Estudo da Fendilhação de Estruturas de Betão Armado reforçadas externamente com CFRP ou chapas de aço

Transcrição

1 Estudo da Fendilhação de Estruturas de Betão Armado reforçadas externamente com CFRP ou chapas de aço José Diogo Andrade da Silva de Almeida Honório Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Prof. José Manuel Matos Noronha da Câmara Orientador: Prof. Doutor António José da Silva Costa Vogal: Prof. Jorge Manuel Vinagre Alfaiate Junho de 2008

2

3 RESUMO Ao longo deste trabalho são estudados dois tipos de reforço, a aplicar externamente, que são os laminados de carbono (CFRP) e as chapas de aço, bem como a influência que estes têm no controlo da fendilhação. Numa primeira parte é feita uma pesquisa bibliográfica onde se começam por saber as propriedades mecânicas, vantagens (e desvantagens) e, ainda, o modo de aplicação de cada um dos reforços. Seguidamente, é feito um levantamento das metodologias de cálculo existentes para o cálculo da abertura de fendas, tanto para os elementos reforçados como os não reforçados. Isto porque haverão zonas onde o reforço não é aplicado. No capítulo seguinte, começa-se por aplicar as metodologias referidas, a uma dada viga, através de três estudos. Para os dois primeiros, são feitos dois tipos distintos de estudo da fendilhação na zona de aplicação do reforço. No primeiro calcula-se a abertura de fendas para vários acréscimos da carga de dimensionamento e, ainda, segundo diferentes níveis de carga na altura de execução do reforço. O segundo estudo é feito para sucessivos aumentos da armadura de reforço, sob carga constante. O terceiro estudo corresponde ao cálculo da fendilhação nas zonas não reforçadas. É ainda repetido o primeiro dos estudos acima referidos, usando agora uma viga de dimensões maiores. Através estes estudos pretende-se tirar conclusões sobre a coerência das metodologias, o reforço preferível e a influência das dimensões da viga no que diz respeito à fendilhação. PALAVRAS-CHAVE - Reforço - Fendilhação - CFRP - Chapa de aço i

4 ABSTRACT Throughout this work the two types of externally bonded reinforcement (CFRP and steel plates) will be studied, as well as their influence on the cracking behavior of the structure. First, a bibliographic research is made in order know the mechanical properties, advantages (and disadvantages) and the application method of each of one of the reinforcements. Then, a general research is made in order to find the existent methodologies for the calculation of crack widths, both for reinforced and non-reinforced members, since there will be surfaces where no externally bonded reinforcement is applied. In the following chapter, the referred methodologies are applied, to a certain beam, trough three different studies. For the first two, these studies focus on the cracking behavior in the surfaces where the reinforcement is applied. In the first one, the cracks widths are calculated for different increases of the ultimate load and for different loads at the time of application of the reinforcement. The second study concerns the calculation of the crack widths for different increases of reinforcement needed, under constant load. In the third study the cracking behavior will be studied for the non-reinforced zones. The first study mentioned is then repeated for a beam with larger dimensions. With these studies one can make some interesting conclusions regarding the coherence of the methodologies, the preferred reinforcement and the influence of the dimensions of the beam regarding the cracking behavior. KEYWORDS - Reinforcement - Cracking - CFRP - Steel plates ii

5 AGRADECIMENTOS Para começar, agradeço de uma forma geral à minha faculdade, Instituto Superior Técnico, pelos cinco anos de constante aprendizagem que me proporcionou. Agradeço ao meu Professor e Mentor Dr. António Costa pelo empenho, entusiasmo e, sobretudo, paciência demonstrados ao longo destes meses de trabalho. Finalmente, uma palavra especial para a minha família e grupo de amigos que tanto me têm apoiado ao longo dos anos. iii

6 iv

7 SIMBOLOGIA Caracteres Latinos Unidades A c,eff m 2 Área traccionada efectiva A eq m 2 Área equivalente de reforço (varões e reforço externo) A r,eq m 2 Área equivalente de reforço externo A s1 m 2 Área da armadura inferior A s2 m 2 Área da armadura superior b m Largura da secção c m Recobrimento cp KN/m Carga permanente actuante ao longo do vão d m Distância do topo da secção à armadura inferior d 2 m Distância do topo da secção à armadura superior d eq m Distância da zona de reforço equivalente (varões e reforço externo) ao topo da secção d s m Diâmetro dos varões de aço E c GPa Módulo de elasticidade do betão E f GPa Módulo de elasticidade do material FRP na direcção das fibras E fib GPa Módulo de elasticidade das fibras E m GPa Módulo de elasticidade da matriz E s GPa Módulo de elasticidade do aço f ck MPa Tensão do betão à compressão (valor característico) f ctm MPA Tensão de rotura do betão à tracção f f MPa Resistência à tracção do material FRP na direcção das fibras f fib MPa Resistência à tracção das fibras f m MPa Resistência à tracção da matriz f rd MPa Tensão de cedência do reforço externo fu MPa Tensão de rotura à tracção fy MPa Tensão de cedência f yk MPa Tensão de cedência à compressão (valor característico) h m Altura da secção I co m 4 Momento de inércia da secção fendilhada k 1 m Coeficiente de aderência dos varões k 2 m Coeficiente em função da distribuição de tensões na secção v

8 L m Comprimento do vão M 0 KNm Momento de serviço actuante antes da aplicação do reforço M cr KNm Momento de fendilhação M k KNm Momento de serviço actuante após da aplicação do reforço M rd KNm Momento resistente M sd KNm Momento de dimensionamento N b KN Força de compressão do betão N f KN Força de tracção do reforço exterior N rk KN Força de tracção total N s1 KN Força de tracção da armadura inferior N s2 KN Força de compressão da armadura superior P 0 KN/m Carga actuante na altura de aplicação do reforço P rd KN/m Carga resistente P sd KN/m Carga de dimensionamento q KN/m 2 Sobrecarga actuante na laje r Factor de redução rcp KN/m Restantes cargas permanentes sc KN/m Sobrecarga actuante ao longo do vão s r,max m Espaçamento máximo entre fendas s r,min Espaçamento mínimo entre fendas s rm m Espaçamento médio entre fendas t f mm Espessura do material FRP t fib mm Espessura das fibras u f m Perímetro de aderência do reforço externo u s m Perímetro de aderência dos varões de aço V fib % Percentagem de volume das fibras V m % Percentagem de volume da matriz w mm Abertura de fendas w k mm Abertura de fendas (valor característico) X m Posição da linha neutra nas secções dos apoios X e m Posição da linha neutra após da aplicação do reforço X o m Posição da linha neutra antes da aplicação do reforço z e m Braço entre as forças de tracção e compressão totais vi

