Resolução do Problema de Carregamento. Múltiplos Cenários via Representação

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1 Processos Decisórios Resolução do Problema de Carregamento e Descarregamento D de Contêineres de Navios em Terminais Portuários para Múltiplos Cenários via Representação por Regras e Algoritmo Genético Solving the D Containership Loading Planning Problem for Multiple Scenarios through Representation by Rules and Genetic Algorithm Aníbal Tavares de Azevedo, Antônio Augusto Chaves, Antônio Carlos Moretti, Cassilda Maria Ribeiro, Galeno José de Sena 5 Resumo: Neste artigo, apresenta-se uma nova formulação e uma representação por regras para a solução do problema estocástico de carregamento dos contêineres D de navios em terminais portuários (PCCTP D), que consiste em determinar como carregar e descarregar um número aleatório de contêineres de um navio porta-contêiner (containership). Deve-se respeitar as restrições operacionais relacionadas aos contêineres e à estrutura do navio, de modo a minimizar o número de movimentos e a distância dos centros de massa e gravidade. Tanto o problema D determinístico é NP-Completo quanto o D estocástico, portanto aconselhase a utilização de métodos heurísticos. Propõe-se um algoritmo genético que empregue representação por regras das soluções para resolver o PCCTP D estocástico. A representação por regras tem como vantagens: ser bastante compacta, assegurar que as soluções geradas sejam sempre factíveis, possibilitar a inserção de conhecimento do tomador de decisões e permitir a consideração de informação estocástica do número de contêineres em cada porto. Testes computacionais confirmam a adequação da metodologia proposta. Palavras-chave: Algoritmo Genético. Carregamento de Navio. Otimização Combinatória. Abstract: This article presents a new formulation and the representation by rules to solve the stochastic D containership loading planning problem in terminal ports (stochastic D CLPTP), which consists in determining how to load and unload an unknown number of containers from a containership. The operational constraints associated with containers and structure of the ship must be respected. In addition, the number of movement of containers and the distance between the containership gravity center and center of mass are objective functions to be minimized. Both the deterministic D problem and stochastic D is NP-Complete; therefore, heuristic methods should be used. In particular, this article proposes a genetic algorithm combined with the representation by rules to solve the stochastic D CLPTP. The representation by rules has the following advantages: it is compact, it ensures that every created solution be feasible, it enables the incorporation of the decision maker, and it allows the use of randomness in the number of containers information of each port. Computational tests confirm the adequacy of the proposed methodology. Keywords: Genetic Algorithm. Containership Loading. Combinatorial Optimization.. Professor-Assistente, Doutor, Faculdade de Ciências Aplicadas, Universidade Estadual de Campinas Limeira, SP Brasil. anibal.azevedo@fca.unicamp.br. Professor-Assistente, Doutor, Departamento de Ciência e Tecnologia, Universidade Federal de São Paulo São José dos Campos, SP Brasil. antonio.chaves@unifesp.br. Professor Titular, Doutor, Faculdade de Ciências Aplicadas, Universidade Estadual de Campinas Limeira, SP Brasil. moretti@ime.unicamp.br. Professor-Assistente, Doutor, Departamento de Matemática, Universidade Estadual Paulista Guaratinguetá, SP Brasil. cassilda@feg.unesp.br 5. Professor-Assistente, Doutor, Departamento de Matemática, Universidade Estadual Paulista Guaratinguetá, SP Brasil. gsena@feg.unesp.br Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p. -59

2 . INTRODUÇÃO A eficiência de um terminal portuário especializado em movimentação de contêineres depende da ordenação e agilidade do processo para lidar com os mesmos, especialmente durante o processo de carregamento dos navios. A estiva e o plano de carregamento associado são determinados fundamentalmente por dois critérios: instabilidade do navio e número mínimo de movimentos requerido nos diversos pontos de entrega (AVRIEL; PENN, 000; WILSON; roach, 000; AMBROSINO et al., 006). O último critério é baseado no fato de que muitos navios possuem uma estrutura celular, conforme pode ser observado na Figura, na qual são alojados os contêineres. Seguramente, um navio porta-contêiner tem sua capacidade medida em TEU (twenty-foot equivalent units) ou unidade equivalente a 0 pés. Por exemplo, um navio com capacidade de TEUs pode carregar contêineres de 0 pés, ou seja, dispõe de células. Essas são agrupadas por seções ou baias (em inglês bays), e os contêineres são empilhados nelas, formando pilhas verticais. A organização em pilhas verticais acarreta, em muitos casos, a necessidade de movimentar alguns contêineres para descarregar outros posicionados na parte inferior da pilha. Este tipo de movimento, que poderia ser evitado dependendo do plano de estiva adotado, é denominado de remanejo. De acordo com Dubrovsky et al. (00), o custo de movimentação de um contêiner é de aproximadamente $00,00. Embora o valor não seja atual, ele é importante para justificar a adoção de uma função objetivo que minimiza o número de remanejos, tal como é adotado por este e outros artigos de literatura. Na literatura, Avriel et al. (998) formularam o problema de carregamento de contêineres em terminais portuários em duas dimensões (PCCTP D) como um modelo linear binário, cuja solução pode ser encontrada assumindo-se que é conhecido o número de contêineres a serem embarcados em cada porto. Porém, este modelo binário consegue resolver apenas pequenas instâncias, pois o número de variáveis binárias e de restrições cresce exponencialmente com a quantidade de portos. Ainda neste artigo, são apresentadas duas contribuições: um procedimento denominado Suspensory Heuristic, que permite a obtenção de soluções sem empregar o modelo binário, e uma explicação de como gerar instâncias para o PCCTP D. Avriel et al. (000) provaram também que o PCCTP D é NP-Completo, o que motivou o desenvolvimento de uma série de heurísticas e meta-heurísticas a fim de serem obtidas boas soluções para o problema. Dubrovsky et al. (00) desenvolveram um algoritmo genético com codificação compacta da solução, que consiste em um vetor com seções em quantidade igual àquela de portos. Cada uma delas é composta por quatro elementos relacionados com o número de descarregamentos que devem ser realizados. Restrições de instabilidade são consideradas por meio de uma função de penalidade, e a metodologia proposta é testada em instâncias com no máximo portos e um navio com capacidade de.000 TEUs. Wilson e Roach (999; 000) desenvolveram uma metodologia que resolve o PCCTP D em dois passos. O primeiro baixa resolução BAIA Pilha Bombordo Nº da Escotilha Baia de 0 pés Baia de 0 pés Posições Estibordo Figura. Estrutura celular de um navio. Adaptado de Wilson e Roach (000). Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p. -59

