SIMULAÇÃO DE MOAGEM IMPLEMENTADA A PARTIR DO MODELO DE AUSTIN

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MINERAL SIMULAÇÃO DE MOAGEM IMPLEMENTADA A PARTIR DO MODELO DE AUSTIN AUTOR: ANDRÉ CARLOS SILVA ORIENTADOR: PROF. DR. JOSÉ AURÉLIO MEDEIROS DA LUZ Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Mineral da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto, como parte integrante dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mineral, área de concentração: Tratamento de Minérios. Ouro Preto, setembro de 23.

2 S586s Silva, André Carlos. Simulação de moagem implementada a partir do modelo de Austin. /André Carlos Silva. -- Ouro Preto : UFOP, 23. xv, 98p. : il. Dissertação Mestrado) Universidade Federal de Ouro Preto. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral.. Cominuição Moagem. 2. Simulação Modelamento. 3. Moinhos tubulares. 4. Modelo de Austin. I. Universidade Federal de Ouro Preto. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral. II. Título. CDU: Catalogação SISBIN/UFOP

3 Ao meu orientador, professor e amigo José Aurélio Medeiros da Luz, pelo companheirismo, paciência e principalmente pela competência na orientação deste trabalho. Aos professores e funcionários do Departamento de Engenharia de Minas e do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral da UFOP, pela atenção e dedicação com que atenderam às questões e serviços necessários ao trabalho. À minha esposa Elenice, pela pessoa incrivelmente maravilhosa que ela é, pois não existem palavras suficientes para agradecer tudo que fez por mim durante este trabalho e ao meu filho Luís Felipe, que sempre entendeu quando o papai precisava trabalhar. Aos demais membros da minha família e amigos, pela compreensão e pelo incentivo de sempre lutar pelos meus sonhos. E a Deus, presença certa nas horas incertas, que me deu forças e esperança para começar e acabar mais este sonho.

4 Dentro do contexto do tratamento de minérios, a etapa de cominuição britagem e moagem) é quase sempre requerida, seja objetivando a liberação das partículas minerais para as etapas subseqüentes de concentração, ou mesmo a simples adequação granulométrica de massas minerais para a comercialização imediata. Por tratar-se de uma etapa associada a altíssimos custos de investimentos e consumos energéticos, o cálculo e o dimensionamento de moinhos têm sido alvo de pesquisas e estudos por parte de cientistas desde meados do século XIX. A previsão das características do produto de moinhos industriais é um problema no qual tem-se centrado esforços na tentativa de melhorar a qualidade do produto e reduzir os custos operacionais. Existem disponíveis na literatura diversos modelos para a cominuição mineral, destacase, contudo, o modelo de Austin 22) para a quebra de partículas por impacto. O presente trabalho teve como objetivo implementar o modelo de Austin de forma a averiguar se este podia ser aplicado na moagem em moinhos tubulares revolventes, tendo ciência que os mecanismos de quebra envolvidos em ambos os casos não são em nada parecidos. Uma vez que a abordagem inicial do modelo é para processos em batelada, foi criado um artifício para que o modelo pudesse ser aplicado para processos em fluxo contínuo. Obteve-se resultados interessantes, erros menores que,5, para moagens em que o tempo de residência médio tinha uma distribuição estreita.

5 Inside the mineral treatment context, the comminution stage grinding and milling) is almost always required, aim at mineral particle liberation to the subsequent stages of concentration, or even to the simple granulometric adaptation of the mineral mass for the immediate commercialization. As a stage associated with really high investments costs and energy consumption, the mill calculation and dimensioning has been target of researches and studies of scientists since middle of the XIX century. The prevision of the industrial mills product characteristics is a problem in which has been concentrated efforts on the tentative of get better product quality and reduce the operational costs. There are many comminution models in the literature, with emphasis, however, in the Austin's model for mineral impact breakage 22). The present work has the objective of implement the Austin's model and find out if this model can be applied in the milling in revolving tubular mills, knowing about the differences in the breakage mechanism in the both cases. Once the initial approaching of the model is for batching process, it was created an artifice for the model be able to be used in continuous process. Interesting results was obtained, errors less than,5, for mills in which the average residence time has a sharp distribution.

6 O presente trabalho tem como objetivos principais: Validar o modelo de Austin 22) para quebra de partículas por impacto em moinhos tubulares revolventes, onde o mecanismo de quebra predominante é a abrasão, tendo como alimentação uma distribuição monodispersa; Testar a viabilidade do uso do modelo de Austin 22) em moinhos tubulares revolventes tendo como alimentação uma distribuição polidispersa; Implementar um programa de computador usando o ambiente de desenvolvimento Borland Delphi 6 para simular a fragmentação em um moinho, utilizando para isso o modelo de Austin 22); Averiguar os procedimentos experimentais para a determinação das constantes envolvidas no modelo de Austin 22). Destaca-se como relevância deste trabalho: A moagem ser um fator chave no custo operacional de plantas de tratamento de minérios; A simulação de qualquer fenômeno pode ser conduzida a custos muito mais baixos que procedimentos experimentais; A tomada de decisões, no que se refere à implantação/expansão de uma planta, é mais facilmente realizada quando se possui dados confiáveis à respeito da fragmentação mineral, dados estes que podem ser obtidos através de uma simulação.

7 . INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Generalidades sobre o processo de moagem Mecanismos de quebra Escalonamento do trabalho de fragmentação Energética da fragmentação Modelo teórico do processo de fragmentação O modelo de Austin Principais tipos de moinhos revolventes Modelamento Simulação METODOLOGIA Programa para a validação do modelo de Austin Validação do programa com dados conhecidos Calibração do programa com dados reais de moagem Adaptação do modelo para alimentações polidispersas Calibração do modelo adaptado para alimentações polidispersas ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Resultados da validação do modelo de Austin para dados conhecidos Resultados da calibração do programa com dados reais de moagem para alimentações monodispersas Resultados da validação do programa com dados reais de moagem para alimentações polidispersas CONCLUSÕES TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICES...96 A. Caracterização dos materiais utilizados nos ensaios de moagem...96 B. Fotos do moinho tubular revolvente... C. Programa IBPS...3 D. Algoritmo para a minimização de erros...68 E. Programa para cálculo da energia de impacto específica...27

8 Figura 2. Deformação de um cristal sujeito à compressão e tensão...9 Figura 2.2 Concentração de esforços em uma fenda...2 Figura 2.3 Zonas de fraturamento em moinhos revolventes...22 Figura 2.4 Moagem em regime de cascata Figura 2.5 Moagem em regime de catarata...24 Figura 2.6 Curvas de queda de bolas para vários tipos de revestimentos Figura 2.7 Escalonamento das operações de fragmentação...3 Figura 2.8 Determinação da função de quebra Figura 2.9 Distribuição típica de tempo de residência em um moinho de bolas a úmido Beraldo, 987)...48 Figura 2. Diagrama esquemático de um moinho de laboratório Morrell, 992) Figura 2. Diagrama esquemático da forma simplificada do carregamento Morrell, 992) Figura 3. Esquema prático da alimentação do moinho no modelo de Austin, considerando quatro peneiras...73 Figura 3.2 Esquema prático da alimentação dos moinhos na adaptação do modelo, considerando três peneiras Figura 4. Análise granulométrica do vidro-3r após moagem durante min...77 Figura 4.2 Análise granulométrica da areia após moagem durante min...77 Figura 4.3 Curvas de quebra experimental e teórica para a areia Figura 4.4 Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro Figura 4.5 Análise granulométrica dos produtos das moagens do Quartzito Estrada Real....8 Figura 4.6 Análise granulométrica dos produtos das moagens do Vidro-3R Figura 4.7 Análise granulométrica dos produtos das moagens da Areia...83 Figura 4.8 Curvas de quebra experimental e teórica para a areia, moagem de 4 minutos...84 Figura 4.9 Curvas de quebra experimental e teórica para a areia, moagem de 8 minutos...84 Figura 4. Curvas de quebra experimental e teórica para a areia, moagem de 6 minutos...85 Figura 4. Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro, moagem de 4 minutos...85 Figura 4.2 Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro, moagem de 8 minutos...86 Figura 4.3 Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro, moagem de 6 minutos...86 Figura 4.4 Curvas de quebra experimental e teórica para o quartzito, moagem de minuto Figura 4.5 Curvas de quebra experimental e teórica para o quartzito, moagem de 4 minutos...87

9 Figura 4.6 Curvas de quebra experimental e teórica para o quartzito, moagem de 8 minutos...88 Figura 4.7 Curvas de quebra experimental e teórica para o quartzito, moagem de 6 minutos...88 Figura 8. Foto do VIDRO-3R utilizado nos ensaios de moagem...97 Figura 8.2 Foto da AREIA utilizada nos ensaios de moagem Figura 8.3 Foto do QUARTZITO Estrada Real utilizado nos ensaios de moagem...99 Figura 8.4 Análise granulométrica do QUARTZITO Estrada Real...99 Figura 8.5 Vista lateral do moinho revolvente e dos corpos moedores... Figura 8.6 Vista superior do moinho revolvente e dos corpos moedores... Figura 8.7 Vista lateral do moinho revolvente, dos corpos moedores e sistema de rotação do moinho....2

10 Tabela 2. Valores médios de Wi para alguns minérios Tabela 2.2 Valores dos parâmetros β, γ, Φ e δ para quartzo, coke, clínquer e antracito Tabela 2.3 Especificação química das barras...6 Tabela 2.4 Especificação química das bolas de aço...6 Tabela 2.5 Especificação química das bolas de aço de baixa liga....6 Tabela 3. Massa produzida após simulação...75 Tabela 4. Constantes utilizadas na simulação...78 Tabela 4.2 Erros encontrados nos ajustes das constantes para a areia e para o vidro..78 Tabela 4.3 Constantes utilizadas na simulação...8 Tabela 4.4 Erros encontrados nos ajustes das constantes para a areia e para o vidro..89

11 Φ constante adimensional dependente do material; β constante adimensional dependente do material; γ constante adimensional dependente do material; ρ densidade da carga total do moinho [t/m 3 ]; ρ O massa específica do minério [kg/m 3 ]; ρ B massa específica dos corpos moedores no caso bolas) [kg/m 3 ]; ρ O ap massa específica aparente do minério [kg/m 3 ]; ρ B ap massa específica aparente dos corpos moedores no caso bolas) [kg/m 3 ]; φ fração da velocidade crítica do moinho; ρ B densidade das bolas [t/m 3 ]; ρ O densidade do minério [t/m 3 ]; θ S deslocamento angular da posição superior shoulder) em radianos; θ T deslocamento angular da posição inferior toe) em radianos A constante adimensional do material independente do tamanho das partículas; a i,k fração mássica cumulada quebrada da classe granulométrica i sob uma energia específica de impacto k; B i, quebra primária acumulada aparente; B i,j A distribuição de quebra primária acumulada; b i,j fração de produto da classe energética k que cai para a classe granulométrica i; C constante do material dada em J/kg, cujo significado físico é a energia específica mínima de impacto necessária para haver a quebra de qualquer partícula do tamanho x ; c i,k fração mássica de partículas que quebra sob a ação da energia da classe k; D diâmetro do moinho [m]; de incremento energético de cada classe energética [J/kg]; E energia de impacto específica [J/kg];

12 E max energia específica máxima de impacto requerida para se obter uma quebra total das partículas m = ); E min energia específica mínima de impacto requerida para que haja a quebra do material [J/kg]; F t fração do volume do moinho ocupada pelo minério e pela carga de bolas incluindo os vazios); g aceleração da gravidade [m/s 2 ]; i indexador de classes granulométricas; j indexador de classes granulométricas; k indexador de classes energéticas; K vetor constante dependente do tamanho das partículas [J/kg]; L comprimento efetivo do moinho [m]; m constante adimensional do material; M O massa de minério a ser moído [t]; M B massa dos corpos moedores [t]; N número de classes energéticas consideradas; N velocidade crítica do moinho; p i,k fração mássica de material que chega no tamanho i e de classe energética k que pode ser re-quebrada; P i produto final deixando a zona de impacto acumulando a partir do menor tamanho; p i produto final deixando a zona de impacto, definido como a soma das frações remanescentes de material inquebrado que deixa o tamanho i em cada passo; r m raio efetivo interno do moinho [m]; t tempo de moagem s); x tamanho unitário; x i superior da série de peneiras indexada por i;

13 . INTRODUÇÃO O tratamento de minérios pode ser dividido, de maneira simplificada, em duas fases distintas e interdependentes, que são:. Preparação do minério, que inclui a cominuição do minério britagem e moagem) e a classificação granulométrica do minério peneiramento); 2. Concentração do minério, que inclui tanto os métodos físicos de separação métodos densitários, magnéticos, elétricos, etc.), quanto os métodos físicoquímicos flotação, floculação seletiva, etc.). A presente dissertação inclui-se no contexto da primeira fase, reportando-se especificamente ao modelamento e à simulação computacional da moagem em moinhos revolventes. Os elevados consumos energéticos destas máquinas de cominuição, associado a uma certa indispensabilidade destes em rotas de tratamento de minérios têm feito dos moinhos alvos constantes de estudos e pesquisas, tanto por parte de instituições de pesquisa quanto por parte da iniciativa privada. A indispensabilidade mencionada deve-se ao fato de que os britadores são usados, na grande maioria dos casos, como máquinas primárias de fragmentação, não realizando, a princípio, nem a redução granulométrica necessária para se conseguir os graus de liberação requeridos pelas posteriores fases de concentração, nem as reduções necessárias à simples adequação granulométrica de massas minerais para a sua comercialização imediata, salvo o caso de pedreiras em que os britadores conseguem fornecer a redução granulométrica necessária. 6

14 O alto consumo energético e esta relativa indispensabilidade dos moinhos para alcançar finas faixas de fragmentação torna economicamente interessante a possibilidade de se prever o que ocorrerá durante um processo de moagem, necessitando para isso conhecer apenas algumas características físicas e químicas do minério a ser cominuído e do moinho utilizado. Uma vez que se compreende a fundo um processo e que já existe um modelo computacional que o retrata com um grau aceitável de confiabilidade, pode-se testar mudanças operacionais no modelo e, de acordo com os resultados deste, experimentar tais mudanças em escala indutrial. A maior vantagem em se utilizar uma simulação reside no fato desta poder ser conduzida com custos irrisórios quando comparada a um ensaio experimental de escala industrial, sendo que a simulação se mostra cada vez mais confiável. O presente trabalho implementa e valida o modelo de Austin 22) para a moagem em moinhos tubulares revolventes. A metodologia geral para a elaboração da dissertação abrangeu nove fases distintas, a saber: Revisão da literatura; Elaboração de um programa para a validação do modelo de Austin; Validação do programa com dados conhecidos fornecidos pelo próprio Austin); Validação dos modelos escolhidos com dados reais de moagens realizadas no Laboratório de Tratamento de Minérios do Departamento de Engenharia de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto; Implementação do modelo, considerando agora uma alimentação polidispersa; Revalidação do modelo implementado; Análise e discussão dos resultados obtidos. 7