9 Caracteres Gregos Unidades α f Razão entre E f e E c α s β β 1 β 2 γ b KN/m 3 Peso volúmico do betão ε 0 ε 2 ε c ε c0 ε rm.r ε s ε s1 ε sm ζ Razão entre E s e E c Coeficiente que relaciona os valores médio e característico da abertura de fendas Coeficiente que contabiliza as características de aderência da armadura Coeficiente que contabiliza o tipo de carga Extensão inicial da fibra inferior da secção de betão Extensão do reforço (armaduras e reforço externo) no estado totalmente fendilhado Extensão da fibra superior da secção de betão após aplicação do reforço Extensão inicial da fibra superior da secção de betão Extensão média do aço (armadura) em relação ao betão Extensão no aço Extensão das armaduras no estado totalmente fendilhado Extensão média relativa Coeficiente de rigidez em tracção do betão entre fendas ζ fm MPa Tensão de aderência do reforço externo ζ sm MPa Tensão de aderência do aço ξ b ρ c,ef ρ eq Parâmetro de aderência Rácio entre as áreas das armaduras (interna e externa) e área traccionada efectiva Rácio da armadura equivalente σ c MPa Tensão no betão σ cr MPa Tensão actuante nos varões de aço para primeira carga de fendilhação σ s MPa Tensão no aço Ψ 2 ω Parâmetro da combinação quase permanente de acções Percentagem mecânica de armadura vii

10 viii

11 ÍNDICE DE QUADROS Quadro 1 Vantagens e desvantagens dos tipos de reforço externo com chapas de aço Quadro 2 Valores nominais da tensão de cedência f y e da tensão de rotura f u dos aços macios correntes (EN ) Quadro 3 Propriedades das fibras Quadro 4 Valores característicos das propriedades mecânicas dos laminados CFRP S&P Laminates e Sika-CarboDur Quadro 5 Propriedades mecânicas dos materiais utilizados Quadro 6 Cálculo da sobrecarga suportada pela estrutura Quadro 7 Cálculo da área de reforço para vários aumentos da carga de dimensionamento Quadro 8 Resultados da situação inicial para os vários níveis de carga actuante Quadro 9 Propriedades da secção após a aplicação do laminado de carbono Quadro 10 - Propriedades da secção após a aplicação da chapa de aço Quadro 11 Parâmetros usados no cálculo de abertura de fendas segundo a metodologia Quadro 12 Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia Quadro 13 Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a metodologia Quadro 14 Parâmetros utilizados no cálculo da abertura de fendas segundo a metodologia Quadro 15 - Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia Quadro 16 - Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a metodologia Quadro 17 Aumento da área de CFRP a partir da área dimensionada Quadro 18 Aumento da área de chapas de aço a partir da área dimensionada Quadro 19 Parâmetros comuns ao cálculo das extensões ε c eε s, na zona dos apoios Quadro 20 Cálculo das extensões ε c eε s para os vários níveis de acréscimo de carga Quadro 21 Constantes utilizadas no cálculo de abertura de fendas Quadro 22 Cálculo da abertura de fendas, nas secções não reforçadas, para os vários acréscimos de carga de dimensionamento, segundo EC Quadro 23 - Cálculo da sobrecarga suportada pela estrutura Quadro 24 - Cálculo da área de reforço para vários aumentos da carga de dimensionamento.. 72 Quadro 25 - Resultados da situação inicial para os vários níveis de carga actuante ix

12 Quadro 26 - Propriedades da secção após a aplicação do laminado de carbono Quadro 27 - Propriedades da secção após a aplicação da chapa de aço Quadro 28 - Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia Quadro 29 - Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a metodologia Quadro 30 Parâmetros usados no cálculo de abertura de fendas segundo a metodologia Quadro 31 Abertura de fendas para elementos reforçados com CFRP segundo a metodologia Quadro 32 Abertura de fendas para elementos reforçados com chapas de aço segundo a metodologia ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1 Tipos de sistemas FRP: in-situ (direita) e pré-fabricados (esquerda) Figura 2 Propriedades dos vários tipos de fibra à tracção Figura 3 Relação tensão-deformação em função do volume de fibras existente no material compósito Figura 4 Relação tensão-deformação de materiais FRP e aço Figura 5 Propriedades dos materiais compósitos, aço e alumínio Figura 6 Situação inicial antes da aplicação do reforço Figura 7 Análise elástica linear da secção fendilhada Figura 8 Cálculo do parâmetro k Figura 9 Esquema representativo para o cálculo de N rk Figura 10 Laje do modelo de cálculo Figura 11 Esquema da laje e viga usadas com as respectivas armaduras para as secções a meio-vão e nos apoios Figura 12 Diagrama de Momentos Flectores Figura 13 Modelo de cálculo do momento de dimensionamento positivo para um dado acréscimo de sobrecarga Figura 14 Esquema representativo de d eq e A eq para o cálculo da área de reforço A r Figura 15.a Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P 0 =cp+ψ 2 sc segundo a metodologia x