3 deles emprega um branch-bound para resolver o problema de atribuição de contêineres para cada baia do navio. No segundo passo, uma busca Tabu atribui cada contêiner para uma posição específica das seções. Esse tratamento ocorre em duas horas a fim de obter uma solução para um problema cujo navio tem 688 TEU de capacidade e portos de destino. Ambrosino et al. (006; 00) introduziram e testaram a noção de instabilidade com a consideração de pesos nos contêineres no modelo. Ambrosino et al. (00) também ensaiaram uma otimização com colônia de formigas (ACO) em um problema real direcionado ao terminal SECH, em Genova, Itália, a um navio cuja capacidade é de.800 TEUs, para instâncias com dois ou três portos de destino, um navio com 5.50 TEUs de capacidade e quatro ou cinco portos de destino. Imai et al. (006) apresentaram um método de otimização multicritério para o PCCTP D, considerando dois objetivos conflitantes: a instabilidade do navio e o número de remanejos. Para a medida de instabilidade, empregase um cálculo detalhado que envolve desde a inclinação longitudinal e transversal do navio até um do metacentro, mas isto é realizado ao preço de se estimar o número de remanejos a serem realizados para uma dada solução. Experimentos computacionais foram realizados com um algoritmo genético para instâncias cuja capacidade do navio variasse de 50 até.06 TEUs e de três até quatro portos, respectivamente. A estrutura especial do navio, fornecida na Figura, permite que o problema do carregamento de contêineres em terminais portuários (PCCTP) possa ser visto como um caso particular dos problemas de corte e empacotamento, em particular, um D de empacotamento ortogonal (DYCKHOFF, 990; WÄSCHER et al., 007). Assim, Sciomachen e Tanfani (007) formularam o problema com um modelo D de empacotamento e apresentaram um método de solução heurística que é baseado no mesmo. A função objetivo consiste em minimizar o tempo total de carregamento, bem como o uso eficiente dos equipamentos portuários. A metodologia foi validada em casos reais do porto de Genova, Itália, para um navio com capacidade de 98 TEUs, contêineres com diferentes pesos, um ou dois guindastes e dois ou três portos de destino. Fan et al. (00) elaboraram uma metodologia em que o PCCTP é formulado de modo a conciliar o balanceamento do trabalho do guindaste e a instabilidade do navio. Os autores resolveram uma instância cujo navio tem capacidade de TEUs, cinco guindastes portuários, cinco tipos de contêineres e cinco portos de destino. Como observado anteriormente, as metodologias existentes na literatura possuem uma séria limitação com relação ao número de portos que pode ser considerado no horizonte de planejamento do plano de estiva. A maioria das metodologias se restringe a, no máximo, cinco portos e apenas um chega a empregar instâncias com portos. Uma metodologia de solução alternativa para o PCCTP consiste em empregar uma representação diferente da proposta pelo modelo binário, denominada representação por regras. Testes feitos com esta mostraram que é possível a obtenção de soluções de qualidade, em tempo computacional adequado, de instâncias com até 0 portos tanto para o problema D como para o D (AZEVEDO et al., 00; 0). No entanto, todos os artigos citados não consideram um aspecto importante do problema. De acordo com Avriel et al. (998), a informação referente ao número de contêineres que devem ser embarcados em cada porto não pode ser obtida antecipadamente, ou seja, é estocástica e o PCCTP D deve ser modificado a fim de considerar que o número de contêineres a serem embarcados em cada porto seja uma variável aleatória. A contribuição deste artigo, portanto, é modelar e resolver o PCCTP D estocástico para obter soluções mais robustas e adequadas à variabilidade do número de contêineres que devem ser embarcados em cada porto. Para tanto, a representação por regras, utilizada em outros artigos no PCCTP D determinístico (AZEVEDO et al., 00; 0), será adaptada e aplicada. Na Seção é apresentada a formulação matemática do PCCTP D estocástico que usa variáveis binárias e na, a representação por regras combinada com a implementação com um algoritmo genético para a resolução do PCCTP D estocástico. Na Seção são mostrados os resultados computacionais obtidos e na 5, as conclusões e sugestões de trabalhos futuros.. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA O problema PCCTP D estocástico, que será modelado e resolvido, consiste em minimizar dois objetivos em cada cenário: o número de movimentos dos contêineres para uma quantidade de portos N e a instabilidade do arranjo Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p. -59

4 dos contêineres. Para o primeiro objetivo, minimizam-se os remanejos decorrentes do descarregamento temporário de contêineres, que visam permitir a retirada de um instrumento que esteja na parte inferior da pilha e cujo destino seja o porto atual. Para o segundo, define-se a distância do centro de massa ao geométrico, depois do descarregamento e do carregamento do navio em cada porto, como medida da instabilidade. A seguir, a formulação do problema por programação linear inteira com variáveis binárias 0- será demonstrada, que é uma extensão do PCCTP D determístico, apresentado em Avriel et al. (998)... Nomenclatura As variáveis, constantes, índices e funções empregadas nas restrições e na função objetivo têm seu significado detalhado a seguir: R...: número total de linhas existentes no navio. C...: número total de colunas existentes no navio. D...: número total de baias existentes no navio. S...: número total de cenários empregados no modelo matemático. N...: número total de portos a serem percorridos pelo navio no horizonte de planejamento contemplado pelo modelo matemático. r...: índice relativo à linha do navio. c...: índice relativo à coluna do navio. d...: índice relativo à baia do navio. s...: índice relativo ao cenário. i,j,k,p,v...: índices auxiliares empregados na elaboração das restrições. α : peso relativo à importância que a função Φ (x) tem na otimização. β : peso relativo à importância que a função Φ (y) tem na otimização. Φ s (x)...: número de movimentos realizados ao longo dos portos no cenário s. Φ s (y)...: medida de instabilidade pelos portos no cenário s. θ s...: peso associado à importância que o cenário s tem perante os demais ou probabilidade de sua ocorrência. T ij... : valor aleatório do número de contêineres com origem em i e destino em j. Ts ij...: número de contêineres com origem em i e destino em j no cenário s. (r, c, d)...: célula do navio localizada na linha r, coluna c, baia d. x s (r, c, d)...: variável binária que assume o valor se, no ijk cenário s, existir um contêiner no compartimento (r, c, d) que foi ocupado no porto i, tem como destino final o porto j e foi movido no porto v; caso contrário, assume valor zero. y s (r, c, d)...: variável binária que assume valor se, no cenário s, saindo do porto i o compartimento (r, c, d) i for ocupado por um contêiner; caso contrário, assume valor 0. zcm s...: coordenada do centro de massa no eixo das di linhas r para cada baia d no porto i. xcm s...: coordenada do centro de massa no eixo das di colunas c de cada baia d no porto i. Δzcm s...: soma dos desvios entre a coordenada do centro de massa zcm s no eixo das linhas r e coor- di di denada do centro geométrico C/ de cada baia d no porto i. Δxcm s...: soma dos desvios entre a coordenada do centro di de massa xcm s no eixo das colunas c e coordenada do centro geométrico R/ de cada baia d di no porto i... Modelo Matemático Considere um navio para transporte de contêineres que possui D baias numeradas d=,..., D. Cada uma tem R linhas horizontais numeradas r=,,...r (a linha é a que está no fundo e a R é aquela da pilha mais próxima do convés) e C colunas verticais numeradas c=,,...,c (coluna é a primeira de bombordo). Apesar de a baia ter formato tridimensional com outras de diferentes tamanhos, a mesma pode ser representada, sem perda de generalidade, por tal formato com baias de mesma capacidade, particularmente um vetor de matrizes. Portanto, uma baia pode alocar no máximo RxC contêineres. Assume-se, sem perda de generalidade, que todos os contêineres tenham o mesmo tamanho e peso. O navio chega no porto completamente vazio e, sequencialmente, visita os portos,,..., N. Em cada i=,...,n-, o navio recebe o carregamento de contêineres com destino aos i+,...,n. No último porto, ele descarrega os contêineres e fica totalmente vazio. Seja T = [ T ij ] a matriz de transporte de dimensão (N-)x(N- ), em que T ij é uma variável aleatória correspondente ao Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p