15 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA A fragmentação, ou cominuição abrange o conjunto de operações responsáveis pelo fraturamento de massas minerais, que têm seus tamanhos reduzidos, a partir de tamanhos ditos grosseiros dos run-of-mine ROM) provenientes das frentes de lavra, até aqueles exigidos pela liberação das partículas para as etapas posteriores de concentração, ou mesmo pela simples adequação granulométrica destas massas minerais para a comercialização imediata. 2.. Generalidades sobre o processo de moagem De acordo com Machado 985), em termos de tecnologia atual, o tamanho da alimentação dos moinhos tende cada vez mais a ser inferior a, ficando freqüentemente na faixa de ¼ a ¾, ao passo que os tamanhos dos produtos da moagem situam-se, em geral, na faixa de 296 a 48 µm, podendo alcançar valores da ordem de 5 ou mesmo 74 µm. Assim sendo, o grau de redução da moagem situa-se na faixa de a 2 moinhos de barras-preparadores), podendo atingir a faixa de 3 a moinhos de bolas) e, excepcionalmente até mais que 2, no caso de minérios extremamente friáveis Mecanismos de quebra A maioria dos minerais são materiais cristalinos, onde os átomos estão arranjados regularmente em arranjos tridimensionais. A configuração dos átomos é determinada pelo tamanho e pelos tipos de ligações físicas e químicas que os mantém unidos na rede cristalina dos minerais. Essas ligações interatômicas são eficientes a pequena distância, e podem ser quebradas se tensionadas por forças externas, conforme pode ser visto na figura 2., extraída de Luz et al. 998). 8

16 Figura 2. Deformação de um cristal sujeito à compressão e tensão. O fraturamento, ou quebra, das partículas minerais se dá pelo rompimento de suas forças internas de coesão, com a geração de novas superfícies, importando assim num certo trabalho cedido ao sistema fragmentador, ou seja, na aplicação de uma certa quantidade de energia em proporção com a energia de coesão rompida Silva, 983). No campo da ciência dos materiais as falhas microscópicas denominam-se deslocamentos e em mecânica das rochas gretas de Griffith. A existência dessas falhas nos materiais explica sua baixa resistência mecânica. A teoria da fratura estuda a formação de gretas a partir de falhas e a sua propagação no sólido. Mesmo quando as rochas são sujeitas à forcas uniformes, as pressões internas não são igualmente distribuídas, pois as rochas se constituem de uma variedade de minerais dispersos com grãos de vários tamanhos. A distribuição da força depende, não só das propriedades mecânicas de cada mineral, mas, principalmente, da presença de gretas e falhas no corpo mineral que agem como sítios de concentração de forças, conforme pode visto na figura 2.2 Luz et al., 998). 9

17 Figura 2.2 Concentração de esforços em uma fenda. Dentre as diversas formas de energia que, em tese, se poderiam aplicar às partículas a serem fragmentadas, incluem-se a térmica, a elétrica, a acústica e a mecânica. Em que pese a potencialidade futura de algumas energias não-mecânicas, notadamente a acústica quebra por ultra-som). Ainda utiliza-se hoje em dia, industrialmente, somente a energia mecânica. Assim, a maneira pela qual as partículas minerais se fraturam depende fundamentalmente de sua natureza intrínseca, bem como do modo como as forças mecânicas de fragmentação são aplicadas. Existem três principais tipos de mecanismos de quebra, que são:. Quebra por compressão ou esmagamento); 2. Quebra por choque ou impacto); 3. Quebra por atrito ou abrasão ou cisalhamento); Quebra por compressão Neste caso a fratura ocorre quando as forças de compressão são aplicadas de maneira lenta, permitindo que com o aparecimento de fraturas o esforço seja aliviado. 2

18 Em geral as forças de compressão aplicadas são pouco superiores à resistência dos blocos e partículas a serem fraturados, resultando deste mecanismo de fraturamento um número relativamente pequeno de fragmentos, os quais, individualmente, apresentam tamanhos relativamente grandes. Este tipo de quebra ocorre preferencialmente em britadores de mandíbula, giratórios e cônicos, sendo que nos moinhos revolventes ele está associado às partículas comprimidas entre os corpos moedores e/ou partículas maiores Quebra por choque Este tipo de fraturamento ocorre quando as forças fragmentadoras são aplicadas de forma rápida e em intensidade muito superior à resistência das partículas a serem fragmentadas. Geralmente faz-se uso da energia cinética de massas girantes ou cadentes, resultando deste tipo de quebra uma distribuição granulométrica rica em partículas relativamente finas. Sua ocorrência preferencial dá-se nos britadores de impacto e nas zonas de queda de corpos moedores dos moinhos revolventes Quebra por atrito Neste caso as forças aplicadas são insuficientes para provocar fraturas ao longo de toda a partícula, considerada individualmente. Prevalece uma concentração de esforços, o que provoca o aparecimento de pequenas fraturas e o surgimento de uma distribuição granulométrica onde partículas finas convivem com as partículas originais, cujos diâmetros são pouco diminuídos. Este tipo de quebra é geralmente provocado por atrito, quando blocos ou partículas são capturados entre superfícies metálicas dotadas de movimentos relativos em sentidos 2

19 contrários, ou, ainda, por atrito entre partículas, ou mesmo entre estas e os corpos moedores. Os moinhos verticais de mesa giratória Bowl Mills) consubstanciam as máquinas de fragmentação onde prevalece o fraturamento por atrito ou abrasão. Em geral, seja na britagem ou na moagem, os três mecanismos de ruptura estão sempre presentes, prevalecendo o efeito de um deles sobre os demais. Assim sendo, no caso dos moinhos revolventes, ou tubulares, Tumbling Mills ou Tube Mills), ocorrem simultaneamente os diversos tipos de quebra, estando a predominância de um ou outro tipo condicionada às variáveis de operação e de processo. A figura 2.3, extraída de Beraldo 987), apresenta um esquema simplificado de prevalência dos diversos mecanismos de quebra em moinhos tubulares. Figura 2.3 Zonas de fraturamento em moinhos revolventes. 22

20 Na ZONA A os corpos moedores movem-se uns sobre os outros em camadas praticamente concêntricas, produzindo fraturamentos preferenciais por atrito e por compressão, e subsidiários por choque dos corpos moedores sobre as partículas. Na ZONA B os corpos moedores rolam de cima para baixo produzindo uma intensa moagem preferencial por choque e por compressão. Entre as zonas A e B existe uma pequena região onde não se observa nenhuma quebra, chamada de ZONA MORTA. Nos casos em que a velocidade de rotação do moinho excede determinado limite, ele deixa de operar no chamado regime de cascata existência somente das zonas A e B), passando a operar no regime de catarata, com o surgimento de duas novas zonas. Neste regime, uma parcela dos corpos moedores projeta-se a partir do topo da ZONA B, formando uma verdadeira catarata ZONA C), que cai sobre uma pequena região do moinho ZONA D, ou pé da catarata), onde prevalece o fraturamento por choque ou impacto vide figura 2.4 e 2.5). 23

21 Figura 2.4 Moagem em regime de cascata. Figura 2.5 Moagem em regime de catarata. 24

22 Nota-se que na ZONA C catarata) nenhum fraturamento é efetivamente levado a cabo, razão pela qual ela deve ser minimizada. Deve-se observar que o regime de operação do moinho não depende só da velocidade. Revestimentos mais rugosos favorecem a operação em regime de catarata, enquanto que revestimentos mais lisos favorecem a cascata, propiciando em um ou outro caso em maior ou menor importância a moagem por choque vide figura 2.4, fonte: Beraldo, 987). Da mesma forma, uma maior carga de bolas favorece o regime de catarata, o mesmo acontecendo com a utilização de bolas maiores. Por outro lado, a utilização de barras como corpos moedores em lugar de bolas também favoreceria o regime de catarata, se a velocidade do moinho fosse mantida, o que não acontece em moinhos de barras, que são sempre mais lentos que o de bolas. Com efeito, cataratear as barras poderia provocar danos estruturas ao moinho e, inclusive, facilitar o emaranhamento das barras, com graves conseqüências. Figura 2.6 Curvas de queda de bolas para vários tipos de revestimentos. 25

23 Finalmente, no âmbito desta breve revisão da literatura sobre os mecanismos de quebra, são mencionadas a seguir as principais funções contínuas definidoras da distribuição granulométrica dos fragmentos produzidos pela quebra de blocos e partículas Funções de quebra Fagerholt 945), um dos pioneiros no assunto, propôs que as funções contínuas definidoras da distribuição granulométrica dos fragmentos produzidos pela quebra de blocos e partículas poderiam ser vistas como casos particulares da seguinte função geral: m n ax ). bx ) w x) = exp 2.) Onde: wx) é o peso dos fragmentos partículas) de tamanho x e a, b, m e n são parâmetros. Gilvarry 96) demonstrou teoricamente que para fraturamentos por choque em partículas individuais vale a seguinte expressão: 2 [ ax) bx) ) ] 3 y = exp cx 2.2) Onde: y é a fração acumulada passante no tamanho x e a, b e c são, respectivamente, as medidas das densidades linear, superficial e volumétrica das fraturas. Quando se considera como dominante o efeito da densidade linear das fraturas, a Equação de Gilvarry equação 2.2) reduz-se à seguinte forma: m ) y = exp kx 2.3) A equação 2.3 é também conhecida como equação de Rosin-Rammler. 26

24 No caso de partículas finas pequenos valores de x) a Equação de Gilvarry equação 2.2) reduz-se à seguinte forma: m x y = 2.4) k A equação 2.4 é também conhecida como equação de Gaudin-Schumann. Em 962, Gaudin 939), usando uma aproximação estatística propôs a seguinte expressão, conhecida como Equação de Gaudin-Meloy, para a distribuição granulométrica dos maiores fragmentos gerados a partir de fraturamentos por choque: r x y = 2.5) a Onde: y é a fração acumulada passante no tamanho x; a é o tamanho original da partícula e r é o número de fissuras provocadas pelo choque. Verifica-se assim que a Equação de Gilvarry equação 2.2) pressupõe o conhecimento das medidas associadas às densidades linear, superficial e volumétrica das fraturas, e a Equação de Gaudin-Meloy equação 2.5) requer a determinação do número de microfissuras que atravessam um comprimento unitário. Cumpre registrar que o trabalho teórico pioneiro de Bennett 936), também levava em consideração a conhecimento de micro-fissuras geradas. Klimpel 964) e Austin 966) derivaram uma expressão mais geral a partir das equações de Gilvarry e de Gaudin-Meloy, dada por: 27

25 y a 2 b 3 x x x =.. 2.6) k k k c Onde: y e x são as mesmas variáveis definidas indistintamente nas Equações de Gilvarry e de Gaudin-Meloy; a, b e c são os parâmetros da Equação de Gilvarry e k é o módulo de tamanho da Equação de Gaudin-Schumann. No caso de granulometrias grosseiras onde relativamente poucos fragmentos são produzidos pela quebra, a Equação de Klimpel-Austin reduz-se a: c 3 x y = 2.7) k Finalmente, cabe observar que foram mencionados apenas os principais marcos dos estudos das funções contínuas de quebra, uma vez que vários autores têm se dedicado a este assunto, ainda relativamente incipiente, como é o caso de Broadbent e Callcott 956a,b) e Callcott 964) que derivaram da equação de Rosin-Rammler uma equação para representar a distribuição granulométrica discreta, que tem sido bastante usada na análise matemática de operações de cominuição, dada por: m kx ) exp y = 2.8) exp ) Onde: y é a fração retida em peneiras de uma série geométrica. 28

26 2.3. Escalonamento do trabalho de fragmentação O trabalho de fragmentação de massas minerais é realizado através de máquinas genericamente denominadas de máquinas de fragmentação, abrangendo os diversos tipos de britadores e moinhos. No caso de blocos e partículas relativamente grandes é elevada a energia a ser aplicada a cada partícula, embora seja reduzida a energia por unidade de massa: a aplicação mecânica da energia se faz praticamente de forma individualizada. No caso de partículas finas, a energia aplicada a cada partícula é pequena, embora seja elevada a energia por unidade de massa: a energia neste caso é aplicada de forma distribuída. Este fato condiciona a diferença conceitual entre britadores e moinhos, isto é, os britadores devem ser estruturalmente reforçados, de maneira a estarem aptos à aplicação de elevados esforços localizados, ao passo que os moinhos devem ser capazes de distribuir uma grande energia sobre um elevado número de partículas. Assim sendo, pode-se concluir que as principais limitações das máquinas de fragmentação são de natureza energética, mecânica e geométrica. Essas limitações têm levado a tecnologia moderna a consagrar o escalonamento do trabalho de fragmentação, que é levado a cabo em etapas, de acordo com a faixa de tamanhos em que se opera. Cada etapa é realizada por máquinas com características adequadas ao atendimento dos fatores energéticos, mecânicos e geométricos prevalecentes em cada faixa. De maneira geral a fragmentação pode ser dividida em três etapas:. Fragmentação primária, quando se opera com dimensões na faixa do metro ao decímetro ~ 4 ); 29

27 2. Fragmentação secundária ou redução intermediária), quando se opera na faixa do decímetro ~ 4 ) ao centímetro ~ ½ ); 3. Fragmentação terciária, quando se opera abaixo do centímetro até o micrômetro. As etapas de fragmentação primária e secundária correspondem às operações de britagem, ao passo que a fragmentação terciária corresponde à moagem. A britagem, por sua vez, pode ser escalonada em britagem primária, secundária, terciária e até quaternária, existindo quase sempre os controles intermediários de tamanho classificações granulométricas). No caso da moagem, que também pode ser escalonada, o principal requisito é a existência de uma enorme superfície de contato com os grânulos, embora sejam relativamente pequenas as forças para fraturar cada grânulo isoladamente. A nível de tecnologia atual, os moinhos sejam estes revolventes ou do tipo fixed path) são as máquinas de fragmentação que, de maneira mais adequada e funcional, atendem a tal requisito. Machado 985) propõe uma figura interessante para representar o estagiamento das operações de fragmentação, a qual, com ligeiras modificações, é apresentada na figura

28 Figura 2.7 Escalonamento das operações de fragmentação Energética da fragmentação A energética da fragmentação, que é o estudo das leis associadas aos cálculos dos consumos energéticos e à conseqüente determinação das potências das máquinas de fragmentação, tem atraído a atenção de pesquisadores de todas as partes do mundo desde meados do século XIX. Tal preocupação deve-se, conforme já ressaltado anteriormente, aos excepcionais níveis de consumos energéticos destas máquinas, os quais oneram seus respectivos custos operacionais Lei de Rittinger Rittinger 867) apresentou o primeiro trabalho correlacionando o consumo energético e a cominuição, criando a a Lei ou Lei de Rittinger. Rittinger sugeriu que o trabalho necessário para realizar a fragmentação era proporcional à nova superfície gerada. A expressão matemática usual da a Lei é: 3