13 Figura 15.b - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P 0 =cp segundo a metodologia Figura 15.c - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P 0 =0.75cp segundo a metodologia Figura 15.d - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P 0 =0.5 cp segundo a metodologia Figura 15.e - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P 0 =0.25cp segundo a metodologia Figura 15.f - Abertura de fendas para sucessivos acréscimo de carga e para, P 0 =0 segundo a metodologia Figura 16.a Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P 0 =cp+ψ 2 sc segundo a metodologia Figura 16.b - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P 0 =cp p segundo a metodologia Figura 16.c - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P 0 =0.75cp segundo a metodologia Figura 16.d - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P 0 =0.5 cp segundo a metodologia Figura 16.e - Abertura de fendas para sucessivos acréscimos de carga e para P 0 =0.25cp segundo a metodologia Figura 16.f - Abertura de fendas para sucessivos acréscimo de carga e para, P 0 =0 segundo a metodologia Figura 17 Comparação entre as metodologias para o estudo de abertura de fendas, para vários acréscimo de carga sob a combinação de serviço P cqp = 0.75 cp Figura 18.a Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP,para um acréscimo de carga de dimensionamento de 20% Figura 18.b Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP,para um acréscimo de carga de dimensionamento de 30% Figura 18.c Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP,para um acréscimo de carga de dimensionamento de 40% Figura 18.d Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de CFRP,para um acréscimo de carga de dimensionamento de 50% Figura 19.a Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço,para um acréscimo de carga de dimensionamento de 20% xi

14 Figura 19.b Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço,para um acréscimo de carga de dimensionamento de 30% Figura 19.c Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço,para um acréscimo de carga de dimensionamento de 40% Figura 19.d Relação entre a abertura de fendas e o aumento da área de chapa de aço,para um acréscimo de carga de dimensionamento de 50% Figura 20 - Laje do modelo de cálculo Figura 21 - Esquema da laje e viga usadas com as respectivas armaduras para as secções a meio-vão e nos apoios...70 Figura 22.a - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P 0 = 0.75 cp, segundo a metodologia Figura 22. b - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P 0 = 0.5 cp, segundo a metodologia Figura 22.c - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P 0 = 0.25 cp, segundo a metodologia Figura 22. d - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois tipos de reforço e para as cargas iniciais P 0 = 0, segundo a metodologia Figura 23.a - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P 0 = 0.75 cp, segundo a metodologia Figura 23. b - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P 0 = 0.5 cp, segundo a metodologia Figura 23.c - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois tipos de reforço e para a cargas iniciais P 0 = 0.25 cp, segundo a metodologia Figura 23. d - Comparação entre a abertura de fendas para os dois casos de estudo, com os dois tipos de reforço e para as cargas iniciais P 0 = 0, segundo a metodologia Figura 24 Comparação entre as metodologias para o estudo de abertura de fendas, para vários acréscimo de carga sob a carga, na altura de aplicação do reforço, P 0 = 0.75 cp xii

15 ÍNDICE CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO NOTA INTRODUTÓRIA OBJECTIVOS TIPOS DE REFORÇO AÇO CFRP ORGANIZAÇÃO DA TESE... 5 CAPÍTULO 2 PESQUISA BIBLIOGRÁFICA REFORÇO CHAPAS DE AÇO VANTAGENS E DESVANTAGENS PROPRIEDADES MECÂNICAS SISTEMAS FRP VANTAGENS E DESVANTAGENS PROPRIEDADES MECÂNICAS FENDILHAÇÃO SITUAÇÃO INICIAL REFORÇO EXTERNO LIMITAÇÃO DE TENSÕES METODOLOGIAS DE CÁLCULO ZONAS COM REFORÇO APLICADO ZONAS SEM REFORÇO APLICADO CAPÍTULO 3 AVALIAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE ESTRUTURAS REFORÇADAS FACE À FENDILHAÇÃO CARACTERIZAÇÃO DO CASO DE ESTUDO DIMENSIONAMENTO CÁLCULO DA SOBRECARGA SUPORTADA PELA ESTRUTURA DIMENSIONAMENTO DO REFORÇO AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO SECÇÕES A MEIO VÃO DIFERENTES NÍVEIS DE CARGAS ACTUANTES COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIAS AUMENTO DA ÁREA DE REFORÇO SOB CARGA CONSTANTE SECÇÕES DOS APOIOS AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO A MEIO VÃO PARA UM NOVO CASO PRÁTICO xiii

16 3.4.1 CARACTERIZAÇÃO DO CASO DE ESTUDO CÁLCULO DA SOBRECARGA SUPORTADA PELA ESTRUTURA DIMENSIONAMENTO DO REFORÇO AVALIAÇÃO DA FENDILHAÇÃO COMPARAÇÃO ENTRE METODOLOGIAS CAPÍTULO 4 CONCLUSÃO xiv

17 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1 NOTA INTRODUTÓRIA O constante melhoramento da infra-estrutura existente tem sido sempre motivo de interesse no campo da engenharia civil. Muito deste melhoramento passa por reforçar a infra-estrutura com outros elementos de modo a fornecer ao conjunto um bom comportamento perante as adversidades que esta vai encontrar no seu tempo útil de vida. As causas que levam ao reforço (e, por vezes, reabilitação) de uma estrutura são várias: - Corrosão das armaduras - Deterioração do betão - Acções acidentais sobre as estruturas - Sismos - Erros de cálculos no projecto - Deficiência de execução - Alteração da estrutura inicial Assim sendo, tem existido uma necessidade crescente de melhorar todas estas infra-estruturas de modo a garantir uma maior segurança e durabilidade. Neste trabalho será abordado o reforço, a estruturas de betão armado, por meio de chapas de aço (tecnologia mais tradicional) ou através de materiais compósitos de carbono (tecnologia mais recente), no que diz respeito ao comportamento destas face à fendilhação. Isto é, serão calculados os parâmetros relativos ao espaçamento e abertura de fendas e estes valores serão comparados entre os dois tipos de reforço em estudo. Espera-se, no final, chegar a um consenso sobre qual o tipo de reforço mais adequado no que diz respeito ao controlo da fendilhação

18 1.2 OBJECTIVOS Este trabalho tem como principal objectivo o estudo da fendilhação de elementos de betão armado reforçados externamente com chapas de aço ou sistemas CFRP. Com esse estudo pretende-se, não só averiguar qual o reforço mais adequado para satisfazer este ponto dos Estados Limites de Utilização, como também estudar este fenómeno para diversas situações práticas, como se verá mais à frente no capítulo 3. No entanto, e dada a vasta quantidade de informação que esta Tese reúne, existem diversos tópicos secundários que podem ser estudados, como sejam a melhor compreensão da constituição e propriedades dos diversos materiais intervenientes neste sistema betão armado reforço, o que por si só, irá envolver conceitos como a constituição dos materiais compósitos utilizados e o modo de aplicação destes