5 número de contêineres com origem em i e destino em j. A matriz é triangular superior, pois T ij = 0 para todo i j. Outra de transporte é considerada uma variável aleatória, devido ao fato de que a informação referente ao número de contêineres que devem ser embarcados em cada porto é estocástica, isto é, não pode ser obtida com antecedência. Essa informação tem um significado importante, fornecendo que uma solução para o problema estocástico deve considerar que: (i) não é possível prever o futuro; (ii) decorrente de (i), é necessário modificar o objetivo de se obter a melhor solução para os possíveis valores de T ij, ou mesmo para uma única matriz de transporte T. De acordo com a segunda consideração, isto significa que a obtenção da melhor solução deverá observar vários possíveis valores da matriz T ij. Neste sentido, ao invés de considerar que a matriz T é uma variável aleatória T, pode-se empregar um conjunto de matrizes T s com elementos fixos gerados aleatoriamente. Cada matriz de transporte T s é tal que o número de contêineres a serem embarcados em cada porto é conhecido e, desse modo, é possível definir que T s corresponde a um cenário. Assim, para o problema D com incerteza na matriz de transporte T, quando se declara que a otimização considera múltiplos cenários, implica que a solução a ser encontrada busca o melhor valor médio em termos de número de movimentos e instabilidade para várias matrizes de transporte T s. Espera-se que a solução obtida deste modo seja tal que, na média, apresente menor número de movimentos e instabilidade em instâncias desconhecidas quando comparada com outras para apenas um cenário. Em outras palavras, a consideração de um modelo com múltiplos cenários permite que as soluções obtidas sejam mais robustas e imunes à variação decorrente da característica estocástica da matriz T. A formulação de programação linear inteira do PCCTP D para múltiplos cenários é fornecida pelas Equações a 8: f (x) = s (αφ s (x) + βφs (y)) θs s= i=,...,n-,j=i+,...,n; Min s=,...,s; () s.a: j R C D i- R C D x s (r,c,d) - kjv xs (r,c,d) = kjv Ts ij v=i+ r=c= d= k=r=c= d= i=,...,n-,j=i+,...,n; s=,...,s; () j N j x s (r,c,d) = kjv ys (r,c,d) i k= j=i+ v=i+ y s i (r,c,d) - ys i (r+,c,d) 0 j- N x s (r,c,d) + j- N p ipj xs (r+,c,d) ipv i= p=j i= p=j+ v=j+ i=,...,n-, r=,...,r; c=,...,c; d=,...,d; () s=,...,s; i=,...,n-, r=,...,r-; c=,...,c; d=,...,d; () s=,...,s; i=,...,n, r=,...,r-; c=,...,c; d=,...,d; (5) s=,...,s; x s ijv (r,c,d) = 0 ou ; ys i (r,c,d) = 0 ou (6) A variável binária x s ijv (r, c, d) é definida de forma que se assuma o valor se, no cenário s, existir um contêiner no compartimento (r, c, d) que foi ocupado no porto i e tem como destino final o j e movido no v; caso contrário, assume valor zero. Por compartimento (r, c, d) entende-se a linha r, a coluna c e a baia d no compartimento de carga do navio. É necessário ressaltar que a numeração das linhas é realizada de baixo para cima, assim aquela de número 5 está acima da. A numeração das colunas é feita da esquerda para a direita. A profundidade é iniciada da popa à proa. A variável y s i (r, c, d) possui valor se, no cenário s, saindo do porto i o compartimento (r, c, d) for ocupado por um contêiner; caso contrário, assume valor 0. A restrição na Equação é para conservação de fluxo, onde T s ij é o elemento da matriz de transporte que representa o número de contêineres embarcando no porto i com destino ao j, no cenário s. A restrição da Equação garante que cada compartimento (r, c, d) tenha no máximo um único contêiner. Já a da é necessária para garantir a existência de contêineres embaixo daquele que ocupa o compartimento (r, c, d). Na 5, ela é responsável por definir a movimentação dos contêineres: se um que ocupa a posição (r, c, d) é descarregado no porto j, então, ou não há outros acima dele ou o índice v do contêiner que ocupa o compartimento (r+, c, d) não é maior que j. A função objetivo, fornecida pela Equação, é uma composição de dois diferentes critérios em um cenário s, 6 Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p. -59