29 E = 3E 2.9) d D Onde: E é a energia gasta na cominuição; E é o coeficiente unitário de trabalho referido ao volume); D e d são, respectivamente, o tamanho da alimentação e do produto da fragmentação Lei de Kick Kick 885) desenvolveu uma segunda lei sobre o consumo energético nos processos de moagem, chamada de 2 a Lei, que pressupunha que o trabalho necessário para realizar a fragmentação de um corpo era proporcional ao seu peso ou ao seu volume. A lei de Kick é dada por: log N E = j. 2.) log N Onde: j é o coeficiente unitário de trabalho também referido ao volume); N e N são, respectivamente, o grau de redução no n-ésimo estágio da fragmentação e o grau de redução unitário. Blanc 937) mostrou que as duas leis não se superpõem, aplicando-se a faixas granulométricas diferentes: a Lei de Kick se aplica à faixa de granulometria grossa e de a Lei de Rittinger à de granulometria fina. Entretanto Blanc não conseguiu formular uma expressão analítica para a chamada faixa intermediária alimentação de 4 a 25 mm), que era a faixa em que nem a Lei de Kick nem a Lei de Rittinger obtinham bons resultados. 32

30 Lei de Bond Bond 95) supre a lacuna preconizada por Blanc, formulando a 3 a Lei ou lei intermediária, que diz que o trabalho despendido por unidade de volume ou de peso é proporcional ao comprimento médio das fissuras iniciais criadas. A Lei de Bond é dada por: E = E 2.) d D Onde: E é a energia gasta na cominuição; E é o coeficiente unitário de trabalho; D e d são, respectivamente, o tamanho da alimentação e do produto da fragmentação. Bond convencionou que os tamanhos D e d fossem dados em micrômetros e referidos como sendo o tamanho das malhas que deixam passar 8% dos respectivos produtos. Assim sendo, a notação D passou a ser conhecida como F8 feed 8%) e d passou a ser P8 product 8%). Adicionalmente Bond propôs que o coeficiente unitário de trabalho fosse chamado de work index Wi), definindo-o como o trabalho necessário para reduzir a unidade de massa tonelada curta = 97 kg), desde um tamanho inicial infinito D = ) até o tamanho final de µm d = µm). Aplicando-se as proposições de Bond à sua equação matemática esta assume a seguinte forma mundialmente conhecida: E =. Wi. P8) 2 F8) 2 2.2) 33

31 Bond ainda especificou procedimentos padronizados para a determinação do Wi de um material, tanto para as operações de britagem quanto para as de moagem moinhos de barras e de bolas). Nota-se que a unidade de Wi é kwh/st, e que o Wi é correlacionável com outros coeficientes unitários de trabalho de fragmentação britabilidades e/ou moabilidades ). A título de ilustração registra-se a Equação de Smith apresentada por Hochdahl 982) para correlacionar o Wi com o índice Hardgrove Hardgrove Grindability Index HGI), dada por: 48 Wi =,9 2.3) HGI Kelly e Spottiswood 982) apresentam uma tabela de valores típicos de Wi, ao passo que Rowland 978) apresenta faixas e valores médios de Wi-Britagem e Wi-Moagem. A tabela 2. apresenta alguns valores médios de Wi Fonte: Silva, 983). 34

32 Tabela 2. Valores médios de Wi para alguns minérios. Material Peso específico g/m 3 ) Wi kwh/97 kg) Baritina 4,5 4,73 Calcário 2,65 2,54 Dolomita 2,74,27 Esmeril 3,48 53,7 Feldspato 2,59,8 Fluorita 3, 8,9 Gipsita 2,69 6,73 Grafita,75 43,56 Granito 2,66 5,5 Magnetita 3,88 9,97 Minério de Cobre 3,2 2,73 Minério de Ouro 2,8 4,93 Minério Hematítico 3,56 2,93 Minério Pb-Zn 3,54,57 Minério Piritoso 4,6 8,93 Quartzito 2,68 9,58 Quartzo 2,65 3,57 35

33 Lei de CHARLES Charles 957) estabeleceu a chamada Lei Geral, que engloba as três leis anteriores e é dada por: dx de = C n 2.4) x Onde: E é a energia gasta na cominuição; C é o coeficiente energético 2C = Wi para a Lei de Bond); x e dx são, respectivamente, a dimensão do tamanho da alimentação e a sua variação elementar; n é um número real. Ou seja, o trabalho elementar de necessário para realizar uma variação elementar dx numa dimensão x de um dado corpo é diretamente proporcional à variação dx e inversamente proporcional a uma certa potência n da dimensão x. Resolvendo a equação 2.3) para n = obtêm-se a Lei de Kick, utilizada para faixas granulométricas grosseiras, sendo o coeficiente unitário de trabalho j) e o grau de redução unitário N ) dados por: C j = 2.5) 3 N = e 2.6) Onde: e é a base dos logaritmos naturais. Para n =,5 obtêm-se a Lei de Bond, utilizada para faixas granulométricas intermediárias, sendo o Wi dado por: 36

34 C Wi = 2.7) 5 Para n = 2 obtêm-se a Lei de Rittinger, utilizada para faixas granulométricas finas, sendo o coeficiente unitário de trabalho E ) dado por: C E = 2.8) 3 A partir de então, o instrumental matemático, tanto a nível analítico como empíricoexperimental, sofre um crescimento vertiginoso, incorporando às expressões para cálculo energético diversas fórmulas e leis associadas aos parâmetros geométricos, mecânicos, construtivos e operacionais das máquinas de fragmentação em geral e dos moinhos em particular. Dentre os diversos pesquisadores que têm contribuído para tal desenvolvimento destacam-se o próprio Bond, Rowland 98 e 982), Lynch 977), Austin 984) e Hukki 977), o qual, em 96, generalizou ainda mais a Lei Geral de Charles propondo a seguinte lei: dx de = C. f x) 2.9) x Isto é, a constante n da Lei de Charles passa a ser considerada como uma função da dimensão original x Abordagem fractal à fragmentação mineral Thomas e Filippov 999) introduziram uma abordagem diferenciada à fragmentação, utilizando uma abordagem fractal à fragmentação. Para o desenvolvimento do seu modelo, os autores partiram dos seguintes pressupostos: 37

35 . Em um espaço Euclidiano, a divisão de uma dada massa M) aumenta em ds a superfície externa acessível S e desta mesma massa; 2. Este incremento de área ds requer uma energia dw que pode ser um trabalho de forças externas e/ou a liberação de energia potencial); 3. dw aumenta, em média, com ds, de acordo com uma lei que, próximo a cada ponto, depende das condições mecânicas locais tensões e reologia); 4. A fragmentação de uma partícula mineral é obtida através da coalescência de um sistema de descontinuidades, sendo a maioria destas descontinuidades fraquezas superficiais genuínas, adicionalmente conectadas por um conjunto de elementos de ruptura criados pela fragmentação; 5. As descontinuidades genuínas são quase sempre o caminho de separação energeticamente mais barato ; 6. As rupturas criadas também seguem caminhos energéticos mais baratos, mas dentro dos volumes isolados pelas aberturas das descontinuidades genuínas prévias. 7. As descontinuidades naturais do material, que induzem primeiramente a distribuição granulométrica dos fragmentos, podem ser cortadas em conjuntos de elementos quase planos, que representam uma arquitetura escalonada, definida por uma lei fractal de auto-similaridade; 8. A morfologia de cada um destes elementos superficiais é definida por uma lei fractal de auto-afinidade, observada em uma escala mais precisa. Baseados nas premissas acima Thomas e Filippov desenvolveram um modelo fractal de fragmentação, buscando estabelecer uma correlação entre o modelo fractal por eles proposto e a equação de Hukki Equação 2.9). 38

36 Thomas e Filippov chegaram à seguinte equação para o consumo energético de um processo de fragmentação: Onde: a, b e c são constantes; E h = a x c b + log x ) A derivação da equação 2.2, segundo Thomas e Filippov, resulta na seguinte equação: de dx h =. a. c. x 2 c b 2 + log x ) 2 2.2) Nota-se na equação acima que realmente existe uma correlação entre a lei de Hukki e a equação 2.2. Entretanto, Thomas e Filippov não conseguiram concluir o modelo fractal de modo que este apresentasse um bom ajuste aos dados práticos. Contudo, cabe aqui uma observação a respeito da derivação da equação 2.2 que, a princípio, não seria a derivada da equação 2.2. A equação 2.22, cuja integração bate com a equação 2.2, o que não ocorre com a equação 2.2, é a equação proposta pelo autor como sendo uma possível causa do não-ajuste do modelo elaborado por Thomas e Filippov. de dx h c = a b log x). x c b + log x ) Assim sendo, existe a possibilidade do modelo proposto por Thomas e Filippov se ajustar aos dados práticos, uma vez que este seja devidamente corrigido. Porém, tal correção confronta-se com lei de Hukki, pois, assim sendo, ter-se-ia que o termo C da lei de Hukki não seria uma constante, conforme a lei afirma, e sim uma função logarítmica de x. Assim sendo, os termos C aqui representado por K) e fx) da lei de Hukki seriam dados por: 39

37 K c = a x 2. b +. + log ) e f x) b + log x c 2 = 2.23) Thomas e Filippov determinaram ainda quais deveriam ser os valores das constantes a, b e c da equação 2.2 de modo que esta se ajustasse à curva média experimental da lei de Hukki, dada por Lynch, obtendo, segundo afirmado por eles próprios, um bom ajuste. A idéia de que a constante C possa ser uma função fx) é exposta pelos mesmos autores Thomas e Filippov, 999) quando estes afirmam que: o gasto energético por unidade de massa obviamente aumenta quando o tamanho do produto diminui. Thomas e Filippov sugerem que a constante C seria uma função exponencial de x, sendo que este expoente seria então uma dimensão fractal Modelo teórico do processo de fragmentação Atualmente tem-se procurado estudar o processo de cominuição pela cinética de fraturamento das partículas, buscando-se desenvolver modelos desses processos e também estudar a relação entre os parâmetros desses modelos e as variáveis operacionais envolvidas no processo. Esse modelamento do processo de cominuição poderá ser utilizado em trabalhos de otimização e de controle de processo, e ainda ser de grande utilidade no dimensionamento de instalações. Beraldo 987) preconizou em seu livro que: É de se esperar que gradativamente a aplicação de modelagem matemática dos processos de cominuição venha complementar ou mesmo substituir o enfoque sob o ponto de vista exclusivo da energia consumida. É de se notar que, dada a sua base teórica, contrariamente ao ponto de vista energético totalmente empírico, o método cinético poderá propiciar uma oportunidade muito mais ampla para o desenvolvimento de novas tecnologias do processo de cominuição. A cinética do processo de cominuição tem sido representada por três funções distintas, que são: 4

38 . Função de seleção e velocidade específica de quebra; 2. Função de quebra; 3. Função de classificação Função de seleção e velocidade específica de quebra Se uma amostra de massa W j F) de material graduado granulometicamente é submetida a um processo de cominuição, pode-se observar que uma fração da amostra sofre redução, enquanto que o restante, W j P), permanece sem ter sido cominuído. Chama-se função de seleção a probabilidade que uma certa partícula tem de sofrer cominuição, sendo esta probabilidade S) expressa pela relação entre a massa que sofreu cominuição e a massa inicial de material, dada por: S j F ) W j P) W F ) W j = 2.24) j A função de seleção pode ser determinada em ensaio pela velocidade de desaparecimento de material na granulometria de alimentação. Essa definição da função de seleção serve para qualquer processo de cominuição. No caso de cominuição em moinhos tubulares, a função de seleção tem uma característica cinética e pode ser caracterizada por uma velocidade de quebra, pois é uma função crescente do tempo a que a amostra foi submetida à moagem. Considerando-se a velocidade de quebra proporcional à massa de material, define-se como velocidade específica de quebra S j ) a relação entre a velocidade de quebra e a massa existente, ou seja: S j dw j = dt 2.25) W j Integrando a expressão 2.25, considerando a função de seleção constante, tem-se que: W t) W ) exp S t) = 2.26) j j j. 4

39 A velocidade específica de quebra e a função de seleção dependem do diâmetro da partícula. Em casos em que o diâmetro das bolas é bem maior que o diâmetro das partículas x i, é usual a função de seleção ser proporcional a uma função-potência do diâmetro, usualmente dada por: α xi S =. i a 2.27) x Onde: x i e x são dados em mm e a em min -. O fato de as velocidades de quebra serem uma simples função-potência do diâmetro da partícula não tem sido adequadamente explicado em bases teóricas, mas amplamente demonstrado experimentalmente. A velocidade específica de quebra é menor para os tamanhos menores, porque é mais difícil transmitir esforços a uma massa unitária quando por partículas menores. O valor de α é positivo, normalmente variando entre,5 e,5, sendo uma constante característica do material. O valor de a varia com mudanças nas condições operacionais do moinho. Os valores de a mostram uma grande variação de materiais moles a materiais duros. Deve-se observar que a equação 2.27 é válida para condições de moagem em que a abrasão seja pouco importante. Para partículas muito grandes em relação ao diâmetro dos corpos moedores, tem-se demonstrado que a velocidade de quebra não segue uma cinética de primeira ordem, parecendo consistir em uma velocidade inicial mais rápida seguida de uma velocidade mais lenta. Algumas das partículas são muito grandes para serem fraturadas pela ação das bolas e, além disso, a acumulação de finos parece servir de colchão para impedir a ação das bolas sobre as partículas maiores. A velocidade de quebra de primeira ordem das partículas menores é referida como normal e a de quebra das partículas maiores, não de primeira ordem, como abnormal. 42

40 Então, a velocidade de quebra pode passar por um máximo, o que é lógico se houver partículas grandes cuja velocidade de quebra seja abnormal; dessa forma, as partículas maiores que o ponto de máximo apresentam velocidade de quebra menor, devido à ineficiência do moinho em transmitir esforços que sejam capazes de fraturá-las. A função de seleção ou velocidade de quebra é função do material e das condições de moagem, em especial da energia do moinho Função de quebra Quando o material de tamanho j se quebra, é produzida uma distribuição granulométrica completa de partículas menores, sendo que estas se misturam à carga do moinho, sendo submetidas a novas quebras posteriores. Define-se como função de quebra a distribuição granulométrica das partículas provenientes da quebra primária de uma partícula maior. Na forma de distribuição granulométrica acumulada, defini-se a função de quebra B ij, que é a fração de material do tamanho j que se quebrou, indo aparecer em tamanhos menores que x i, que é o tamanho superior do intervalo i. Uma determinação razoável da função de quebra pode ser feita experimentalmente partindo-se de uma amostra graduada no tamanho j. Faz-se um ensaio de curta duração no máximo de 2 a 3% do material quebrado) e determina-se a distribuição granulométrica do material quebrado. Os valores de B ij podem ser estimados através da seguinte equação: B ij = Pi ln Pi Pj+ ln Pj+ ) t) ) t) 2.28) A equação 2.28 corrige, aproximadamente, o efeito da quebra secundária, desde que esta não tenha sido muito intensa. Pode-se calcular b ij, ou seja, a quantidade de material quebrado da classe j que foi para a classe i, pela seguinte equação: 43