19 1.3 TIPOS DE REFORÇO As estruturas existentes de betão armado podem, por vezes, necessitar de reforço de modo a melhorar o seu comportamento, tanto a nível de um melhoramento da capacidade de flexão e corte como do controlo de fendilhações e deformações AÇO O aço é uma liga ferro-carbónica formada a partir de minérios de ferro, cujos componentes principais são o ferro e o carbono (existem ainda outros componentes considerados como impurezas que resultam do processo de fabrico, [15]) Os aços mais utilizados na construção metálica são aços laminados a quente, caracterizados por baixas percentagens de carbono (na ordem dos 0.2 %). O reforço externo de chapas de aço a um elemento de betão armado trata-se do tipo de reforço mais comum e a sua aplicação tem-se espalhado um pouco por todo o mundo, devido às vantagens económicas e estruturais destes sistemas. Aplicam-se sobretudo no reforço à flexão (lajes) e ao esforço transverso em vigas. Já para reforçar à compressão, não se costumam utilizar chapas de aço dada a sua tendência em encurvar. [14] Os sistemas de ligação, para o reforço de estruturas de betão armado com adição de chapas de aço, podem ser realizados de duas maneiras: - Colagem da chapa, através de um agente adesivo (resina epóxidica) - Fixação da chapa por meio de buchas metálicas, grampos, ou pernos Este tipo de reforço externo tem sido utilizado desde os finais da década de 60. [14] - 3 -

20 1.3.2 CFRP O mais recente material de reforço para estruturas de betão é feito por meio do uso de polímeros reforçados de fibras de carbono (CFRP Carbon Fibre Reinforced Polymer) externamente ligados ao elemento a reforçar. Desde os anos 40 que os materiais compósitos têm tido um papel importante no que diz respeito às engenharias aeroespacial, náutica e automobilística. Mais tarde, estes materiais despertaram o interesse no campo da engenharia civil e, actualmente, são vistos pelos engenheiros de estruturas como um material novo e altamente prometedor na indústria da construção, muito devido à sua elevada resistência à corrosão, ao seu baixo peso e outras vantagens, e desvantagens, que veremos mais à frente. No campo dos materiais compósitos existem ainda os polímeros reforçados com fibras de vidro e aramida, no entanto, estes não serão abordados neste trabalho

21 1.4 ORGANIZAÇÃO DA TESE O trabalho está organizado em quatro capítulos. O primeiro capítulo diz respeito à Introdução. Aqui será fornecida alguma informação geral sobre o conteúdo do trabalho bem como uma breve introdução ao tema do reforço externo de elementos de betão armado. Na segunda parte, será feita uma pesquisa bibliográfica relativamente às informações-base em que esta tese se apoia - os dois tipos de reforço em estudo (CFRP e Aço) e as diversas metodologias de cálculo no que diz respeito ao cálculo da fendilhação. Neste capítulo mais teórico serão referidas, entre outros, as propriedades mecânicas e geométricas dos reforços, as suas vantagens e desvantagens face à utilização de um ou de outro, processo de aplicação, etc. No que diz respeito ao cálculo de fendilhações para elementos de betão armado com reforço, CFRP ou Aço, será feito um levantamento dos diversos procedimentos existentes em prática para, no capítulo seguinte, se comparar, não só, os resultados entre as diferentes metodologias, mas também ambos os tipos de reforço externo. Seguidamente, no terceiro capítulo, será posto em prática todo o tipo de estudo enunciado anteriormente recorrendo a casos práticos. Através destes, ir-se-á chegar a certas conclusões sobre o trabalho realizado, algumas serão imediatas e explicadas há medida que se vão analisando os resultados e outras, mais gerais, serão referidas no quarto e último capítulo da tese

22 - 6 -

23 CAPÍTULO 2 PESQUISA BIBLIOGRÁFICA 2.1 REFORÇO Elementos intervenientes O reforço externo de estruturas betão armado compreende sempre os seguintes elementos intervenientes: - Substrato - Adesivo - Reforço Substrato Não é mais do que a superfície do elemento de betão armado onde se vai colocar o reforço. Esta superfície deverá estar adequada à aplicação do reforço. Caso não esteja, serão utilizados certos produtos complementares com vista a melhorar a adesão entre o substrato e o reforço externo a ser aplicado. Adesivo São os agentes responsáveis por assegurar a ligação entre o material FRP e o elemento de betão a ser reforçado, e asseguram passagem das tensões de corte do elemento a ser reforçado para o reforço (material compósito). Para o adesivo desempenhar correctamente as suas funções é necessário que exista uma total compatibilidade entre o adesivo e o material de reforço, desta forma é recomendado que o adesivo usado seja o recomendado pelo fornecedor do material de reforço. O tipo de adesivo mais comum resulta da mistura da resina epoxídica (polímero) com um endurecedor e apresenta boas vantagens para o seu uso, [9]

24 Reforço O reforço externo a aplicar, segundo este trabalho, poderá ser de dois tipos: - Chapas de aço - CFRP As propriedades destes bem como as suas vantagens e desvantagens serão abordadas nos pontos seguintes deste trabalho. Produtos Complementares Por vezes, a aplicação dos sistemas FRP no substrato requer a utilização de produtos adicionais de modo a garantir um bom reforço. Destes, os produtos mais regularmente usados são os primários e os regularizadores de superfície. Primário Tem como finalidade melhorar a propriedade adesiva da superfície. Este produto penetra na superfície do betão por capilaridade. Regularizador de superfície Tem como função alisar e homogeneizar a superfície do substrato de modo a garantir uma boa superfície de contacto para a aplicação do adesivo CHAPAS DE AÇO Tal como já se viu em 1.3.1, o reforço com chapas de aço pode ser realizado através da colagem destas, por meio de um agente adesivo, ao elemento de betão armado. Ou, pela aplicação de buchas metálicas. No ponto seguinte serão referidas as vantagens da utilização do reforço de aço, primeiro em geral e depois partindo para o particular no que diz respeito ao modo de ligação das chapas ao substrato