6 ponderado pela probabilidade q s de ocorrência do cenário: o primeiro depende da movimentação dos contêineres, Φ s (x) e o segundo da posição ocupada pelos contêineres em cada porto, Φ s (y). Os dois podem ser combinados por meio de valores escalares fornecidos para os pesos a e b dentro de um modelo de otimização biobjetivo. O termo Φ s (x) relativo ao custo total de movimentação dos contêineres (assumindo, sem perda de generalidade, que a movimentação de um contêiner possui um custo unitário e igual para todos os portos), em todos os portos para um cenário s, é dado pela Equação 7: Φ s (x) = xs (r,c,d) (7) ijv O termo Φ s (y) é relativo à estabilidade do navio de acordo com a posição dos contêineres, assumindo-se que cada um possua um peso unitário e igual para todos os portos, em todos aqueles no cenário s e é dado pela Equação 8: Φ s (y) = ( (Δxcms di ) + (Δzcm s di ) ) (8) onde: N- N j- i= j=i+ v=i+ r= c= d= N i= d= R Δzcm s di = zcms di - R/, Δxcms di = xcms di - C/ R D C zcm s di = ( (ys i (r,c,d) x (r-0,5) ) / ( ys i (r,c,d) ) r= c= C C R xcm s di = ( (ys i (r,c,d) x (c-0,5) ) / ( ys i (r,c,d) ) c= r= D D d= Observe na Equação 8 que, em cada cenário s, para se calcular a soma dos desvios (Δxcm s e di Δzcms ) usam-se as di coordenadas do centro de massa (xcm s e di zcms ) e as do geométrico (R/ e C/) de cada baia d no porto i. Para tanto, é di necessário calcular as coordenadas do centro de massa xcm s, di e zcm s, relativas, respectivamente, àquelas no eixo das colunas c e linhas r de cada baia d no porto i. di Infelizmente, o tamanho que o problema assume com a formulação dada pelas Equações a 8 é proibitivo para problemas reais e pode ser resolvido apenas para complicações pequenas. Além disso, como verificado (AVRIEL; PENN, 99) e demonstrado por Avriel et al. (000), o PCCTP D é um problema NP-Completo e, portanto, o PCCTP D também é, com múltiplos cenários, o que justifica o uso de heurísticas para encontrar boas soluções, em particular, algoritmos genéticos. R C r=c= R C r= c= Outra dificuldade é relacionada à questão da representação de solução por meio de variáveis binárias. A formulação das Equações a 8 é tal que, para se representar uma solução de uma instância com S=0, D=5, R=6, C=50 e P=0, serão necessárias SxDxRxCxP variáveis x ijv (r,c,d), ou seja, x, e SxDxRxCxP variáveis y i (r,c,d), ou seja, y. Portanto, um total de variáveis para representar uma única solução que pode ser infactível.. REPRESENTAÇÃO POR REGRAS.. Representação por Regras para um Cenário Nesta seção será apresentada a representação matricial desenvolvida para a resolução do PCCTP D. Esta, ao contrário da binária, tem a vantagem de ser compacta e de assegurar que todas as soluções geradas pelo método sejam factíveis. Foi possível observar na Figura que os navios possuem uma estrutura celular de modo que os locais onde os contêineres serão alocados sejam predeterminados, fazendo com que estes sejam empilhados verticalmente. Tal empilhamento sugere uma representação por meio de um vetor de matrizes dos contêineres no navio. Desse modo, pode-se definir um vetor das matrizes de ocupação B, que fornece a disposição de espaços disponíveis e a localização dos contêineres no navio em todos os portos. Para tanto, cada elemento do vetor de matrizes é uma matriz B rcd que representa o estado de uma célula (r,c,d), isto é, se B rcd for igual a zero significa que a célula que ocupa a linha r, a coluna c e a baia d está vazia e se B rcd =j, a célula contém um contêiner cujo destino é o porto j. Assim, no exemplo da Figura, o elemento (,,) pertencente à baia (B rc ), linha e coluna é igual a, logo neste local existe um contêiner que será descarregado no porto. De modo análogo, o elemento (,,)=6 significa a célula da terceira baia (B rc ), a primeira linha e a primeira coluna contêm um contêiner cujo destino é o porto 6. Observe que a linha representa a célula do topo da pilha e a, a célula no fundo pilha. Cada vetor de matrizes B é uma ocupação do navio, de acordo com um desenho tridimensional. Portanto, o vetor de matrizes B mostrado na Figura será associado ao desenho tridimensional da Figura. É importante observar que a matriz de ocupação B é modificada em cada porto, devido à entrada e saída de novos contêineres, ou seja, quando o navio chega num j, é necessário realizar Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p

7 dois movimentos obrigatórios, a saber: descarregar os contêineres cujo destino é o porto j em questão, bem como aqueles que os bloqueiam; e carregar os contêineres com destinos aos portos j+, j+,...,n. Então, para cada porto j, foram estabelecidas regras para se fazer o descarregamento e o carregamento dos contêineres. Para este artigo, foram criadas regras k resultantes das combinações das seis de carregamento (Rc, Rc, Rc, Rc, Rc5, Rc6) e duas de descarregamento (Rd, Rd), conforme ilustrado na Tabela. Na Tabela, observa-se que a regra é a combinação da Rc para o carregamento dos contêineres com a Rd para o descarregamento. Isso foi feito com o objetivo de se obter uma representação ainda mais compacta da solução. A aplicação de tais regras em cada porto j vai atualizar a matriz de ocupação B. Vale lembrar que, inicialmente, a matriz B está com todos seus elementos iguais a zero e começa a ser preenchida no porto. Para melhor ilustrar a utilização das regras, a matriz de transporte T determinística da Figura B r,c, 5 B r,c, B r,c, baixa resolução Figura. Matriz de ocupação para navio com capacidade de 6 contêineres e transporte para seis portos. Figura. Representação tridimensional da matriz de ocupação mostrada na Figura. Tabela. Regras k a serem utilizadas em cada porto j. Regra de carregamento Regra de descarregamento Regra k usada no porto j Rc Rc Rc Rc Rc5 Rc6 Rd Rd Rd Rd Rd 5 Rd 6 Rd 7 Rd 8 Rd 9 Rd 0 Rd Rd 8 Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p. -59

8 D D D D5 O O 0 O 0 0 O Figura. Matriz de transporte T. (A) Regra Rc B,r,c será aplicada, fornecendo a quantidade de contêineres a serem embarcados em cada porto i com destino a j.... Regras de Carregamento A Rc preenche a matriz de ocupação B (no porto p) por baia, começando pela primeira linha da primeira baia (fundo do navio) e vai até aquela do topo desta mesma seção (convés do navio), indo de bombordo para estibordo, começando pelas cargas cujo destino é mais distante. Sua aplicação, considerando a matriz T da Figura e que o navio se encontra no porto, resulta na matriz B da Figura 5a. A Rc completa a matriz de ocupação B (no porto p) por linha, começando pela primeira linha da primeira baia (proa do navio) e indo até a última (popa do navio), de bombordo para estibordo, colocando na parte inferior da pilha de cada linha (fundo do navio) as cargas cujos destinos sejam mais distantes. Sua aplicação, considerando a matriz T da Figura e que o navio se encontra no porto, resultará na B da Figura 5b. (B) Regra Rc B,r,c B,r,c 0 0 B,r,c B,r,c B,r,c Avaliação de solução para o PCCTP D [nmov, instab] = AvaliarD(v,T) Início p=, nmov=0, instab=0.0 inicializar(b,t) Enquanto (p<=n) faça Início [rc, rd]=extrairregras(v(p)) Se (p > ) [aux, B, T] = descarregar(rd, B, p) instab = instab + calcdxdz(b) nmov = nmov + aux fim Se (p < N) [aux, B, T] = carregar(rc, B, T, p) instab = instab + calcdxdz(b) nmov = nmov + aux fim p = p + fim retornar nmov, instab fim Figura 5. Matriz de ocupação B no porto, após a aplicação de cada regra Rc. Algoritmo. Algoritmo para avaliação de uma solução υ por meio de regras. Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p