41 b ij Bi, j Bi+, j = 2.29) Os valores de B ij parecem ser independentes das condições de moagem, desde que considerado a moagem normal. A figura 2.8 mostra o resultado de ensaios para a determinação da função de quebra Fonte: Beraldo, 987). 44

42 Figura 2.8 Determinação da função de quebra. 45

43 Para muitos materiais, a função de quebra é normalizada, isto é, esta é convertida em uma função apenas da relação de tamanhos, sendo independente do tamanho inicial. Para a quebra normal, a função de quebra pode ser expressa por uma das relações apresentadas no item 2.4 Energética da fragmentação) para representar a distribuição granulométrica do produto de um evento de quebra. Têm sido amplamente usadas as expressões de Gaudin-Schumann Equação 2.4) e a de Callcott e Broadbent Equação 2.8). Para materiais que apresentem quebra abnormal, a função de quebra é muito mais complexa Função de classificação Um processo de cominuição é constituído por uma série de eventos de quebra, nos quais se aplicam as funções de seleção e de quebra. Entretanto, pode ocorrer que o produto de cada evento de quebra seja submetido a uma operação de classificação que retenha as partículas mais grossas e impeça a sua passagem para o evento de quebra subseqüente. Esse efeito de classificação existe, praticamente, em qualquer processo de cominuição. É pouco importante em moinhos de barras, nos quais há uma pronunciada quebra preferencial dos grossos devido a um peneiramento do material, efetuado pelas barras. Assim, à medida que o material vai caminhando ao longo do moinho de barras, este vai sendo cominuído e as partículas mais grossas vão sendo impedidas de prosseguir em seu fluxo pelo efeito de peneiramento realizado pelas barras. Nota-se que a abertura da peneira vai diminuindo na direção do fluxo devido à inclinação das barras. Dessa forma, o efeito de classificação vai se aplicando a partículas cada vez menores à medida que se caminha na direção do fluxo Tempo de residência Se todas as partículas da alimentação tivessem exatamente a mesma velocidade ao longo do eixo do moinho, todas teriam exatamente o mesmo tempo de residência no moinho, sem que houvesse a mistura de partículas no sentido axial. O fluxo neste caso é denominado fluxo pistonar plug-flow). Se houver a mistura de material no sentido axial, o fluxo se afastará fluxo pistonar. O processo em batelada batch) de moagem é essencialmente em fluxo pistonar, por outro lado, quando em processo contínuo, os 46

44 moinhos apresentam certo efeito misturador, o que leva o seu fluxo a se afastar do fluxo pistonar. O resultado final é que o produto de um moinho em processo contínuo contém materiais com distintos tempos de residência. A distribuição do tempo de residência DTP) é importante na avaliação do resultado de uma moagem. A maneira mais usada, segundo Beraldo 987), para se determinar a DTP de um moinho é a injeção instantânea de um material de traço na alimentação do moinho e determinar a evolução do teor desse elemento no produto do moinho com o decorrer do tempo. A partir de tais dados a DTP é dada por: t) t) c φ t) = 2.3) c.dt Onde: ct) é a concentração do elemento no instante t. O tempo médio de residência τ) é dado por: t). c t. dt τ = 2.3) c dt t). Para moinhos a úmido têm sido usadas substâncias radioativas solúveis como elementos traçadores, ou mesmo um sal que seja facilmente analisado. Nota-se que neste processo, o que realmente se determina é o tempo de residência da água, tendo-se assim que admitir que o tempo de residência dos sólidos é o mesmo que o da água, o que se tem demonstrado ser razoável. Outro processo que mede diretamente o tempo de residência do sólido em um moinho é a utilização de uma massa de material irradiado em um reator nuclear. 47

45 Há diversas conclusões dos testes para a determinação da DTP em moinhos de bolas, destacando-se:. A DTP é independente do tamanho da partícula na alimentação, sendo esta talvez a conclusão mais importante. 2. A DTP pode ser normalizada em relação ao tempo médio de residência τ); 3. A DTP normalizada é aproximadamente a mesma, independente do tamanho do moinho; 4. A DTP para a água e para os sólidos tem a mesma forma, porém o tempo médio de residência dos sólidos é cerca de a 5% maior que o da água. A figura 2.9 mostra uma DTP típica para moinhos de bolas. Figura 2.9 Distribuição típica de tempo de residência em um moinho de bolas a úmido Beraldo, 987). Para fluxo pistonar, a DTP resume-se a % no tempo τ. Para um fluxo decorrente de um reator misturador perfeito, a DTP seria uma função dada por: 48

46 φ t = δ δ t) exp 2.32) Tem-se observado que a distribuição do tempo de residência é intermediária entre essas suas leis. Para procurar representá-la, diversos autores têm procurado equações matemáticas que se aproximem da distribuição real e que facilitem a sua aplicação em trabalhos de simulação O modelo de Austin O modelo escolhido para a realização do presente trabalho foi o modelo proposto por Austin 22), pois este foi proposto para fragmentação mineral em geral, porém com ajustes em determinadas constantes do modelo este pode ser utilizado para a simulação de moinhos tubulares revolventes. Segundo Austin 22), a fração acumulada de massa impactante de um dado tamanho que quebra quando impactada sob uma energia de impacto específica E) é dada por: E m = A.ln, m 2.33) K Onde: A é uma constante adimensional do material independente do tamanho das partículas; K é um vetor constante em J/kg, dependente do tamanho das partículas, dado por: m xi K. i = C, m > 2.34) x Onde: x é o tamanho unitário, tomado como mm; x i é o tamanho superior da série de peneiras indexada por i; 49

47 C é uma constante do material dada em J/kg, cujo significado físico é a energia específica mínima de impacto necessária para haver a quebra de qualquer partícula do tamanho x ; m é uma constante adimensional do material. Alguns autores YILDIRIM, CHO e AUSTIN, 999) adotam a seguinte equação em substituição à equação 2.34): S i = a T x. x i α Sendo que ambas equações são idênticas. Os mesmos autores mostraram que a constante C da equação 2.33 deve ser igual a,3 para a moagem a seco de quartzo usando bolas cerâmicas como corpos moedores,,48 para cilindros cerâmicos e,965 para seixos. Para qualquer tamanho dado, as equações 2.33 e 2.34 mostram que a energia específica mínima de impacto requerida para que haja a quebra do material m > ) é dada por: E = K min 2.35) A energia específica máxima de impacto requerida para se obter uma quebra total das partículas m = ) é dada por: E max = K.exp 2.36) A Considerando as partículas alimentadas com tamanho x i impactadas com uma energia específica de impacto E, o incremento energético de cada classe energética será dado por: 5

48 E de = 2.37) N Onde N é o número de classes energéticas consideradas. Assim sendo, a energia específica de impacto para cada uma das N classes energéticas consideradas será dada por: E k = k. de, k N 2.38) Assim sendo, das equações 2.35 e 2.36 temos que: E min = K i i 2.39) E maxi K i.exp A = 2.4) Onde K i é dado pela equação Para a determinação da energia de impacto específica E) foi usado um algoritmo matemático criado por Morrell 992), mostrado no capítulo 2.6. e implementado no software descrito no Apêndice E. Usando as equações 2.33 e 2.34 para obter uma equação que relacione a fração mássica acumulada quebrada sob uma energia específica de impacto a), tem-se que: 5

49 52 < < = = = i k i i k i k i k k i E E E K E A E E E E N k n i n i k a max min max min,, ln,, ;, ;, 2.4) A equação 2.4 é válida desde que não haja quebra de nenhum tamanho para a classe energética zero e nenhuma quebra além do intervalo granulométrico pré-estabelecido. Assumindo que os fragmentos de tamanho i formados pela quebra tenham a mesma distribuição de tensões do tamanho i testado desconsiderando se sua fonte era uma partícula forte ou fraca), a fração mássica de partículas que quebra sob a ação da energia da classe k é dada por: < = = n i N k a a n i k c k i k i k i ;, ;,,,, 2.42) Assumindo que a verdadeira distribuição de quebra primeira acumulada tem a forma proposta por Austin e Luckie 972), dada por: ) = Φ + Φ = j i n i j x x x x B j i j j i j j i,,.., β γ 2.43) Onde Φ, β e γ são constantes adimensionais dependentes do material, sendo que a constante Φ j é dada por: δ = Φ Φ j j x x 2.44)

50 Onde δ é uma constante adimensional dependente do material. Deniz e Onur 22) realizaram um estudo baseado nas equações de Austin e Luckie e mostraram que: Quando os valores de B i,j independem da distribuição inicial, isto é, são dimensionalmente normalizados, a constante δ é igual a zero; Os valores de α, β e γ não são significantemente diferentes para diferentes níveis de preenchimento de finos durante uma moagem, mas os valores de Φ tendem a crescer quando crescem os níveis de preenchimento; A constante γ está ligada inversamente à produção de finos. Assim sendo, valores de γ =,7 indicam uma menor produção de finos, já valores de γ =,67 indicam uma maior produção de finos. Ainda segundo os autores, os valores de B i,j podem ser determinados experimentalmente através da seguinte expressão: log Pi ) ) Pi t) ) Pj+ ) P t) log Bi, j =, n i j + log log ) ) j+ Onde P i t) é a fração mássica na descarga do moinho de tamanho menor que x i no tempo t. Já KOKA e TRASS 987) mostram que: Os valores de β, γ e Φ não mostram nenhuma tendência ou correlação com a velocidade de rotação do moinho, exceto pelo fato dos valores de Φ serem 53

51 maiores que um para a moagem a seco e menores que um para moagens a úmido; A velocidade de rotação do moinho tem algum efeito nos valores de B i,j, mas este não é considerável. AUSTIN, BAGGA & CELIK 98) determinaram as constantes β, γ, Φ e δ para quatro materiais, conforme mostrado na tabela 2.2 abaixo. Tabela 2.2 Valores dos parâmetros β, γ, Φ e δ para quartzo, coke, clínquer e antracito. Materiais Parâmetros Coke de petróleo Quartzo Clínquer Antracito γ,85,,75,5 β 4,8 5,4 4, 4, Φ,4,52,37,5 δ,,,23, YILDIRIM, CHO e AUSTIN 999) mostraram que para a moagem a seco de quartzo, os valores das constantes devem ser β = 4,, γ =,5, Φ =,45 e δ =. A fração de produto da classe energética k da equação 2.42 que cai para a classe granulométrica i é dada por: b B B j i n; B 2.45) i, j = i, j i+, j, n+, j = Denomina-se p i,k a fração mássica de material que chega no tamanho i e de classe energética k que pode ser re-quebrada, nota-se que a soma de p i,k não é igual a porque a mesma massa pode ser quebrada várias vezes. Assim sendo, o balanço de tamanhos/massa/energia será dado por: 54

52 , i = ; k N p ' i, k =, i = ; k = N 2.46) i k bi, t. ct, u k. p' t, u n i > ; k N t = u = N A soma das frações remanescentes de material inquebrado que deixa o tamanho i em cada passo é o produto final deixando a zona de impacto, dada matematicamente por: p i = N a k ). i k =, p' i, k 2.47) Acumulando a partir do menor tamanho a fração mássica menor que o tamanho x i, temse: P i = p j i j= n 2.48) Como parte do material de alimentação no tamanho unitário pode permanecer inquebrado, o valor da quebra primária acumulada aparente é dado por:, = pi B i, n < p i 2.49) Segundo Austin, as equações 2.33 a 2.49 podem ser usadas em um programa de computador para calcular a distribuição cumulativa de quebra real do material. Em um algoritmo repetitivo, onde se varia a energia E) a cada iteração do programa pode-se obter o efeito da energia empregada na moagem sobre a granulometria dos produtos desta moagem. 55

53 2.6.. Metodologia para cálculo da energia de impacto específica Morrell 992) desenvolveu um algoritmo matemático para a determinação da energia líquida que um moinho revolvente aplica efetivamente ao minério em seu interior. Assim sendo: ρ ρ ),6. FB B O ρ =,8ρ O + +,2 2.5) F t Onde: ρ é a densidade da carga total do moinho t/m 3 ); ρ O é a densidade do minério t/m 3 ); ρ B é a densidade das bolas t/m 3 ); F t é a fração do volume do moinho ocupada pelo minério e pela carga de bolas incluindo os vazios); F B é a fração do volume do moinho ocupada pela carga de bolas incluindo os vazios); Onde: θ 2.5) = S A + A2 F t A =,499φ A = 5,49φ 2,746,969 θ S é o deslocamento angular da posição superior shoulder) em radianos vide figura 2.); φ é a fração da velocidade crítica do moinho; Onde: θ T = A 5 φ ) + ) 4 A A e,5π 2.52) 3 + θ T é o deslocamento angular da posição inferior toe) em radianos vide figura 2.); ) A3 = 2,32, 46 F t A 4 = 23,2 56

54 57 ) > = = ,75,67 A A A F A t φ φ φ Figura 2. Diagrama esquemático de um moinho de laboratório Morrell, 992). A posição radial da superfície da carga r i ), em metros, é dada por:, = T S t m i F r r θ θ π π 2.53) Onde: r m é o raio efetivo interno do moinho em metros vide figura 2.);

55 Figura 2. Diagrama esquemático da forma simplificada do carregamento Morrell, 992). Assim sendo, a energia entregue à carga do moinho P net ), em kw, é dada por: P net 3 3 3,5 θ S,5,5 2. rm 3. rm. ri + r i =,5. g. L. ρ. φ. r m. senθ θt 3 rm ri ) 2.54) Onde: g é a aceleração da gravidade m/s 2 ); L é o comprimento efetivo do moinho m); ρ O é a densidade do minério t/m 3 ); A energia entregue ao moinho vazio sem carga) em kw é dada por: 2,5 r. L. ), 86 No Load =. φ 2.55) m A energia bruta entregue ao moinho, em kw, é dada por: Gross Power = No Load + K. P net 2.56) 58