25 VANTAGENS DE DESVANTAGENS O uso de chapas de aço como reforço externo de elementos de betão armado é um reforço em expansão devido a vantagens gerais como: - Aumento da capacidade da carga última - Melhoria do comportamento em serviço - Pouco aumento de peso e tamanho relativamente ao elemento existente - Acessibilidade para inspecção e manutenção - Rapidez de execução - Possibilidade de manter a estrutura em utilização durante a execução E desvantagens globais ao nível de: - Corrosão da chapa externa - Peso das chapas para efeitos de transporte e manuseamento - Mão-de-obra especializada Porém, o reforço por meio de chapas de aço por ser feito, como já foi referido, por ligação através de um agente adesivo ou por meio de buchas ou pernos. As vantagens e desvantagens de cada tipo de ligação estão sumariadas no quadro seguinte - Quadro 1. Ainda relativamente ao reforço de chapas de aço por meio de buchas metálicas, devem-se colocar no mínimo duas buchas na extremidade (devido às forças de tracção e às concentrações de tensões que se geram nas extremidades da chapa), ainda que os cálculos demonstrem o contrário. O custo envolvido não é significativo e melhora-se a segurança da ligação, [13] - 9 -

26 Tipo de Ligação Vantagens Desvantagens - Camada adesiva oferece boa - Pode necessitar de protecção à corrosão da conectores para auxiliar na chapa de aço mais próxima do ancoragem e evitar betão descolagem Adesivo - Face externa lisa - Preparação da superfície de betão in-situ requer grandes cuidados para aplicação do adesivo Buchas metálicas - Maior segurança a longo prazo visto não haver problema de descolamento - Permite posicionar mais facilmente as chapas de reforço - Não requer cuidados especiais na preparação da superfície de contacto in-situ - Possível descolamento da chapa - Corrosão da placa externa na sua face interna - Tempo e custo de mão-deobra associados à realização dos furos - Aparência estética Quadro 1 Vantagens e desvantagens dos tipos de reforço externo com chapas de aço

27 PROPRIEDADES MECÂNICAS Os valores da tensão de cedência fy e da tensão de rotura à tracção fu, dos tipos de aço utilizados (definidos segundo a norma EN , [6], e tomados como valores característicos), são indicados no quadro seguinte Quadro 2. Classe de Espessura nominal t [mm] aço t 40 mm 40 < t 80 mm f y [N/mm 2 ] f u [N/mm 2 ] f y [N/mm 2 ] f u [N/mm 2 ] S S S S Módulo de Elasticidade [KN/mm 2 ] 210 Quadro 2 Valores da tensão de cedência f y e da tensão de rotura f u dos aços macios correntes (EN ), [15] SISTEMAS FRP Material Compósito FRP Estes materiais são compostos por um grande número de fibras (destacam-se carbono, aramida, vidro) que são pequenas, contínuas, direccionadas e não-metálicas. Estas fibras são então embebidas numa matriz polimérica (normalmente de resina). Matriz Polimérica Tem como função unir as fibras, distribuir as cargas, que suporta, entre estas e proteger as fibras dos agentes mais agressivos do meio ambiente e dos danos mecânicos. A matriz tem uma grande influência em diversas propriedades mecânicas do material compósito (propriedades de corte, propriedades na compressão, módulo e força transversos)

28 Tal como, nos adesivos, as resinas epoxídicas apresentam melhores propriedades mecânicas e uma maior durabilidade, ao passo que os restantes têm vantagem na vertente económica por serem mais baratos, [16]. Fibras Podem ser contínuas ou descontínuas (cortadas), sendo que nos compósitos FRP só se usam fibras contínuas, [9]. As fibras contínuas têm um diâmetro na ordem dos 5-20 µm e podem ser fabricadas como reforço uni ou bidireccional. A fracção de volume de fibras nos materiais compósitos FRP é à volta de 50-70%, para o caso dos laminados (Sistemas pré-fabricados), e cerca de 25-35% para as mantas e tecidos (Sistemas Wet lay-up). Têm um comportamento perfeitamente elástico e não apresentam patamar de cedência e, consequentemente, deformação plástica. Na direcção principal das fibras tanto o módulo de elasticidade como a resistência à tracção são máximos. Existem três grandes grupos de fibras que são usadas no campo da engenharia civil Aramida, Vidro e Carbono sendo que as propriedades mecânicas, como seria de esperar, variam consoante o tipo de fibra escolhida. Assim, dependendo do tipo de fibra que compõe o material compósito FRP, estes podem ser referenciados como AFRP (compósito à base de fibras de aramida), GFRP (vidro) ou CFRP (carbono). Neste trabalho serão estudados os materiais compósitos à base de fibras de carbono CFRP uma vez que são os mais utilizados no reforço de estruturas pelas propriedades que veremos nos pontos e deste trabalho. As fibras são obtidas a partir do processo de carbonização de fibras de polímeros orgânicos a temperaturas da ordem dos 1000ºC a 3000ºC e podem ser do tipo pitch ou PAN. A diferença entre os dois tipos de fibra reside no processo de fabrico, pois ambas geram produtos de elevada força e elasticidade, [16] - Fibras pitch usam carvão ou petróleo destilado que é passado por uma extremidade fina e estabilizado por aquecimento - Fibras PAN feitas de poliacrilonitrilo carbonizado

29 Em termos de diâmetro as fibras pitch têm um diâmetro aproximado de 9 a 18 µm, ao passo que as fibras PAN têm um diâmetro na ordem dos 5-8 µm, o que nos permite ter a noção de que um conjunto de destas fibras tem uma espessura aproximada a um fio de cabelo, [11], e é, no entanto, um produto extremamente resistente e com uma eficaz transferência de cargas entre as várias fibras, por via da matriz, derivado do elevado valor da razão comprimento/diâmetro já falado anteriormente. No quadro seguinte Quadro 3 temos uma melhor percepção das propriedades dos vários tipos de fibra. Tipo de Fibra Tensão de Rotura Módulo de Elasticidade Diâmetro das Fibras [N/mm 2 ] [KN/mm 2 ] [µm] Aramida Carbono - Pitch Carbono PAN Vidro (S) Quadro 3 Propriedades das fibras, [16] Tipos de sistemas Os sistemas FRP variam consoante o fabricante e fornecedor e, como tal, podem apresentar diferente configuração, tipos de fibras, adesivos, etc. No entanto, consegue-se classificar dois tipos distintos de sistemas: - Sistemas wet lay-up (ou curados in-situ) - Sistemas pré-fabricados (ou pré-curados) Existem, ainda, sistemas especiais, que estão mais relacionados não só com o fabricante que os desenvolveu mas também com a sua técnica de execução