9 ... Regras de Descarregamento Na Rd, quando o navio chega a um porto p, são removidos todos os contêineres cujos destinos sejam o porto p e aqueles que estejam acima dos contêineres do porto p e cujos destinos são os portos p+j, para j=,..., N tal que (p+j) N. Além disso, após a aplicação da regra, a matriz de transporte T deve ser atualizada, pois foi retirada com destino aos portos p+j, que devem ser recarregados e, portanto, serão adicionados na matriz de transporte relativa ao p. Uma descrição mais detalhada das regras e de seu funcionamento foi fornecida por Azevedo et al. (0). O processo de avaliação de uma solução v combina a análise das regras com a simulação do estado do navio, ao longo dos portos, após a aplicação de cada regra, como mostrado no Algoritmo. Símbolos e funções empregados no Algoritmo são descritos a seguir: p : variável contadora, que indica o porto atual da simulação. N : número total de portos. v : vetor este que o elemento v(i) contém a regra k, a ser aplicada no porto i e modificar a matriz de ocupação B adequadamente. nmov : número de movimentos realizados para carregar ou descarregar o navio ao longo dos N portos. B : matriz de ocupação que indica o estado do navio em cada porto i. Rc : variável que contém o nome da regra de carregamento a ser aplicada. Rd : variável que contém o nome da regra de descarregamento a ser aplicada. inicializar : função que preenche a matriz de ocupação B, com valores iguais a zero. extrairregras : função que define a correspondência entre a regra k, contida em v(i), com aquelas de descarregamento e carregamento a serem armazenadas nas variáveis Rd e Rc, respectivamente. descarregar : função que aplica a regra de descarregamento contida em Rd, na matriz B, no porto i, e retorna o número de movimentos realizados e B e T atualizadas. carregar : função que aplica a regra de carregamento contida em Rc, na matriz B, no porto i, e retorna o número de movimentos realizados e B e T atualizadas. calcdxdz : função que realiza o cálculo da distância entre o centro de massa e o geométrico por baia d, Linhas r y i (,,)= Colunas c y i (,,)=0 Baias d Figura 6. Ocupação do navio porta-contêiner e sua matriz de estado B correspondente. 50 Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p. -59

10 Linhas r xcm =, Colunas c Baia centro de massa da baia Figura 7. Cálculo das coordenadas do centro de massa da baia. para o navio, depois de ser descarregado e de ser carregado em cada porto p. As funções carregar e descarregar, empregadas no algoritmo, utilizam as regras descritas. Para melhor ilustrar o funcionamento do procedimento calcdxdz, supôs-se que o navio tinha o arranjo de contêineres, como apresentado na Figura 6. Definindo xcm como a coordenada do centro de massa relativa às linhas da baia e zcm aquela do centro de massa relativa às colunas da baia, os valores xcm e zcm podem ser calculados, utilizando-se a Equação 8 e a informação contida na Figura 6, como apresentado na Figura 7. xcm = ( 0,5 +,5 +,5)/( + + ) = 9/6 =,5 zcm = ( 0,5 +,5)/(6) = 6/6 =,0.. Representação por Regras para Diferentes Condições de Contorno Duas alterações nas suposições realizadas pelo modelo matemático da Seção., que não são abordadas na literatura, podem ser tratadas pela representação por regras. A primeira delas é relativa à suposição de que o navio no porto esteja vazio. Neste caso, a mesma pode ser modificada, supondo-se que a matriz de ocupação B no porto possua alguns contêineres. A segunda ideia diz que no último porto não há cargas a serem embarcadas adiante. Pode ser considerada como o final do horizonte de planejamento do modelo, ou, ainda, o ponto anterior à manutenção do navio. Ao se modificar esta hipótese, o navio pode passar a ter uma rota circular, mas podem ocorrer problemas para se determinar o número de movimentos e instabilidades em tal caso. A primeira e a segunda suposição tratam das condições inicial e final do arranjo de contêineres no navio, respectivamente, e podem ser combinadas de modo a formar os quatro casos na Tabela. Na literatura, apenas a situação é abordada e tratada. Os casos, e da Tabela são tratados na Figura 8 para as matrizes de transporte fornecidas na Figura 9, e supondo-se de a regra (Tabela ) seja aplicada para todos os portos. Observe que, para o caso, não é apresentado um exemplo, pois este possui uma inconsistência lógica. Certamente, se o navio possui uma rota circular, então, para todos os portos existe um embarque de contêineres, cujos destinos sejam adiante. No entanto, se no primeiro porto não há cargas, não se pode fazer parte da rota circular. Na Figura 9 é apresentado o estado do navio após a aplicação da regra de descarregamento (Rd) e carregamento (Rc) para cada porto. No caso, a aplicação da regra em todos os portos é tal que, após a aplicação da norma de descarregamento no Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p

11 porto, o navio fica totalmente vazio. Isso permite uma reorganização do espaço, de modo que o arranjo do navio ao sair do porto seja consistente com aquele após realizar o descarregamento no porto. No entanto, tal fato pode nem sempre acontecer, e a solução é considerar o horizonte de planejamento maior que o número de portos a serem percorridos. Um exemplo deste problema para o caso é quando a solução empregada é:,, e, conforme mostrado na Figura 0. Uma solução para o problema apresentado na Figura 0 é repetir a aplicação da solução (e informação da matriz de transporte T) até que o arranjo de contêineres em Rc, no porto, seja igual àquele em Rd, no porto. No exemplo apresentado na Figura 0, isso ocorre na terceira repetição. Neste caso, o número de movimentos e a instabilidade deverão ser médias do registrado após três repetições (três passagens do navio pelo porto ). Tabela. Condição de contorno e suas combinações: com e sem carga no porto inicial e com e sem a consideração de rotas com ciclo. Porto inicial Sem ciclo Rota Com ciclo Sem carga Caso Caso Com carga Caso Caso.. Representação por Regras para Múltiplos Cenários É importante observar que a consideração de múltiplos cenários na representação por regras pode ser obtida empregando-se o algoritmo da avaliação de uma solução do Algoritmo. Para tanto, é necessário considerar que um vetor solução v contendo N regras de carregamento e descarregamento para N portos deverá ser avaliado para S cenários. Depois, o número de movimentos deverá ser multiplicado pela probabilidade de ocorrência q s de cada cenário s. Esse procedimento engloba a avaliação monocenário (Algoritmo ), como apresentado no Algoritmo. Os símbolos e as funções empregadas no Algoritmo são descritos a seguir: s : variável contadora que indica o cenário atual de avaliação. S : número total de cenários. T : vetor de matrizes de transporte de forma que o elemento T(s) contenha a matriz de transporte T s para o cenário s. p : vetor tal que o elemento p(s) contenha a probabilidade de ocorrência q s do cenário s associado à matriz de transporte T(s). nmov : número de movimentos realizados para carregar ou descarregar o navio ao longo dos N portos para o cenário s, como mostrado na Equação 7. instab : medida de instabilidade para o cenário s com matriz de transporte T(s) calculada de acordo com a Equação 8. D D D D O 0 O 0 0 O O D D D D O 0 O 0 O 0 O 0 (A) Casos e (B) Caso Figura 8. Matrizes de transporte T para os casos, e. 5 Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p. -59

