resultado de Archetti et al. (2005). Este último artigo apresenta quatro algoritmos que serão referenciados respectivamente por GEN TABU PENALTY, GEN TABU FEASIBLE, FAST VNS e SLOW VNS. O algoritmo SLOW VNS requer vinte minutos no pior caso. O GEN TABU PENALTY e o GEN TABU FEASIBLE executam em menos do que dez minutos, na maioria dos casos. Já o FAST VNS gasta mais do que dois minutos em apenas um caso. O algoritmo proposto nesse artigo será referenciado nas tabelas dos resultados como TS+LS. Vale destacar que o algoritmo TS + LS foi executado somente uma vez para cada instância, enquanto que no artigo de Archetti et al. (2005) foram realizados três testes para cada instância, sendo reportados o valor mínimo e o valor máximo obtido para o lucro total de cada solução. O código fonte desse algoritmo foi desenvolvido em C++, utilizando-se o Microsoft Visual Studio 2005 Professional Edition.A máquina de teste tem processador INTEL(R) CORE(TM)2 CPU T ghz e 2GB de memória RAM e o sistema operacional da máquina é o Windows Vista. Foi utilizado o código fonte de Helsgaun (2000) que é uma implementação da heurística XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2175

8 Tabela 1. Avaliação da Busca Tabu e da Busca Local Instância TS TS+LS p1.2.i.txt p1.2.l.txt p1.3.l.txt p1.3.m.txt p1.3.p.txt p1.4.o.txt proposta por Lin and Kernighan (1973). A Tabela 8 lista os principais parâmetros do algoritmo, os pesos da função de avaliação, bem como os tempos de execução de cada parte do algoritmo. Pelo fato de haver elementos aleatórios no algoritmo, estão sendo reportados os melhores resultados obtidos, considerando-se que, para cada instância, foram executados três testes Resultados Nas tabelas 2 a 7, a coluna desvio(%) indica o desvio percentual da solução obtida por TS+ LS em comparação com a melhor solução conhecida.para cada conjunto de dados, mostra-se também o devio médio das instâncias testadas do referido conjunto.o desvio médio, considerando-se todas as intâncias de todos os conjuntos de dados testados foi de 10.86%. As tabelas 2, 3, 4, 5, 6 e 7 listam os resultados obtidos em um quadro comparativo com as principais heurísticas da literatura. Estão em negrito os resultados obtidos pela heurística TS + LS que empatam ou superam os resultados obtidos pelas outras heurísticas consideradas na comparação. Para o conjunto de dados 1, os resultados, em média, estão a 10.29% das soluções obtidas pelas melhores heurísticas e para uma instância, essa abordagem obteve resultado igual ao melhor já conhecido (Tabela 2).Para o conjunto de dados 2, em três instâncias foi obtido resultado igual ao melhor já conhecido e, para uma instância, TS + LS superou o melhor resultado encontrado na literatura (Tabela 3). Em média, as soluções de TS+LS ficaram a 5.91% dos melhores resultados conhecidos. Para o conjunto de dados 3, os resultados obtidos ficaram, em média, a uma distância de 13.75% dos valores obtidos pelos melhores algoritmos encontrados na literatura, não tendo conseguido igualar ou superar tais valores (Tabela 4). Considerando o conjunto de dados 4, em uma instância TS + LS superou o melhor resultado encontrado na literatura (Tabela 5). O desvio médio em relação aos melhores resultados, para esse conjunto, foi de 11.29%. Nos conjuntos de dados 5, 6 e 7, TS + LS teve um desvio de 16.31% 13.24% e 5.26% respectivamente, em relação às demais heurísticas, não chegando a igualar os melhores resultados conhecidos(tabelas 6, 7). A Tabela 1 ilustra o resultado obtido pela Busca Tabu da Parte I e mostra a contribuição da busca local da Parte II que, eventualmente, permite a inserção de mais clientes à solução. XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2176

9 Table 2. Listagem dos resultados - Conjunto de dados 1 Instância TS+LS GEN TABU PENALTY GEN TABU FEASIBLE FAST VNS SLOW VNS TMH CGW Desvio (%) MIN MAX MIN MAX MIN MAX MIN MAX p1.2.i.txt p1.2.l.txt p1.3.l.txt p1.3.m.txt p1.3.p.txt p1.4.o.txt Desvio Médio Table 3. Listagem dos resultados - Conjunto de dados 2 Instância TS+LS GEN TABU PENALTY GEN TABU FEASIBLE FAST VNS SLOW VNS TMH CGW Desvio (%) MIN MAX MIN MAX MIN MAX MIN MAX p2.2.j.txt p2.2.k.txt p2.3.g.txt p2.3.k.txt p2.4.h.txt p2.4.j.txt Desvio Médio 5.91 XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2177