56 Onde K é um fator de correção que para moinhos de grade é igual a, Principais tipos de moinhos revolventes Os moinhos revolventes tubulares são cilindros rotativos em que o trabalho de cominuição é realizado pela ação dinâmica dos corpos moedores que se acham em seu interior. Os corpos moedores podem ser barras, bolas, cylpebs do inglês Cylindrical Pebbles, ou seja, seixos cilíndricos) ou fragmentos de rochas Moinhos de barras Os moinhos de barras utilizam barras cilíndricas como corpos moedores. São moinhos tubulares, cuja relação comprimento/diâmetro é maior que,25:. São fabricados até o tamanho máximo de 4,5 metros de diâmetro por 6, metros de comprimento e, segundo Beraldo 987) não deverão haver aumentos previsíveis nos tamanhos deste tipo de moinho além do limite que atualmente constitui o limite teórico, devido a problemas relacionados com o comprimento das barras e com a capacidade de fluxo do material. Os moinhos de barras são usados principalmente em circuitos abertos preparando o material para a alimentação de moinhos de bolas. São usados também em circuitos abertos para a obtenção de materiais grosseiros, como por exemplo, na moagem de minério de urânio para a posterior lixiviação, como acontece em Poços de Caldas-MG. Constitui aplicação excepcional o seu uso em circuito fechado por hidrociclones classificadores como acontece ma mineração SERRANA S.A.) ou por peneiras, no caso de moagem de silvinita. Moinhos de barras com descarga periférica são usados na moagem de minério de ferro pela CVRD em Carajás, para a produção de sinter feed. Não são usualmente empregados em moagem a seco, constituindo exceções a moagem de coque e algumas instalações de moagem de clínquer. As barras utilizadas devem ter dureza suficiente para se manterem retas ao longo de toda a sua vida útil. Quando se tornam muito finas, devem quebrar, e não dobrar. São usadas barras de aço de alto carbono SAE 9 ou 95), com a especificação química apresentada na tabela

57 Tabela 2.3 Especificação química das barras Beraldo, 987). Elemento químico Teor %) Carbono,85,3 Manganês,6,9 Silício,5,3 Enxofre,5 máximo) Fósforo,4 máximo) Do ponto de vista físico, as barras devem apresentar as seguintes especificações: Comprimento 52 mm 6 ) menor que o do moinho comprimento efetivo da câmara de moagem medido entre as faces internas dos revestimentos das tampas); Corte a quente ou com serra a frio em ambas as extremidades, sem rebarbas; Devem ser endireitadas Moinhos de bolas Utilizando esferas como corpos moedores, os moinhos de bolas são fabricados em uma ampla faixa de relações comprimento/diâmetro, que pode ser escolhida em função da granulometria da alimentação e do produto desejado. São usados em um único estágio de moagem, caso em que a granulometria da alimentação deve ser inferior a faixa de -5 mm. Podem ser usados ainda como moinhos primários em instalações com mais de um estágio de moagem, o que não é comum na prática atual. Têm ampla aplicação no segundo estágio de moagem, com o primeiro sendo constituído por moinhos de barra, moinhos autógenos ou semiautógenos, assim como em remoagens de produtos da planta de beneficiamento. São também amplamente aplicados em processos de moagem a seco. As bolas são fabricadas de aço forjado ou fundidas, ou de ferro fundido ligado. A qualidade depende muito do tratamento térmico e varia muito entre os vários fornecedores existentes. A dureza também varia muito, de a 7 brinnel. 6

58 Há uma regra geral segundo a qual a vida da bola é tanto mais longa quanto maior a sua dureza, desde que ela não seja muito frágil. É muito importante o tratamento térmico adequado para se conseguir uma distribuição de dureza conveniente em uma seção transversal da bola. As bolas devem ter uma dureza que não diminua muito na parte interna em relação à dureza superficial, por outro lado, para que ela tenha tenacidade suficiente é necessário que seu núcleo seja mais brando. A especificação química das bolas de aço é apresentada na tabela 2.4. São também utilizadas bolas de aço de baixa liga, cuja especificação química é apresentada na tabela 2.5. Tabela 2.4 Especificação química das bolas de aço Beraldo, 987). Elemento químico Teor %) Carbono,5,9 Manganês,5,9 Silício,3 máximo) Enxofre,5 máximo) Fósforo,4 máximo) Tabela 2.5 Especificação química das bolas de aço de baixa liga Beraldo, 987). Elemento químico Teor %) Carbono,65,85 Manganês,5,25 Cromo,45, Moinhos multicâmaras Moinhos multicâmaras são, praticamente, dois ou mais moinhos montados em um só cilindro com as câmaras destes separadas por diafragmas. A primeira câmara pode utilizar barras ou bolas e as demais utilizam bolas ou cylpebs como corpos moedores. Têm pouca aplicação em mineração, mas são muito utilizados em moagem de cimento. Os moinhos de duas câmaras barras-bolas têm sido aplicados na moagem de bauxita. 6

59 Moinhos autógenos e semi-autógenos Moinhos autógenos são aqueles que utilizam fragmentos do próprio minério a ser cominuído como corpo moedor. Têm grande relação diâmetro/comprimento e são utilizados moinhos com até 2 metros de diâmetro. São aplicáveis a minérios que produzem blocos competentes, isto é, que não se degradam facilmente. Alguns materiais apresentam em moagem autógena um consumo energético pouco superior ao consumo em moagem convencional, enquanto que para outros materiais essa diferença é muito grande, o que torna, neste caso, economicamente inviável este tipo de moagem. Os moinhos autógenos são aplicados, em alguns casos, em moagem em um único estágio, sendo, entretanto, mais comum o seu uso como moinho primário, que preparam o material para a alimentação de moinhos de bolas ou de seixos. Caso o material não apresente blocos suficientemente competentes, ou caso haja a concentração de partículas intermediárias na moagem totalmente autógena, pode-se utilizar nos moinhos uma pequena carga de bolas de grande tamanho até % do volume), que transforma o moinho autógeno para semi-autógeno. No caso da moagem semi-autógena, a diferença de consumo energético em relação à moagem convencional é muito menor que no caso da moagem autógena e a variação dessa diferença com o tipo do material também é bem menor. Os moinhos semi-autógenos têm aplicações semelhantes às dos moinhos autógenos, sendo atualmente preferidos dada a sua menor sensibilidade ante as variações das características do minério. Tanto os moinhos autógenos quanto os semi-autógenos são especialmente indicados no caso de materiais que apresentem dificuldades na britagem ou no peneiramento úmido, argiloso) Moinhos de seixos Moinhos de seixos, em lugar de bolas, como corpos moedores, são aplicáveis nos casos especiais de materiais que apresentam seixos competentes. Dada a menor densidade dos seixos, apresentam capacidade menor de moagem que os moinhos de bolas. São usados como moinhos secundários, em cuja aplicação apresentam consumo energético 62

60 específico kwh/t) sensivelmente igual aos de moinhos de bolas, tendo, porém, consumo de metais revestimento) muito menor que os moinhos de bolas revestimento e bolas). A designação moinho de seixos em inglês pebble mill) não é só aplicada para a moagem autógena ou semi-autógena) secundária, mas também para outra aplicação completamente diferente, a moagem por via seca de materiais que não podem ser contaminados por corpos moedores e/ou revestimentos metálicos. Neste último caso, os moinhos de seixos usam corpos moedores de ágata, sílex, coríndon ou cerâmica, sendo os revestimentos de granito, sílex ou cerâmica. Normalmente são de descarga por diafragma, embora, no caso de moagem muito fina, possam ser por overflow Modelamento Segundo Possa 995), um modelo pode ser definido como sendo uma equação, ou um conjunto de equações, que transforma uma entrada de dados input) em uma saída de resultados output), ou seja, é uma descrição matemática criteriosamente simplificada de um fenômeno e que expressa os mecanismos envolvidos, a partir de conhecimentos do fenômeno já previamente adquiridos. Segundo Luz et al. 998), os modelos costumam ser classificados em três tipos distintos quanto ao seu embasamento teórico, que são:. Modelos fundamentais, teóricos ou de fenômenos de transporte são consideradas as leis básicas da física e a química que caracterizam o processo, sendo os parâmetros de entrada obtidos através de experimentos ou de dados da literatura e assim, válidos para uma ampla faixa de valores de parâmetros constituintes do modelo. Tem-se como exemplo deste tipo de modelo a Lei de Stokes. 2. Modelos fenomenológicos são baseados na teoria do processo, mas utilizam parâmetros cujos valores devem ser obtidos no próprio processo. Os modelos fenomenológicos são poderosos e representam o modelo de forma realista, sendo capazes de realizar extrapolações. Os modelos cinéticos de moagem são 63

61 exemplos de modelos fenomenológicos onde é incorporada a idéia de que as partículas são fragmentadas e transportadas a taxas que são dependentes dos tamanhos das partículas. Sedlatscheck e Bass In Luz et al., 998) desenvolveram um modelo para a moagem em moinho de bolas em laboratório dado por: t) M ).exp S t) M =. 2.57) Onde: M t) e M ) são as quantidades de material retido no intervalo de tamanho mais grosseiro após moagem nos tempos t e zero, e S é a função taxa específica de quebra, que é a taxa de desaparecimento de material retido no intervalo de tamanho mais grosseiro durante um tempo t de moagem. Esse parâmetro é determinado através de ensaios de moagem com bolas em laboratório. O modelo fenomenológico pode ser obtido através de leis da conservação da massa, da energia e do movimento. 3. Modelos empíricos são baseados em dados experimentais obtidos no próprio processo. Estes dados são correlacionados, geralmente, através do emprego de técnicas de regressão, associando parâmetros de desempenho do processo com as variáveis operacionais. Como exemplo deste tipo de modelo tem-se a equação de Bond Equação 2.). Este tipo de modelo é restrito, não podendo ser extrapolado para condições sob as quais as variações dos parâmetros não foram estudadas. No processamento mineral os modelos mais utilizados são os fenomenológicos e os empíricos, ou ainda, a combinação destes modelos, face à simplificação dos mesmos. 64

62 Os modelos fundamentais são pouco empregados devido à grande complexidade dos mecanismos envolvidos nos processos. Os modelos também podem ser classificados quanto ao regime dos processos em modelos em estado de equilíbrio e dinâmico, sendo que neste último caso são considerados os distúrbios que ocorrem durante o processo, gerando uma dependência em relação ao tempo Simulação Quando os valores de entrada de um modelo são modificados através das equações matemáticas que o regem, tem-se uma simulação matemática. No entanto, tais equações podem estar contidas em um programa de computador, originando assim, a simulação computacional. A simulação de um processo físico é um modelo matemático que representa, de forma simplificada, o comportamento de um processo. No final da década de 6 Possa, 995 e Carrisso, 995) a simulação começou a ser implantada de maneira significativa no tratamento de minérios como conseqüência da difusão da computação. Até então, o processo fora lento porque era difícil desenvolver modelos precisos e os computadores de grande porte eram restritos a um pequeno número de técnicos e pesquisadores interessados no assunto. Este obstáculo veio sendo minimizado ano a ano graças ao desenvolvimento de computadores pessoais PC s) com capacidade de executar grandes números de operações matemáticas em tempos cada vez mais diminutos, sendo que o custo destas máquinas também sofreu um declínio vertiginoso. O desenvolvimento de máquinas baratas e velozes proporcionou um campo fértil para o desenvolvimento de programas de simulação que possibilitaram a realização de muitas pesquisas e o seu emprego em diversas usinas e projetos de engenharia. Deve ser enfatizado que a simulação é uma ferramenta que auxilia os trabalhos de um pesquisador. Ela não substitui os ensaios tradicionais, mas é um complemento muito 65

63 importante que promove a redução do tempo de pesquisa e a avaliação dos resultados dos ensaios. Através destes ensaios serão definidos os parâmetros do modelo, que por sua vez, fornecerão uma nova e conveniente quantificação do desempenho do processo simulado. Cabe ressaltar que a simulação é empregada hoje em dia em todas as áreas da ciência, não se restringindo à engenharia. Uma vantagem da simulação é a perfeita reprodutibilidade de um ensaio simulado. Tomando-se como exemplo um peneiramento de uma amostra devidamente quarteada e homogeneizada, é estatisticamente improvável que os peneiramentos das quatro alíquotas sejam iguais. Por outro lado, se o mesmo peneiramento fosse uma simulação, poder-se-ia repetir o mesmo ensaio, obtendo os mesmos resultados, quantas vezes fosse necessário. Uma vez que se cria um programa computacional para a simulação de um fenômeno, ou seja, um simulador, tem-se início à fase de validação do programa e do modelo matemático por detrás do simulador. É nesta fase que o simulador deverá ser alimentado com dados práticos, devidamente conhecidos e os resultados gerados pelo simulador deverão condizer com os resultados práticos obtidos. Percebe-se que a integridade de ambos, modelo e simulador, depende estritamente da representatividade dos dados que alimentarão e validarão o simulador. Cabe notar que ao se criar um simulador pode-se cometer erros tanto na fase de criação do modelo matemático quanto na fase da implementação computacional deste, sendo assim necessário uma intensa análise crítica do simulador e do modelo, a fim de que o simulador possa ter um alto nível de confiabilidade. Os processos de cominuição Lynch et al., 992; Concha, 995 e Napier-Munn e Lynch, 992) vêm sendo estudados com muitos detalhes no que tange a simulação. Os modelos utilizados atualmente já incorporam parâmetros relacionados com as características dos minérios e dos equipamentos, e possuem equações que descrevem a interação minérioequipamento. Os modelos empregados na cominuição são do tipo fenomenológicos, 66

64 sendo conhecidos como modelos de balanço populacional. O processo de moagem fica definido a partir da determinação de funções de quebra e de seleção. O grande desafio atualmente tem sido o de se desenvolver modelos confiáveis para as moagens autógenas e semi-atógenas, devido à complexidade das relações entre tipo de minério, carga moedora, energia disponível para a quebra e funções de quebra para partículas de minério com ampla faixa de tamanhos. 67

65 3. METODOLOGIA A metodologia geral para a elaboração do presente trabalho abrangeu, além da revisão da literatura mostrada no Capítulo 2, as seguintes fases distintas:. Elaboração de um programa para a validação do modelo de Austin; 2. Validação do programa com dados conhecidos fornecidos pelo próprio Austin); 3. Validação dos modelos escolhidos com dados reais de moagem; 4. Adaptação do modelo, considerando agora uma alimentação polidispersa; 5. Revalidação do modelo implementado; 6. Análise e discussão dos resultados obtidos. 3.. Programa para a validação do modelo de Austin De posse do conjunto de equações anterior, procedeu-se a fase de elaboração do programa IBPS-Mono Impact Breakage Particle Simulation for Mono-dispersed feed) que tinha como finalidade única e exclusiva a retratação fiel do modelo de Austin. Assim sendo, seu algoritmo é computacionalmente semelhante ao conjunto de equações anterior. Uma vez que o programa IBPS-Mono foi implementado, este será mostrado em maiores detalhes no Apêndice C, já sendo mostrada a sua implementação final Validação do programa com dados conhecidos De posse do programa IBPS-Mono era necessário validá-lo com dados conhecidos. Assim sendo foram cedidos por Austin informações sobre um ensaio, com dados de entrada e saída da implementação computacional do seu modelo. Segue abaixo os dados de entrada do modelo, conforme já descrito no Capítulo 2.6: Peneiras utilizadas em µm) 68