12 Rd Caso Rc Rd Caso Rc Rd Caso Rc Figura 9. Aplicação da regra para todos os portos nos casos, e. Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p

13 Rd Rc Figura 0. Aplicação da solução,, e para o caso. Avaliação da solução para o PCCTP com múltiplos cenários [nmov,instab] = AvaliarMC(alpha,beta,v,T) Início s=; nmov = 0; Enquanto (s<s) faça Início [aux,aux]=avaliard(v,t(s)); nmov=nmov + alpha*aux*p(s); instab=instab + beta*aux*p(s); s=s+; fim retornar (nmov + instab) fim Algoritmo. Algoritmo para avaliação de uma solução por meio de regras para múltiplos cenários. A vantagem da abordagem destacada no Algoritmo é que toda codificação relativa à solução via representação por regras para um único cenário pode ser reaproveitada para a consideração e avaliação do PCCTP estocástico, por meio da consideração de múltiplos cenários. Portanto, a mesma lógica de avaliação via simulação descrita e utilizada na solução do PCCTP D, descrita em Azevedo et al. (0), é modificada para analisar uma solução do mesmo estocástico. Para tanto, basta empregar a função AvaliarD (Algoritmo ) em um vetor solução v quantas vezes forem o número de cenários considerados (S cenários que resultam em S matrizes de transporte T s ). Cada uso de AvaliarD fornece dois valores que são combinados em um único, ou seja, número de movimentos e medida de instabilidade (Equações, 7 e 8), ponderados pela probabilidade de ocorrência do cenário q s e dos pesos α e β para cada medida (número de movimentos e instabilidade).. RESULTADOS Para testar o algoritmo, foram geradas automática e aleatoriamente 5 instâncias, as quais foram classificadas de acordo com o número de portos e o tipo da matriz de transporte. Para cada instância, gerou-se uma certa quantidade das matrizes 5 Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p. -59

14 de transporte T, cada uma correspondendo a um cenário e tal que a capacidade do navio não será excedida em nenhum porto, isto é, o valor de q p, fornecido pela Equação 9, deve ser menor ou igual a DxRxC para todo porto p, devido ao fato de a matriz de transporte ser factível caso: p N T ij DxRxC para todo p=,...,n (9) i= j=p+ De acordo com Avriel et al. (998), podem ser gerados três tipos de matriz de transporte: mista, longa e curta distância. Uma matriz do tipo se refere ao transporte de contêineres que vão percorrer poucos portos antes de serem desembarcados. Já uma do tipo concerne contêineres que vão passar por muitos portos antes de serem desembarcados. Uma mista combina os dois tipos anteriores. As instâncias foram classificadas conforme a quantidade de portos a serem percorridos, o tipo da matriz de transporte e a capacidade do navio. Neste trabalho, foi suposto um navio com as seguintes dimensões (DxRxC): , resultando na seguinte capacidade máxima:.500 contêineres. As instâncias utilizadas nos testes encontram-se disponíveis em Projeto Containership D (0). Com o objetivo de verificar se o modelo matemático das Equações a 8 é eficiente na geração de soluções imunes à estocasticidade presente na matriz T, foram criados dois conjuntos: um de treinamento e outro de validação. A primeira é tal que, para cada uma das 5 instâncias, existem dez cenários diferentes e equiprováveis. Por outro lado, o segundo é composto de 5 instâncias e cada uma delas possui 50 cenários diferentes e equiprováveis. A metodologia de avaliação do modelo matemático cumprirá os seguintes passos: obter uma solução ao modelo das Equações a 8 para os dados do conjunto de treinamento, considerando cada um dos cenários (usar apenas uma matriz T para cada instância) e todos aqueles do conjunto (usar todas as dez T para cada instância); avaliar as soluções obtidas anteriormente com os dados do conjunto de validação, isto é, verificar o desempenho dos resultados que consideram apenas um cenário e aquele que utiliza todos os dez cenários em termos de número médio de movimentos e instabilidade; calcular o desempenho médio de cada uma das soluções no conjunto de validação. Primeiramente, será ilustrado o resultado obtido para o conjunto de treinamento. Em particular, será mostrado o desempenho da solução que considera o modelo das Equações a 8 com os dez cenários do conjunto de treinamento. A Tabela mostra os resultados obtidos com a melhor solução após cinco rodadas de algorimo genético com população de dez indivíduos,.000 gerações, taxa de crossover igual a 80% e de mutação igual a 5% para as 5 instâncias. Como cada uma delas compreende dez cenários, ou seja, dez matrizes de transporte diferentes, então, cada linha da tabela corresponde ao desempenho médio para os dez diferentes cenários da melhor solução obtida. A Tabela também inclui as seguintes colunas: I = o número da instância; M = o tipo da matriz de transporte; N = o número de portos; NMin = o número mínimo de movimentos a serem realizados com os contêineres; F.O. = os valores da função objetivo em termos do número total de movimentos realizados com os contêineres até a chegada no último porto; F.O. = os valores de estabilidade de acordo com o arranjo de contêineres e com a Equação 8; e T = tempo computacional em segundos. Note que os valores de F.O., F.O. e T são apresentados para dois pares de a e b: (a=, b=0) e (a=0, b=). Os resultados apresentados para (a=, b=0) correspondem à melhor solução obtida, com o objetivo de minimizar o número de movimentos para cada instância. Para sete delas, o número de movimentos (FO) encontrado é até % maior que o mínimo (Nmin); para seis, o valor mínimo é até 5% maior e apenas duas instâncias possuem até 9%. Já (a=0, b=), como o objetivo é minimizar a medida de instabilidade, apresenta maior número de movimentos (FO), mas soluções com medida de instabilidade significativamente menor (FO). Esses dados confirmam que a minimização do número de movimentos e da instabilidade são objetivos conflitantes. O número mínimo de movimentos é obtido multiplicando-se por dois o valor do somatório de T ij calculado de acordo com a Equação 9. Tal valor é o limitante inferior para o número total de movimentos a serem realizados ao longo do percurso do navio. Os resultados do GA foram obtidos com um programa desenvolvido em Matlab 7.0 e executado num computador Intel Core Duo.0 GHz (E500), GB RAM, Windows XP, versão 00 (SP ). A primeira observação importante acerca dos resultados da Tabela refere-se ao tempo computacional gasto Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p