30 Sistemas wet lay-up (ou curados in-situ), [9] São sistemas de fibras contínuas que, como o próprio nome indica, são aplicados no local de obra (in-situ). A manta de FRP seca é impregnada com resina imediatamente antes da sua aplicação. Depois, são então aplicados sobre o adesivo, de modo a aderirem ao substrato. Devido ao facto de serem impregnados apenas, e aquando, a sua aplicação, os sistemas wet lay-up apresentam uma maior flexibilidade e, consequentemente, maior trabalhabilidade. Desta forma, tornam-se ideais para o reforço de superfícies curvas, além do seu uso normal para superfícies planas. Existem mantas unidireccionais ou multidireccionais, consoante as fibras contínuas estejam todas orientadas na direcção longitudinal ou, se uma parte das fibras estiver orientada segundo a direcção longitudinal e outra parte orientada segundo uma outra direcção diferente (90º, 45º, - 45º). Têm uma espessura aproximada de 0.15 mm e uma largura de, cerca de, 300 mm. O comprimento será o desejado para o tipo de aplicação, sendo que estas mantas são produzidas e armazenadas em rolos com comprimentos superiores a 50 m. O peso médio das mantas é à volta de g/m 2. Para este tipo de sistemas, a fracção de volume de fibras é cerca de 25-35% do volume do sistema. Estes sistemas podem, também, ser chamados de sistemas de fibras secas devido ao facto de terem pouca quantidade de resina no seu interior. Aqui, a aplicação do adesivo tem como funções ligar o material compósito ao elemento de betão armado e impregnar as fibras. Sistemas pré-fabricados (ou pré-curados), [9] Tratam-se de produtos compósitos pré-formados que tomam a sua forma e dureza final já em fábrica, vindo destas com as propriedade geométricas e mecânicas finais, prontos a serem aplicados no elemento (sempre com a aplicação do adesivo entre ambos). São obtidos por meio de impregnação de um conjunto de feixes de fibras com uma resina termoendurecível e, depois, consolidadas por um processo de pultrusão, onde as fibras são extrudidas por tracção. Nestes sistemas, as fibras estão orientadas longitudinalmente unidireccionais o que lhes confere maior rigidez e resistência segundo essa direcção

31 Pelo facto de serem pré-fabricados, as configurações destes sistemas dependem do fabricante. Normalmente estão sob a forma de laminados com espessuras na ordem de 1 mm e largura a variar entre os 50 mm e 150 mm,[9]. Tal como nos sistemas wet lay-up, o comprimento dos laminados será o desejado, sendo que são armazenados em rolos de comprimentos superiores a 50 m. Este tipo de sistemas é mais adequado para o reforço de superfícies planas. Podem, no entanto, ser usados para superfícies curvas caso o seu fabrico já tenha em conta a forma do elemento a reforçar. Na figura seguinte Figura 1 estão representados ambos os tipos de sistemas FRP Figura 1 Tipos de sistemas FRP: in-situ (direita) e pré-fabricados (esquerda) VANTAGENS E DESVANTAGENS No reforço de elementos de betão armado, o uso de sistemas de materiais compósitos à base de fibras (FRP Fibre Reinforced Polymer), principalmente os sistemas à base de fibras de carbono (CFRP Carbon Fibre Reinforced Polymer), como veremos mais à frente, é vantajoso devido a, [9]: - Imunidade à corrosão - Reduzido peso específico - cerca de ¼ do Aço o que facilita a sua aplicação em espaços condicionados

32 - Elevada resistência à tracção - cerca de 10 vezes superior ao Aço e módulos de elasticidade da mesma ordem de grandeza - Grande capacidade de deformação - Geometria e dimensões ilimitadas - Elevada resistência à fadiga e ao impacto - Elevada resistência ao ataque químico - Elevada durabilidade - Menores custos de manutenção Todas estas vantagens acima referidas reflectem-se no custo de mão-de-obra que, como esperado, irá ser mais reduzido fruto da facilidade de manuseamento deste tipo de material em obra. Estes sistemas apresentam, no entanto, algumas desvantagens, que serão enumeradas de seguida, [9]: - Comportamento elástico e linear até à rotura (Figura 2 - este material tem um comportamento diferente do aço que apresenta um comportamento elasto-plástico) - Custo do material, em termos de /Kg - Custo do materiais, fibras e resina, é mais elevado que o aço - Coeficiente de expansão térmica diferente do betão - Exposição a altas temperaturas, por exemplo incêndio, pode ser causa de degradação prematura e, consequente, rotura (alguns constituintes dos sistemas FRP resinas epoxídicas quebram a rigidez para uma temperatura de 60ºC a 80ºC, [11]) - A aplicação destes materiais apresenta dificuldades na forma de ancoragem (o que pode implicar a necessidade de sistemas adicionais de ancorar as fibras) - Eventuais problemas de aderência retiram o aproveitamento máximo das potencialidades dos materiais FRP - Reduzida experiência na utilização destes materiais

33 Figura 2 Propriedades dos vários tipos de fibra à tracção No entanto, algumas destas desvantagens, nomeadamente os custos, têm um lado positivo. Ou seja, apesar do custo dos materiais FRP (fibras e resina) ser mais caro que o do aço, o custo que envolve a parte dos equipamentos e mão-de-obra será mais barato derivado do facto de ser um material de mais fácil aplicação e de necessitar de menores custo de manutenção (imune à corrosão). Além disso, se estabelecermos uma comparação de custo em termos de resistência do material, o custo dos materiais FRP já será mais favorável do que o do aço. Desta forma podemos afirmar que os sistemas FRP apresentam boas propriedades que lhes permitem, à partida, ser uma das primeiras escolhas para reforço de elementos de betão armado. Devem, no entanto, ser sempre tidos em conta todos os factores, não só em termos mecânicos, mas também em termos de construção e durabilidade a longo prazo PROPRIEDADES MECÂNICAS As propriedades mecânicas básicas dos materiais FRP podem ser estimadas, se forem conhecidas as propriedades dos seus constituintes (matriz polimérica e fibras) bem como a sua respectiva fracção de volume, por aplicação da regra das misturas, [9]: E f f f = E f fib fib V V fib fib + E V m m + f V m m