66 I x i Constantes Número de peneiras n) = 3; Número de classes energéticas N) = 3; A =,235; C =,27 J/kg; m =,58; x = µm; β = 2; γ =,96; δ = ; Φ =,8. Energia específica de impacto = 2,733 J/g. Dados de saída do modelo: i B,72,469,294,9,3,92,66,47,34,24,7 i, 3.3. Calibração do programa com dados reais de moagem Uma vez que o programa IBPS-Mono já havia sido validado para dados conhecidos fornecidos por Austin), passou-se então à fase de validação deste para dados reais, que consistia em: Analisar granulometricamente a alimentação da moagem; Moer o material em estudo em um moinho tubular revolvente; Analisar granulometricamente o material produto da moagem; 69

67 Determinar as constantes necessárias para o funcionamento do modelo; Para validar o programa IBPS-Mono foram utilizados dois materiais distintos: vidro-3r e areia, sendo que a caracterização destes materiais se encontra no Apêndice A. Uma vez que o programa IBPS-Mono era válido apenas para alimentações monodisperas, os materiais escolhidos para a sua validação deveriam ser também monodispersos. Assim sendo utilizou-se materiais bitolados granulometricamente em 49 µm. Os testes de moagem foram realizados em um moinho tubular revolvente vide fotos no Apêndice B), sendo os testes realizados com as seguintes características operacionais: Massa de corpos moedores: 4, kg de bolas de aço; Diâmetro dos corpos moedores: 25 mm; Dimensões do moinho: 2 x 2 cm; Velocidade de rotação do moinho: rpm; Tempo de moagem: minuto; Carga do moinho: 3,5 kg de material a ser moído. Para a determinação das constantes específicas dos materiais α, β, γ e φ) foi adotada a metodologia proposta por Austin, onde este mostra que o valor das constantes pode ser determinado através de um algoritmo para a minimização de erros, correlacionando a expressão da quebra do material calculada versus a expressão da quebra experimental. Esta última é dada expressão 2.24, mostrada novamente abaixo. B ij = Pi ln Pi Pj+ ln Pj+ ) t) ) t) 7

68 Utilizou-se o MathCAD 6. da MathSoft para minimizar o erro entre as curvas experimental e teórica, uma vez que este pacote para simulação matemática já conta com tais algoritmos em sua biblioteca de funções. Além disso, tal pacote foi também utilizado pelo próprio prof. Austin. O Apêndice D mostra o algoritmo usado para a determinação das constantes do modelo, bem como as funções utilizadas para a minimização dos erros entre as funções de quebra. Como o algoritmo para a minimização dos erros necessita da função de quebra experimental como um dado de entrada do programa, o algoritmo elaborado no MathCAD foi ampliado de tal maneira que o próprio MathCAD calcula o função de quebra experimental, sendo necessário apenas entrar com a análise granulométrica do material após os ensaios de moagem. Para a determinação da energia de impacto específica foi criado um programa em Delphi, conforme mostrado no Apêndice E, sendo esta metodologia preconizada por Morrell 992), conforme mostrado no Capítulo Adaptação do modelo para alimentações polidispersas O modelo inicialmente proposto por Austin 22) considera apenas uma alimentação monodispersa. A fim de se ampliar a funcionalidade do modelo, este foi adaptado para alimentações polidispersas da seguinte maneira: O novo modelo consiste, na verdade, em uma série de execuções sucessivas do modelo anterior, sendo que o número de execuções depende do número de peneiras escolhidas; O produto de uma simulação serve de alimentação para a próxima simulação; A novidade de adaptação do modelo reside no fato de se ter como entrada de dados a análise granulométrica da alimentação; 7

69 Além disso, a função de quebra experimental foi determinada como sendo uma média das quebras de cada moagem, sendo o modelo ajustado a uma moagem média e, conseqüentemente, a função de quebra ajustada torna-se uma função de quebra geral, acarretando em um pequeno erro quando utilizada para os vários tempos de moagem diferentes. A figura 3. mostra um esquema simplificado do funcionamento da alimentação do moinho no modelo de Austin. Já a figura 3.2 mostra a alimentação da adaptação e como o produto de uma simulação de moagem alimenta a próxima simulação. Analisando a figura 3. nota-se então que o modelo de Austin, de posse de uma alimentação monodispersa, simula tanto a quebra das partículas minerais, quanto fornece a distribuição granulométrica do produto da moagem. A adaptação do modelo consiste então em se bitolar a alimentação polidispersa em várias classes monodispersas, sendo que cada uma das quais será moída em um moinho virtual. Assim sendo, a adaptação do modelo admite uma alimentação polidispersa usando o recurso de subdividi-la em vários moinhos, sendo que cada moinho será então alimentado com uma distribuição monodispersa, conforme mostrado na figura 3.2. Enquanto o modelo de Austin já fornece diretamente a análise granulométrica do produto da moagem, na sua adaptação é necessário acumular os vários produtos de mesma granulometria gerados pelas simulações. Assim sendo, para uma simulação como a mostrada na figura 3.2, onde são utilizadas três peneiras, a massa final produzida será dada pela soma das massas produzidas em cada moagem tabela 3.). Cabe ainda salientar que os moinhos extras apresentados na figura 3.2 são moinhos virtuais não existindo em hipótese nenhuma em uma planta real de tratamento de minérios, quanto mais em um circuito de moagem, eles são apenas um artifício para se poder trabalhar com moagem de material inicialmente polidispersa, usando-se um algoritmo de modelagem monodispersa. 72

70 Figura 3. Esquema prático da alimentação do moinho no modelo de Austin, considerando quatro peneiras. 73

71 Figura 3.2 Esquema prático da alimentação dos moinhos na adaptação do modelo, considerando três peneiras. 74

72 Tabela 3. Massa produzida após simulação. Produto/Classe granulométrica Massa produzida A 2 2A + 2B 3 3A + 3B + 3C A + 4B + 4C Onde: A representa o produto gerado na moagem realizada no moinho virtual A; B representa o produto gerado na moagem realizada no moinho virtual B; C representa o produto gerado na moagem realizada no moinho virtual C. O algoritmo do programa criado para a simulação utilizando o modelo adaptado, bem como a sua descrição completa, pode ser visto no Apêndice C Calibração do modelo adaptado para alimentações polidispersas O modelo adaptado foi calibrado utilizando-se o mesmo moinho utilizado na calibração do modelo de Austin para uma alimentação monodispersa, seguindo a mesma metodologia, porém agora para os seguintes materiais: Quartzito Estrada Real; Vidro-3R; Areia. A caracterização destes materiais se encontra no Apêndice A. 75

73 4. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS A seguir são mostrados os resultados obtidos no presente trabalho, bem como a discussão dos mesmos. 4.. Resultados da validação do modelo de Austin para dados conhecidos Os resultados obtidos na simulação estão de acordo com os valores encontrados por Austin em seus estudos Austin, 22) Resultados da calibração do programa com dados reais de moagem para alimentações monodispersas Após cada moagem, uma alíquota de material moído foi colhida e analisada granulometricamente. As figuras 4. e 4.2 abaixo mostram a análise granulométrica do vidro-3r e da areia após moagem de um minuto. 76

74 Figura 4. Análise granulométrica do vidro-3r após moagem durante min. Figura 4.2 Análise granulométrica da areia após moagem durante min. 77

75 A tabela 4. mostra as constantes utilizadas na simulação da moagem para os dois materiais ensaiados, obtidas através do modelo matemático apresentado no Apêndice D e implementado no MathCAD. Tabela 4. Constantes utilizadas na simulação. Material Constantes A C m γ β Φ δ Areia,5,9,58,365,39,73, Vidro,5,5,58,36,33,62, As figuras 4.3 e 4.4 mostram as curvas de quebra experimental e teórica para o vidro e para a areia, sendo que a sigla B4X significa quebra experimental e BA quebra teórica. A tabela 4.2 mostra os erros encontrados utilizando o algoritmo mostrado no Apêndice D para a minimização dos erros entre as curvas de quebra experimental e teórica para a areia e para o vidro. Tabela 4.2 Erros encontrados nos ajustes das constantes para a areia e para o vidro. Material Erro Areia,6 Vidro,9 78

76 BA i,.5 B4X i Figura 4.3 Curvas de quebra experimental e teórica para a areia. x i BA i,.5 B4X i Figura 4.4 Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro. x i 79

77 4.3. Resultados da validação do programa com dados reais de moagem para alimentações polidispersas Todos os produtos foram moídos durante, 4, 8 e 6 minutos. As figuras 4.5 a 4.7 mostram os produtos de cada teste de moagem, sendo que a alimentação de uma moagem é o produto da anterior. Nas figuras 4.6 e 4.7 não é apresentada a curva da alimentação da primeira moagem do vidro e da areia, pois estes materiais eram bitolados em µm. A tabela 4.3 mostra as constantes utilizadas na simulação da moagem para os materiais ensaiados. A fim de se obter uma alimentação polidispersa foi considerada apenas as moagens de 4, 8 e 6 minutos para a areia e o vidro, sendo então considerada a moagem de minuto como uma preparação das amostras, com a finalidade de as transformarem em amostras polidispersas. Tabela 4.3 Constantes utilizadas na simulação. Material Constantes A C m γ β Φ δ Areia,5,9,58,365,39,73, Vidro,5,5,58,36,33,62, Quartzito,5 3,,58,634 2,55,622, As figuras 4.8, 4.9 e 4. mostram as curvas de quebra experimental e teórica para a areia em suas moagens de 4, 8 e 6 minutos, respectivamente, já as figuras 4., 4.2 e 4.3 mostram as mesmas curvas para o vidro em suas moagens de 4, 8 e 6 minutos, respectivamente, e as figuras 4.4, 4.5, 4.6 e 4.7 mostram as mesmas curvas para o quartzito em suas moagens de, 4, 8 e 6 minutos, respectivamente. A tabela 4.4 mostra os erros encontrados utilizando o algoritmo mostrado no Apêndice D para a minimização dos erros entre as curvas de quebra experimental e teórica para a areia, o vidro e o quartzito. 8

78 Figura 4.5 Análise granulométrica dos produtos das moagens do Quartzito Estrada Real. 8

79 Figura 4.6 Análise granulométrica dos produtos das moagens do Vidro-3R. 82

80 Figura 4.7 Análise granulométrica dos produtos das moagens da Areia. 83

81 BA i,.5 B4X i Figura 4.8 Curvas de quebra experimental e teórica para a areia, moagem de 4 minutos. x i BA i,.5 B4X i Figura 4.9 Curvas de quebra experimental e teórica para a areia, moagem de 8 minutos. x i 84

82 BA i,.5 B4X i Figura 4. Curvas de quebra experimental e teórica para a areia, moagem de 6 minutos. x i BA i,.5 B4X i Figura 4. Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro, moagem de 4 minutos. x i 85

83 BA i,.5 B4X i Figura 4.2 Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro, moagem de 8 minutos. x i BA i,.5 B4X i Figura 4.3 Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro, moagem de 6 minutos. x i 86

84 BA i,.5 B4X i Figura 4.4 Curvas de quebra experimental e teórica para o quartzito, moagem de minuto. x i BA i,.5 B4X i Figura 4.5 Curvas de quebra experimental e teórica para o quartzito, moagem de 4 minutos. x i 87

85 BA i,.5 B4X i Figura 4.6 Curvas de quebra experimental e teórica para o quartzito, moagem de 8 minutos. x i BA i,.5 B4X i Figura 4.7 Curvas de quebra experimental e teórica para o quartzito, moagem de 6 minutos. x i 88

86 Tabela 4.4 Erros encontrados nos ajustes das constantes para a areia e para o vidro. Material Moagem Erro Areia Vidro Quartzito 4 minutos,2 8 minutos, 6 minutos,3 4 minutos, 8 minutos,5 6 minutos,6 minuto, 4 minutos,4 8 minutos,4 6 minutos, 89

87 5. CONCLUSÕES Foram obtidas as seguintes conclusões no presente trabalho: O modelo de Austin foi desenvolvido inicialmente para a fragmentação sob impacto. Este modelo mostrou-se aplicável para moagem em moinhos tubulares revolventes, embora, nesses equipamentos, a fragmentação se dar devido à conjugação da ação de impacto e da ação abrasiva entre os corpos moedores e o material a ser fragmentado bem como entre as diversas partículas entre si). A implementação do modelo de Austin para alimentações polidispersas, embora sendo conceitualmente incorreta devido ao fato desta não levar em conta as interações de segunda ordem oriundas da moagem de material grosseiro juntamente ao material mais fino, se mostrou satisfatória para a precisão desejada para os três materiais em estudo. O erro em se utilizar a metodologia apresentada decresce à medida que cresce o tempo de moagem, conforme mostrado na tabela 4.4. Por ser uma metodologia nova introdução da alimentação polidispersa e da metodologia de determinações das constantes adimensionais), é necessário validar o modelo para moagens de outras espécies minerais, bem como para maiores tempos de moagem. As constantes de calibração do modelo mostraram-se diferentes para o quartzito e para a areia uma vez que na moagem de quartzito existem dois mecanismos de quebra: a intergranular e a intragranular, ao passo que na quebra da areia só existe a quebra intragranular; 9

88 O MathCAD se mostrou uma ferramenta de utilização rápida e eficaz para a minimização de erros. Porém dois pontos devem ser salientados:. A precisão do software é de -5, o que significa que valores menores que este são desprezados e tomados como zero. 2. O algoritmo usado na minimização de erros procura por valores que gerem mínimos locais, o que pode ocasionar a geração de mais de uma solução real para a equação a ser minimizada. O Delphi se mostrou uma plataforma de desenvolvimento ágil e robusta, mas ainda carente de desenvolvimento de bibliotecas matemáticas mais diversificadas, pois a plataforma não conta com nenhuma ferramenta de minimização de erros e ou cálculos diferenciais, o que não acontece com linguagens como o FORTRAN. 9

89 6. TRABALHOS FUTUROS Criação de funções para determinação de mínimos absolutos para o Delphi; Implementação do programa IBPS para que este permita o cálculo das constantes do modelo, ou seja, somar um módulo de calibração ao programa; Fundir o programa Pnet ao programa IBPS de tal forma que este possa contar também com o cálculo da energia de impacto específica; Criar ponderadores para priorizar a minimização dos erros entre as funções de quebra experimental e teórica na faixa granulométrica fina, o que tem sido mostrado por Austin 22) como sendo a parte mais importante para a simulação da moagem; Criar uma abordagem diferencia para tratar as alimentações polidispersas de modo que se considere as interações de segunda ordem entre as partículas a serem quebradas. 92