15 Tabela. Resultados do algoritmo genético para dois pares de a e b e conjunto de treinamento. I N M NMin (a=, b=0) (a=0, b=) FO FO T FO FO T 0 699, ,60 506,56,9 067,0 66,6 6, ,0 09,00 5, 8,5 79,0 6, 08,6 70,0 755,00 690,5 7,8 8699,0 6,7 7, ,0 98,00 9,9 00,7 596,0,86 9,79 5 5,80 5,80 5, ,97 079,60 80, 90, ,80 700,00 569,5 657,7 907,60 6,5 88, ,0 856,60,50 5,65 9,00 9, 979, ,00 579,0 58, 698,8 759,60 8,69 59, 9 7,80 77,00 8,9 76, ,80 5,6 0, ,0 50,80 6, 79,8 96,00 5,0 66,56 578,60 70,00 78,5 99,9 09,00 86,58 87,0 08,0 69,0 78, 98,6 7908,60 5, 890, ,0 568,60 0, 9,0 7650,80 7,5 8,9 579,80 85,0 8,7 080,5 785,80 79,7 767, ,0 550,0 5,6 5089, ,0, 75, pelo algoritmo genético. É importante enfatizar que, para a formulação dada pelas Equações a 8, as instâncias com 0 portos são problemas com variáveis inteiras (dez cenários, 0 portos, cinco baias, seis linhas e 50 colunas). Para estas instâncias, o algoritmo genético consegue produzir boas soluções em mais ou menos uma hora e 0 minutos. Pode-se ressaltar também que, de forma geral, um aumento de cinco no número de portos a serem percorridos, de uma instância para outra, produz em média um aumento de mais ou menos minutos e 0 segundos no tempo computacional gasto pelo algoritmo genético. Por exemplo, em instâncias com dez portos, leva-se minutos para se obter uma solução, ao passo que naquelas com 5, leva-se, em média, 5 minutos. Espera-se que futuras implementações em linguagem C venham a reduzir o tempo computacional de solução pelo algoritmo genético. Os resultados indicam que, para as instâncias em que a função objetivo visa minimizar o número de movimentos (a=, b=0) e a matriz de transporte é do tipo curta distância (tipo ), as regras são bastante adequadas e produzem resultados muito próximos do limite inferior do número de movimentos, quase atingindo este limite. Isso pode ser mostrado como no caso para 0, 5 e 0 portos, que produzem soluções com distância de 0,0,,6 e,87%, respectivamente. Já para as instâncias em que a matriz de transporte é de média (tipo ) e longa distâncias (tipo ), o algoritmo genético apresentou soluções cujo número de movimentos é bem maior que o limitante inferior (na instância de 0 portos e matriz tipo de aproximadamente 0%). Esses resultados indicam a necessidade de se incorporar ao sistema um número maior de regras que levem em consideração o arranjo de contêineres que permanecerão durante um tempo dentro do navio ou uma melhor estimativa do limitante inferior. Porém, quando a função objetivo visa minimizar a medida de instabilidade (a=0, b=), as soluções apresentadas pelo 56 Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p. -59

16 algoritmo genético (GA) têm um razoável aumento no número de movimentos, mas com uma significativa melhora na medida de instabilidade. Em algumas instâncias, esta medida pode ser até 6 vezes menor em comparação com a solução encontrada na minimização do número de movimentos (instância ). As Tabelas e 5 apresentam o desempenho das soluções obtidas a partir do conjunto de treinamento para cada um dos dez cenários (C-C0) e para o modelo (Equação a 8) com os dez cenários (M-0), nos 50 das instâncias do conjunto de validação. Por exemplo, a coluna C apresenta o desempenho da melhor solução obtida para o cenário de todas as instâncias do conjunto de treinamento no conjunto de validação. As duas Tabelas estão em termos de desvio percentual da melhor solução encontrada. Na Tabela, a melhor solução para a instância N=0 e M= é apresentada por aquela obtida para o cenário C (desvio percentual em relação à melhor solução é igual à zero). Na média e para os dois pares de (a, b), o melhor desempenho médio foi fornecido por M-0 (última linha das tabelas). 5. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS Este artigo apresentou pela primeira vez uma formulação e soluções para o problema de carregamento de contêineres D em terminais portuários (PCCTP D), considerando a matriz de transporte estocástica. A representação por regras permite obter uma solução que, na média, apresenta menor número de movimentos e medida de instabilidade. Além Tabela. Resultados do algoritmo genético para a=, b=0 no conjunto de validação. N M C C C C C5 C6 C7 C8 C9 C0 M-0,0 0,00,9 0,00,9,0 0,0 5,6, 0,5,0 0 7,08 5,75 8,7 5, 0,00 6,85,,76 7,8 6,6,07,07,69,86,80,0,50 0,00,90,7,90 0,05 6,5 0,00 8,5,9,97,58 6,00 7,8 0,66 7,5,5 5, 0,79,9 0,00,0 0,78,5 7,67 9, 5,6,6,50,98,0,0,8,7,87,07, 0,00 0,8 6,7 0,66,09 9,5, 9, 7,6,07 5,78 0,00,80 0,98,08 5,8 0,00,6 5,67 6,6 9,6 5,5 0,9 0,00 0,95,85, 6,0,07,,5,66,98,5 0,00,,9 0,9,75 6,85 0,00 9,9,78,9 0,0,8 5 0,,7 6,6 8,59 0,00 6,7 5,85,5 6,7,67, 0,67,00 0,00 0,60 0,8 0,5,, 0,95,9 0,7 7,0,0 6,95 9,87 6,76 0,8 6,06 8,76 0,00,58 7,5 0 0,00 5,00,,0 0,6 9, 8,8,7 8,7 5, 9, 0,00,5 0,,5,06,,7,9,,0 0,6 Média 9,7 6, 0,58 9,06 5,7 7,5 0, 7,09, 5,0,0 Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p