34 Onde, E f Módulo de Young (ou módulo de elasticidade) do material FRP na direcção das fibras E fib Módulo de elasticidade das fibras E m Módulo de elasticidade da matriz V fib Percentagem de volume das fibras V m Percentagem de volume da matriz f f Resistência à tracção do material FRP na direcção das fibras f fib Resistência à tracção das fibras f m Resistência à tracção da matriz Esta regra é uma aproximação do comportamento mecânico dos materiais compósitos. Como tal, de modo a obter uma informação mais correcta deverão ser feitos estudos de tracção, [9]. Para os sistemas wet lay-up, as fracções de volume e espessura obtidas no produto final são incertas, fazendo com que o seu cálculo baseado nas propriedades do sistema FRP (fibras e matriz) seja pouco rigoroso. Por vezes, para estes casos, o fabricante fornece somente as propriedades das fibras, [9]. Já para os sistemas pré-fabricados, as propriedades dos materiais são baseadas na sua área total da secção (normalmente fornecidas pelo fabricante), [9]. Devido a estes métodos diferentes de obter as propriedades mecânicas consoante o sistema usado, deve haver algum cuidado quando se pretende fazer a comparação de propriedades mecânicas entre sistemas diferentes. O módulo de elasticidade (E fib ) e resistência (f fib ) das fibras são muito maiores do que o módulo de elasticidade e resistência da matriz (E m e f m, respectivamente). Assim, as propriedades do material FRP (E f e f f ) são controladas pelas propriedades e área da secção das fibras, fazendo com que exista um forte relação entre a fracção de volume das fibras e as propriedades do material FRP, [9]. Isto é ilustrado na figura (Figura 3) seguinte:

35 Figura 3 Relação tensão-deformação em função do volume de fibras existente no material compósito Para os sistemas wet lay-up, onde as fracções de volume e espessura são incertas, as propriedades do FRP podem ser calculadas somente com base nas propriedades das fibras. Neste caso, na aplicação da regras das misturas, pode-se ignorar o segundo termo de ambas as equações, considerar V fib = 1 e as dimensões do FRP devem ser calculadas com base nas dimensões nominais das mantas. Caso esta aproximação seja, de facto, a utilizada, as propriedades resultantes devem ser multiplicadas por um facto de redução r, de modo a ter em conta tanto a eficiência do sistema fibra-resina como a forma das mantas. Este factor de redução (r) deve ser fornecido pelo fabricante do material FRP. Alternativamente, o fabricante do FRP pode fornecer directamente as propriedades in-situ (espessura, módulo de elasticidade, resistência à tracção) do sistema impregnado. Estas informações fornecidas pelo fabricante (facto de redução, propriedades in-situ) devem ser baseadas em testes, [11]. Para exemplificar esta informação, pode-se assumir que uma determinada manta tem uma espessura nominal t fib e um módulo elástico E fib (ambos calculados com base nas propriedades das fibras). Após a impregnação do material FRP, este terá uma espessura t f e um módulo de elasticidade E f. Os dois sistemas tornam-se equivalentes através da seguinte expressão: t E r = t fib fib f E f Onde, t fib Espessura das fibras E fib Módulo de elasticidade das fibras r Factor de redução t f Espessura do material FRP E f Módulo de Young do material FRP na direcção das fibras

36 Sistemas CFRP Como já foi referido, todos os sistemas FRP apresentam um comportamento linear até à rotura. Os sistemas de compósito à base de fibras de carbono CFRP não são excepção, e podem ser produzidos consoante os valores do módulo de elasticidade ou tensão de rotura pretendidos. Estes respectivos valores oscilam entre os 150 GPA e os 650 GPA. Por consulta de catálogos, nomeadamente Sika-CarboDur e S&P Laminates, consegue-se reunir e expor as principais características mecânicas, dos diferentes tipos de laminados de carbono mais utilizados, no Quadro 4: Tipo de Laminado Tensão de Módulo de Alongamento de Espessura Largura Rotura Elasticidade dimensionamento [mm] [mm] [N/mm 2 ] [KN/mm 2 ] [%] S&P CFK 150/ S&P CFK 200/ Sika-CarboDur S Sika-CarboDur M Sika-CarboDur H Quadro 4 Valores característicos das propriedades mecânicas dos laminado CFRP S&P Laminates, [20] e Sika-CarboDur, [21] Nas figuras seguintes tem-se dois tipos de comparação entre sistemas FRP e metais. Na primeira figura (Figura 4) testa-se o comportamento à tracção. Figura 4 Relação tensão-deformação de materiais FRP e aço

37 Como se pode ver da figura anterior, os materiais CFRP suportam grandes tracções (na ordem dos 3000 MPa) mas, no entanto, no que diz respeito às deformações são os materiais que ficam mais a perder. Na figura seguinte (Figura 5) comparam-se as diversas propriedades mecânicas entre os materiais compósitos e os metais. Figura 5 Propriedades dos materiais compósitos, aço e alumínio Por esta figura verifica-se que os materiais compósitos têm elevada rigidez e resistência o que, aliados ao seu baixo peso, favorece a sua utilização na construção civil, nomeadamente no reforço de elementos de betão armado