90 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AUSTIN, L. G. A treatment of impact breakage of particles. Powder Technology, Elsevier, pp. 85-9, 22. AUSTIN, L. G. et alii. Process Engineering of Size Reduction Ball Milling. Society of Mining Engineers of AIME, New York, 984. AUSTIN, L. G., BAGGA P. & CELIK, M. Breakage Properties of some Materials in a Laboratory Ball Mill. Powder Technology, Elsevier, pp , 98. AUSTIN, L. G., KLIMPEL, R. R. & BEATTIE, A. N. Solutions of Equations of Grinding. In: Second European Symposium On Comminution, Amsterdam, pp , 966. AUSTIN, L. G. & LUCKIE, P. T. Estimation of non-normalized breakage dis tribution parameters from batch grinding. Powder Technology, Elsevier, pp BENNETT, J. G. Broken Coal. In: J. INST. FUEL,, pp , 936. BERALDO, J. L. Moagem de Minérios em Moinhos Tubulares. Edgar Blücher, São Paulo, 987. BLANC, C. Apud Silva, 983. BOND, F. C. Crushing and Grinding Calculations. Allis Chalmers Industrial Press Department, 983. BROADBENT, S. R. & CALLCOTT, T. G. A Matrix Analysis of Processes Involving Particle Assemblies. In: Phil. Trans. R. Soc. London, Ser., A, 249: 99-23, 956. BROADBENT, S. R. & CALLCOTT, T. G. Coal Breakage Processes. In: J. Inst. Fuel, 29, pp , 956. CARRISSO, R. C. C. Aplicação de uma Metodologia que Simule em Moinho de Laboratório Operações Contínuas de Moagem com Seixos para Talco. Dissertação de Mestrado. São Paulo, USP, 995. CHARLES, R. J. Apud Silva,

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93 8. APÊNDICES A. Caracterização dos materiais utilizados nos ensaios de moagem Foram utilizados três materiais diferentes na realização dos testes de moagem, a saber: Vidro-3R; Areia; Quartzito da pedreira localizada na Estrada Real); Todos os materiais utilizados nos testes de moagem foram classificados granulometricamente a fim de se conhecer a alimentação de cada teste de moagem. Assim sendo, apresenta-se na seqüência a análise granulométrica inicial de cada um dos materiais utilizados bem como uma foto destes. 96

94 A.. Caracterização do VIDRO-3R Figura 8. Foto do VIDRO-3R utilizado nos ensaios de moagem. Fabricado pela Zirtec, o vidro utilizado no trabalho responde pela denominação comercial de VIDRO-3R. A análise granulométrica do VIDRO-3R será omitida em virtude do fato deste se apresentar bitolado em #, sendo este um dos fatores ponderantes para a escolha deste como um dos materiais a serem utilizados experimentalmente. 97

95 A.2. CARACTERIZAÇÃO DA AREIA Figura 8.2 Foto da AREIA utilizada nos ensaios de moagem. A análise granulométrica da AREIA será omitida em virtude do fato desta se apresentar bitolada em #, sendo este um dos fatores ponderantes para a escolha desta como um dos materiais a serem utilizados experimentalmente. 98

96 Simulação de moagem implementada a partir do modelo de Austin A.3. CARACTERIZAÇÃO DO QUARTZITO ESTRADA REAL Figura 8.3 Foto do QUARTZITO Estrada Real utilizado nos ensaios de moagem. Figura 8.4 Análise granulométrica do QUARTZITO Estrada Real. 99

97 B. Fotos do moinho tubular revolvente Figura 8.5 Vista lateral do moinho revolvente e dos corpos moedores.

98 Figura 8.6 Vista superior do moinho revolvente e dos corpos moedores.

99 Figura 8.7 Vista lateral do moinho revolvente, dos corpos moedores e sistema de rotação do moinho. 2

100 C. Programa IBPS Sigla de Impact Breakage Particle Simulation, ou simplesmente IBPS, este é um programa de computador software) desenvolvido com o intuito de validar o modelo de Austin para cominuição mineral. O programa IBPS foi desenvolvido em duas versões, a primeira denominada IBPS- Mono, que admitia apenas alimentações monodispersas, sendo esta a sua principal limitação, e a última denominada IBPS-Poli, que reúne todas as características do IBPS original mais a adaptação do modelo de Austin para alimentações polidispersas. O IBPS-Poli ou simplesmente IBPS) pode, assim, ser usado tanto para uma alimentação monodispersa quanto para polidispersa. Usou-se a plataforma de desenvolvimento Delphi da Borland em sua versão 6 para o desenvolvimento do programa. Sendo um programa de simples implementação computacional, seu maior valor reside no modelamento matemática por detrás deste e não necessariamente em alguma técnica avançada de programação. Todo desenvolvido seguindo a linha de POO programação orientada a objetos) o IBPS utiliza-se de alguns componentes personalizados, criados pelo autor, sendo que a grande maioria de componentes utilizados é parte integrante da plataforma de desenvolvimento. Para a entrada e saída de dados I/O) o IBPS utiliza a entrada e saída de dados padrão do computador e/ou um arquivo de texto nomeado com a extensão.ibp, que é a extensão padrão do programa. Os resultados do programa são visualizados na forma de gráficos e texto, onde o texto mostra todas os resultados parciais e finais) da simulação. 3

101 C.. Algoritmo usado no programa IBPS Abaixo é mostrado o algoritmo usado no desenvolvimento do programa IBPS, como este algoritmo é relativamente extenso, a figura possui mais que uma página, sendo que o final de uma página é o início da próxima. Apesar de ser conhecido a existência de estruturas especialmente designadas para representar um loop em um algoritmo estruturado, foi preferido utilizar um circuito fechado por uma estrutura tomadora de decisões uma estrutura IF), porém, no programa, todos os loops necessários são realizados por estruturas FOR. 4

102 5

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108 C.2. Resultados do programa IBPS O programa IBPS seus resultados apresentados de dois modos: Resultado detalhado contendo informações de cada iteração da simulação; Resultado resumido contendo apenas as informações finais da simulação. Na opção detalhada, é gerado um arquivo de texto contendo todos os valores de todas as variáveis usadas na simulação e, para o caso de uma alimentação polidispersa, os resultados de cada iteração. Na opção resumida é apresentado um gráfico contendo os valores da quebra primária acumulada aparente, bem como uma tabela com os seus valores para a última iteração da simulação.

109 C.3. Unit principal do programa IBPS A fim de se mostrar o desenvolvimento, mesmo que não em sua totalidade, pois o programa contém um total de 2 units que são os módulos de trabalho da linguagem OBJECT PASCAL), é mostrada a seguir a unit principal do programa, unit esta que contém o algoritmo do modelo estudado.! " # $ % & '! )! * & + & * * & ",! & ) -. /,! -. 2! 3 # & - 4! - 5! 6 * 7! * 7!! ' 7!! '! '. 7!! ' ) 7! ) $ 7! % 7! 7!. 7! # '. 7! # ' # ' $ 7! # ' # ' % 7! # ' # ' 7! # ' ). 7! ) 2

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153 ! E 5 7!? '< 6 ' " : E ) ' " ) 5 : E, 6 " # 5I? 9 : 7IM N $ M : E, M N $ M I<U ) E < ' : P JR I D '3 ', F> 6-, ) : 5 : E, 6! E 5 7!? '< 6, 7 7! ) 7! 7" ' " ' 7- # 5I? 9 : EIM N $ M I < : S [ R I D '3 ', ' F> 6 "- ) - 3 : * E : * " ) 7- > "? E ) " ) 5? E, 6, 7-? E, 5, 6 & 56 ) 5I ' 9 : EI D '? A F> 6 ) 56

154 7-! # E,? 56 & 5 6 E ) 5I 9 : EI D '? A F> 6 ) 5 6, 7-, : E, 7-, E* D. FE! ) 7-, 7-, 5 E* D. FE! ) 6L 4 > ', 7-5, * 5IWI, 6M 5, 66 E* D. FE! ) 7-5 E* D. FE! ) > $ 6M IEEWIM, 5* 5IWI, 6- > E* D. FE! ) 6L 4 > 6 E* D. FE! ) 7- ) *, 5 6, 7- ) *, ! 5 7!? '< 6 7" ' E ' 7-57

155 & E ' 7- E ' 7- * E : * " ) > 7 7- > J "5 DF! 6 5! 5 DF6E 6 ' " ' EZ 5 h! Y! 6 E ' 7-! "! 5 DF6E # K L > ' & E ' 7-! E ' 7-! E ' 7- & E ' * E ' 7- E ' E ' 7- E ' 7 ' ) E" " ) 7 $ E *. 7 % E *! 5 7!? '< 6 ' * E : * " ) > ' ) E" " ) 7 58

156 $ E % E 5. 6! 5 7!? '< 6 ' * E : * " ) > 7 5> 6 7 ' ) E" " ) 7 $ E 5> 6. 7 % E 5> 6! 5 7!? '< 6 ' * E : * " ) > ' ) E" " ) 7 $ E % E 56! 5 7!? '< 6 ' 59

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158 ' 5 7!? '< 6 ' E ' 7-,?! E 5 7!? '< 6 ' Z E# E ' 7-,?! Z E# E ' 7-,?! E 8 5 7!? '< 6 ' 8 > 7-,?! 8 > " 8 > '. E Y 3 5 E ) Y 8 > 6. E Y 3 5> 8 > 6. E! 4 5 7!? '< 6 4 > 4 > 4 > ' $ E Y 3 5 E ) Y 4 > 6 $ E Y 3 5> 4 > 6 $ E 6

159 ! $ 5 7!? '< 6 $ > $ > $ > ' % E Y 3 5 E ) Y. > 6 % E Y 3 5>. > 6 % E! E ' ). 5 7!? '< 6 7" ' ' ) $ E" E 7- ' ). E" " ) M ' ). E" E J ' ) $ E" E 5 ' ). E" DF6 ' ) $ E" " ) 7- ' ) $ E" E J ' ) $ 5 6! E ' ) $ 5 7!? '< 6 ' E* DFE! ) 7- I* - I M "! 5 ' ). E" E" )? 5 ' ) $ E" D ' ) $ E" " ) F6 J ' ). E" " ) M 6 7-!! 5 7!? '< 6 7" ' * E : * " ) 62

160 > 7 ' " ! 4 E 5 & E+ & # ' $ E 7- ), 5, 6 "5 - ; 6 4 & E? * : 7- * : 4 & E* : 5 - * 6 4 & E* 4 & E* 7 ' " ' ) E" " ) - > ' " = - = 7-! = E 5 6 = E+ & # ' E 7- ), 5, 6 $ & 5 = 6 "5 - ; 6 = & E? * : 7- * : = & E* : 5 - * 6 = & E* = & E* ' " ! 2 E E+ & # ' E 7- ), 5, 6 63

161 % & "5 - ; 6 2 & E? * : 7- * : 2 & E* : 5 - * 6 2 & E* 2 & E*. 7 ' " ! 8 E E+ & # ' E 7- ), 5, 6 8 E E 8 E. E 8 E $ E 8 E % E 7- > E J 8 E E Y 3 5 EY DF E3 DF6 7- >. E J 8 E. E Y 3 5. EY DF. E3 DF6 7- > $ E J 8 E $ E Y 3 5 $ EY DF $ E3 DF6 7- > % E J 8 E % E Y 3 5 % EY DF % E3 DF6 8 E E ' 7- E ' 8 E+ & E# E ' 7- Z E# E ' "5 - ; 6 8 & E? * : 7- * : 8 & E* : 5 - * 6 8 & E* 64

162 8 & E* $ 7 " > - > 7-! > E 5 6 > E+ & # ' E 7- ), 5, 6 > E+ & &! ) E# 7- & E# > E+ & &! ) E 7- & E "! 5 2 E! ) 6L 4 > & E* E? 7- # > & E* E? 7- * > E+ & &! ) E 7- > & E E "5 - ; 6 > & E? * : 7- * : > & E* : 5 - * 6 > & E* > & E*! E 5 7!? '< 6 ' & E! E " 5 7!? '< 6 ' & E! ' E J$ 65

163 ! E " 5 7!? '< 6 ' & E* '! E " 5 7!? '< 6 ' & E! '! E " 5 7!? '< 6 ' & E! E " 5 7!? '< 6 : 7! ) 7 '! 5 I# *! I6 & > & E# E J # 5 & E# DF6 5 N. 6QQ < U 5 6 ) # 5I 9 : EI D F> 6! 5 7!? '< 6 * 7! * ' " E ) & E 7- E 66

164 * 7- & E * & E & E ' E, 7- & E E, & E ' E ; 7- & E E ; & E ' E 7- & E E & E # 7- > & E * 7- *! E* $ * 5 7!? '< 6 ' " $ E ' 7-5& E # L > 6 " 4 E ' 7-5& E # L > 6 ; E ' 7-5& E 6 " / E ' 7-5& E# E L > 6 " = E ' 7-5& E# E L > 6! E + 5 7!? '< : 7 6 ' ", 5! ,?! E 67

165 D. Algoritmo para a minimização de erros O algoritmo utilizado para a minimização dos erros entre as curvas de quebra experimental e teórica de cada material foi desenvolvido no MathCAD. A seguir são apresentados os algoritmos utilizados para a determinação das constantes características do material para os dados fornecidos pelo prof. Autin, para a areia e para o vidro utilizados nos testes de moagem. D.. Algoritmo para a validação dos dados práticos fornecidos pelo prof. Austin R 2 x 2.36 n 3 i.. n N 3 k.. N Abar.235 x i. x R i K i..27 x i.58 Emini K i Emax i. K i exp Abar K i.... x i i x i K i Emax i

166 φ.8 δ j.. n φ. j) j φ R. δ i j if i j,, φ. j B, x i x j γ x φ. i j x j β β 2 γ.96 φ j b n, j B n, j B n, j b i, j B i, j B i, j I T 3 t.. 3 m EN t I t m t 2 3 EN t t 3 E EN t N E =.9 E. k E k B4X

167 i k if i n,, if k,, if E k < Emin i,, if E k Emax i,, Abar. ln a, c, i k if k,, a, i k a i, k E k K i c, =. c, =.39 c, N =.8 a, N =.838 c, k =.838 k PP i, k PP, N i 2.. n i PP i, k p = k q = N. b i, p c p, q k PP p, q. i.. n p i k i 2.. n BA i, a, P i p. i k PP i, k = i p i. P i j = n i p j BA i, B4X i.... x i 7

168 i x i p i P i BA i, B4X i x i i 2.. n y i BA i, z i γ.98 φ.2 β 2 x 2 z i F z, φ, γ, β ) φ. z) γ φ ). z) β SSE φ, γ, β) Given φ> φ< γ > β> SSE φ, γ, β) i y i F z i, φ, γ, β 2 φ γ β Minerr φ, γ, β ) ERR =.3 γ =.25 β =.879 φ =.999 BF. γ i, φ z. β i φ) z i 7

169 BA i, B4X i. BF i,... x i BA i, BF i, γ.96 φ.8 β 2 F z, φ, β ) φ. z) γ φ ). z) β SSE φ, β) Given φ> φ< β> SSE φ, β) i y i F z i, φ, β 2 φ β Minerr φ, β ) ERR =.3 γ =.96 β =.28 φ =.325 BF. γ i, φ z. β i φ) z i γ.96 φ.67 β 2 BF2. γ i, φ z. β i φ) z i 72