17 Tabela 5. Resultados do algoritmo genético para a=0, b= no conjunto de validação. N M C C C C C5 C6 C7 C8 C9 C0 M-0 0, 6,0,7 9,9,8 8,5 5,6 5,88 5,5 0,00,80 0 8,86 0, 0,00,0 6,78,00 0,9 0,70 0,99,7, 85,5 8,7 0,00, 655,9 79, 9,7 6,80 509,7 6,0 7,6 0,00 6,6,89 5,06 8,6,59 5,90 50,,69 0,8 5,5 5 88,7,8 8,98 0,00,9,,,57,,0,8 68,0 8,0 0,00 8,7 8,87 6, 9,07 0,6 66,7 96,06,7,7 66,50,0 0,00 5, 85,6 8, 78,9 0,88 89,77, 0 5,77, 98,,97,89 7,77 7, 9,5 8, 6,08 0,00 55,,8 77,65 7,70 8,8 06, 0,00 00, 90,8 0, 79, 5,7 65,0 97,68 0,00 8,6 5,66 8,5 85,5 8,55 60,7 9, 5 6,65,6 66,6 0,00 50,7 05, 67,8,99 0,8 5,5 0,80 9,7 66,7 5,66 0,00,0 9,60 87,58 0, 76, 9,85 9,7 9,78 0, 5,79 65, 0,00 98,6 69,6 09,9 75,95, 0,5 0,69,9 65, 0,0,,0 90,5 7,6 5,8,0 0,00 8,66 5,56 96,57 98, 98,50 55,56 6,76,7 77,,0 0,00 Média,9 7,77 6,80 5,58 96, 08, 65,59 76,66 75, 70,,6 disso, a solução obtida é tal que pode ser aplicada em qualquer um dos possíveis cenários. Este artigo também tem três inovações. A primeira delas é que apresenta uma nova formulação tridimensional para o problema do carregamento de contêineres em terminais portuários (PCCTP D) para matriz de transporte estocástica, que resulta em um modelo linear multiobjetivo e estocástico com variáveis binárias. A segunda é a resolução do problema com uma representação (por regras) das soluções, alternativa à representação binária. Essa nova formulação permite a obtenção de soluções que considerem medidas de instabilidade acerca do arranjo dos contêineres no navio, além daquela quanto ao número de movimentos para carregar e descarregar um navio em vários cenários simultaneamente. A terceira e última inovação é a verificação da robustez das regras obtidas. Para tanto, dois conjuntos foram criados: um a partir do qual as regras são geradas de modo a serem o mais robustas possíveis, denominado de conjunto de treinamento; e outro, no qual as regras criadas são avaliadas, denominado de validação. A segunda inovação é importante, pois o uso da representação com regras reduz consideravelmente o número de variáveis do problema se houver uma solução. Na formulação com variáveis binárias, as informações devem ser armazenadas num vetor de tamanho: (SxDxRxC)x(N+N ). Na representação aqui utilizada, uma solução foi representada por um vetor com N elementos. Tendo em vista que S é o número de cenários, DxRxC expressa o número de contêineres que podem ser armazenados em um navio e que N indica o número de portos, a representação da solução utilizada permite uma redução do tempo computacional para instâncias com grande número de portos e matriz de transporte estocástica. Além 58 Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p. -59

18 disso, na representação por regras, a solução obtida é sempre factível, quaisquer que sejam os valores contidos na matriz de transporte. Portanto, a representação por regras garante a implementação de uma solução, embora exista estocasticidade incorporada no problema. Tanto esta consideração como a criação de soluções que possam ser utilizadas no problema estocástico não são abordados na literatura. A terceira inovação consiste em obter soluções a partir das informações de cenários conhecidos e depois avaliá-las em cenários cujas informações não são conhecidas a priori. Como critério de avaliação do desempenho das soluções, considerou-se a média para várias instâncias, pois o propósito do método não era garantir o melhor desempenho sempre, mas que a solução, na média, estivesse imune às variações estocásticas do problema. 6. AGRADECIMENTOS Aos revisores anônimos pelos comentários que auxiliaram na melhoria do texto, bem como à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) pelo apoio financeiro, por meio dos processos 009/507-0, 00/57-5, , 00/66- e 0/ REFERÊNCIAS AMBROSINO, D.; SCIOMACHEN, A.; TANFANI, E. A decomposition heuristics for the container ship stowage problem. Journal of Heuristics, v., n., p. -, 006. AMBROSINO, D.; ANGHINOLFI, D.; PAOLUCCI, M.; SCIOMACHEN, A. An Experimental Comparison of Different Heuristics for the Master Bay Plan Problem. Lecture Notes in Computer Science, v. 609, p. -5, 00. AVRIEL, M.; PENN, M. Container ship stowage problem. Computers and Industrial Engineering, v. 5, n. -, p. 7-7, 99. AVRIEL, M.; PENN, M.; SHPIRER, N.; WITTENBOON, S. Stowage planning for container ships to reduce the number of shifts, Annals of Operations Research, v. 76, n., p. 55-7, 998. AVRIEL, M.; PENN, M.; SHPIRER, N. Container ship stowage problem: complexity and connection to the coloring of circle graphs. Discrete Applied Mathematics, v. 0, n. -, p. 7-79, 000. AZEVEDO, A.T.; RIBEIRO, C.M.; DEUS, N.M.R. Resolução do Problema de Carregamento e Descarregamento de Contêineres em Terminais Portuários via Algoritmo Genético. Revista INGEPRO, v., p. 8-5, 00. AZEVEDO, A.T.; RIBEIRO, C.M.; CHAVES, A.A.; SENA, G.J.; SALLES NETO, L.L.; MORETTI, A.C. Solving the D Containership Stowage Loading Planning Problem by Representation by Rules and Beam Search. First International Conference on Operations Research and Enterprise Systems ICORES 0, p. -, 0. DUBROVSKY, O.; LEVITIN, G.; PENN, M. A Genetic Algorithm with a Compact Solution Encoding for the Containership Stowage Problem. Journal of Heuristics, v. 8, issue 6, p , 00. DYCKHOFF, H. A typology of cutting and packing problems. European Journal of Operational Research, v., n., p. 5-59, 990. FAN, L.; LOW, M.Y.H.; YING, H.S.; JING, H.W.; MIN, Z.; AYE, W.C. Stowage Planning of Large Containership with tradeoff between Crane Workload Balance and Ship Stability. Proceedings of the International Multiconference of Engineers and Computers Scientists, v., p. -7, 00. IMAI, A.; SASAKI, K.; NISHIMURA, E.; PAPADIMITRIOU, S. Multiobjective simultaneous stowage and loading planning for a container ship with container rehandle in yard stacks. European Journal of Operational Research, v. 7, n., p. 7-89, 006. SCIOMACHEN, A.; TANFANI, E. A D-BPP approach for optimizing stowage plans and terminal productivity. European Journal of Operational Research, v. 8, n., p. -6, 007. WÄSCHER, G.; HAUßNER, H.; SCHUMANN, H. An improved typology of cutting and packing problems. European Journal of Operational Research, v. 8, n., p. 09-0, 007. WILSON, I.; ROACH, P.A. Principles of combinatorial optimization applied to container-ship stowage planning. Journal of Heuristics, v. 5, n., p. 0-8, Container stowage planning: a methodology for generating computerised solutions. Journal of the Operational Research Society, v. 5, n., p. 8-55, 000. Revista Pesquisa Naval, Brasília, n. 5, 0, p