38 2.2 FENDILHAÇÃO O controlo da fendilhação é bastante importante tanto ao nível da estética como da segurança e tempo de vida da estrutura. Isto é, a abertura de fendas expõe o aço estrutural aos agentes ambientais levando, consequentemente, à corrosão destes. Para estruturas de betão armado reforçadas externamente, as novas fendas irão aparecer entre as já existentes. Desta forma, irá surgir uma fendilhação mais densa mas com menor abertura de fendas. De uma forma geral pode-se dizer que o fenómeno da fendilhação ocorre sempre que a tensão no elemento iguala a tensão de rotura do betão à tracção f ctm. O estudo deste fenómeno em estruturas de betão armado já se encontra bastante desenvolvido mas o mesmo não se pode dizer acerca das mesmas reforçadas externamente com chapas de aço ou sistemas CFRP. De facto, no que diz respeito ao comportamento em serviço deste tipo de estruturas, este está, ainda, em claro desenvolvimento (quando comparado com os vários estudos realizados para a verificação aos estados limites últimos) SITUAÇÃO INICIAL Antes de se iniciar o cálculo da fendilhação para o elemento reforçado, deve-se ter em conta o seu estado inicial, ou seja, as propriedades do elemento antes do reforço. Assim, tendo como base a teoria da elasticidade e com M 0, o momento de serviço actuante (sem consideração de coeficientes de segurança) na secção crítica, a distribuição inicial das deformações pode ser calculada. Como o M 0 é normalmente maior que o momento de fendilhação M cr os cálculos são baseados numa secção fendilhada Figura 6. Figura 6 Situação inicial antes da aplicação do reforço

39 Com base na figura acima relativa a uma secção fendilhada, a posição da linha neutra X o - pode ser determinada através de uma igualdade entre momentos estáticos (tracção e compressão): 1 bx 2 2 o + ( α 1) A ( X d ) = α A s s2 o 2 s s1 ( d X o ) Onde, α s =E s /E c. A deformação inicial do betão na fibra superior (compressão) é dada por: ε co M = E o c I X co o Onde, I co é o momento de inércia da secção fendilhada: I co 3 o bx 2 = + ( α s 1) As 2 ( X o d 2 ) + α s A 3 s1 ( d X o ) 2 A deformação do betão na fibra inferior é, então dada por, [16]: ε o = ε co h X X o o Esta deformação é a deformação inicial da secção ao nível do FRP REFORÇO EXTERNO Os cálculos efectuados para verificar os estados limites de utilização, em particular a fendilhação, podem ser realizados de acordo com uma análise elástica, [11], sendo que serão feitas referências tanto às secções não-fendilhada (estado 1) e fendilhada (estado 2). Num elemento de betão armado, a posição da linha neutra é independente do momento actuante. No entanto, o mesmo já não se verifica para um elemento de betão armado reforçado exteriormente devido às extensões iniciais existentes antes do reforço ser aplicado

40 Assumindo um comportamento elástico do material e admitindo que o betão não resiste à tracção, a secção fendilhada é baseada na figura seguinte Figura 7, [16]. Figura 7 Análise elástica linear da secção fendilhada Através do equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações, a posição da linha neutra X e é obtida: + + = + e c f f e s s e s s e X h A X d A d X A bx ε ε α α α ) ( ) ( 1) ( 2 1 Onde, α s =E s /E c e α f =E f /E c. Para valores baixos de ε 0, o termo (1+ε 0 /ε c ) é, praticamente, igual a 1, fazendo com que a equação acima seja directamente resolvida, e o valor de X e obtido. Por outro lado, quando ε 0 toma valores elevados, quando comparado com ε c, a posição da linha neutra X e, deixa de ser independente do momento actuante M k (existe uma alteração das características de secção durante a actuação de carga) e passa a ser obtida através da resolução conjunta da equação anterior e da seguinte: ( ) ) ( ) ( 1) ( d h X X d A d h X d X A X h bx M E e e s s e e s s e e k c c + = α α ε

41 Se desprezarmos a armadura sujeita à compressão (A s2 = 0) e assumirmos h/d 1.1, [16], a equação acima por ser simplificada para: E ε = c c bx 2 M k X (1.05d 3 1 e e ) LIMITAÇÃO DE TENSÕES Aquando da actuação de cargas de serviço, torna-se necessária a limitação de tensões do betão, armadura interna e FRP, de modo a prevenir a degradação ou fluência excessiva do betão, cedência das armaduras e fluência excessiva do material FRP. Se um reforço externo é implementado, e visto que a força de compressão é igual à força de total de tracção, o betão irá ficar mais solicitado à compressão (pois a sua área não se altera). De modo a prevenir compressão excessiva o Eurocódigo 2, [5], sugere as seguintes limitações, para a tensão de compressão: σ c 0.60 f ck - para a combinação rara de acções σ c 0.45 f ck - para a combinação quase-permanente de acções Onde σ c = E c ε c, valor obtido pelas equações anteriores do ponto De modo a prevenir a cedência das armadura internas, o Eurocódigo 2, [5], preconiza: d X σ = ε f - para a combinação rara de acções s e E s c X e yk Do mesmo modo, a tensão no reforço, deve ser limitada, [16], do seguinte modo: σ h X e f = E f ε c ε o ηf fk X - para a combinação quase-permanente de acções e

42 Onde η < 1 é o coeficiente de limitação de tensão do material FRP. Este mesmo coeficiente depende do tipo de FRP e deve ser obtido através de ensaios experimentais. Com base em testes de rotura por fluência foram sugeridos, [11], os valores indicativos de η = 0.8, 0.5 e 0.3 para CFRP, AFRP e GFRP, respectivamente. Convém, também, referir que por vezes, o dimensionamento da estrutura é condicionado pelos Estados Limites de Utilização e, como tal, esperam-se baixas extensões de serviço, fazendo com que rotura por fluência deixe de ser preocupante, [8] METODOLOGIAS DE CÁLCULO Para controlar a abertura de fendas na superfície do elemento, os projectistas recorrem a determinadas metodologias já estudadas. Estas metodologias, apresentadas de seguida, diferem entre si pelo facto de terem sido desenvolvidas por investigadores diferentes, o que leva à utilização de variáveis diferentes para o cálculo de abertura de fendas. De uma forma geral, a abertura de fendas é dada por: w = s rm ε sm [mm] Onde s rm corresponde ao espaçamento médio entre fendas e ε sm a extensão média relativa no elemento de betão armado. A maneira como cada um destes parâmetros é calculado é que irá originar diferentes metodologias de cálculo para a abertura de fendas ZONAS COM REFORÇO APLICADO i) Metodologia 1 Eurocódigo , [7] Esta metodologia, descrita no artigo referenciado, tem como base as expressões da versão de 1992 do EC