170 BA i, BF i, BF2 i,. B4X i... x i x BA i, B4X i BF i, BF i, BF2 i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF n, bf i BF i, BF i, BF2 n, bf2 i BF2 i, BF2 i, SSQ ba i bf i 2 SSQ =.4 i SSQ2 ba i bf2 i 2 SSQ2 =.8 i 73

171 D.2. ALGORITMO PARA A AREIA R 2 x.592 n 9 i.. n N 3 k.. N Abar.5 x i. x R i K i..9 x i.58 Emini K i Emax i. K i exp Abar K i... x i i x i K i Emax i φ.73 δ j.. n φ. j ) j φ R. δ β.39 γ.365 i j if i j,, φ. j B, x i x j γ x φ. i j x j β 74

172 φ j b n, j B n, j B n, j b i, j B i, j B i, j I I t T 3 t.. 3 m.247 EN t m t 2 3 EN t t 2 EN t =.498 E EN t N E =.5 E. k E k a, i k if i n,, if k,, if E k < Emin i,, if E k Emax i,, Abar. ln E k K i c, i k if k,, a, i k a i, k c, =. c, =. c, N =.2 a, N =.25 k c, k =.25 PP i, k PP, N i 2.. n i PP i, k p = k q = N. b i, p c p, q k PP,. p q i.. n p i k a,. i k PP i, k i i p i =. P i j = n p j i 2.. n BA i, P i p 75

173 i.. n t.. 3 j.. n Pac i, t Ps Pac i, t if i, Ps i, t, Pac i, t Ps i, t Pac = t.. 3 BX i, j BX i, j if i j,, ln ln Pac i, Pac i, t Pac Pac j, j, t BX i, j BX i, B4X i 3 i 2.. n j.. n BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, B4X i BF n, bf i BF i, BF i, SSQ ba i bf i 2 SSQ =.6 i 76

174 BA i,.5 B4X i x i i x i p i P i BA i, B4X i x i γ φ 5 β.5 y i B4X i z i γ γ φ φ x β β 2 z i F z, φ, γ, β ) φ. z) γ φ ). z) β SSE φ, γ, β) Given φ> φ< γ> β> SSE φ, γ, β) i y i F z i, φ, γ, β 2 φ γ β Minerr φ, γ, β ) ERR =.8 77

175 γ =.367 β =.388 φ =.794 BF. γ i, φ z. β i φ) z i BA i, B4X i.5 BF i, x i BA i, BF i, γ 4 φ.8 β 2 F z, φ, β ) φ. z) γ φ ). z) β SSE φ, β) Given φ> φ< β> SSE φ, β) i y i F z i, φ, β 2 φ β Minerr φ, β ) ERR =.8 γ = 4. β =.372 φ = BF. γ i, φ z. β i φ) z i γ.2 β 2 φ.9 BF2. γ i, φ z. β i φ) z i 78

176 BA i, BF i,.5 BF2 i, B4X i x i x BA i, B4X i BF i, BF i, BF2 i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF n, bf i BF i, BF i, BF2 n, bf2 i BF2 i, BF2 i, SSQ ba i bf i 2 SSQ =. SSQ2 i ba i bf2 i 2 SSQ2 = i Análise da areia - Moagem de 4 minutos i.. n t.. 3 j.. n Pac, Pac i, t if i, Ps i, t, Pac Ps i, t i, t t BX i, j i t 79

177 Pac = i 2.. n j.. n BX i, j if i j,, ln ln Pac i, Pac i, t Pac Pac j, j, t BX i, j B4X i BX i, BA i,.5 B4X i x i B4X i BA i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, B4X i BF n, bf i BF i, BF i, SSQ i ba i bf i 2 SSQ =.2 Análise da areia - Moagem de 8 minutos i.. n t.. 3 j.. n Pac, Pac i, t if i, Ps i, t, Pac Ps i, t i, t i t 8

178 t 2 BX i, j Pac = i 2.. n j.. n BX i, j if i j,, ln ln Pac i, Pac i, t Pac Pac j, j, t BX i, j B4X i BX i, BA i,.5 B4X i x i B4X i BA i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, B4X i BF n, bf i BF i, BF i, SSQ i ba i bf i 2 SSQ =. 8

179 Análise da areia - Moagem de 6 minutos i.. n t.. 3 j.. n Pac, Pac i, t if i, Ps i, t, Pac Ps i, t i, t t 3 BX i, j i t Pac = i 2.. n j.. n BX i, j if i j,, ln ln Pac i, Pac i, t Pac Pac j, j, t BX i, j B4X i BX i, BA i,.5 B4X i x i B4X i BA i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, BF n, bf i BF i, BF i, SSQ i ba i bf i 2 B4X i SSQ =.3 82

180 83

181 D.3. ALGORITMO PARA O VIDRO R 2 x.592 n 9 i.. n N 3 k.. N Abar.5 x. i x R i K..58 i.5 x i Emin i K i Emax i. K i exp Abar K i.. x i i x i K i Emax i φ.62 δ j.. n φ. j ) j φ R. δ β.33 γ.36 B, i j if i j,, φ. j x i x j γ x φ. i j x j β 84

182 φ j b n, j B n, j B n, j b i, j B i, j B i, j I I t T 3 t.. 3 m.247 EN t m t 2 3 EN t t 2 EN t =.498 E EN t E =.5 E. N k E k a, i k if i n,, if k,, if E k < Emin i,, if E k Emax i,, Abar. ln E k K i c, i k if k,, a, i k a i, k c, =. c, =. c, N =.26 5 a, N =.26 5 c, k =.26 5 PP i, k PP, N i 2.. n k i PP i, k p = k q = N. b i, p c p, q k PP,. p q i.. n p i k a,. i k PP i, k i i p i =. P i j = n p j i 2.. n BA i, P i p 85

183 i.. n t.. 3 j.. n Pac i, t Ps Pac i, t if i, Ps i, t, Pac i, t Ps i, t Pac = t.. 3 BX i, j BX i, j if i j,, ln Pac i, Pac i, t ln Pac j, Pac j, t i BX, BX i, j B4X i 3 i 2.. n j.. n BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, B4X i BF n, bf i BF i, BF i, SSQ i ba i bf i 2 SSQ =.9 86

184 BA i,.5 B4X i x i i x i p i P i BA i, B4X i y i B4X i z i x i x 2 γ γ φ φ β β z i F z, φ, γ, β ) φ. z) γ φ ). z) β SSE φ, γ, β) Given φ> φ< γ > β> SSE φ, γ, β) i y i F z i, φ, γ, β 2 87

185 φ γ β Minerr φ, γ, β ) ERR =.9 γ =.36 β =.33 φ =.62 BF. γ i, φ z. β i φ) z i BA i, B4X i.5 BF i, x i BA i, BF i, γ φ.8 β 2 F z, φ, β ) φ. z) γ φ ). z) β SSE φ, β) Given φ> φ< β> SSE φ, β) i y i F z i, φ, β 2 φ β Minerr φ, β ) ERR =.9 γ =. β =.352 φ =.2 BF. γ i, φ z. β i φ) z i γ.2 φ.9 β 2 BF2. γ i, φ z. β i φ) z i 88

186 BA i, BF i,.5 BF2 i, B4X i x i x BA i, B4X i BF i, BF i, BF2 i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF n, bf i BF i, BF i, BF2 n, bf2 i BF2 i, BF2 i, SSQ ba i bf i 2 SSQ = SSQ2 i ba i bf2 i 2 SSQ2 = i Análise do vidro - Moagem de 4 minutos i.. n t.. 3 j.. n Pac, Pac i, t if i, Ps i, t, Pac Ps i, t i, t t BX i, j i t 89

187 Pac = B4X i if BX i, >, BX,, i 2.. n j.. n i BX i, j if i j,, ln ln Pac i, Pac i, t Pac Pac j, j, t BX i, j BA i,.5 B4X i x i B4X i BA i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, B4X i BF n, bf i BF i, BF i, SSQ i ba i bf i 2 SSQ =. 9

188 Análise da areia - Moagem de 8 minutos i.. n t.. 3 j.. n Pac, Pac i, t if i, Ps i, t, Pac Ps i, t i, t t 2 BX i, j i t Pac = B4X i if BX i, >, BX,, i 2.. n j.. n i BX i, j if i j,, ln ln Pac i, Pac i, t Pac Pac j, j, t BX i, j BA i,.5 B4X i x i B4X i BA i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, B4X i 9

189 BF n, bf i BF i, BF i, SSQ i ba i bf i 2 SSQ =.5 Análise da areia - Moagem de 6 minutos i.. n t.. 3 j.. n Pac, Pac i, t if i, Ps i, t, Pac Ps i, t i, t t 3 BX i, j i t Pac = B4X i if BX i, >, BX,, i 2.. n j.. n i BX i, j if i j,, ln Pac i, Pac i, t ln Pac j, Pac j, t BX i, j BA i,.5 B4X i x i 92

190 B4X i BA i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, 2 BF BF ba i bf i n, bf i BF i, i, SSQ i B4X i SSQ =.6 93

191 D.4. ALGORITMO PARA O QUARTZITO R 2 x 3.35 n 5 i.. n N 3 k.. N Abar.5 x i. x R i K i. 3 x i.58 Emin i K i Emax i. K i exp Abar K i.. x i i x i K i Emax i φ.622 δ j.. n φ. j ) j φ R. δ β 2.55 γ.634 B, i j if i j,, φ. j x i x j γ x φ. i j x j β 94

192 φ j b n, j B n, j B n, j b i, j B i, j B i, j I I t T 3 t.. 3 m.247 EN t m t 2 3 EN t t 2 EN t =.49 E EN t N E =.5 E. k E k a, i k if i n,, if k,, if E k < Emin i,, if E k Emax i,, Abar. ln E k K i c, i k if k,, a, i k a i, k c, =. c, =. c, N =. a, N =. k c, k =. PP i, k PP, N i 2.. n i PP i, k p = k q = N. b i, p c p, q k PP,. p q i.. n p i k a,. i k PP i, k = i p i. 95

193 i P i j = n p j i 2.. n BA i, P i i.. n t.. 4 j.. n Pac p i, t Ps Pac i, t if i, Ps i, t, Pac i, t Ps i, t Pac =

194 t.. 4 BX i, j BX i, j if i j,, i 2.. n j.. n ln ln Pac i, Pac i, t Pac Pac j, j, t i BX, BX i, j B4X i 4.5 BA i, B4X i x i i x i p i P i BA i, B4X i BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, B4X i BF n, bf i BF i, BF i, SSQ i ba i bf i 2 x i SSQ =.4 y i B4X i z i x 2 γ γ φ φ β β 97

195 z i F z, φ, γ, β ) φ. z) γ φ ). z) β SSE φ, γ, β) Given φ> φ< γ> β> SSE φ, γ, β) i y i F z i, φ, γ, β 2 φ γ β Minerr φ, γ, β ) ERR =.3 γ =.634 β = 2.55 φ =.622 BF. γ i, φ z. β i φ) z i BA i,.5 B4X i BF i, x i 98

196 BA i, BF i, γ 4 φ.8 β 2 F z, φ, β ) φ. z) γ φ ). z) β SSE φ, β) i Given φ> φ< β> SSE φ, β) y i F z i, φ, β 2 φ β Minerr φ, β ) ERR =.4 γ = 4. β =.96 φ =.23 BF. γ i, φ z. β i φ) z i γ.2 φ.9 β 2 BF2. γ i, φ z. β i φ) z i BA i, BF i,.5 BF2 i, B4X i x i x 99

197 BA i, B4X i BF i, BF i, BF2 i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF n, bf i BF i, BF i, BF2 n, bf2 i BF2 i, BF2 i, SSQ ba i bf i 2 SSQ =.4 SSQ2 i ba i bf2 i 2 SSQ2 =.5 i Análise do quatzito - Moagem de minuto i.. n t.. 4 j.. n Pac, Pac i, t if i, Ps i, t, Pac Ps i, t i, t t BX i, j i t 2

198 Pac = BX i, j if i j,, ln ln Pac i, Pac i, t Pac Pac j, j, t BX i, j B4X i if BX i, >, BX i,, i 2.. n j.. n BA i,.5 B4X i x i 2

199 B4X i BA i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, BF n, bf i BF i, BF i, SSQ i ba i bf i 2 B4X i SSQ =. Análise do vidro - Moagem de 4 minutos i.. n t.. 4 j.. n Pac, Pac i, t if i, Ps i, t, Pac Ps i, t i, t t 2 BX i, j i t Pac = BX i, j if i j,, ln Pac i, Pac i, t ln Pac j, Pac j, t BX i, j 22

200 B4X i if BX i, >, BX i,, i 2.. n j.. n BA i,.5 B4X i x i B4X i BA i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, 2 BF BF ba i bf i n, bf i BF i, i, SSQ i B4X i SSQ =.4 Análise do quartzito - Moagem de 8 minutos i.. n t.. 4 j.. n Pac, Pac i, t if i, Ps i, t, Pac Ps i, t i, t t 3 BX i, j i t 23

201 Pac = BX i, j if i j,, ln ln Pac i, Pac i, t Pac Pac j, j, t BX i, j B4X i if BX i, >, BX i,, i 2.. n j.. n BA i,.5 B4X i x i 24

202 B4X i BA i, bf i BF i, BF i, BApp i BF i, B4X i BF n, BA i, BApp n ba i BApp i BApp i SSQ i ba i bf i 2 SSQ =.4 Análise do quartzito - Moagem de 6 minutos i.. n t.. 4 j.. n Pac, Pac i, t if i, Ps i, t, Pac Ps i, t i, t t 4 BX i, j i t Pac = BX i, j if i j,, ln Pac i, Pac i, t ln Pac j, Pac j, t BX i, j 25

203 B4X i if BX i, >, BX i,, i 2.. n j.. n BA i,.5 B4X i x i B4X i BA i, BApp i BA i, BApp n ba i BApp i BApp i BF i, 2 BF BF ba i bf i n, bf i BF i, i, SSQ i B4X i SSQ =. 26

204 E. Programa para cálculo da energia de impacto específica Afim de se determinar a energia de impacto específica foi criado o programa Pnet. A figura abaixo mostra a interface gráfica do programa, bem como um exemplo de sua utilização. Os dados de entrada do programa são, respectivamente: ρ O Massa específica do minério kg/m 3 ); ρ B Massa específica dos corpos moedores no caso bolas) kg/m 3 ); ρ O ap Massa específica aparente do minério kg/m 3 ); ρ B ap Massa específica aparente dos corpos moedores no caso bolas) kg/m 3 ); M O Massa de minério a ser moído toneladas); M B Massa dos corpos moedores toneladas); L Comprimento do moinho m); D Diâmetro do moinho m); K Fator de correção; N Velocidade crítica do moinho; t Tempo de moagem s); g aceleração da gravidade m/s 2 ); 27