10 Table 4. Listagem dos resultados - Conjunto de dados 3 Instância TS+LS GEN TABU PENALTY GEN TABU FEASIBLE FAST VNS SLOW VNS TMH CGW Desvio (%) MIN MAX MIN MAX MIN MAX MIN MAX p3.2.c.txt p3.2.j.txt p3.3.e.txt p3.3.g.txt p3.3.h.txt p3.4.j.txt Desvio Médio Table 5. Listagem dos resultados - Conjunto de dados 4 Instância TS+LS GEN TABU PENALTY GEN TABU FEASIBLE FAST VNS SLOW VNS TMH CGW Desvio (%) MIN MAX MIN MAX MIN MAX MIN MAX p4.2.a.txt p4.2.c.txt p4.2.j.txt p4.3.j.txt p4.3.m.txt p4.3.p.txt p4.4.i.txt Desvio Médio XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2178

11 Table 6. Listagem dos resultados - Conjunto de dados 5 Instância TS+LS GEN TABU PENALTY GEN TABU FEASIBLE FAST VNS SLOW VNS TMH CGW Desvio (%) MIN MAX MIN MAX MIN MAX MIN MAX p5.2.j.txt p5.2.l.txt p5.3.i.txt p5.3.l.txt p5.4.p.txt p5.4.r.txt p5.4.s.txt Desvio Médio Table 7. Listagem dos resultados - Conjuntos de dados 6 e 7 Instância TS+LS GEN TABU PENALTY GEN TABU FEASIBLE FAST VNS SLOW VNS TMH CGW Desvio (%) MIN MAX MIN MAX MIN MAX MIN MAX p6.2.j.txt p6.2.l.txt p6.3.k.txt p6.4.k.txt Desvio Médio p7.2.j.txt p7.2.k.txt p7.3.j.txt p7.3.l.txt p7.3.n.txt p7.3.o.txt Desvio Médio 5.26 XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2179

12 Table 8. Listagem dos parâmetros do algoritmo Parâmetro Valor [w l, w d ] [200,1] w i começa de 0 e aumenta em uma unidade a cada k iterações k 100 Tempo de execução - Parte I 8 min Tempo de execução - Parte II 8 min Máxima Inviabilidade 5% de T max 5. Conclusão A abordagem heurística adotada, em média, apresentou um devio de 10.86% coparada com as melhores heurísticas existentes na literatura para o Team Orienteering Problem. Foi observado que, em geral, as rotas visitam uma quantidade considerável de clientes. Isso sugere a importância de, durante as iterações do algoritmo, garantir uma boa qualidade das rotas. Caso contrário, o algoritmo poderia, por exemplo, deixar de inserir mais clientes a uma rota devido à restrição do tempo limite das rotas, quando, na verdade, a inserção seria possível se a rota estivesse otimizada. Por esse motivo, foi utilizado o algoritmo proposto por Lin and Kern ighan (1973) para manter a qualidade das rotas. Como trabalhos futuros, pretende-se desenvolver outras abordagens heurísticas e uma geracão de colunas para o TOP. Pretende-se também aplicar essa abordagem a outras variações de VRP s e de TSP s com prioridade de visita dos pontos. 6. Referências Archetti, C., Hertz, A., and Speranza, M. G. (2005). problem. Journal of Heuristics, 13: Metaheuristics for the team orienteering Butt, S. E. and Cavalier, T. M. (1994). A heuristic for the multiple tour maximum collection problem. Computers and Operations Research, 21: Chao, I. M., Golden, B., and Wasil, E. A. (1996). The team orienteering problem. European Journal of Operational Research, 88: Fischetti, M., Salazar, J., and Toth, P. (1998). Solving orienteering problem through branch-and-cut. INFORMS Journal on Computing, 10: Helsgaun, K. (2000). An effective implementation of the lin-kernighan traveling salesman heuristic. European Journal of Operational Research, 126: Lin, S. and Kernighan, B. (1973). An effective heuristic algorithm for the traveling salesman problem. Operations Research, 21: Tang, H. and Miller-Hooks, E. (2005). A tabu search heuristic for the team orienteering problem. Computers and Operations Research, 32: Vansteenwegen, P., Souffriou, W., Vanden Berghe, G., and Van Oudheusden, D. (2009). A guided local search metaheuristic for the team orienteering problem. European Journal of Operational Research, 196(1): XLI SBPO Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2180